湖北省襄阳市南漳县2020-2021学年九年级上期末考试数学试卷（含答案解析）

1、2020-2021 学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷 一选择题一选择题 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x+10 Bx230 Cy+x24 D+x22 2一元二次方程 x22x 的根是（ ） A0 B2 C0 和 2 D0 和2 3下列方程中，有实数根的是（ ） Ax2+10 B4x24x10 C3x2+4x+40 D4x25x+20 4要得到抛物线 y2（x4）2+1，可以将抛物线 y2x2（ ） A向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C向右平移 4

2、个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 5 在如图44的正方形网格中， MNP绕某点旋转一定的角度， 得到M1N1P1， 则其旋转中心可能是 （ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 6在平面直角坐标系中，点 A（2，1）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 7如图，O 中，弦 AB、CD 相交于 P，A40，APD75，则B（ ） A15 B40 C35 D75 8下列事件中，属于必然事件的是（ ） A2021 年阴历正月初一我县是下雨 B抛一枚硬币，正面

3、朝下 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 9半径等于 12 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A B C D 10我们定义一种新函数：形如 y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画 出了“鹊桥”函数 y|x22x3|的图象（如图所示） ，下列结论错误的是（ ） A图象具有对称性，对称轴是直线 x1 B当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大 C当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0 D当 x1 时，函数的最大值是 4 二填空题二填空题 11已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m0 的一个实数根为 1，那

4、么它的另一个实数根是 12解一元二次方程 x2+2x30 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方 程 13事件 A 发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每 5000 次事件 A 发生的次数是 14以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度 h（单位 m）与飞行时间 t（单位 s）之间具有函数关系：h20t5t2，那么球从 飞出到落地要用的时间是 15如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，BC2将ABC 绕点 C 旋转得到EDC，使点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F

5、，则图中CDF 的周长为 16如图，四边形 ABCD 是矩形，AB4，AD2，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 CD 于点 E， 交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积是 三解答题三解答题 17关于 x 的一元二次方程（a6）x28x+90 有实数根 （1）求 a 的最大整数值； （2）当 a 取最大整数值时，求出该方程两根 18某商品现在的售价为每件 60 元，每天可卖出 300 件市场调查发现：如果调整价格，每降价 1 元，每 天可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价既能使商品尽快卖出，又能使每天的利润达 到 6000 元？ 19学生甲与学生乙学习概率

6、初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有 6，8，10 三张扑克牌，学生乙手 中有 5，7，9 三张扑克牌，每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次获取的牌不 能放回 （1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况； （2）并求学生乙本局获胜的概率 20已知：过点 A（3，0）直线 l1：yx+b 与直线 l2：y2x 交于点 B抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 B （1）求点 B 的坐标； （2）如果抛物线 yax2+bx+c 经过点 A，求抛物线的表达式； （3）直线 x1 分别与直线 l1，l2交于 C，D 两点，当抛物线 yax2+bx+c 与线段 CD 有

7、交点时，求 a 的取值范围 21如图，将一个钝角ABC（其中ABC120）绕点 B 顺时针旋转得A1BC1，使得 C 点落在 AB 的 延长线上的点 C1处，连接 AA1 （1）写出旋转角的度数； （2）求证：A1ACC1 22如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 ACBC，判断四边形 OCED 的形状，并说明理由 23 某商店购进一批成本为每件 30 元的商品 经调查发现， 该商品每天的销售量 y （件） 与销售单价 x （元） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （

8、1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获 得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少 元？ 24 【问题背景】如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE， 连接 DC，BE，点 P 为 DC 的中点 【观察猜想】观察图 1，猜想线段 AP 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 （2） 【拓展探究】 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图

9、2 的位置， （1） 中的结论是否仍然成立， 若成立， 请证明：否则写出新的结论并说明理由 （3） 【问题解决】把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 DE4，BC8，请直接写出线段 AP 长的取 值范围 25如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的右侧） ，且与 y 轴交于点 C， 若 OAOC，一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根为 1 和 3，点 P 是该抛物线上的一动点，从点 C 沿抛物 线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PDy 轴，交 AC 于点 D （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当ADP 是直

10、角三角形时，求点 P 的坐标； （3）在题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平 行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷学年湖北省襄阳市南漳县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题一选择题 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x+10 Bx230 Cy+x24 D+x22 【分析】 根据一元二次方程的定义求解即可 一元二次方程必须满足两个条件： 未知数的最高次数是 2； 二次项系数不为 0 【解答】解：A、该方

11、程属于一元一次方程，故本选项不符合题意 B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意 C、该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意： D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意 故选：B 2一元二次方程 x22x 的根是（ ） A0 B2 C0 和 2 D0 和2 【分析】根据一元二次方程的特点，用提公因式法解答 【解答】解：移项得，x22x0， 因式分解得，x（x2）0， 解得，x10，x22， 故选：C 3下列方程中，有实数根的是（ ） Ax2+10 B4x24x10 C3x2+4x+40 D4x25x+20 【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可 【解答】解：A

12、此选项方程根的判别式0241140，此方程没有实数根； B此选项方程根的判别式（4）244（1）320，此方程有两个不相等的实数根； C此选项方程根的判别式42434320，此方程没有实数根； D此选项方程根的判别式（5）244270，此方程没有实数根； 故选：B 4要得到抛物线 y2（x4）2+1，可以将抛物线 y2x2（ ） A向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C向右平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶

13、点即可判断是如何平移得到 【解答】解：y2（x4）2+1 的顶点坐标为（4，1） ，y2x2的顶点坐标为（0，0） ， 将抛物线 y2x2向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，可得到抛物线 y2（x4）2+1 故选：C 5 在如图44的正方形网格中， MNP绕某点旋转一定的角度， 得到M1N1P1， 则其旋转中心可能是 （ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】连接 PP1、NN1、MM1，分别作 PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点 就是旋转中心 【解答】解：MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1， 连接 PP1、NN1、MM1， 作

14、PP1的垂直平分线过 B、D、C， 作 NN1的垂直平分线过 B、A， 作 MM1的垂直平分线过 B， 三条线段的垂直平分线正好都过 B， 即旋转中心是 B 故选：B 6在平面直角坐标系中，点 A（2，1）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点 B 的坐标 【解答】解：点 A 坐标为（2，1） ， 点 B 的坐标为（2，1） 故选：B 7如图，O 中，弦 AB、CD 相交于 P，A40，APD75，则B（ ） A15 B40 C35 D75 【分析】利用三角

15、形的外角的性质求出C，再利用圆周角定理即可解决问题 【解答】解：APDA+C， 又A40，APD75， CAPDA754035， BC35 故选：C 8下列事件中，属于必然事件的是（ ） A2021 年阴历正月初一我县是下雨 B抛一枚硬币，正面朝下 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此进行判断即可 【解答】解：A2021 年阴历正月初一我县是下雨，是随机事件，不合题意； B抛一枚硬币，正面朝下，是随机事件，不合题意； C购买一张福利彩票中奖了，是随机事件，不合题意； D掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必

16、然事件，符合题意； 故选：D 9半径等于 12 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） A B C D 【分析】先根据勾股定理求出弦的一半，再求出弦长即可 【解答】解：如图，OA12，则 OC6， 根据勾股定理可得，弦的一半6， 弦12 故选：B 10我们定义一种新函数：形如 y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画 出了“鹊桥”函数 y|x22x3|的图象（如图所示） ，下列结论错误的是（ ） A图象具有对称性，对称轴是直线 x1 B当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大 C当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0 D当 x1 时，函数的最

17、大值是 4 【分析】 观察图象， 分别计算出对称轴、 函数图象与 x 轴的交点坐标， 结合图象逐个选项分析判断即可 【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线 x1，故 A 正确； 令|x22x3|0 可得 x22x30， （x+1） （x3）0， x11，x23， （1，0）和（3，0）是函数图象与 x 轴的交点坐标， 又对称轴是直线 x1， 当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，故 B 正确； 由图象可知（1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0，故 C 正确； 由图象可知，当 x1 时，函数值随 x 的减小而增大

18、，当 x3 时，函数值随 x 的增大而增大，均存在 大于顶点坐标的函数值， 故当 x1 时的函数值 4 并非最大值，故 D 错误 综上，只有 D 错误 故选：D 二填空题二填空题 11已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m0 的一个实数根为 1，那么它的另一个实数根是 2 【分析】设方程的另一个根为 t，根据根与系数的关系得到 1+t1，然后求出 t 即可 【解答】解：设方程的另一个根为 t， 根据题意得 1+t1，解得 t2， 即方程的另一个根为2 故答案为2 12解一元二次方程 x2+2x30 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 x 10 或 x+30 【分析

19、】把方程左边分解，则原方程可化为 x10 或 x+30 【解答】解： （x1） （x+3）0， x10 或 x+30 故答案为 x10 或 x+30 13事件 A 发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每 5000 次事件 A 发生的次数是 200 【分析】根据概率的意义解答即可 【解答】解：事件 A 发生的概率为，大量重复做这种试验， 则事件 A 平均每 100 次发生的次数为：5000200 故答案为：200 14以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度 h（单位 m）与飞行时间 t（单位 s）之间具有函数关

20、系：h20t5t2，那么球从 飞出到落地要用的时间是 4s 【分析】根据函数关系式，当 h0 时，020t5t2，解方程即可解答 【解答】解：当 h0 时，020t5t2， 解得：t10，t24， 则小球从飞出到落地需要 4s 故答案为：4s 15如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，BC2将ABC 绕点 C 旋转得到EDC，使点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F，则图中CDF 的周长为 3+ 【分析】先根据已知条件求出 AC 的长及B 的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理 判断出BCD 的形状，进而得出DCF 的度数，由直角三角形的性质可判断出 DF

21、 是ABC 的中位线， 求出 DF1，CF，则可求出答案 【解答】解：ABC 是直角三角形，ACB90，A30，BC2， B60，AB2BC4，AC2， EDC 是ABC 旋转而成， BCCDBDAB2， B60， BCD 是等边三角形， BCD60， DCF30，DFC90， 即 DEAC， DEBC， BDAB2， DF 是ABC 的中位线， DFBC21，CFAC2， DCF 的周长为 DC+DF+CF2+1+3+ 故答案为：3+ 16如图，四边形 ABCD 是矩形，AB4，AD2，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 CD 于点 E， 交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面

22、积是 88 【分析】根据题意可以求得BAE 和DAE 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积 与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形 EAF 与ADE 的面积之差的和，本题得以解决 【解答】解：连接 AE， ADE90，AEAB4，AD2， sinAED， AED45， EAD45，EAB45， ADDE2， 阴影部分的面积是： （4）+（） 88， 故答案为：88 三解答题三解答题 17关于 x 的一元二次方程（a6）x28x+90 有实数根 （1）求 a的最大整数值； （2）当 a 取最大整数值时，求出该方程两根 【分析】 （1）由关于 x 的一元二次方程（a6）x28x+9

23、0 有实数根，则 a60，且0，即 （8）24（a6）928036a0，解不等式得到 a 的取值范围，最后确定 a 的最大整数值； （2）将 a 的最大整数值代入（a6）x28x+90，即可求出该方程两根 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程（a6）x28x+90 有实数根， a60，且0，即（8）24（a6）928036a0，解得 a7， a 的取值范围为 a7且 a6， 所以 a 的最大整数值为 7； （2）将 a7 代入（a6）x28x+90，得 x28x+90， 643628， x4 18某商品现在的售价为每件 60 元，每天可卖出 300 件市场调查发现：如果调整价格，每降价

24、 1 元，每 天可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，如何定价既能使商品尽快卖出，又能使每天的利润达 到 6000 元？ 【分析】设每件降价 a 元，则每件的利润是（6040a）元，所售件数是（300+20a）件，根据利润 每件的利润所售的件数，列出方程并解答 【解答】解：设每件降价 a 元， 则（6040a） （300+20a）6000 整理，得20a2+100a+60006000 解得 a10（舍去） ，a25 所以定价为 55 元/件时，每天的利润达到 6000 元 答：定价为 55 元/件时，每天的利润达到 6000 元 19学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：

25、学生甲手中有 6，8，10 三张扑克牌，学生乙手 中有 5，7，9 三张扑克牌，每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次获取的牌不 能放回 （1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况； （2）并求学生乙本局获胜的概率 【分析】 （1）根据题意可以写出所有的可能性； （2）根据（1）中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题 【解答】解： （1）由题意可得， 每人随机取手中的一张牌进行比较的所有情况是： （6，5） 、 （6，7） 、 （6，9） 、 （8，5） 、 （8，7） 、 （8，9） 、 （10，5） 、 （10，7） 、 （10，9） ； （2

26、）学生乙获胜的情况有： （6，7） 、 （6，9） 、 （8，9） ， 学生乙本局获胜的概率是：， 即学生乙本局获胜的概率是 20已知：过点 A（3，0）直线 l1：yx+b 与直线 l2：y2x 交于点 B抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 B （1）求点 B 的坐标； （2）如果抛物线 yax2+bx+c 经过点 A，求抛物线的表达式； （3）直线 x1 分别与直线 l1，l2交于 C，D 两点，当抛物线 yax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入直线 l1，求出其函数表达式，联立直线 l1、l2表达式成方程组，解方程 组即可得出

27、点 B 的坐标； （2）设抛物线 yax2+bx+c 的顶点式为 ya（xh）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出 ya（x1）2 2，再根据点 C 的坐标利用待定系数法即可得出结论； （3）根据两直线相交，求出点 C、D 的坐标，将其分别代入 ya（x1）22 中求出 a 的值，由此即 可得出抛物线 yax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，a 的取值范围 【解答】解： （1）将 A（3，0）代入直线 l1：yx+b 中， 03+b，解得：b3， 直线 l1：yx3 联立直线 l1、l2表达式成方程组， ，解得：， 点 B 的坐标为（1，2） （2）设抛物线 yax2+bx+c 的顶点式为

28、ya（xh）2+k， 抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 B（1，2） ， ya（x1）22， 抛物线 yax2+bx+c 经过点 A， a（31）220，解得：a， 抛物线的表达式为 y（x1）22 （3）直线 x1 分别与直线 l1，l2交于 C、D 两点， C、D 两点的坐标分别为（1，4） ， （1，2） ， 当抛物线 yax2+bx+c 过点 C 时，a（11）224， 解得：a； 当抛物线 yax2+bx+c 过点 D 时，a（11）222， 解得：a1 当抛物线 yax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，a 的取值范围为a1 且 a0 21如图，将一个钝角ABC（其中ABC1

29、20）绕点 B 顺时针旋转得A1BC1，使得 C 点落在 AB 的 延长线上的点 C1处，连接 AA1 （1）写出旋转角的度数； （2）求证：A1ACC1 【分析】 （1）CBC1即为旋转角，其中ABC120，所以，CBC1180ABC； （2）由题意知，ABCA1BC1，易证A1AB 是等边三角形，得到 AA1BC，继而得出结论； 【解答】 （1）解：ABC120， CBC1180ABC18012060， 旋转角为 60； （2）证明：由题意可知：ABCA1BC1， A1BAB，CC1， 由（1）知，ABA160， A1AB 是等边三角形， BAA160， BAA1CBC1， AA1BC（同

30、位角相等，两直线平行） ， A1ACC（两直线平行，内错角相等） ， A1ACC1 22如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 ACBC，判断四边形 OCED 的形状，并说明理由 【分析】 （1）连接 OD、CD，结合 AC 为直径可得到CDB90，E 为中点，可得到 EDCE，再利用 角的和差可求得ODE90，可得 DE 为切线； （2）由条件可得ODAA45，可求得CODODEACB90，且 OCOD，可知四边 形 ODEC 为正方形 【解答】 （1）证明：如图，连接

31、OD、CD， OCOD， OCDODC， AC 为O 的直径， CDB90， E 为 BC 的中点， DECE， ECDEDC， OCD+ECDODC+EDC90， ODEACB90， 即 ODDE， 又D 在圆 O 上， DE 与圆 O 相切； （2）解：若 ACBC，四边形 ODEC 为正方形， 理由： ACBC，ACB90， A45， OAOD， ODAA45， CODA+ODA90， 四边形 ODEC 中，CODODEACB90，且 OCOD， 四边形 ODEC 为正方形 23 某商店购进一批成本为每件 30 元的商品 经调查发现， 该商品每天的销售量 y （件） 与销售单价 x （元

32、） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获 得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少 元？ 【分析】 （1）将点（30，100） 、 （45，70）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得 w（x30） （2x+160）2（x55）2+1250，即可求解； （3）由题意得（x30） （2x+160）800，解不等式即可得到结论 【解答】解：

33、 （1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为：ykx+b， 将点（30，100） 、 （45，70）代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：y2x+160； （2）由题意得：w（x30） （2x+160）2（x55）2+1250， 20，故当 x55 时，w 随 x 的增大而增大，而 30 x50， 当 x50 时，w 有最大值，此时，w1200， 故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元； （3）由题意得： （x30） （2x+160）800， 解得：40 x70， 销售单价最多为 70 元 24 【问题背景】如图，在 RtABC 中，B

34、AC90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE， 连接 DC，BE，点 P 为 DC 的中点 【观察猜想】观察图 1，猜想线段 AP 与 BE 的数量关系是 APBE ，位置关系是 PABE （2） 【拓展探究】 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， （1） 中的结论是否仍然成立， 若成立， 请证明：否则写出新的结论并说明理由 （3） 【问题解决】把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 DE4，BC8，请直接写出线段 AP 长的取 值范围 【分析】 （1）如图 1 中，设 PA 交 BE 于点 O证明DACEAB（SAS） ，结合直角三角形斜边中线的 性质

35、即可解决问题 （2）结论成立如图 2 中，延长 AP 到 J，使得 PJPA，连接 JC延长 PA 交 BE 于 O证明EAB JCA（SAS） ，即可解决问题 （3）利用三角形的三边关系求出 AJ 的取值范围，即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，设 PA 交 BE 于点 O ADAE，ACAB，DACEAB， DACEAB（SAS） ， BECD，ACDABE， DAC90，DPPC， PACDPCPD， PABECPAE， CAP+BAO90， ABO+BAO90， AOB90， PABE， 故答案为：APBE，PABE （2）结论成立 理由：如图 2 中，延长 AP 到 J，

36、使得 PJPA，连接 JC延长 PA 交 BE 于 O PAPJ，PDPC，APDCPJ， APDJPC（SAS） ， ADCJ，ADPJCP， ADCJ， DAC+ACJ180， BACEAD90， EAB+DAC180， EABACJ， ABAC，AEADCJ， EABJCA（SAS） ， BEAJ，CAJABE， PAAJ， PABE， CAJ+BAO90， ABE+BAO90， AOB90， PABE （3）AED，ABC 都是等腰三角形，DE4，BC8， ADAE2，ACAB4 由（2）可知 CJAD2，AC4， 42AJ4+2， 2AJ6， AJ2AP， PA3 25如图，已知抛物

37、线 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的右侧） ，且与 y 轴交于点 C， 若 OAOC，一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根为 1 和 3，点 P 是该抛物线上的一动点，从点 C 沿抛物 线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合） ，过点 P 作 PDy 轴，交 AC 于点 D （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）在题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平 行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先求出点

38、 C 坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解 【解答】解： （1）一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根为 1 和 3， OAOC3，OB1， 点 C（0，3） ， 设二次函数的表达式 ya（x1） （x3） ， a（01） （03）3， a1， y（x1） （x3） ， 抛物线解析式为：yx24x+3； （2）分两种情况： 如图 1，当点 P1为直角顶点时，点 P1与点 B 重合，则 P1（1，0） ， 如图 2，当点 A 为APD2的直角顶点， OAOC，AOC90， OAD245， 当D2AP290时

39、，OAP245， AO 平分D2AP2 又P2D2y 轴， P2D2AO， 点 P2，D2关于 x 轴对称， 设直线 AC 的函数关系式为 ykx+b 由题意得：， ， 直线 AC 的解析式为：yx+3， D2在 yx+3 上，P2在 yx24x+3 上， 设 D2（x，x+3） ，P2（x，x24x+3） ， （x+3）+（x24x+3）0， x25x+60， x12，x23（舍） ， 当 x2 时，yx24x+32242+31， P2的坐标为 P2（2，1） ， 综上所得 P 点坐标为 P1（1，0） ，P2（2，1） ； （3）分两种情况考虑： 以 AP 为边构造平行四边形，平移直线 AP 交 x 轴于点 E，交抛物线于点 F， 点 P 的坐标为（2，1） ， 设点 F 的坐标为（x，1） ， x24x+31，解得：x12，x22+， 点 F 的坐标为（2，1）和（2+，1） ； 以 AP 为对角线进行构造平行四边形， 点 A，E 的纵坐标为 0， 点 F 的纵坐标为1，此时点 P，F 重合， 不存在这种情况，舍去 综上所述，符合条件的 F 点有两个，即（2，1）和（2+，1）