1、2020-2021 学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期末数学试卷学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2用配方法解关于 x 的一元二次方程 x22x30，配方后的方程可以是（ ） A （x+1）24 B （x1）24 C （x1）22 D （x+1）22 3抛物线 y2x2经过平移得到 y2（x+1）2，则这个
2、平移过程正确的是（ ） A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位 C向上平移 1 个单位 D向下平移 1 个单位 4若点（2，y1） ， （1，y2） ， （3，y3）在双曲线 y（k0）上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2 5如图，D 是等边ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB1：2，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕 为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF（ ） A B C D 6如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于
3、点 C，且 OAOC则 下列结论： abc0；0；acb+10；OAOB 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7已知正六边形的半径是 4，则这个正六边形的周长为 8已知矩形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x2+mx+80（m8）的两根，则矩形的面积是 9圆锥的底面半径是 1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 10如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC20，D 是上任意一点，则ADC 度 11如图，在 44 正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任
4、选取一个白色的小正方形 并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 12在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为（4，0） ， （4，4） ， （0，4） ，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA1，CPDP 于点 P，则点 P 的坐标为 三、 （本大题共三、 （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13解方程： （x3）2+2x（x3）0 14 如图， 上体育课时， 甲、 乙两名同学分别站在 C、 D 的位置时， 乙的影子恰好在甲的影子里边， 已知甲， 乙同学相距 1 米甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，则甲
5、的影长是多少米？ 15关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m20 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若两根为 x1、x2且 x12+x227，求 m 的值 16一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“武” 、 “汉” 、 “加” 、 “油”的四个小球，除汉字不同之外，小 球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球 （1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为多少？ （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字 恰能组成“武汉”或“加油”的概率 P1 17等腰ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作圆交 BC 于点 D，请仅
6、用无刻度的直尺，根据下列条件分别 在图 1、图 2 中画一条弦，使这条弦的长度等于弦 BD （保留作图痕迹，不写作法） （1）如图 1，A90； （2）如图 2，A90 18已知抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3）和（4，5） （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）将抛物线沿 x 轴翻折，得到图象 G，直接写出图象 G 的函数解析式 19如图，已知函数 y（x0）的图象经过点 A、B，点 A 的坐标为（1，2） ，过点 A 作 ACy 轴，AC 1（点 C 位于点 A 的下方） ，过点 C 作 CDx 轴，与函数的图象交于点 D，过点 B 作 BECD，垂足 E 在线段 CD 上
7、，连接 OC、OD （1）求OCD 的面积； （2）当 BEAC 时，求 CE 的长 20如图，ACB 内接于圆 O，AB 为直径，CDAB 与点 D，E 为圆外一点，EOAB，与 BC 交于点 G， 与圆 O 交于点 F，连接 EC，且 EGEC （1）求证：EC 是圆 O 的切线； （2）当ABC22.5时，连接 CF， 求证：ACCF； 若 AD1，求线段 FG 的长 21如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1010 网格中，已知点 O，A，B 均为网格线的交 点 （1）在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 A1B1（点 A，B
8、 的 对应点分别为 A1，B1） ，画出线段 A1B1； （2）将线段 A1B1绕点 B1逆时针旋转 90得到线段 A2B1，画出线段 A2B1； （3）以 A，A1，B1，A2为顶点的四边形 AA1B1A2的面积是 个平方单位 22为了“创建文明城市，建设美丽家园” ，我市某社区将辖区内的一块面积为 1000m2的空地进行绿化， 一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为 x（m2） ，种草所需费用 y1（元）与 x（m2）的函数关 系式为，其图象如图所示：栽花所需费用 y2（元）与 x（m2）的函数关 系式为 y20.01x220 x+30000（0 x1000） （1）请直接写出 k1
9、、k2和 b 的值； （2）设这块 1000m2空地的绿化总费用为 W（元） ，请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总费用 W 的 最大值； （3）若种草部分的面积不少于 700m2，栽花部分的面积不少于 100m2，请求出绿化总费用 W 的最小值 23 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1，PB2，PC 3你能求出APB 的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数； 思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到C
10、PB，连接 PP，求出APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究】 如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，求APB 的度数 24如图（1） ，抛物线 yx22x+k 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； （2）设抛物线 yx22x+k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐 标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 yx22x+k 上求出点 Q
11、 坐标，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形 25我们给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的 顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线如图，抛物线 F2都是抛物线 F1的过顶抛物线，设 F1的顶点为 A，F2的对称轴分别交 F1、F2于点 D、B，点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点 （1）如图 1，如果抛物线 yx2的过顶抛物线为 yax2+bx，C（2，0） ，那么 a ，b 如果顺次连接 A、B、C、D 四点，那么四边形 ABCD 为 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 （2）如图 2，抛物线 yax2+c
12、的过顶抛物线为 F2，B（2，c1） 求四边形 ABCD 的面积 （3）如果抛物线 y的过顶抛物线是 F2，四边形 ABCD 的面积为 2，请直接写出点 B 的坐标 2020-2021 学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期末数学试卷学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据中心对称图形的概念即可求解 【解答】解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形
13、是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 故选：B 2用配方法解关于 x 的一元二次方程 x22x30，配方后的方程可以是（ ） A （x+1）24 B （x1）24 C （x1）22 D （x+1）22 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得 【解答】解：x22x3， x22x+13+1，即（x1）24， 故选：B 3抛物线 y2x2经过平移得到 y2（x+1）2，则这个平移过程正确的是（ ） A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位 C向上平移 1 个单位 D向下平移 1 个单位 【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出答案 【解答】解：抛物线 y2x2经过平移得到
14、y2（x+1）2，则这个平移过程是向左平移 1 个单位 故选：A 4若点（2，y1） ， （1，y2） ， （3，y3）在双曲线 y（k0）上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2 【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题 【解答】解：点（2，y1） ， （1，y2） ， （3，y3）在双曲线 y（k0）上， （2，y1） ， （1，y2）分布在第二象限，每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 则 0y1y2， （3，y3）在第四象限，对应 y 值为负数， y3y1y2 故选：D 5如图，D
15、 是等边ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB1：2，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕 为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF（ ） A B C D 【分析】借助翻折变换的性质得到 DECE；设 AB3k，CEx，则 AE3kx；根据相似三角形的判 定与性质即可解决问题 【解答】解：设 ADk，则 DB2k， ABC 为等边三角形， ABAC3k，ABCEDF60， EDA+FDB120， 又EDA+AED120， FDBAED， AEDBDF， ， 设 CEx，则 EDx，AE3kx， 设 CFy，则 DFy，FB3ky， ， ， ， CE：CF4
16、：5 故选：B 解法二：解：设 ADk，则 DB2k， ABC 为等边三角形， ABAC3k，ABCEDF60， EDA+FDB120， 又EDA+AED120， FDBAED， AEDBDF，由折叠，得 CEDE，CFDF AED 的周长为 4k，BDF 的周长为 5k， AED 与BDF 的相似比为 4：5 CE：CFDE：DF4：5 故选：B 6如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OAOC则 下列结论： abc0；0；acb+10；OAOB 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】由抛物线开口方向得
17、a0，由抛物线的对称轴位置可得 b0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c0，则可对进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点个数得到 b24ac0，加上 a0，则可对进行 判断；利用 OAOC 可得到 A（c，0） ，再把 A（c，0）代入 yax2+bx+c 得 ac2bc+c0，两边除 以 c 则可对进行判断；设 A（x1，0） ，B（x2，0） ，则 OAx1，OBx2，根据抛物线与 x 轴的交点 问题得到 x1和 x2是方程 ax2+bx+c0（a0） 的两根，利用根与系数的关系得到 x1x2，于是 OAOB ，则可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴在 y 轴
18、的右侧， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0， 而 a0， 0，所以错误； C（0，c） ，OAOC， A（c，0） ， 把 A（c，0）代入 yax2+bx+c 得 ac2bc+c0， acb+10，所以正确； 设 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点， x1和 x2是方程 ax2+bx+c0（a0）的两根， x1x2， OAOB，所以正确 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7已知正六边形的半径是 4，则这个正六
19、边形的周长为 24 【分析】根据正六边形的半径可求出其边长为 4，进而可求出它的周长 【解答】解：正六边形的半径为 2cm，则边长是 4，因而周长是 4624 故答案为：24 8已知矩形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x2+mx+80（m8）的两根，则矩形的面积是 4 【分析】设矩形的长和宽分别为 a、b，由根与系数的关系可求得 ab 的值，即可求得答案 【解答】解：设矩形的长和宽分别为 a、b， 矩形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x2+mx+80（m8）的两根， a+b，ab4， 即矩形的面积是 4， 故答案为：4 9圆锥的底面半径是 1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
20、180 【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为 2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解 【解答】解：设圆锥的母线为 a，根据勾股定理得，a2， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 n， 根据题意得 21，解得 n180， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 180 故答案为 180 10如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC20，D 是上任意一点，则ADC 110 度 【分析】D 是圆内接四边形 ABCD 的一个角，根据圆内接四边形的对角互补，只要求出B 即可，根 据 AB 是直径，则ABC 是直角三角形，根据内角和定理即可求解 【解答】解：AB 是半圆 O 的直径， ACB90， A
21、BC902070， D18070110， 故答案是：110 11如图，在 44 正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形 并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 【分析】由在 44 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有 13 种等可能的结果，使图 中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有 5 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：如图， 根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有 13 个，而能构 成一个轴对称图形的有 5 个情况， 使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的
22、概率是： 故答案为： 12在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为（4，0） ， （4，4） ， （0，4） ，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA1，CPDP 于点 P，则点 P 的坐标为 （2，0）或（22，0）或（2+2， 0） 【分析】先由已知得出 D1（4，1） ，D2（4，1） ，然后分类讨论 D 点的位置从而依次求出每种情况下 点 P 的坐标 【解答】解：A，B 两点的坐标分别为（4，0） ， （4，4） ABy 轴 点 D 在直线 AB 上，DA1 D1（4，1） ，D2（4，1） 如图： （）当点 D 在 D1处时，要使 CPDP，即使COP1P1
23、AD1 即 解得：OP12 P1（2，0） （）当点 D 在 D2处时， C（0，4） ，D2（4，1） CD2的中点 E（2，） CPDP 点 P 为以 E 为圆心，CE 长为半径的圆与 x 轴的交点 设 P（x，0） ，则 PECE 即 解得：x22 P2（22，0） ，P3（2+2，0） 综上所述：点 P 的坐标为（2，0）或（22，0）或（2+2，0） 三解答题三解答题 13解方程： （x3）2+2x（x3）0 【分析】原方程的左边含有公因式（x3） ，可先提取公因式，然后再分解因式求解 【解答】解： （x3）2+2x（x3）0 （x3） （x3+2x）0 （x3） （3x3）0 解得
24、：x13，x21 14 如图， 上体育课时， 甲、 乙两名同学分别站在 C、 D 的位置时， 乙的影子恰好在甲的影子里边， 已知甲， 乙同学相距 1 米甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，则甲的影长是多少米？ 【分析】先根据 DEBC 得出ADEACB，再根据相似三角形的对应边成比例求出 AD 的值，由 AC AD+CD 得出结论 【解答】解：DEBC， ADEACB， （2 分） 设 ADx，则有， 解得 x5 甲的影长 AC1+56 米 答：甲的影长是 6 米 15关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m20 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若两根为 x1、x2且
25、x12+x227，求 m 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得 出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x212m，x1x2m2，结合 x12+x227 可得出关于 m 的一元二次 方程，解之取其小于等于的值即可得出结论 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m20 有实数根， （2m1）241m24m+10， 解得：m （2）x1，x2是一元二次方程 x2+（2m1）x+m20 的两个实数根， x1+x212m，x1x2m2， x12+x22（x1+x2）22x1x27，即（12m
26、）22m27， 整理得：m22m30， 解得：m11，m23 又m， m1 16一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“武” 、 “汉” 、 “加” 、 “油”的四个小球，除汉字不同之外，小 球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球 （1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为多少？ （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字 恰能组成“武汉”或“加油”的概率 P1 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图（用 A、B、C、D 分别表示标有汉字“武” 、 “汉” 、 “加” 、 “油”的四个小球）展示所有 12 种等可能
27、的结果数，再找出取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的结果数，然后根据 概率公式求解 【解答】解： （1）若从中任取一球，球上的汉字刚好是“武”的概率为； （2）画树状图为： （用 A、B、C、D 分别表示标有汉字“武” 、 “汉” 、 “加” 、 “油”的四个小球） ， 共有 12 种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的结果数为 4， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“武汉”或“加油”的概率 P1 17等腰ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作圆交 BC 于点 D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别 在图 1、图 2 中画一条弦，使这条弦的长度
28、等于弦 BD （保留作图痕迹，不写作法） （1）如图 1，A90； （2）如图 2，A90 【分析】 （1）如图 1，连接 AD，由于 AB 为直径， 则ADB90，由于 ABAC，所以 AD 平分BAC， 即BADEAD，于是得到 BDDE； （2）如图 2，延长 CA 交圆于 E，连接 BE、DE，与（1）一样得到BADDAC，而DACDBE， 所以DBEBAD，所以 DEBD 【解答】解： （1）如图 1，DE 为所作： （2）如图 2，DE 为所作： 18已知抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3）和（4，5） （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）将抛物线沿 x 轴翻折，得
29、到图象 G，直接写出图象 G 的函数解析式 【分析】 （1）直接把 A、B 两点的坐标代入 yx2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，然后解方程组求出 b、 c 即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标 （2）根据关于 x 轴对称的两点 x 坐标相同，y 坐标互为相反数，即可求得图象 G 的表达式 【解答】解： （1）根据题意得， 解得：， 所以抛物线的解析式为 yx22x3 抛物线的解析式为 yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点坐标为（1，4） （2）将抛物线沿 x 轴翻折后，得出yx22x3， 则图象 G 的函数解析式 yx2+2x+3 19如图，已
30、知函数 y（x0）的图象经过点 A、B，点 A 的坐标为（1，2） ，过点 A 作 ACy 轴，AC 1（点 C 位于点 A 的下方） ，过点 C 作 CDx 轴，与函数的图象交于点 D，过点 B 作 BECD，垂足 E 在线段 CD 上，连接 OC、OD （1）求OCD 的面积； （2）当 BEAC 时，求 CE 的长 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得 D 点坐标，根 据三角形的面积公式，可得答案； （2）根据 BE 的长，可得 B 点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得 B 点横坐标，根据两点间的距离公 式，可得答案 【解答】解； （1）y（
31、x0）的图象经过点 A（1，2） ， k2 ACy 轴，AC1， 点 C 的坐标为（1，1） CDx 轴，点 D 在函数图象上， 点 D 的坐标为（2，1） （2）BE， BECD， 点 B 的纵坐标2， 由反比例函数 y， 点 B 的横坐标 x2， 点 B 的横坐标是，纵坐标是 CE 20如图，ACB 内接于圆 O，AB 为直径，CDAB 与点 D，E 为圆外一点，EOAB，与 BC 交于点 G， 与圆 O 交于点 F，连接 EC，且 EGEC （1）求证：EC 是圆 O 的切线； （2）当ABC22.5时，连接 CF， 求证：ACCF； 若 AD1，求线段 FG 的长 【分析】 （1）连接
32、 OC，证得 OCCE，即可证得结论； （2）通过证得AOC45COF45，得出，即可证得 ACCF； 作 CMOE 于 M， 首先证得 CFCG， 得出 CM 垂直平分 FG， 然后通过三角形平分线的性质证得 CM CD，即可证得 RtACDRtFCM，从而证得 FMAD1，即可证得 FG2FM2 【解答】 （1）证明：连接 OC， OCOB， OCBB， EOAB， OGB+B90， EGEC， ECGEGC， EGCOGB， OCB+ECGB+OGB90， OCCE， EC 是圆 O 的切线； （2）证明：ABC22.5，OCBB， AOC45， EOAB， COF45， ， ACCF；
33、 解：作 CMOE 于 M， AB 为直径， ACB90 ABC22.5，GOB90， AOGB67.5， FGC67.5， COF45，OCOF， OFCOCF67.5， GFCFGC， CFCG， FMGM， AOCCOF，CDOA，CMOF， CDDM， 在 RtACD 和 RtFCM 中 RtACDRtFCM（HL） ， FMAD1， FG2FM2 21如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1010 网格中，已知点 O，A，B 均为网格线的交 点 （1）在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 A1B1（点 A，B 的 对应点分别为
34、 A1，B1） ，画出线段 A1B1； （2）将线段 A1B1绕点 B1逆时针旋转 90得到线段 A2B1，画出线段 A2B1； （3）以 A，A1，B1，A2为顶点的四边形 AA1B1A2的面积是 20 个平方单位 【分析】 （1）以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，即可画出线段 A1B1； （2）将线段 A1B1绕点 B1逆时针旋转 90得到线段 A2B1，即可画出线段 A2B1； （3）连接 AA2，即可得到四边形 AA1B1A2为正方形，进而得出其面积 【解答】解： （1）如图所示，线段 A1B1即为所求； （2）如图所示，线段 A2B1即为所求； （3）由图可得
35、，四边形 AA1B1A2为正方形， 四边形 AA1B1A2的面积是（）2（）220 故答案为：20 22为了“创建文明城市，建设美丽家园” ，我市某社区将辖区内的一块面积为 1000m2的空地进行绿化， 一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为 x（m2） ，种草所需费用 y1（元）与 x（m2）的函数关 系式为，其图象如图所示：栽花所需费用 y2（元）与 x（m2）的函数关 系式为 y20.01x220 x+30000（0 x1000） （1）请直接写出 k1、k2和 b 的值； （2）设这块 1000m2空地的绿化总费用为 W（元） ，请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总费用
36、W 的 最大值； （3）若种草部分的面积不少于 700m2，栽花部分的面积不少于 100m2，请求出绿化总费用 W 的最小值 【分析】 （1）将 x600、y18000 代入 y1k1x 可得 k1；将 x600、y18000 和 x1000、y26000 代 入 y1k2x+b 可得 k2、b （2）分 0 x600 和 600 x1000 两种情况，根据“绿化总费用种草所需总费用+种花所需总费用” 结合二次函数的性质可得答案； （3）根据种草部分的面积不少于 700m2，栽花部分的面积不少于 100m2求得 x 的范围，依据二次函数的 性质可得 【解答】解： （1）将 x600、y1800
37、0 代入 y1k1x，得：18000600k1，解得：k130； 将 x600、y18000 和 x1000、y26000 代入，得：， 解得：； （2）当 0 x600 时， W30 x+（0.01x220 x+30000）0.01x2+10 x+30000， 0.010，W0.01（x500）2+32500， 当 x500 时，W 取得最大值为 32500 元； 当 600 x1000 时， W20 x+6000+（0.01x220 x+30000）0.01x2+36000， 0.010， 当 600 x1000 时，W 随 x 的增大而减小， 当 x600 时，W 取最大值为 32400
38、， 3240032500， W 取最大值为 32500 元； （3）由题意得：1000 x100，解得：x900， 由 x700， 则 700 x900， 当 700 x900 时，W 随 x 的增大而减小， 当 x900 时，W 取得最小值 27900 元 23 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1，PB2，PC 3你能求出APB 的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数； 思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得
39、到CPB，连接 PP，求出APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究】 如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，求APB 的度数 【分析】 （1）思路一、先利用旋转求出PBP90，BPBP2，APCP3，利用勾股定理求出 PP，进而判断出APP是直角三角形，得出APP90，即可得出结论； 思路二、同思路一的方法即可得出结论； （2）同（1）的思路一的方法即可得出结论 【解答】解： （1）思路一、如图 1， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP2，APCP3， 在 RtPB
40、P中，BPBP2， BPP45，根据勾股定理得，PPBP2， AP1， AP2+PP21+89， AP2329， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPP+BPP90+45135； （2）如图 2， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP1，APCP， 在 RtPBP中，BPBP1， BPP45，根据勾股定理得，PPBP， AP3， AP2+PP29+211， AP2（）211， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPPBPP904545 24如图（1） ，抛物线 yx
41、22x+k 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）k 3 ，点 A 的坐标为 （1，0） ，点 B 的坐标为 （3，0） ； （2）设抛物线 yx22x+k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐 标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 yx22x+k 上求出点 Q 坐标，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形 【分析】 （1）把 C 点坐标代入 yx22x+k 可其凷 k3，从而得到抛物线解析式为 yx22x3，然 后解方程 x22x30 可得
42、到 A、B 点的坐标； （2）把二次函数解析式配成顶点式可得 M（1，4） ，抛物线的对称轴交 x 轴于 N，如图（1） ，利用四 边形 ABMC 的面积SAOC+S梯形OCMN+SMNB和三角形面积公式计算即可； （3）作 DEy 轴交直线 BC 于 E，如图（2） ，先利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 yx3，设 D（x，x22x3） ，则 E（x，x3） ，则可表示出 DEx2+3x，利用三角形面积公式得到 SBCDDE 3x2+x，然后根据二次函数的性质求解； （4）先判断OBC 为等腰直角三角形得到OCBOBC45，讨论：当CBQ90时，BQ 交 y 轴于 G 点，如图（3）
43、 ，所以OBG45，则 G（0，3） ，易得直线 BG 的解析式为 yx+3，再通过 解方程组得 Q 点坐标；当BCQ90时，CQ 交 x 轴于 H 点，如图（3） ，用同样方法得 到此时 Q 点坐标 【解答】解： （1）把 C（0，3）代入 yx22x+k 得 k3， 则抛物线解析式为 yx22x3， 当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，则 A（1，0） ，B（3，0） ； 故答案为3， （1，0） ， （3，0） ； （2）yx22x3（x1）24，则 M（1，4） ， 抛物线的对称轴交 x 轴于 N，如图（1） ， 四边形 ABMC 的面积SAOC+S梯形OCMN+SMNB
44、13+（3+4）1+4（31）9； （3）存在 作 DEy 轴交直线 BC 于 E，如图（2） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入得，解得， 直线 BC 的解析式为 yx3， 设 D（x，x22x3） ，则 E（x，x3） ， DEx3（x22x3）x2+3x， SBCDDE3x2+x（x）2+， 当 x时，SBCD有最大值， SACB436， x时，四边形 ABDC 的面积最大， 此时 D 点坐标为（，） ； （4）OBOC3， OBC 为等腰直角三角形， OCBOBC45， 当CBQ90时，BQ 交 y 轴于 G 点，如图（3） ，则OBG45
45、， OGOB3，则 G（0，3） ， 易得直线 BG 的解析式为 yx+3， 解方程组得或， Q（2，5） ； 当BCQ90时，CQ 交 x 轴于 H 点，如图（3） ，则OCH45， OHOC3，则 H（3，0） ， 易得直线 CH 的解析式为 yx3， 解方程组得或， Q（1，4） ； 综上所述，点 Q 坐标为（1，4）或（2，5）时，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形 25我们给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的 顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线如图，抛物线 F2都是抛物线 F1的过顶抛物线，设 F1的顶点为 A，
46、F2的对称轴分别交 F1、F2于点 D、B，点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点 （1）如图 1，如果抛物线 yx2的过顶抛物线为 yax2+bx，C（2，0） ，那么 a 1 ，b 2 如果顺次连接 A、B、C、D 四点，那么四边形 ABCD 为 D A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 （2）如图 2，抛物线 yax2+c 的过顶抛物线为 F2，B（2，c1） 求四边形 ABCD 的面积 （3）如果抛物线 y的过顶抛物线是 F2，四边形 ABCD 的面积为 2，请直接写出点 B 的坐标 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四
47、边形对 角线的关系，可得答案； （2）根据对称性，可得 AC 的长，根据顶点式解析式，可得 F2根据待定系数法，可得 4a+c1c，根 据四边形的面积公式，可得答案； （3）分类讨论：B 在 A 的右侧，B 在 A 的左侧，AC2，BD2，可得答案 【解答】解： （1）由 A、C 点关于对称轴对称，得 对称轴 x1 将 C 点坐标代入解析式，及对称轴公式，得 ， 解得， 故答案为：1，2； 当 x1 时，yx2，D（1，1） ； yx22x1，B（1，1） ， 四边形 ABCD 的对角线相等互相平分，且互相垂直， 四边形 ABCD 是正方形， 故选：D （2）B（2，c1） ， AC224 当 x0，yc， A（0，c） F1：yax2+c，B（2，c1） 设 F2：ya（x2）2+c1 点 A（0，c）在 F2上， 4a+c1c， 当 x2 时，yax2+c4a+c，B（2，4a+c） BD（4a+c）（c1）2 S四边形ABCDACBD4 （3）如图所示 ， y（x1）2+2 设 F2的解析式 y（x1a）2+2b，把（1，2）代入得到 a23b， B（1+a，2+b） ，C（3b+1+a，2） ，D（1+a，a2+2） B 点在 A 点的右侧时，AC2a，BD2b， 2a2b2， ab， a，b1， B1（，1） ，