1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年江苏省常州市高考数学期初试卷（一模）年江苏省常州市高考数学期初试卷（一模） 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2+2ax3a20，Bx|x23x0，若 AB，则实数 a 的取值 范围为（ ） A0 B1，3 C （，0）（3，+） D （，1）（3，+）
2、2 （5 分）i 是虚数单位，在复平面内复数3 + 2 3对应的点的坐标为（ ） A （33 2 ， 1 2） B （33 2 ， 3 2） C （ 3 2 ， 1 2） D （ 3 2 ， 3 2） 3 （5 分）已知 a，b，c 是实数，则“ab”是“ac2bc2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设函数 f（x）alnx+bx2，若函数 f（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程 为 yx，则函数 yf（x）的增区间为（ ） A （0，1） B （0， 2 2 ） C （ 2 2 ，+） D （ 2 2 ，1） 5 （5
3、 分）用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在 任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ） A4 3 53 B4 4 53 C4 3 54 D4 4 54 6 （5 分）如果在一次实验中，测得（x，y）的四组数值分别是（1，2.2） ， （2，3.3） ， （4， 5.8） ， （5，6.7） ，则 y 对 x 的线性回归方程是（ ） A = 0.15 + 4.05 B = + 1.45 C = 1.05 + 1.15 D = 1.15 + 1.05 7 （5 分）令（x+1）2020a1x2020+a2x2019+a3x2018+a2020 x+
4、a2021（xR） ，则 a2+2a3+ 第 2 页（共 18 页） +2019a2020+2020a2021（ ） A201922019 B201922020 C202022019 D202022020 8 （5 分）函数 f（x）Asin（2x+）+kx+b，A0，0，k，bR，则函数 f（x）在区间 （，）上的零点最多有（ ） A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添
5、涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）已知 ， 是平面上夹角为 3的两个单位向量， 在该平面上，且（ ） （ ） 0，则下列结论中正确的有（ ） A| + | = 1 B| | = 1 C| | 3 D + ， 的夹角是钝角 10 （5 分）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布 N（110，81） ，其中 90 分为 及格线，则下列结论中正确的有 附：随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（2+2）0.9545（ ） A该校学生成绩的期望为 110 B该校学生成绩的标准差为 9 C该校学生成绩的标准差为 81 D该校学生
6、成绩及格率超过 95% 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列 数组成的数列an称为“斐波那契数列” ，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论中正 确的有（ ） Aa821 BS732 Ca1+a3+a5+a2n1a2n D1 2+22+20212 2021 = 2022 12（5 分） 设函数 yf （x） 的定义域为 D， 若存在常数 a 满足a， aD， 且对任意的 x1 a，a，总存在 x2a，a，使得 f（x1） f（x2）1，称函数 f（x）为 P（
7、a）函数， 第 3 页（共 18 页） 则下列结论中正确的有（ ） A函数 f（x）3x是 P（1）函数 B函数 f（x）x3是 P（2）函数 C若函数 f（x）log12（x+t）是 P（2）函数，则 t4 D若函数 f（x）tanx+b 是 P（ 4）函数，则 b= 2 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为500 3 的球面上，圆柱底面直径为 8，则 该圆柱的表面积为 14 （5 分）函数 f（x）|sin
8、x+cosx|+|sinxcosx|的最小正周期为 15 （5 分）已知椭圆 C1： 2 +1 + 2 = 1的右焦点 F 也是抛物线 C2：y2nx 的焦点，且椭 圆与抛物线的交点到 F 的距离为5 3，则实数 n ，椭圆 C1 的离心率 e 16 （5 分）已知函数 f（x）= 1 24+5 ln|x2|，则使不等式 f（2t+1）f（t+2）成立的 实数 t 的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17
9、 （10 分）设等比数列an的公比为 q（q1） ，前 n 项和为 Sn （1）若 a11，S6= 9 8 3，求 a3的值； （2）若 q1，am+am+2= 5 2 +1，且 S2m9Sm，mN*，求 m 的值 18 （12 分） 已知ABC 中， 它的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 3b2+3c23a2+2bc （1）求 sinA 的值； （2）若 sinB2sinC，求 tanC 的值 19 （12 分）已知某射手射中固定靶的概率为3 4，射中移动靶的概率为 2 3，每次射中固定靶、 移动靶分别得 1 分、2 分，脱靶均得 0 分，每次射击的结果相互独立，该射
10、手进行 3 次打 靶射击：向固定靶射击 1 次，向移动靶射击 2 次 （1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次”的概率； （2）求该射手的总得分 X 的分布列和数学期望 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形，ABAP2BC，平 面 PAB平面 ABCD，二面角 PBCA 的大小为 45 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）求直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值 21 （12 分）已知函数() = + ，a，bR （1）若 a0，b0，且 1 是函数 f（x）的极值点，求1 + 2 的最小值； （2）若
11、ba+1，且存在 x01 ，1，使 f（x0）0 成立，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）已知等轴双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）经过点（ 5 2 ，1 2） （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）已知点 B（0，1） 过原点且斜率为 k 的直线与双曲线 C 交于 E，F 两点，求EBF 最小时 k 的值； 点 A 是 C 上一定点， 过点 B 的动直线与双曲线 C 交于 P， Q 两点， kAP+kAQ为定值 ， 求点 A 的坐标及实数 的值 第 5 页（共 18 页） 2021 年江苏省常州市高考数学期初试卷（一模）年江苏省常州市高考数学期初试卷（一模） 参考答
12、案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 40 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2+2ax3a20，Bx|x23x0，若 AB，则实数 a 的取值 范围为（ ） A0 B1，3 C （，0）（3，+） D （，1）（3，+） 【解答】解；已知集合 Ax|x2+2ax3a20 x|（x+3a） （xa）0， Bx
13、|x23x0 x|x3 或 x0， 若 AB， 则 B 集合包含 A 集合的所有元素， 若 a0 时，A0，不符合题意舍去， 当 a0 时，A3a，a， 则 a0 时，因为 AB，则 a3； a0 时，3a0，因为 AB，则3a3；即 a1， 故实数 a 的取值范围为（，1）（3，+） 故选：D 2 （5 分）i 是虚数单位，在复平面内复数3 + 2 3对应的点的坐标为（ ） A （33 2 ， 1 2） B （33 2 ， 3 2） C （ 3 2 ， 1 2） D （ 3 2 ， 3 2） 【解答】解：3 + 2 3 = 3 + 2(3+) (3)(3+) = 3 + 2(3+) (3)2
14、+12 = 3 + 3 2 + 2 = 33 2 1 2 ， 在复平面内复数3 + 2 3对应的点的坐标为（ 33 2 ， 1 2） 故选：A 3 （5 分）已知 a，b，c 是实数，则“ab”是“ac2bc2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由“ab”“ac2bc2” ，反之不成立，例如 c0 时 第 6 页（共 18 页） “ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）设函数 f（x）alnx+bx2，若函数 f（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程 为 yx，则函数 yf（x）的增区间为（ ） A
15、 （0，1） B （0， 2 2 ） C （ 2 2 ，+） D （ 2 2 ，1） 【解答】解：由 f（x）alnx+bx2，得 f（x）= + 2， 又函数 f（x）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 yx， (1) = + 2 = 1 (1) = = 1 ，则 a1，b1 f（x）= 1 + 2， 由 f（x）= 1 + 20，得 x2 1 2， 又 x0，x 2 2 ， 即函数 yf（x）的增区间为（ 2 2 ，+） 故选：C 5 （5 分）用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在 任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ） A4
16、3 53 B4 4 53 C4 3 54 D4 4 54 【解答】解：用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色， 基本事件总数 n54， 其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数： m543， 则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为 P= = 543 54 = 43 53 故选：A 6 （5 分）如果在一次实验中，测得（x，y）的四组数值分别是（1，2.2） ， （2，3.3） ， （4， 第 7 页（共 18 页） 5.8） ， （5，6.7） ，则 y 对 x 的线性回归方程是（ ） A = 0.15 + 4.05 B =
17、+ 1.45 C = 1.05 + 1.15 D = 1.15 + 1.05 【解答】解： = 1 4（1+2+4+5）3， = 1 4（2.2+3.3+5.8+6.7）4.5， = =1 =1 22 = 2.2+6.6+45.8+56.7434.5 1+4+16+2549 = 11.5 10 =1.15， = =4.51.1531.05， 线性回归方程为 =1.15x+1.05 故选：D 7 （5 分）令（x+1）2020a1x2020+a2x2019+a3x2018+a2020 x+a2021（xR） ，则 a2+2a3+ +2019a2020+2020a2021（ ） A20192201
18、9 B201922020 C202022019 D202022020 【解答】解：由于（x+1）2020C20200+C20201x+C20202020 x2020， 则 C20200C20202020，C20201C20202019， a1a2021，a2a2020， 2020a1+2019a2+2018a3+a2020a2+2a3+2019a2020+2020a2021， f（x）（x+1）2020a1x2020+a2x2019+a3x2018+a2020 x+a2021， f（x）2020（x+1）20192020a1x2019+2019a2x2018+2018a3x2017+a2020
19、， 令x 1 ， 可 得2020 22019 2020a1+2019a2+2018a3+ +a2020 a2+2a3+ +2019a2020+2020a2021 故选：C 8 （5 分）函数 f（x）Asin（2x+）+kx+b，A0，0，k，bR，则函数 f（x）在区间 （，）上的零点最多有（ ） A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 【解答】解：根据题意，函数 f（x）Asin（2x+）+kx+b 在区间（，）上的零点， 就是函数 yAsin（2x+）和函数 ykxb 在区间（，）的交点， 对于 yAsin（2x+） ，其周期 T= 2 2 =， 区间（，）包含 2 个周期， 第 8 页
20、（共 18 页） 如图： 两个函数在两个周期中最多有 5 个交点，即函数 f（x）在区间（，）上的零点最多 有 5 个， 故选：B 二、 多项选择题 （本大题共二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共计分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）已知 ， 是平面上夹角为 3的两个单位向量， 在该平面上，且（ ） （ ） 0，则下列结论中正确的有（ ） A| + | = 1 B| | = 1
21、 C| | 3 D + ， 的夹角是钝角 【解答】解： ， 是平面上夹角为 3的两个单位向量， 如图： = ， = ，距离坐标系如图， = ， = ， = ， （ ） （ ）0， 可得 =0，所以 的中为 P 在以 BC 为直径的圆上， 所以| + | = 3所以 A 不正确； | | = | | =1，所以 B 正确； | |的最大值为： 3 4 + 3 2 = 33 4 3，所以 C 正确； + ， 的夹角是锐角，所以 D 不正确 故选：BC 第 9 页（共 18 页） 10 （5 分）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布 N（110，81） ，其中 90 分为 及格线，则下列结论
22、中正确的有 附：随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（2+2）0.9545（ ） A该校学生成绩的期望为 110 B该校学生成绩的标准差为 9 C该校学生成绩的标准差为 81 D该校学生成绩及格率超过 95% 【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为 x110，9 该市学生数学成绩的期望为 110，故 A 正确； 该市学生数学成绩的标准差为 9，故 B 正确，C 错误； P（92128）0.9545， P（92）P（128）= 1 21P（P（92128）= 1 2（10.9545）0.02275， 则 P（90）0.02275，P（90）0.977250.95，故 D 正确 故选：
23、ABD 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列 数组成的数列an称为“斐波那契数列” ，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论中正 确的有（ ） Aa821 BS732 Ca1+a3+a5+a2n1a2n D1 2+22+20212 2021 = 2022 【解答】解：由题设知：数列an的前 8 项为：1，1，2，3，5，8，13，21， a821，S733，故选项 A 正确，选项 B 错误； 第 10 页（共 18 页） 又 a1a2，a3a4a2，a5a6a
24、4，a2n1a2na2n2， 将以上式子相加可得：a1+a3+a5+a2n1a2n，故 C 选项正确； 斐波那契数列总有 an+2an+1+an， a12a2a1， a22a2（a3a1）a2a3a2a1， a32a3a4a2a3， a20182a2018（a2019a2017）a2018a2019a2017a2018， a20192a2019a2020a2019a2018， a20202a2020a2021a2020a2019， a20212a2021a2022a2021a2020， 将以上式子相加可得：a12+a22+a20212a2021a2022，故选项 D 正确， 故选：ACD 12
25、（5 分） 设函数 yf （x） 的定义域为 D， 若存在常数 a 满足a， aD， 且对任意的 x1 a，a，总存在 x2a，a，使得 f（x1） f（x2）1，称函数 f（x）为 P（a）函数， 则下列结论中正确的有（ ） A函数 f（x）3x是 P（1）函数 B函数 f（x）x3是 P（2）函数 C若函数 f（x）log12（x+t）是 P（2）函数，则 t4 D若函数 f（x）tanx+b 是 P（ 4）函数，则 b= 2 【解答】解：对于 A，对任意的 x11，1，要使 f（x1） f（x2）1， 即31 32= 1，只要 x2x1即可，所以 f（x）3x是 P（1）函数，所以 A
26、对； 对于 B，当 x10 时，f（0） f（x2）1，此方程无解，所以 B 错； 对于 C，假设 C 对，则对任意的 x12，2，总存在 x22，2， 使得 f（x1） f（x2）1，即 log12（x1+4）log12（x1+4）1， x1+42，6，x1+42，6，所以 0log12（x1+4）1，0log12（x1+4）1， 于是 log12（x1+4）log12（x1+4）1，于是矛盾，所以 C 错； 对于 D，因为 f（x）tanx+b 是 P（ 4）函数，所以对任意的 x1 4， 4， 总存在 x2 4， 4，使得 f（x1） f（x2）1， 第 11 页（共 18 页） 即（b
27、+tanx1） （btanx2）1，tanx2b 1 +11，1， 所以1b 1 +1 1，且1b 1 1 1，解得 b2，所以 D 对 故选：AD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上）上） 13 （5 分）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为500 3 的球面上，圆柱底面直径为 8，则 该圆柱的表面积为 80 【解答】解：由题意球的体积为：500 3 ，所以球的半径为 R， 4 3 3= 500 3 ，解得 R5， 所以圆柱底面直径为 8，圆柱上、下底面的圆周都在一
28、个体积为500 3 的球面上， 所以圆柱的高为：102 82=6 可得圆柱的表面积：86+24280 故答案为：80 14 （5 分）函数 f（x）|sinx+cosx|+|sinxcosx|的最小正周期为 【解答】解：由三角函数公式化简可得： f（x）|sinx+cosx|+|sinxcosx| |2sin（x+ 4）|+|2sin（x 4）|， 可知函数 y|2sin（x+ 4）|和 y|2sin（x 4）|的周期均为 ， 已知函数的周期为 ， 故答案为： 15 （5 分）已知椭圆 C1： 2 +1 + 2 = 1的右焦点 F 也是抛物线 C2：y2nx 的焦点，且椭 圆与抛物线的交点到
29、F 的距离为5 3，则实数 n 4 ，椭圆 C1 的离心率 e 1 2 【解答】解：椭圆 C1： 2 +1 + 2 = 1的右焦点 F（1，0） ，所以抛物线 C2：y2nx 的焦 点（1，0） ， 所以 n4； 第 12 页（共 18 页） 椭圆与抛物线的交点到 F 的距离为5 3，不妨设在第一象限的交点为 A，则 A（ 2 3， 8 3） ， 由椭圆定义，可得 2a=(2 3 1)2+ 8 3 +(2 3 + 1)2+ 8 3 =4， 所以椭圆的离心率为 e= = 1 2 故答案为：4；1 2 16 （5 分）已知函数 f（x）= 1 24+5 ln|x2|，则使不等式 f（2t+1）f（
30、t+2）成立的 实数 t 的取值范围是 （1 3 ， 1 2） ( 1 2，1) 【解答】解：因为 f（x）= 1 24+5 ln|x2|= 1 (2)2+1 ln|x2|， 所以 f（4x）= 1 (2)2+1 ln|2x|f（x） ， 所以函数 f（x）的图像关于 x2 对称， 当 x2 时，f（x）= 1 24+5 ln|x2|= 1 24+5 ln（x2）单调递减， 根据函数的对称性知，f（x）在 x2 时单调递增， 因为 f（2t+1）f（t+2） ， 所以|2t+12|t+22|， 即|2t1|t|，且 2t+12，t+22， 所以 4t24t+1t2，且 2t+12，t+22，
31、，解得，1 3 1且 t 1 2 故答案为： （1 3 ， 1 2） ( 1 2，1) 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）设等比数列an的公比为 q（q1） ，前 n 项和为 Sn （1）若 a11，S6= 9 8 3，求 a3的值； （2）若 q1，am+am+2= 5 2 +1，且 S2m9Sm，mN*，求 m 的值 【解答】解： （1）等比数列an的公比为 q（q1） ，前 n 项和为 Sn
32、a11，S6= 9 8 3， S6= 3+ 33=S3（1+q3）= 9 8 3， 第 13 页（共 18 页） 解得 q= 1 2， a3= 12= 1 4 （2）q1，am+am+2= 5 2 +1，且 S2m9Sm，mN*， = 2= 5 2， 2 5 2 + 1 =0， 由 q1，解得 q2， S2m9Sm，1(12 2) 12 =9 1(12) 12 ， a10，122m9（12m） ， 解得 m3 18 （12 分） 已知ABC 中， 它的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 3b2+3c23a2+2bc （1）求 sinA 的值； （2）若 sinB2sinC
33、，求 tanC 的值 【解答】解： （1）ABC 中，3b2+3c23a2+2bc，所以 b2+c2a2= 2 3bc， 利用余弦定理知，cosA= 2+22 2 = 2 3 2 = 1 3， 因为 A（0，） ，所以 sinA= 12 =1 1 9 = 22 3 ； （2）ABC 中，B（A+C） ， 所以 sinBsin（A+C）2sinC， 即 sinAcosC+cosAsinC2sinC， 所以22 3 cosC+ 1 3sinC2sinC， 解得 sinC= 22 5 cosC， 又 cosC0，所以 tanC= = 22 5 19 （12 分）已知某射手射中固定靶的概率为3 4，射
34、中移动靶的概率为 2 3，每次射中固定靶、 移动靶分别得 1 分、2 分，脱靶均得 0 分，每次射击的结果相互独立，该射手进行 3 次打 靶射击：向固定靶射击 1 次，向移动靶射击 2 次 （1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次”的概率； （2）求该射手的总得分 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次”为事件 D，射中固定 第 14 页（共 18 页） 靶为事件 A，射中移动靶分别为事件 B，C， 则 DAB +AC，其中 AB +AC 互斥，A，B，C，相互独立，P（A）= 3 4，P （B）P（C）= 2 3， P（D）P（AB
35、）+P（AC）= 3 4 2 3 (1 2 3) + 3 4 (1 2 3) 2 3 = 1 3 即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次的概率为1 3 （2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5 P（X0）= (1 3 4)(1 2 3)(1 2 3) = 1 36， P（X1）= 3 4 (1 2 3) (1 2 3) = 1 12， P（X2）= (1 3 4) 2 3 (1 2 3) 2= 1 9， P（X3）= 3 4 2 3 (1 2 3) 2= 1 3， P（X4）（1 3 4） 2 3 2 3 = 1 9， P（X5）= 3 4 2 3 2 3 = 1 3， 该射手的总得
36、分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 E（X）0 1 36 +1 1 12 +2 1 9 + 3 1 3 + 4 1 9 + 5 1 3 = 41 12 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形，ABAP2BC，平 面 PAB平面 ABCD，二面角 PBCA 的大小为 45 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）求直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值 第 15 页（共 18 页） 【解答】 （1）证明：底面四边形 ABCD 是矩形，BCAB， 又平面 PAB平面 ABCD，平面
37、PAB平面 ABCDAB，BC平面 ABCD， BC平面 PAB， AB平面 PAB，PB平面 PAB，PA平面 PAB BCAB，BCPB，BCPA， PBA 为二面角 PBCA 的平面角， 又二面角 PBCA 的大小为 45，PBA45， 在PAB 中 ABAP，PBABPA45， PAB90，即 ABAP， 又 BCPA，ABBCB， PA平面 ABCD； （2）解：如右图所示，在底面 ABCD 内，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，连接 PH， 由（1）知 PA平面 ABCD，BH平面 ABCD，BHPA， 又 PAACA，BH平面 PAC， BPH 为直线 PB 与平面 PAC 所
38、成的角，其中 BH= = 2 5BC， BP= 2PA22BC， 直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 = 2 5 22 = 10 10 21 （12 分）已知函数() = + ，a，bR （1）若 a0，b0，且 1 是函数 f（x）的极值点，求1 + 2 的最小值； （2）若 ba+1，且存在 x01 ，1，使 f（x0）0 成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）1 2，因为 1 是函数 f（x）的极值点， 第 16 页（共 18 页） 所以 f（1）1ab0，即 a+b1， 此时 f（x）1 2 = 2 2 = 2(1) 2 = (1)(+) 2 ， 当 0
39、 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，所以函数 f（x）在 x1 处取极 小值， 所以1 + 2 =（1 + 2 ） （a+b）3+ + 2 ，因为 a0，b0， 所以 + 2 2 2 =22（当且仅当 a22，b= 2 1 时等号成立） ， 所以1 + 2 3+22， 所以1 + 2 的最小值为 3+22 （2）当 ba+1 时，f（x）xalnx+ +1 ， 在 x01 ，1，使 f（x0）0 成立，即函数 f（x）在 1 ，1上的最小值小于 0， f（x）1 +1 2 = (+1)(1+) 2 （x0） ， 当 1+a1，即 a0 时，f（x）在1 ，1上单调递减， 所以 f
40、（x）在1 ，1上的最小值为 f（1）1+a+1a+20， 所以 a2，不符，舍去； 当 1+a 1 ，即 a 1 1 时，f（x）在1 ，1上单调递增， 所以 f（x）在1 ，1上的最小值为 f（ 1 ）= 1 +a+e（a+1）（e+1）a+e+ 1 0， 所以 a 2+1 (+1)，又 a 1 1，所以 a 2+1 (+1)； 当1 1+a1，即1 1a0 时，f（x）在1 ，1+a上单调递增，在1+a，1上单调递 减， 所以 f（x）在1 ，1上的最小值为 f（1+a）a+1+1aln（a+1）a1ln（a+1）+2， 因为1 1+a1，所以1ln（a+1）0，所以 11ln（a+1）
41、2， 所以 aa1ln（a+1）2a， 所以 f（1+a）a1ln（a+1）+22a+20，不符，舍去， 综上可得，a 的取值范围是（， 2+1 (+1)） 第 17 页（共 18 页） 22 （12 分）已知等轴双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）经过点（ 5 2 ，1 2） （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）已知点 B（0，1） 过原点且斜率为 k 的直线与双曲线 C 交于 E，F 两点，求EBF 最小时 k 的值； 点 A 是 C 上一定点， 过点 B 的动直线与双曲线 C 交于 P， Q 两点， kAP+kAQ为定值 ， 求点 A 的坐标及实数 的值 【解答】解：
42、（1）由题意 ab，且 5 4 2 1 4 2 =1，解得 ab1， 所以双曲线 C 的方程为 x2y21 （2）由对称性可设 E（x，y） ，F（x，y） ， 则 =（x，y1） （x，y1）x2y2+1， 因为 E 点在双曲线 C 上，所以 x2y21，所以 y2x21， 所以 =2（1x2）0， 当|x|1 时， =0，EBF 为直角， 当|x|1 时， 0，EBF 为钝角， 所以EBF 最小时，|x|1，k0 设 A（m，n） ，过点 B 的动直线为 ytx+1， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立 2 2= 1 = + 1 得（1t2）x22tx20， 所以 1 2
43、0 = 42+ 8(1 2)0 1+ 2= 2 12 12= 2 12 ，由 1t20，且0，解得 t22 且 t21， kAP+kAQ，即 1 1 + 2 2 =，即1+1 1 + 2+1 2 =， 化简得（2t）x1x2+（mt+1n+m） （x1+x2）2m+2mnm20， （2t）x1x2+（mt+1n+m） 2 12 2m+2mnm20， 化简得（m22mn）t2+2（mn1）t+22m+2nm20， 由于上式对无穷多个不同的实数 t 都成立， 第 18 页（共 18 页） 所以 2 2 = 0 1 = 0 2 2 + 2 2= 0 ， 将代入得 m，从而 3 = 2 2= + 1， 如果 m0 时，那么 n1，此时 A（0，1）不在双曲线 C 上，舍去， 因此 m0，从而 m22n，代入 m2n+1，解得 n1，m2， 此时 A（2，1）在双曲线上， 综上 A（2，1） ，= 2，或者 A（2，1） ，= 2