1、2020-2021 学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1在 0，5，0.14 中，无理数是（ ） A0 B5 C D0.14 2下列四组数中，是勾股数的是（ ） A5，12，13 B4，5，6 C2，3，4 D1， 3一次函数 y2x+2 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4某射击运动员在一
2、次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10这组数据的平均数和 中位数分别是（ ） A8，8 B8.4，8 C8.4，8.4 D8，8.4 5如图，表示的点落在（ ） A段 B段 C段 D段 6下列图形中，不能代表 y 是 x 函数的是（ ） A B C D 7已知 xy，则下列结论不成立的是（ ） Ax2y2 B2x2y C3x+13y+1 D 8如图，直线 ykx+b（b0）经过点（2，0） ，则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 9如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是点 A（3，0） 、点 B（1，2） 、点
3、C（3， 2） ，则到ABC 三个顶点距离相等的点的坐标是（ ） A （0，1） B （0，0） C （1，1） D （1，2） 10如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰 三角形，则满足条件的点 P 共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 11 九章算术是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kun，门槛的意思）一尺，不合 二寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，从点 O 处推开双门，双门间 隙 CD 的长度为 2 寸，点 C 和点 D 到门槛 AB 的距离都为
4、 1 尺（1 尺10 寸） ，则 AB 的长是（ ） A104 寸 B101 寸 C52 寸 D50.5 寸 12如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙分别由点 A（2，0）同时出发，沿矩 形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以 2 个单 位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2012 次相遇地点的坐标是（ ） A （2，0） B （1，1） C （2，1） D （1，1） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题每小题个小题每小题 4 分，共分，共 24 分把答案填在答题卡的横线上分把答案
5、填在答题卡的横线上.） 13在平面直角坐标系中，点 P（3，5）关于 x 轴对称的点的坐标是 14不等式2x13 的解集是 15甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了 10 次，平均成绩均为 7.5 米，方差分别为 s甲 20.2，S 乙 20.08，成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙” ） 16等腰三角形的一个角为 40，则它的顶角为 17 如图所示， 在ABC 中， C90， DE 垂直平分 AB， 交 BC 于点 E， 垂足为点 D， BE8， B15， 则 EC 的长为 18如图，在平面直角坐标系中，ABO 的边 OB 在 x 轴上，OBA90，AOB30，AB3，点 C 是边 AB
6、 的中点，点 D 在边 OB 上，且 ODOB，点 P 为边 OA 上的动点，当四边形 PDBC 周长最小 时，点 P 的横坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： （1）3+； （2） 20解不等式组：并写出它的整数解 21如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 （1）在图 1 中，画一个顶点为格点、面积为 2 的正方形； （2）在图 2 中，仅用直尺，找一格点 D，满足以下两个条件： 点 D 到 CB、CA 的距离相等； 点 D 到点 A、C 的距离
7、相等 （保留作图痕迹） 22如图，ABC 为等腰三角形，ABAC，BD 分别平分ABC，CE 分别平分ACB，过点 A 分别作 BD、 CE 的垂线段，垂足为 D、E求证：ADAE 23如图，在平面直角坐标系中，点 C（4，0） ，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且满足 OB2， OA1 （1）求点 A、B 的坐标及直线 AB 的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 D，使以点 B、C、D 为顶点的三角形的面积 SBCDSABC？若存在，请写 出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 24某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时） ，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结
8、 果，绘制出如图统计图 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为 人，扇形统计图中的 m ； （2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是 ，平均数是 ； （3）该校共有 1600 名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足 8 小时的人数 25 某电器超市销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A、 B 两种型号的电风扇， 下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 销售收入 第一周 3 台 5 台 1800 元 第二周 4 台 10 台 3100 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求
9、 A、B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最 多能采购多少台？ 26 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发， 匀速而行， 快车到达乙地后停留 1h， 然后按原路原速返回， 快车比慢车晚 1h 到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程 y（km）与所用的时 x（h）的关系如图所示 （1）甲乙两地之间的路程为 km；快车的速度为 km/h；慢车的速度为 km/h； （答案 直接填写在横线上） （2）求出发几小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）出发几小时快慢两车相距 150km 27 （1）
10、如图 1，O 是等边ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，且 OA3，OB4，OC5，将BAO 绕 点 B 顺时针旋转后得到BCD，连接 OD 求：旋转角的度数 ； 线段 OD 的长 ； 求BDC 的度数 （2）如图 2 所示，O 是等腰直角ABC（ABC90）内一点，连接 OA、OB、OC，将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD，连接 OD当 OA、OB、OC 满足什么条件时，ODC90？请给出证明 2020-2021 学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题
11、）小题） 1在 0，5，0.14 中，无理数是（ ） A0 B5 C D0.14 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答】解：在所列的 4 个数中，无理数是， 故选：C 2下列四组数中，是勾股数的是（ ） A5，12，13 B4，5，6 C2，3，4 D1， 【分析】利用勾股数定义进行分析即可 【解答】解：A、52+122132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； B、42+5262，不是勾股数，故此选项不合题意； C、22+3242，不
12、是勾股数，故此选项不合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：A 3一次函数 y2x+2 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论 【解答】解：一次函数 y2x+2 中，k20，b20， 此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限 故选：C 4某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10这组数据的平均数和 中位数分别是（ ） A8，8 B8.4，8 C8.4，8.4 D8，8.4 【分析】根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以 5
13、 即可；5 个数据的中位数是排序后的第三 个数 【解答】解：8，9，8，7，10 的平均数为（8+9+8+7+10）8.4 8，9，8，7，10 排序后为 7，8，8，9，10， 故中位数为 8 故选：B 5如图，表示的点落在（ ） A段 B段 C段 D段 【分析】根据数的平方以及算术平方根的定义，即可解答 【解答】解：2.626.76，2.727.29， 6.7677.29， 2.62.7， ， 故选：A 6下列图形中，不能代表 y 是 x 函数的是（ ） A B C D 【分析】根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即 可确定函数的个数 【解
14、答】解：A、满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意； B、满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意； C、不满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项符合题意； D、满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意； 故选：C 7已知 xy，则下列结论不成立的是（ ） Ax2y2 B2x2y C3x+13y+1 D 【分析】根据不等式的性质解答即可 【解答】解：A、由 xy，可得 x2y2，成立； B、由 xy，可得2x2y，不成立； C、由 xy，可得
15、 3x+13y+1，成立； D、由 xy，可得，成立； 故选：B 8如图，直线 ykx+b（b0）经过点（2，0） ，则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】观察函数图象得到即可 【解答】解：由图象可得：当 x2 时，kx+b0， 所以关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是 x2， 故选：D 9如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是点 A（3，0） 、点 B（1，2） 、点 C（3， 2） ，则到ABC 三个顶点距离相等的点的坐标是（ ） A （0，1） B （0，0） C （1，1） D （1，2） 【分析】根据线段垂直平分
16、线的性质解答即可 【解答】解：点 P 到ABC 三个顶点距离相等， 点 P 是线段 BC、AB 的垂直平分线的交点， 由图可知，点 P 的坐标为（1，2） ， 故选：D 10如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰 三角形，则满足条件的点 P 共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】分为三种情况：OAOP，APOP，OAOA，分别画出即可 【解答】解：以 O 为圆心，以 OA 为半径画弧交 x 轴于点 P 和 P，此时三角形是等腰三角形，即 2 个； 以 A 为圆心，以 OA 为半径画弧交 x 轴于点 P（O
17、 除外） ，此时三角形是等腰三角形，即 1 个； 作 OA 的垂直平分线交 x 轴于一点 P1， 则 APOP， 此时三角形是等腰三角形，即 1 个； 2+1+14， 故选：C 11 九章算术是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kun，门槛的意思）一尺，不合 二寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，从点 O 处推开双门，双门间 隙 CD 的长度为 2 寸，点 C 和点 D 到门槛 AB 的距离都为 1 尺（1 尺10 寸） ，则 AB 的长是（ ） A104 寸 B101 寸 C52 寸 D50.5 寸 【分析】取 AB 的中点 O，过
18、D 作 DEAB 于 E，根据勾股定理解答即可得到结论 【解答】解：取 AB 的中点 O，过 D 作 DEAB 于 E，如图 2 所示： 由题意得：OAOBADBC， 设 OAOBADBCr 寸， 则 AB2r（寸） ，DE10 寸，OECD1 寸， AE（r1）寸， 在 RtADE 中， AE2+DE2AD2，即（r1）2+102r2， 解得：r50.5， 2r101（寸） ， AB101 寸， 故选：B 12如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙分别由点 A（2，0）同时出发，沿矩 形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动
19、，物体乙按顺时针方向以 2 个单 位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2012 次相遇地点的坐标是（ ） A （2，0） B （1，1） C （2，1） D （1，1） 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的长宽分别为 4 和 2，物体乙是物体甲的速度的 2 倍， 求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答 【解答】解：方法一： 矩形的长宽分别为 4 和 2， 因为物体乙是物体甲的速度的 2 倍， 时间相同， 物体甲与物体乙的路程比为 1： 2，由题意知： 第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 121，物体甲行的路程为 124，物体乙行的路程为 128，在 BC 边相遇； 第二次相遇物体甲
20、与物体乙行的路程和为 122，物体甲行的路程为 1228，物体乙行的路程 为 12216，在 DE 边相遇； 第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 123，物体甲行的路程为 12312，物体乙行的路 程为 12324，在 A 点相遇； 此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， 201236702， 故两个物体运动后的第 2012 次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为 1228， 物体乙行的路程为 12216，在 DE 边相遇； 此时相遇点的坐标为： （1，1） ， 方法二： 设经过 t 秒甲、乙相遇，t+2t12， 解得：t4， 此时相遇点在（1，1） ，事实上，无
21、论从哪里起始，它们每隔 4 秒相遇一次， 所以，再过 4 秒，第二次在（1，1）相遇， 再过 4 秒，第三次在 A（2，0）相遇， 此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， 201236702， 故两个物体运动后的第 2012 次相遇地点的是：第二次相遇地点， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13在平面直角坐标系中，点 P（3，5）关于 x 轴对称的点的坐标是 （3，5） 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质进而得出答案 【解答】解：点 P（3，5）关于 x 轴对称的点的坐标是： （3，5） 故答案为： （3，5） 14不等式2x13 的解集是 x2 【
22、分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案 【解答】解：2x13， 则2x4， 解得：x2 故答案为：x2 15甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了 10 次，平均成绩均为 7.5 米，方差分别为 s甲 20.2，S 乙 20.08，成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” ） 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案 【解答】解：S甲 20.2，S 乙 2 0.08， S甲 2S 乙 2， 成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙 16等腰三角形的一个角为 40，则它的顶角为 40或 100 【分析】分 40角为底角和顶角两种情况求解即可 【解答】解： 当 40角为顶角时，则顶角
23、为 40， 当 40角为底角时，则顶角为 1804040100， 故答案为：40或 100 17 如图所示， 在ABC 中， C90， DE 垂直平分 AB， 交 BC 于点 E， 垂足为点 D， BE8， B15， 则 EC 的长为 【分析】根据三角形内角和定理求出BAC，根据线段垂直平分性质求出 BEAE8，求出EABB 15，求出EAC，根据含 30角的直角三角形性质求出即可 【解答】解：在ABC 中，ACB90，B15， BAC901575， DE 垂直平分 AB，BE8， BEAE8， EABB15， EAC751560， C90， AEC30， ACAE84， ECAC4， 故答案
24、为： 18如图，在平面直角坐标系中，ABO 的边 OB 在 x 轴上，OBA90，AOB30，AB3，点 C 是边 AB 的中点，点 D 在边 OB 上，且 ODOB，点 P 为边 OA 上的动点，当四边形 PDBC 周长最小 时，点 P 的横坐标为 【分析】作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P，则此时，四边形 PDBC 周长最小，根据直 角三角形的性质得到 OB3，求得 OD，推出EOD 是等边三角形，得到 E（，） ，求得 CEx 轴，于是得到结论 【解答】解：作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P， 则此时，四边形 PDBC 周长
25、最小， OBA90，AOB30，AB3， OB3， ODOB， OD， D，E 关于直线 OA 对称， EOAAOB30，OEOD， EOD60， EOD 是等边三角形， E（，） ， 点 C 是边 AB 的中点， C（3，） ， CEx 轴， 点 P 是 OA 的中点， 点 P 的横坐标为， 故答案为： 三解答题三解答题 19计算： （1）3+； （2） 【分析】 （1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用加减消元法则解方程组得出答案 【解答】解： （1）原式 ； （2）， +得：7x14， 解得：x2， 把 x2 代入得：22+3y7， 解得：y1， 原方程组的解为： 20解
26、不等式组：并写出它的整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 3x1x+5，得：x3， 解不等式x1，得：x1， 则不等式组的解集为1x3， 不等式组的整数解为 0、1、2 21如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 （1）在图 1 中，画一个顶点为格点、面积为 2 的正方形； （2）在图 2 中，仅用直尺，找一格点 D，满足以下两个条件： 点 D 到 CB、CA 的距离相等； 点 D 到点 A、C 的距离相等 （保留作图痕迹） 【分析】 （1）作出边长为的正方形即可 （2）线段 A
27、C 的垂直平分线与ABC 的角平分线的交点 D，即为所求作 【解答】解： （1）如图 1 所示：正方形 ABCD 即为所求； （2）如图 2，点 D 即为所求 22如图，ABC 为等腰三角形，ABAC，BD 分别平分ABC，CE 分别平分ACB，过点 A 分别作 BD、 CE 的垂线段，垂足为 D、E求证：ADAE 【分析】 由ABC 为等腰三角形， 根据其性质得到ABCACB， 由于 BD 平分ABC， CE 平分ACB， ABDACE，通过ADBAEC，得到结论 ADAE 【解答】解：ABAC， ABCACB， BD 平分ABC，CE 平分ACB， ABDABC，ACEACB， ABDAC
28、E， DE90， 在ADB 与AEC 中， ， ADBAEC， ADAE 23如图，在平面直角坐标系中，点 C（4，0） ，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且满足 OB2， OA1 （1）求点 A、B 的坐标及直线 AB 的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 D，使以点 B、C、D 为顶点的三角形的面积 SBCDSABC？若存在，请写 出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据 OA、OB 的长，即可得到点 A、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 AB 的解 析式； （2）先求得ABC 的面积，然后根据 SBCDSABC得到关于 x 的方程，解方程求
29、得 x 的值，即可求 得 D 的坐标 【解答】解： （1）OB2，OA1， A 的坐标为（1，0） ，B 的坐标为（0，2） ， 设 AB 的解析式为 ykx+2， 将 A 坐标代入得，0k+2， 解得 k2， 直线 AB 的解析式为 y2x+2； （2）存在， 设 D 的坐标为（x，0） ， A 的坐标为（1，0） ，B 的坐标为（0，2） ，点 C（4，0） ， AC5， ， ， ， 即， ， 或， D 的坐标为或 24某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时） ，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结 果，绘制出如图统计图 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中
30、学生人数为 40 人，扇形统计图中的 m 25 ； （2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是 7h ，平均数是 7h ； （3）该校共有 1600 名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足 8 小时的人数 【分析】 （1）根据睡眠 5 小时的人数和所占的百分比可以计算出本次接受调查的初中学生人数，再根据 条形统计图中的数据，即可计算出 m 的值； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到所调查的初中学生每天睡眠时间的众数和平均数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校初中学生每天睡眠时间不足 8 小时的人数 【解答】解： （1）本次接受调查的初中学生有：410%40（人）
31、 ， m%1040100%25%， 即 m 的值为 25， 故答案为：40，25； （2）由条形统计图可得，所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是 7h， n404810315， 平均数是：7（h） ， 故答案为：7h，7h； （3）16001080（人） ， 答：该校初中学生每天睡眠时间不足 8 小时的有 1080 人 25 某电器超市销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A、 B 两种型号的电风扇， 下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 销售收入 第一周 3 台 5 台 1800 元 第二周 4 台 10 台 3100 元 （进价、售价均保
32、持不变，利润销售收入进货成本） （1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最 多能采购多少台？ 【分析】 （1）设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元，根据 3 台 A 型号 5 台 B 型号的电扇 收入 1800 元，4 台 A 型号 10 台 B 型号的电扇收入 3100 元，列方程组求解； （2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇（30a）台，根据金额不多余 5400 元，列 不等式求解 【解答】解： （1）设 A、B 两种型号电风扇的
33、销售单价分别为 x 元、y 元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元； （2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇（30a）台 依题意得：200a+170（30a）5400， 解得：a10 答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时，采购金额不多于 5400 元 26 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发， 匀速而行， 快车到达乙地后停留 1h， 然后按原路原速返回， 快车比慢车晚 1h 到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程 y（km）与所用的时 x（h）的关系如图所示 （1）甲乙两地之间的路程为 420 km；
34、快车的速度为 140 km/h；慢车的速度为 70 km/h； （答案 直接填写在横线上） （2）求出发几小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）出发几小时快慢两车相距 150km 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以解答本题； （2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出出发几小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得出发几小时快慢两车相距 150km 【解答】解： （1）由图象可得， 甲乙两地之间的路程为 420km；快车的速度为 420（41）140（km/h） ；慢车的速度为 4204+（4 1）170（km/h） ， 故答案为
35、：420，140，70； （2）由图象和（1）可得，A 点坐标为（3，420） ，B 点坐标为（4，420） ， 由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等， 设出发 x 小时，两车距各自出发地的路程相等， 70 x2420140（x1） ， 解得， 答：出发小时后，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）由题意可得， 第一种情形：没有相遇前，相距 150km， 则 140 x+70 x+150420， 解得 x， 第二种情形：相遇后而快车没到乙地前，相距 150km， 140 x+70 x420150， 解得， 第三种情形：快车从乙往甲返回，相距 150km， 70 x140（x4）1
36、50， 解得， 由上可得，出发或或快慢两车相距 150km 27 （1）如图 1，O 是等边ABC 内一点，连接 OA、OB、OC，且 OA3，OB4，OC5，将BAO 绕 点 B 顺时针旋转后得到BCD，连接 OD 求：旋转角的度数 60 ； 线段 OD 的长 4 ； 求BDC 的度数 （2）如图 2 所示，O 是等腰直角ABC（ABC90）内一点，连接 OA、OB、OC，将BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD，连接 OD当 OA、OB、OC 满足什么条件时，ODC90？请给出证明 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得 BABC，ABC60，再根据旋转的性质得OBDABC 60，于是可
37、确定旋转角的度数为 60； 由旋转的性质得 BOBD，加上OBD60，则可判断OBD 为等边三角形，所以 ODOB4； 由BOD 为等边三角形得到BDO60，再利用旋转的性质得 CDAO3，然后根据勾股定理的 逆定理可证明OCD 为直角三角形，ODC90，所以BDCBDO+ODC150； （2）根据旋转的性质得OBDABC90，BOBD，CDAO，则可判断OBD 为等腰直角三角 形， 则 ODOB， 然后根据勾股定理的逆定理， 当 CD2+OD2OC2时， OCD 为直角三角形， ODC 90 【解答】解： （1）ABC 为等边三角形， BABC，ABC60， BAO 绕点 B 顺时针旋转后得
38、到BCD， OBDABC60， 旋转角的度数为 60； BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD， BOBD， 而OBD60， OBD 为等边三角形； ODOB4； BOD 为等边三角形， BDO60， BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD， CDAO3， 在OCD 中，CD3，OD4，OC5， 32+4252， CD2+OD2OC2， OCD 为直角三角形，ODC90， BDCBDO+ODC60+90150； （2）OA2+2OB2OC2时，ODC90理由如下： BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到BCD， OBDABC90，BOBD，CDAO， OBD 为等腰直角三角形， ODOB， 当 CD2+OD2OC2时，OCD 为直角三角形，ODC90， OA2+2OB2OC2， 当 OA、OB、OC 满足 OA2+2OB2OC2时，ODC90