1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年江苏省扬州市高考数学调研试卷（年江苏省扬州市高考数学调研试卷（2 月份） （一模）月份） （一模） 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 Ax|x240，Bx|log3x1，则 AB（ ） A （2，3） B （2，2） C （0，3） D （0，2） 2 （5 分）已知复数 = 3+ 13，其中 i 为虚数单位，则|z|（ ） A1 4 B1 2 C1
2、D2 3 （5 分） 已知向量 ， 满足| |2， = （1， 1） ， = 2， 则 cos ， + = （ ） A1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 4 （5 分）如图，我国古代算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁上面 2 颗 叫上珠，上珠每颗代表数值 5，下面 5 颗叫下珠，下珠每颗代表数值 1，现从某一档的 7 颗算珠中任取 4 颗（这 4 颗算珠最小表示数值 4，最大表示数值 12） ，则所取的算珠表示 的数值是 8 的概率为（ ） A5 7 B4 7 C3 7 D2 7 5 （5 分）已知点 F 是抛物线 x22py（p0）的焦点，O 为坐标原点，若以 F
3、为圆心，|FO| 为半径的圆与直线3xy+30 相切，则抛物线的准线方程为（ ） Ay1 By= 23 3 Cy2 Dy= 2 6 （5 分）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，它是世界数学史上 光辉的一页，定理涉及的是整除问题现有这样一个整除问题：将 2 到 2021 这 2020 个 整数中被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数、按从小到大的顺序排成一列构成数列an，那么 此数列的项数为（ ） A133 B134 C135 D136 7（5 分） 已知 0， ， 4 ， 4， 且 3cos0， ( 2 2)3 2 = 0， 第 2 页（共 20 页） 若 = 4 5
4、，则 tan（ ） A1 2 B1 3 C3 D3 8 （5 分）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式 = 3 3! + 5 5! 7 7! + + (1);1 21 (21)! + ， （其中 xR，nN*，n！123n 0！1） ，现用上述公 式求1 1 2! + 1 4! 1 6! + + (1);1 1 (22)! + 的值，下列选项中与该值最接近的是 （ ） Asin30 Bsin33 Csin36 Dsin39 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符
5、合题目要求的全部选对的得有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）在( 1 ) 7的展开式中，下列说法正确的有（ ） A所有项的二项式系数和为 128 B所有项的系数和为 0 C系数最大的项为第 4 项和第 5 项 D存在常数项 10 （5 分）已知 x0，y0，且 2x+y2，则下列说法中正确的（ ） Axy 的最大值为1 2 B4x2+y2的最大值为 2 C4x+2y的最小值为 4 D2 + 的最小值为 4 11 （5 分）已知函数 f（x）|sinx|+3|cosx|，则下列说法中正确的有（ ）
6、A函数 f（x）的值域为1，2 B直线是 = 6函数 f（x）图象的一条对称轴 C函数 f（x）的最小正周期为 D函数 f（x）在9 10 ， 10 9 上是增函数 12 （5 分）我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥） ” ，而与其所有棱 都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥） ”的棱长都为 1，则下列说法中正确的 有（ ） A正方体的棱切球的半径为2 第 3 页（共 20 页） B正四面体的棱切球的表面积为 2 C等长正六棱柱的棱切球的体积为4 3 D等长正四棱锥的棱切球被棱锥 5 个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为7 12 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题
7、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知一个圆锥的侧面积为 6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积 为 14 （5 分）已知 XN（，2） ，且 P（X0）+P（X2）1，则 15 （5 分）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳 与这颗彗星的距离分别是 6（亿千米）和 3（亿千米）的时候，这颗彗星与太阳的连线所 在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为 2 和 3 ，则这颗彗星与太阳的最近距离 是 16 （5 分）已知函数 ykx+b 与函数 yex 1e1x 的图象交于 A，B，C，且|AB| |BC|= 2
8、+ 1 2 1，则实数 k 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知平面四边形 ABCD 中，ABDC，BAC= 4，ABC= 3，AB= 3 +1， BD= 7 （1）求 BC 的长； （2）求BCD 的面积 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11， 条件：an+1an+2n 1；条件：S n+1an+1 请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2a
9、2n+1，记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 19 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABD 与BCD 都为等边三角形，平面 ABD 平面 BCD，M，O 分别为 AB，BD 的中点，AODMG，N 在棱 CD 上且满足 2CN ND，连接 MC，GN （1）证明：GN平面 ABC； （2）求直线 AC 和平面 GND 所成角的正弦值 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分） 某研究性学习小组收集了某网络销售平台近五年 “双十一” 当天成交额的数据， 并制成如下表格： 年份 x 2015 2016 2017 2018 2019 成交额 y（百亿元） 9 12 17 2
10、1 27 （1）小组成员小明准备用线性模型 = x+ 刻画 y 与 x 的关系，请帮助小明求出线性方 程；参考公式：线性回归方程 = + 中的 = =1 ()() =1 ()2 ， = （2）小组成员小王收集了更多的数据信息，借助计算机整理得到图： 第 5 页（共 20 页） 小王提出，从图上来看，刻画 y 与 x 的关系选用线性模型明显不合理，而二次函数 y ax2+bx+c（a，b，cR，a0）模型或指数函数模型 yabx+c（a，b，cR，b0，b 1）均有可能已知中国人均可支配收入 y1与中国互联网用户人均该平台消费额 y2呈正 线性相关，请你依据图表中的信息，帮助小王选择一个合理的函
11、数模型，并简要说明理 由（不需要求出 a，b，c） （3） “双十一” 活动中， 顾客可以享受优惠 也可能会冲动消费， 导致所购物品闲置 （闲 置物品全部在某二手平台上以原价的 50%售出） 某商户对标价 100 元的某种商品采取了 3 种销售形式促销： 普通购物， 秒杀购物， 直播购物 该小组收集了相关信息整理得下表： 普通购物 秒杀购物 直播购物 销售量占比 70% 10% 20% 折扣率 5% 20% 15% 所购物品闲置率 20% 40% 30% 用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？ 注：折扣率= 标价售价 标价 100%；所购物品闲置率= 所购物品闲置总额
12、所购物品购买总数 100% 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x2+mx+m2） ，g（x）ax2+x+axlnx （1）若函数 f（x）在 x1 处取极小值，求实数 m 的值； （2）设 m0，若对任意 x（0，+） ，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的值 22 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0，0)的离心率为 2 2 ，右准线方程为 x22 （1）求椭圆方程； （2）P（0，1） ，A、B 为椭圆的左、右顶点，过 A 作斜率为 k1的直线交椭圆于 E，连接 EP 并延长交椭圆于 F，记直线 BF 的斜率为 k2，若 k13k2，求直线 EF 的方程
13、第 6 页（共 20 页） 2021 年江苏省扬州市高考数学调研试卷（年江苏省扬州市高考数学调研试卷（2 月份） （一模）月份） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 Ax|x240，Bx|log3x1，则 AB（ ） A （2，3） B （2，2） C （0，3） D （0，2） 【解答】解：Ax|2x2，Bx|0 x3， AB（0，2） 故选：D
14、 2 （5 分）已知复数 = 3+ 13，其中 i 为虚数单位，则|z|（ ） A1 4 B1 2 C1 D2 【解答】解：因为复数 = 3+ 13， 所以|z|= |3+| |13| = 3+1 1+3 =1 故选：C 3 （5 分） 已知向量 ， 满足| |2， = （1， 1） ， = 2， 则 cos ， + = （ ） A1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 【解答】解：cos ， + = (+ ) | |+ |= 2+ 2 2+2 +2 = 42 244+2 = 2 2 故选：C 4 （5 分）如图，我国古代算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁上面 2 颗 叫
15、上珠，上珠每颗代表数值 5，下面 5 颗叫下珠，下珠每颗代表数值 1，现从某一档的 7 颗算珠中任取 4 颗（这 4 颗算珠最小表示数值 4，最大表示数值 12） ，则所取的算珠表示 的数值是 8 的概率为（ ） 第 7 页（共 20 页） A5 7 B4 7 C3 7 D2 7 【解答】解：现从某一档的 7 颗算珠中任取 4 颗（这 4 颗算珠最小表示数值 4，最大表示 数值 12） ， 基本事件总数 n= 7 4 =35， 所取的算珠表示的数值是 8 包含的基本事件个数 m= 2 153 =20， 则所取的算珠表示的数值是 8 的概率为 P= = 20 35 = 4 7 故选：B 5 （5
16、 分）已知点 F 是抛物线 x22py（p0）的焦点，O 为坐标原点，若以 F 为圆心，|FO| 为半径的圆与直线3xy+30 相切，则抛物线的准线方程为（ ） Ay1 By= 23 3 Cy2 Dy= 2 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 F（0， 2） ，半径 r= 2， 由题意 2 = |3; 2| 2 ，解得：p2， 所以抛物线的方程为：x24y， 所以准线的方程为：y1， 故选：A 6 （5 分）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，它是世界数学史上 光辉的一页，定理涉及的是整除问题现有这样一个整除问题：将 2 到 2021 这 2020 个 整数中被 3 除余
17、1 且被 5 除余 1 的数、按从小到大的顺序排成一列构成数列an，那么 此数列的项数为（ ） A133 B134 C135 D136 【解答】解：根据题意，设所求数列为 an， 被 3 除余 1 的整数为 1，4，7， 被 5 除余 1 的整数为 1，6，11， 则数列 an 为 16、31、46、61、， 所以，数列 an 为等差数列，且首项为 a116，公差为 d15， 所以，ana1+（n1）d16+15（n1）15n+1， 在 2 到 2021 这 2020 个整数中，最大的数为 2011，则有 201115n+1，解可得 n134， 故此数列共 134 项， 第 8 页（共 20
18、页） 故选：B 7（5 分） 已知 0， ， 4 ， 4， 且 3cos0， ( 2 2)3 2 = 0， 若 = 4 5，则 tan（ ） A1 2 B1 3 C3 D3 【解答】解：0， 4 ， 4，且 3cos0，设 f（x）x3cosx， 则 f（）3x2+sinx0，故函数 f（x）在0，上单调递增，且 是 f（x）的一个零 点 ( 2 2)32sincos0，即 ( 2 2)3cos（ 2 2）0 根据 2 20，故 2 2 也是 f（x）的一个零点，= 2 2， coscos（ 2 2 ）sin2= 2 2+2 = 2 2+1 = 4 5， tan= 1 2，或 tan2（舍去）
19、 ， 故选：A 8 （5 分）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式 = 3 3! + 5 5! 7 7! + + (1);1 21 (21)! + ， （其中 xR，nN*，n！123n 0！1） ，现用上述公 式求1 1 2! + 1 4! 1 6! + + (1);1 1 (22)! + 的值，下列选项中与该值最接近的是 （ ） Asin30 Bsin33 Csin36 Dsin39 【解答】解：因为 = 3 3! + 5 5! 7 7! + + (1);1 21 (21)! + ， 则（sinx）cosx， （ 3 3! + 5 5! 7 7! + + (1);1 21 (22)! +
20、 ）= 1 2 2! + 4 4! 6 6! + + (1);1 22 (22)!， 当 x1 时，则有 cos1= 1 1 2! + 1 4! 1 6! + + (1);1 1 (22)! + ， 又 cos1sin（ 2 1） ，则1 1 2! + 1 4! 1 6! + + (1);1 1 (22)! + =sin（ 2 1） sin0.57sin（0.57 (180 )）sin32.7sin33 故选：B 第 9 页（共 20 页） 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选
21、项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）在( 1 ) 7的展开式中，下列说法正确的有（ ） A所有项的二项式系数和为 128 B所有项的系数和为 0 C系数最大的项为第 4 项和第 5 项 D存在常数项 【解答】解：选项 A：所有项的二项式系数和为 27128，故 A 正确； 选项 B：令 x1，则（x 1 ) 70，所以所有项的系数的和为 0，故 B 正确； 选项 C：二项式的展开式的通项为 T :1= 7 7;(1 ) = 7 (1)7;2， 第四项为 T
22、4= 7 3(1)3 = 73，第五项为 T 5= 7 4(1)4;1 = 7 4 1 ， 显然第五项的系数最大，故 C 错误； 选项 D：令 72r0，解得 r= 7 2 ，故不存在常数项，故 D 错误； 故选：AB 10 （5 分）已知 x0，y0，且 2x+y2，则下列说法中正确的（ ） Axy 的最大值为1 2 B4x2+y2的最大值为 2 C4x+2y的最小值为 4 D2 + 的最小值为 4 【解答】解：x0，y0，且 2x+y2， 由基本不等式得，22x+y 22，当且仅当 2xy 且 2x+y2，即 y1，x= 1 2时取等 号， 解得，xy 1 2，此时 xy 取得最大值 1
23、2，A 正确； 4x2+y2 （2x+y） 24xy44xy422， 当且仅当 2xy 且 2x+y2， 即 y1， x=1 2时取 等号， 此时 4x2+y2的最小值 2，B 错误； 4x+2y 24 2= 222:=4，当且仅当 2xy 且 2x+y2，即 y1，x= 1 2时取等号， 此时 4x+2y的最小值 4，C 正确； 第 10 页（共 20 页） 2 + = 2: + =2+ + 2 + 2 =4， 当且仅当 = 且 2x+y2 即 xy= 2 3时取等号，此时 2 + 取得最小值 4，D 正确 故选：ACD 11 （5 分）已知函数 f（x）|sinx|+3|cosx|，则下列
24、说法中正确的有（ ） A函数 f（x）的值域为1，2 B直线是 = 6函数 f（x）图象的一条对称轴 C函数 f（x）的最小正周期为 D函数 f（x）在9 10 ， 10 9 上是增函数 【解答】解：函数 f（x）|sinx|+3|cosx|， 当 x 0， 2时，f（x）sinx+3 =2( + 3)， 当 x= 6时，f（ 6）2，故 B 正确； 当 x 2 ，时，() = 2( 3)，正好一个周期，当 x= 2时 f（ 2）1，即函数的最 小值， 所以函数的值域为1，2，故 A 正确； 所以 f（x+）|sin（x+）|+3|cos（x+）|sinx|+3| | =|sinx|+3|co
25、sx|f （x） ，故函数 f（x）的最小正周期为 ，故 C 正确； 根据函数的关系式当 x 9 10 ，时， 函数() = 2( 3)为单调递减函数， 故 D 错误 故选：ABC 12 （5 分）我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥） ” ，而与其所有棱 都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥） ”的棱长都为 1，则下列说法中正确的 有（ ） A正方体的棱切球的半径为2 B正四面体的棱切球的表面积为 2 C等长正六棱柱的棱切球的体积为4 3 D等长正四棱锥的棱切球被棱锥 5 个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为7 12 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：正方体的
26、棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长度为 2 2 ，故 A 错误； 如图，四面体 ABCD 为棱长为 1 的正四面体， 取 AD 中点 E，BC 中点 F，连接 EF，则 EF 为其棱切球的直径， BECE= 3 2 ，则 EF=( 3 2 )2 (1 2) 2 = 2 2 ，则其棱切球的半径为 2 4 ， 棱切球的表面积为4 ( 2 4 )2= 2，故 B 正确； 如图，为等长正六棱柱， 其棱切球的半径为棱锥的棱长 1，则其棱切球的体积为4 3 13= 4 3 ，故 C 正确； 由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 (1 2)
27、2 = 4， 每一个侧面正三角形的内切圆的半径 r 满足3 2 = 1 2 1 1 3 2 ，则 r= 3 6 ， 四个侧面三角形的内切圆的面积为4 ( 3 6 )2= 3， 则等长正四棱锥的棱切球被棱锥 5 个面 （侧面和底面） 截得的截面面积之和为 4 + 3 = 7 12， 故 D 正确 故选：BCD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知一个圆锥的侧面积为 6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 3 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：设圆锥底面圆半径为 r，母线长为 l， 由侧面展开
28、图是一个半圆，所以 2rl，解得 l2r， 所以圆锥的侧面积为 rl2r26，解得 r= 3， 所以圆锥的高为 h= 22=(23)2(3)2=3， 则此圆锥的体积为 V= 1 3r 2h=1 3 (3)233 故答案为：3 14 （5 分）已知 XN（，2） ，且 P（X0）+P（X2）1，则 1 【解答】解：P（X0）+P（X2）1， 又 P（X2）+P（X2）1， P（X0）P（X2） ， 正态分布曲线的对称轴 1 故答案为：1 15 （5 分）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳 与这颗彗星的距离分别是 6（亿千米）和 3（亿千米）的时候，这颗彗星与太阳
29、的连线所 在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为 2和 3，则这颗彗星与太阳的最近距离是 2 【解答】解：如右图，设|PF|6，|QF|3， PFO90，QFO60， 设双曲线的方程为 2 2 2 2 =1（a0，b0） ，双曲线的半焦距为 c， 由 xc 可得 yb 2 2 1 = 2 ， 可得 2 =6， 又 Q（c3cos60，3sin60） ，即（c 3 2， 33 2 ） ， 代入双曲线的方程可得 (;3 2) 2 2 (33 2 )2 2 =1， 又 c2a2+b2， 由可得 c= 13 8 + 3 4， 再由 c2a2+b2a2+6a， 第 13 页（共 20 页） 化为 35a
30、276a+120， 解得 a2 或 a= 6 35（因为 c 3 20，故舍去） ， 所以 a2，c4， 则这颗彗星与太阳的最近距离是 ca2 故答案为：2 16 （5 分）已知函数 ykx+b 与函数 yex 1e1x 的图象交于 A，B，C，且|AB| |BC|= 2+ 1 2 1，则实数 k e 1 【解答】解：因为 f（x）exe x，f（x）exex， 所以 f（x）f（x） ， 所以 f（x）为奇函数，图像关于原点对称，且为增函数， f（x）exe x 向右平移1个单位长度 yex 1e1x， 所以函数 f（x）exe x 的图像关于点（1，0）对称， 由题意可得，直线 ykx+b
31、 过点（1，0） ， 所以 k+b0，即 bk， 所以直线为 ykxk， 设 A（x，y） ，则 kxkex 1e1x， 又|AB|BC|= 2+ 1 2 1， 所以（x1）2+（kxk）2e2+ 1 2 1， 所以（k2+1） （x1）2e2+ 1 2 1， 第 14 页（共 20 页） 平方得 k2（x1）2e2 （x1）+e2（1x）2， 由得 x2， 所以 k2+1e2+ 1 2 1， 所以 k2e2+ 1 2 2（e 1 ） 2， 所 ke 1 故答案为：e 1 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答时
32、应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知平面四边形 ABCD 中，ABDC，BAC= 4，ABC= 3，AB= 3 +1， BD= 7 （1）求 BC 的长； （2）求BCD 的面积 【解答】 解： （1） 因为在ABC 中， BAC= 4， ABC= 3， AB= 3 +1， 则ACB= 5 12， 由正弦定理 = ，可得 BC= = (3+1) 4 5 12 = (3+1) 4 6+2 4 =2 （2）因为 ABDC，所以BCD= 2 3 ， 在BCD 中，由余弦定理 BD2BC2+CD22BCCDcosBCDCD2+2CD+4， 可得 CD2+2CD+47，即 CD2
33、+2CD30，解得 CD1， 可得 SBCD= 1 2BCCDsinBCD= 3 2 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11， 条件：an+1an+2n 1；条件：S n+1an+1 请在上面的两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2a2n+1，记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【解答】解：a11， （1）选择条件：an+1an+2n 1； 第 15 页（共 20 页） 则 an+1an2n 1， n2 时，anan12n 2 ana1+（a2a1）+anan11+1+2+2n 21+
34、211 21 =2n 1 n1 时也成立，an2n 1 选择条件：Sn+1an+1 n2 时，Sn1+1an， 相减可得：anan+1an， 即 an+12an， n1 时，a1+1a22，a22a1 数列an是等比数列，首项为 1，公比为 2， an2n 1 （2）bnlog2a2n+1= 222;1+12n， anbn2n2n 1n2n 数列anbn的前 n 项和 Tn2+222+323+n2n， 2Tn22+223+（n1） 2n+n2n+1， Tn2+22+23+2nn2n+1= 2(21) 21 n2n+12n+12n2n+1， Tn（n1） 2n+1+2 19 （12 分）如图，在
35、三棱锥 ABCD 中，ABD 与BCD 都为等边三角形，平面 ABD 平面 BCD，M，O 分别为 AB，BD 的中点，AODMG，N 在棱 CD 上且满足 2CN ND，连接 MC，GN （1）证明：GN平面 ABC； （2）求直线 AC 和平面 GND 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在ADB 中，因为 M，O 分别为 AB，BD 的中点，AODMG， 第 16 页（共 20 页） 所以 G 为ADB 重心，所以 = 2，又 =2，所以 GNMC GN平面 ABC，MC平面 ABC， GN平面 ABC （2）解：因为平面 ABD平面 BCD，AOBD，平面 ABD平面 BCDBD，A
36、O平面 ABD， 所以 AO平面 BCD， 连结 OC，则 OCOD，以 、 、为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 不妨设 AB2，则 C（3，0，0） ，D（0，1，0） ，A（0，0，3） ，G（0，0， 3 3 ） ， 所以 = (3，1，0)， = (0， 1， 3 3 )， = (3，0，3)， 设平面 GND 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则 3 + = 0 + 3 3 = 0 ，取 x1，则 y= 3，z3， 所以平面 GND 的一个法向量为 =（1，3，3） ， 所以 cos ， = | | | = 26 13 ， 所以直线 AC 和平面 GND 所
37、成角的正弦值为 26 13 20 （12 分） 某研究性学习小组收集了某网络销售平台近五年 “双十一” 当天成交额的数据， 并制成如下表格： 年份 x 2015 2016 2017 2018 2019 成交额 y（百亿元） 9 12 17 21 27 （1）小组成员小明准备用线性模型 = x+ 刻画 y 与 x 的关系，请帮助小明求出线性方 第 17 页（共 20 页） 程；参考公式：线性回归方程 = + 中的 = =1 ()() =1 ()2 ， = （2）小组成员小王收集了更多的数据信息，借助计算机整理得到图： 小王提出，从图上来看，刻画 y 与 x 的关系选用线性模型明显不合理，而二次函
38、数 y ax2+bx+c（a，b，cR，a0）模型或指数函数模型 yabx+c（a，b，cR，b0，b 1）均有可能已知中国人均可支配收入 y1与中国互联网用户人均该平台消费额 y2呈正 线性相关，请你依据图表中的信息，帮助小王选择一个合理的函数模型，并简要说明理 由（不需要求出 a，b，c） （3） “双十一” 活动中， 顾客可以享受优惠 也可能会冲动消费， 导致所购物品闲置 （闲 置物品全部在某二手平台上以原价的 50%售出） 某商户对标价 100 元的某种商品采取了 3 种销售形式促销： 普通购物， 秒杀购物， 直播购物 该小组收集了相关信息整理得下表： 普通购物 秒杀购物 直播购物 销
39、售量占比 70% 10% 20% 折扣率 5% 20% 15% 第 18 页（共 20 页） 所购物品闲置率 20% 40% 30% 用频率估计概率，从数学期望的角度，判断顾客购买该商品是否划算？ 注：折扣率= 标价售价 标价 100%；所购物品闲置率= 所购物品闲置总额 所购物品购买总数 100% 【解答】解： = 2015+2016+2017+2018+2019 5 =2017， = 9+12+17+21+27 5 = 86 5 =17.2 5 1（xi） （yi）（2）（8.2）+（l）（5.2）+0（0.2）+13.8+2 9.816.4+5.2+3.8+19.645， 5 1 （xi
40、）2（2）2+（1）2+02+12+2210， 所以 = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 = 45 10 =4.5， 所以 = =17.24.520179059.3， 所以线性回归方程为 =4.5x9059.3 （2）选二次凾数 yax2+bx+c（a，b，cRa0）模型 理由如下： 该平台消费额中国互联网用户人数中国互联网用户人均该平台消费额， 由中国互联网用户数与年份关系图可看出：散点分布在一条直线附近，可认为中国互联 网用户数与年份线性相关，可用一次函数模型刻画 由中国人均可支配收入和年份关系图可看出：散点分布在一条直线附近，可认为中国人 均可支配收入与年份线性相关，又因为中国人均
41、可支配收入与中国互朕网用户人均该平 台消费额呈正线性相关，因此中国互朕网用户人均该平台消费额与年份线性相关，可用 一次函数模型刻画 因为一次函数与一次函数的乘积为二次函数，所以应该选择二次函数模型 注：只考生提到“一次函数与一次函数的乘积为二次函数”即可 （3）记顾客购买一件该商品花费金额为 X 元，则 普通购物中，X95+0.2（9550）104 元； 秒杀购购物中，X80+0.4（8050）92 元； 直播购物中，X85+0.3）8550）95.5 元； 所以概率分布列为： 第 19 页（共 20 页） X 104 92 95.5 P 0.7 0.1 0.2 所以 E（X）1040.7+9
42、20.1+95.50.2101.1100， 所以，顾客购买该商品不划算 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x2+mx+m2） ，g（x）ax2+x+axlnx （1）若函数 f（x）在 x1 处取极小值，求实数 m 的值； （2）设 m0，若对任意 x（0，+） ，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的值 【解答】解： （1）f（x）exx2+（m+2）x+m2+m， 由题意得 f（1）0，即 m1， 当 m1 时，f（x）ex（x+1） （x+2） ， 此时 f（x）在（2，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，符合题意； 当 m1 时，f（x）ex（x+1）x， 此时 f
43、（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，不符合题意 综上可得，m1 （2）由 f（x）g（x）得 xex1a（x+lnx）0，指数化得不等式 ex+lnx1a（x+lnx） 0 恒成立， 令 tx+lnx，则tR，不等式 etat10 恒成立， 令 h（t）etat1，tR，则 h（t）eta， 当 a0 时，h（t）0，h（t）单调递增，h（1）= 1 +a10，不符合题意； 当 a0 时，令 h（t）0，得 xlna，当 x（，lna）时，h（t）0，h（t）单 调递减， 当 x（lna，+）时，h（t）0，h（t）单调递增， 所以 h（t）minh（lna）aalna1， 所
44、以 aalna10，即 lna+ 1 10， 令 （a）lna+ 1 1，则 （a）= 1 2 ，所以 （a）在（0，1）上单调递减，在（1， +）上单调递增， 又 （1）0，所以 a1 22 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0，0)的离心率为 2 2 ，右准线方程为 x22 第 20 页（共 20 页） （1）求椭圆方程； （2）P（0，1） ，A、B 为椭圆的左、右顶点，过 A 作斜率为 k1的直线交椭圆于 E，连接 EP 并延长交椭圆于 F，记直线 BF 的斜率为 k2，若 k13k2，求直线 EF 的方程 【解答】解： （1）根据题意可得 = 2 2 ， 2 =22，
45、 解得 a24，c22， 所以 b2a2c2422， 所以椭圆的方程为 2 4 + 2 2 =1 （2）由（1）可得 A（2，0） ，B（2，0） ， 所以过点 A 的直线方程为 yk1（x+2） ， 联立 = 1( + 2) 2 4 + 2 2 = 1 ，得（1+2k12）x2+8k12x+8k1240， 所以（2） xE= 8124 1+212，解得 xE= 2412 1+212， 所以 yEk1（2;41 2 1:212 +2）= 41 212+1， 所以 E（2;41 2 1:212， 41 212:1） ， 同理可得 F（42 2;2 222:1， ;42 222:1） ， 又因为 k13k2， 所以 F（41 2;18 212:9 ， ;121 212:9） ， 由点 E，F，P 三点共线可得 41 212:1;1 2;412 212:1 = ;121 212:9;1 412;18 212:9 ， 即 4k14+8k13+12k190， 所以（2k12+3） （2k12+4k13）0，所以 2k12+4k130， 所以直线 EF 的斜率为 41 212:1;1 2;412 212:1 = 41;212;1 2;412 = 81;4 81;4 =1， 所以直线 EF 的方程为 yx+1