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第7讲尺规作图-考点题型专项训练及答案(2021年广东省深圳市中考数学复习)

1、 深圳中考专项复习第深圳中考专项复习第 7 7 讲之尺规作图讲之尺规作图 【考点介绍】 近几年的深圳中考卷中,都有一道中等偏下难度的尺规作图识别题,考查几何 5 个基本作图(作一条线段等于已 知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线)的作 图痕迹识别。 【最近五年中考实题详解】 1.(2020 深圳)如图,已知 AB=AC,BC=6,山尺规作图痕迹可求出 BD=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】由作图痕迹可知 AD 为BAC 的角平分线,而 AB=AC,由等腰三角形的三线合一知 D 为 BC 重点,BD=3, 故选 B。 2.

2、(2019 深圳)如图,已知 AB=AC,AB=5,BC=3,以 AB 两点为圆心,大于1 2AB 的长为半径画圆弧,两弧相交于点 M、 N,连接 MN 与 AC 相交于点 D,则BDC 的周长为( ) A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【解析】 由作图痕迹可知DM为线段AB的垂直平分线, AD=BD, 则BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=8, 故选 A。 3.(2018 深圳) 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上, 这个菱形称 为这个三角形的亲密菱形, 如图 1, 菱形 ADFE 为ABC 的亲密菱形

3、。 如图书 2, 在CFE 中, CF=6, CE=12,FCE=45, 以点C为圆心, 以任意长为半径作 AD, 再分别以点 A 和点 D 为圆心, 大于1 2AD长为半径做弧, 交 EF 于点 B, AB/CD. (1)求证:四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形; (2)求四边形 ACDB 的面积. 【解析】中等难度题型,以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。 (1)证明:由尺规作图痕迹可得:AC=CD,AB=DB,BC 是FCE 的角平分线,则:ACB=DCB, 又AB/CD,ABC=DCB,ACB=ABC,AC=AB, 又AC=CD,AB=DB,AC=CD=DB=BA, 四边

4、形 ACDB 是菱形.ACD 与FCE 重合,它的对角ABD 的顶点在 EF 上,四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形. (2)解:设菱形 ACDB 的边长为x,AB/CE,FA FC = AB CE ,即6x 6 = x 12 ,解得: 4x, 过 A 点作 AHCD 于点 H,在直角CAH 中,FCE=45,AH=AC sin45 = 4 2 2 = 22, 菱形 ACDB 的面积为:4 22 = 82. 4.(2017 深圳)如图,已知线段 AB,分别以 A、B 为圆心,大于AB 为半径作弧,连接弧的交点得到直线 l,在直 线 l 上取一点 C,使得CAB=25,延长 AC 至 M,求

5、BCM 的度数为( ) A40 B50 C60 D70 【解析】由作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,AC=BC,CAB=CBA=25, BCM=CAB+CBA=25+25=50故选 B 5.(2016 深圳)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=3,BC=5,以点 B 为圆心,以任意长为半径作弧,分别交 BA、BC 于 点 P、Q,再分别以 P、Q 为圆心,以大于1 2PQ 的长为半径作弧,两弧在ABC 内交于点 M,连接 BM 并延长交 AD 于点 E,则 DE 的长为_. 【解析】由作法可知 BE 为角平分线,所以,ABECBE,又 ADBC,所以,AEBCBE,所以, AE

6、BABE,AEAB3,ADBC5,所以,DE532。 【针对练习巩固】 1如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明AOB=AOB 的依据是( ) ASAS BSSS CAAS DASA 【解析】由作法易得 OD=OD=OC=OC,CD=CD,则依 SSS 可证OCDOCD,得AOB=AOB,故选 B. 2.通过如下尺规作图,能确定点 D 是 BC 边中点的是( ) 【解析】由作图痕迹可知是垂直平分线的尺规作图,故选 A 3.数学课上,小丽用尺规这样作图: (1) ,以点 O 为圆心,任意长为半径作弧,交 OA,OB 于 D,E 两点; (2)分别 以点 D,E 为圆心,大于D

7、E 的长为半径作弧,两弧交于点 C;第三部,作射线 OC 并连接 CD,CE,下列结论不正确 的是( ) A1=2 BSOCE=SOCD COD=CD DOC 垂直平分 DE 【解析】 由作法易得 OC 是AOB 的角平分线, 则1=2, 由 SAS 易证OCEOCD,则 SOCE=SOCD, 由OCEOCD 可得 CE=CD,则 OC 垂直平分 DE,故选 C. 4.如图,已知AOB,按以下步骤作图:以点 O 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C、D 两点, 连接 CD;分别以点 C、D 为圆心,以大于线段 OC 的长为半径作弧,两弧在AOB 内交于点 E,连接 CE、DE

8、;连 接 OE 交 CD 于点 M.下列结论错误的是: ( ) A. CEO=DEO B. CM=MD C. OCD=ECD D. S四边形 OCED= 1 2CD OE 【解析】由作图痕迹可知 OC=OD,CE=DE,则 SSSOCEODE,则选项 A 正确;则 CE=DE 可得直线 OE 垂直平分线段 OC,则选项 B 正确;由 CDOE 可知四边形 OCED 是筝形,筝形的面积会等于对角线乘积的一半,选项 D 正确,故选 C 5如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为圆心,适当的长为半径作弧,分别交 x 轴、y 轴于点 M、点 N,再 分别以点 M、 N 为圆心, 大于MN 的长为半

9、径画弧, 两弧在第二象限交于点 P (a, b) , 则 a 与 b 的数量关系为 ( ) Aa+b0 Ba+b0 Cab0 Dab0 【解析】利用作图得点 OP 为第二象限的角平分线,所以 a+b0故选:A 6. 数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点 P,用直尺和圆规作直线 PQ,使 PQl于 点 Q ”,分别作出了下列四个图形其中做法错误的是( ) A. B. C. D. 【解析】解:A.没有任何作法依据,A 选项的作法错误; B.作了线段的垂直平分线,则 PQl,所以 C 选项的作法正确; C.作了直径所对的圆周角,则 PQl,所以 D 选项的作法正确 D.作

10、了 P 点关于 l 的对称点,则 PQl,所以 B 选项的作法正确;故选 A 7如图,在ABC 中,B70,C30,分别以点 A 和点 C 为圆心,大于AC 的长为半径画弧,两弧相 交于点 M、N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则BAD 的度数为( ) A40 B45 C50 D60 【解析】B70,C30,BAC18010080,由作图可知:MN 垂直平分线段 AC, DADC,DACC30,BAD803050,故选:C 8.如图,在已知的ABC 中,按以下步骤作图: 分别以 B、C 为圆心,以大于1 2BC 为半径作弧,两弧相交于两点 M、N; 作直线 MN 交 AB 于点

11、 D,连接 CD; 若 CD=AC,A=50,则ACB 的度数为( ) A. 90 B. 95 C. 100 D. 105 【解析】CD=AC,A=50,ADC=A=50,根据题意得:MN 是 BC 的垂直平分线,CD=BD, BCD=B,B= 1 2 ADC=25,ACB=180-A-B=105故选:D 9如图, 点 B 是直线 l 外一点,在 l 的另一侧任取一点 K, 以 B 为圆心,BK 为半径作弧, 交直 线 l 与点 M、 N;再分别以 M、N 为圆心,以大于1 2MN 为半径作弧,两弧相交于点 P; 连接 BP 交直线 l 于点 A;点 C 是直线 l 上一点, 点 D、 E 分

12、别是线段 AB、 BC 的中点; F 在 CA 的延长线上, FDAB, AC8, AB6, 则四边形 AEDF 的周长为( ) A8 B10 C16 D18 【解析】 由作图方法可得 ABAC 于点 A, 则在 RtABC 中, 由勾股定理可得 BC=10,由 DE 是中位线可得 DE=1 2AC=4,DE AB,DE/AC,由 AE 是斜边上的中线可得 AE=BE=1 2BC=5,B=EAB,FDAB,FDAEAB,DF/AE, 四边形 AEDF 是平行四边形,则平行四边形 AEDF 的周长=2(DE+AE)=18,故选 D 10.如图,在矩形 ABCD 中,BAC=60,以点 A 为圆心

13、,任意长为半径作弧分别交 AB、AC 于点 M、N,再分别以点 M、N 为圆心,大于1 2MN 的长为半径作弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交 BC 于点 E,若 BE=1,则矩形 ABCD 的面积等于 _ 【解析】由作法可知,AP 是BAC 的角平分线,BAC=60,BAP=CAP=30,在矩形 ABCD 中, BAE=30,BE=1,AB=3,BC=3,面积=33 11.如图, 平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O, 按以下步骤作图: 以点 A 为圆心, 任意长为半径作弧, 分别交 AO、 AB 于点 M、N;以点 O 为圆心,AM 的长为半径作弧,交 OC 于点 M;以点 M为圆心

14、,MN 的长为半径作弧,在 COB 内部交前面的弧于点 N;过点 N作射线 ON交 BC 于点 E,若 AB=8,则线段 OE 的长为_ 【解析】由作图可知COE=CAB,OE/AB,OE 是中位线,OE=4 13.根据尺规作图痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) 【解析】外心是垂直平分线的交点,故选 C 14.如图,在四边形 ABCD 中,AD/BC,D=90,AD=4,BC=3,分别以点 A、C 为圆心,大于1 2AC 的长为半径作弧, 两弧交于点 E,作射线 BE 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O,若点 O 是 AC 的中点,则 CD 的长为_ 【解析】由作法可知 BE 是线

15、段 AC 的垂直平分线,则 BA=BC=3,由 AD/BC 可得 CDBC,过点 B 作 BGAD 于点 G,则 BGDC 是矩形,DG=BC=3,AG=1,由勾股定理可得 BG=22=CD. 15.如图,在菱形 ABCD 中,点 O 是对角线的交点,ABC=60,AB=2,分别以点 A、C 为圆心,以 AO 的长为半径画 弧,分别与菱形的边相交,则图中的阴影部分的面积为_.(结果保留) 【解析】由题可知ABC 与ACD 都是等边三角形,则 AC=AB=2,OA=1 2AB=1,BD=2BO=23, S阴= S菱形 ABCD S两个扇形= 2 3 2 120 360 12= 23 2 3 16

16、.已知锐角AOB,如图, (1)在射线 OA 上取一点 C,以点 O 为圆心、OC 为半径作PQ ,交射线 OB 于点 D,连接 CD; (2)连接 OM、 ,MN.根据以上作图过程,下列结论中错误的是( ) A.COM=COD B.若 OM=MN,则AOB=20 C. MN/CD D. MN=3CD 【解析】(1)连接 ON,由作法可知COM=COD=DON,选项 A 正确; (2)由 OM=ON,OM=MN,则 OM=ON=MN,OMN 是等边三角形,MON=60,AOB=20,选项 B 正确; (3) 设 MN 与 OA 交于点 E, 与 OB 交于点 F, OM=ON, OMN=ONM

17、, MOE=NOF, MOENOF, OE=OF, OEF=OFE,OC=OD,OCD=ODC,EOF=COD,OEF=OCD,MN/CD,选项 C 正确; (4)连接 MN、DN,则 MC=CD=DN,MC+CD+DNMN,3CDMN,选项 D 错误,故选 D 17.如图, 直线 MN/PQ, 直线 AB 分别与 MN、PQ 交于点 A、 B,小明同学利用尺规按以下步骤作图: 以点 A 为圆心, 适当长度为半径作弧,分别交边 AN、AB 于点 C、D;分别以点 C、D 为圆心,大于1 2CD 的长为半径作弧,两弧在 NAB 内交于点 E;作射线 AE,交边 PQ 于点 F,若 AB=2,AB

18、P=60,则线段 AF 的长为_ 【解析】由作法可知,AF 是NAB,由数学模型“角平分线+平行线=等腰三角形”可得 BA=BF=2,作 BGAF,AG=FG, ABP=60,BAF=BFA=30,在 RtBFG 中,FG=BFcosBFA=3,AF=2FG=23. 18.如图,已知平行四边形 AOBC 的顶点 O(0,0) ,A(-1,2) ,点 B 在 x 轴正半轴上,按以下步骤作图:以点 O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边 OA、OB 于点 D、E;分别以点 D、E 为圆心,大于1 2DE 的长为半径作弧, 两弧在AOB 内交于点 F;作射线 OF,交边 AC 于点 G,则点 G

19、的坐标为_ 【解析】 设 AC 与 y 轴交于点 H, 由 AC/OB 可得 AHy 轴, A(-1,2),OA=5,由作法可知 OF 平分AOB, AOF= BOF=AGO,AG=AO=5,HG=AG-AH=5 1,点 G 的坐标为(5 1,2) 19.如图,点 A 在双曲线y = k x (x 0)上,过点 A 作 ABx 轴于点 B,分别以点 O 和点 A 为圆心,大于1 2OA 的长为半 径作弧,两弧交于 D、E 两点,作直线 DE 交 x 轴于点 C,交 y 轴于点 F(0,2),连接 AC,若 AC=1,则 k 的值为_ 【解析】设 DE 与 AO 交于点 G,由作法可知 DE 为

20、线段 OA 的垂直平分线,DEAO,OG=AG,OC=AC=1,在 RtFOC 中, 由勾股定理可得 CF=5, OG=25 5 ,OA=45 5 ,易证FOCOBA, SOBA SFOC = (OA FC) 2, SOBA = 16 25, k=2SOBA= 32 25. 20.如图,在ABC 中,AB=13,AC=12,BC=5,按以下步骤作图:以 A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB、 AC 于点 M、N;分别以点 M、N 为圆心,以大于1 2MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 E;作射线 AE;以同样的 方法作射线 BF、AE 交 BF 于点 O,连接 OC,则 OC=_ 【解析

21、】由作法可得 O 是角平分线的交点,则 OC 也是角平分线,过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线段 OQ、OG、OH, 则OQ=OG=OH, 则四边形OGCH是正方形, 由面积补割可得1 2AC BC = 1 2OH BC + 1 2OG AC + 1 2OQ AB,可得OQ=OG=OH=2, 则 OC=22 21如图,AC 是O 的直径,点 B 在O 上,ACB=30,按以下步骤作图:以点 B 为圆心,小于 AB 的长为半径 画弧,分别交 AB、BC 于点 M、N; 分别以点 M、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧相交于点 G;连结 BG 交 AC 边于点 E,交O 于点 D,

22、连接 CD,求ABE 与CDE 的面积之比为 【解析】由A=D,AEB=DEC 易证ABEDCE,则它们的面积比=(AB CD) 2,由作图方法可知 BD 是ABC 的角平分 线,ABD=CBD,连接 AD,则 AD=CD,则ADC 是等腰直角三角形,则 CD= 2 2 AC,在 RtABC 中,由ACB=30 可得 AB=1 2AC,( AB CD) 2 = 1 2,即ABE 与CDE 的面积之比 1 2. 【答案详解】 1 【解析】由作法易得 OD=OD=OC=OC,CD=CD,则依 SSS 可证OCDOCD,得AOB=AOB,故选 B. 2.【解析】由作图痕迹可知是垂直平分线的尺规作图,

23、故选 A 3.【解析】由作法易得 OC 是AOB 的角平分线,则1=2,由 SAS 易证OCEOCD,则 SOCE=SOCD,由OCE OCD 可得 CE=CD,则 OC 垂直平分 DE,故选 C. 4.【解析】由作图痕迹可知 OC=OD,CE=DE,则 SSSOCEODE,则选项 A 正确;则 CE=DE 可得直线 OE 垂直平分线 段 OC,则选项 B 正确;由 CDOE 可知四边形 OCED 是筝形,筝形的面积会等于对角线乘积的一半,选项 D 正确,故 选 C 5 【解析】利用作图得点 OP 为第二象限的角平分线,所以 a+b0故选:A 6. 【解析】A.没有任何作法依据,A 选项的作法

24、错误; B.作了线段的垂直平分线,则 PQl,所以 C 选项的作法正确; C.作了直径所对的圆周角,则 PQl,所以 D 选项的作法正确 D.作了 P 点关于 l 的对称点,则 PQl,所以 B 选项的作法正确;故选 A 7 【解析】B70,C30,BAC18010080,由作图可知:MN 垂直平分线段 AC, DADC,DACC30,BAD803050,故选:C 8.【解析】CD=AC,A=50,ADC=A=50,根据题意得:MN 是 BC 的垂直平分线,CD=BD, BCD=B,B= 1 2 ADC=25,ACB=180-A-B=105故选:D 9【解析】 由作图方法可得 ABAC 于点

25、A, 则在 RtABC 中, 由勾股定理可得 BC=10,由 DE 是中位线可得 DE=1 2AC=4,DE AB,DE/AC,由 AE 是斜边上的中线可得 AE=BE=1 2BC=5,B=EAB,FDAB,FDAEAB,DF/AE, 四边形 AEDF 是平行四边形,则平行四边形 AEDF 的周长=2(DE+AE)=18,故选 D 10.【解析】由作法可知,AP 是BAC 的角平分线,BAC=60,BAP=CAP=30,在矩形 ABCD 中, BAE=30,BE=1,AB=3,BC=3,面积=33 11.【解析】由作图可知COE=CAB,OE/AB,OE 是中位线,OE=4 13.【解析】外心

26、是垂直平分线的交点,故选 C 14. 【解析】 由作法可知 BE 是线段 AC 的垂直平分线, 则 BA=BC=3,由 AD/BC 可得 CDBC, 过点 B 作 BGAD 于点 G, 则 BGDC 是矩形,DG=BC=3,AG=1,由勾股定理可得 BG=22=CD. 15.【解析】由题可知ABC 与ACD 都是等边三角形,则 AC=AB=2,OA=1 2AB=1,BD=2BO=23, S阴= S菱形 ABCD S两个扇形= 2 3 2 120 360 12= 23 2 3 16.【解析】(1)连接 ON,由作法可知COM=COD=DON,选项 A 正确; (2)由 OM=ON,OM=MN,则

27、 OM=ON=MN,OMN 是等边三角形,MON=60,AOB=20,选项 B 正确; (3) 设 MN 与 OA 交于点 E, 与 OB 交于点 F, OM=ON, OMN=ONM, MOE=NOF, MOENOF, OE=OF, OEF=OFE,OC=OD,OCD=ODC,EOF=COD,OEF=OCD,MN/CD,选项 C 正确; (4)连接 MN、DN,则 MC=CD=DN,MC+CD+DNMN,3CDMN,选项 D 错误,故选 D 17. 【解析】 由作法可知, AF 是NAB, 由数学模型 “角平分线+平行线=等腰三角形” 可得 BA=BF=2,作 BGAF,AG=FG, ABP=

28、60,BAF=BFA=30,在 RtBFG 中,FG=BFcosBFA=3,AF=2FG=23. 18.【解析】设 AC 与 y 轴交于点 H,由 AC/OB 可得 AHy 轴,A(-1,2),OA=5,由作法可知 OF 平分AOB, AOF=BOF=AGO,AG=AO=5,HG=AG-AH=5 1,点 G 的坐标为(5 1,2) 19.【解析】设 DE 与 AO 交于点 G,由作法可知 DE 为线段 OA 的垂直平分线,DEAO,OG=AG,OC=AC=1,在 Rt FOC 中,由勾股定理可得 CF=5,OG=25 5 ,OA=45 5 ,易证FOCOBA,SOBA SFOC = (OA F

29、C) 2,SOBA = 16 25, k=2SOBA=32 25. 20.【解析】由作法可得 O 是角平分线的交点,则 OC 也是角平分线,过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线段 OQ、OG、 OH,则 OQ=OG=OH,则四边形 OGCH 是正方形,由面积补割可得1 2AC BC = 1 2OH BC + 1 2OG AC + 1 2OQ AB,可得 OQ=OG=OH=2,则 OC=22 21 【解析】 由A=D,AEB=DEC 易证ABEDCE,则它们的面积比=(AB CD) 2,由作图方法可知 BD 是ABC 的角平 分线,ABD=CBD,连接 AD,则 AD=CD,则ADC 是等腰直角三角形,则 CD= 2 2 AC,在 RtABC 中,由ACB=30 可得 AB=1 2AC,( AB CD) 2 = 1 2,即ABE 与CDE 的面积之比 1 2.