1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷 （文科）（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）集合 Mx|x（x2）0，Nx|x10，则 MN（ ） Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x2 Dx|1x2 2 （5 分）复数1;4 2: =（ ） A29i B6 5 7 5 C2 5 9 5 D6 5 + 9
2、 5 3 （5 分）若 sin3 5（ 2 ） ，则 sin2（ ） A 7 25 B24 25 C 7 25 D24 25 4 （5 分）某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司 2011 年 2020 年研发投入 （单位： 百万） 和研发投入占年利润的比， 并制成如图所示的统计图 下 列说法正确的是（ ） A2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势 B2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大 C2011 年开始，该公司的年利润逐年增加 D2011 年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势 5 （5 分）执行如图所示的程序框图
3、，输出 n 的值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A4 B5 C6 D7 6 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |4，且（ + ） （2 ）12，则 = （ ） A4 B2 C12 D4 7 （5 分）函数 f（x） 4 :的大致图象为（ ） A B C 第 3 页（共 20 页） D 8 （5 分）已知 O 为坐标原点，P 为圆 C： （x1）2+（yb）21（常数 b0）上的动点， 若|OP|最大值为 3，则 b 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 9 （5 分）若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A2 3 ，b23，且ABC 的面积为33 2 ，则 a（
4、 ） A3 B4 C21 D33 10 （5 分）设 ， 是两个不同平面，m，n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A如果 mn，m，n，那么 B如果 mn，m，n，那么 C如果 mn，m，n，那么 D如果 ，m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，那么 mn 11 （5 分）已知直线 yx1 与抛物线 C：y22px（p0）交于 M，N 两点，且抛物线 C 上存在点 P，使得 + = 2 3 （O 为坐标原点） ，则 p（ ） A1 2 B1 C2 D4 12 （5 分）已知 4m3，3n2，5p22，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Amnp Bmpn Cpmn Dpnm 二、填空
5、题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 ykx（k0） ，离 心率为 2，则 k 的值为 14 （5 分）若实数 x，y 满足 1 2 2 0 ，则 2x+y 的最小值是 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，ABACADBCBD22，CD4，则点 A，B， C，D 所在的球面面积为 第 4 页（共 20 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）|cos（2x 6）cos（2x 2）|，给出下列四个结论： f（x）的值域是0，1； f（x）是以 2为最小正
6、周期的周期函数； f（x）在0，2上有 4 个零点； f（x）在区间 6 ， 2 3 上单调递增 其中所有正确结论的编号是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分） 在新型冠状病毒疫情期间， 某高中学校实施线上教学， 为了解线上教学的效果， 随机抽取了 100 名学生对线上
7、教学效果进行评分 （满分 100 分） ， 记低于 80 的评分为 “效 果一般” ，不低于 80 分为“效果较好” （1）请补充完整 22 列联表；通过计算判断，有没有 99%的把握认为线上教学效果评 分为“效果较好”与性别有关？ 效果一般 效果较好 合计 男 20 女 15 55 合计 （2）根据（1）中列联表的数据，在评分为“效果较好”的学生中按照性别用分层抽样 的方法抽取了 6 名学生若从这 6 名学生中随机选择 2 名进行访谈，求所抽取的 2 名学 生中恰好有 1 名男生的概率 附表及公式： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2
8、.706 3.841 5.024 6.635 其中 K2 (;)2 (:)(:)(:)(:)，na+b+c+d 18 （12 分） 已知数列an是等差数列，bn是递增的等比数列， 且 a11，b12，b22a2， 第 5 页（共 20 页） b33a31 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若 cn 2 (;1)(+1;1)，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABC90，BCAD， BC2AD，平面 PBC平面 ABCD，PBPC2，DPDC3，E 为 PB 的中点 （1）证明：AEPC； （2）求四棱锥 PABCD
9、 的体积 20 （12 分）已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 2 2 ，短轴长为 4 （1）求 a，b 的值； （2）设直线 ykx1（kR）与椭圆 E 交于 C，D 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使 得对任意实数 k，直线 QC，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ex1 2ax 2（x0，aR） （1）当 a1 时，比较 f（x）与 x+1 的大小； （2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1x2，证明：ln2 1 （a1）x1x2 （二）选考题：共（二）选考题：共
10、10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系的坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l： = + ， = 3 （t 为参数，a 为常数）与曲线 C 交于点 A，B，且|AB|1， 求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 6 页（共 20 页） 23设函数 f（x）2|x+1|+|3x|
11、的最小值为 t （1）求 t 的值； （2）若正数 a，b 满足 a+bt，求证： + 2 + + 2 4 第 7 页（共 20 页） 2021 年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷年四川省大数据精准教学联盟高考数学第二次监测试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）集合 Mx|x（x2）0，Nx|x10，则 MN（ ） Ax|0 x1 Bx
12、|0 x1 Cx|1x2 Dx|1x2 【解答】解：Mx|0 x2，Nx|x1， MNx|0 x1 故选：B 2 （5 分）复数1;4 2: =（ ） A29i B6 5 7 5 C2 5 9 5 D6 5 + 9 5 【解答】解：1;4 2: = (1;4)(2;) (2:)(2;) = ;2;9 5 = 2 5 9 5 ， 故选：C 3 （5 分）若 sin3 5（ 2 ） ，则 sin2（ ） A 7 25 B24 25 C 7 25 D24 25 【解答】解：因为 sin3 5（ 2 ） ， 所以 cos= 1 2 = 4 5， 则 sin22sincos2 3 5 ( 4 5) =
13、24 25 故选：B 4 （5 分）某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现统计了该公司 2011 年 2020 年研发投入 （单位： 百万） 和研发投入占年利润的比， 并制成如图所示的统计图 下 列说法正确的是（ ） 第 8 页（共 20 页） A2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势 B2011 年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大 C2011 年开始，该公司的年利润逐年增加 D2011 年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势 【解答】解：由图表可知，只有 2013 年到 2015 年下降，和 2016 年到 2017 年轻微下降， 其他
14、都是上升趋势，故 A 不正确； 也可知每年的研发投入占年利润的比并没有逐年增大，故 B 不正确； 2015 年和 2016 年的研发投入差不多，但 2016 年研发投入占年利润的比 2015 年占比高， 所以说 2016 年的利润小于 2015 年的利润，故 C 不正确； 由图表可知，2011 年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势，故 D 正确 故选：D 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 n 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 【解答】解：模拟程序的运行，可得 第 9 页（共 20 页） n0， n1 不满足条件 n24n5，n2， 不满足条件 n24n5，n3， 不满足条件
15、n24n5，n4， 不满足条件 n24n5，n5， 不满足条件 n24n5，n6， 此时，满足条件 n24n5，退出循环，输出 n 的值为 6 故选：C 6 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |4，且（ + ） （2 ）12，则 = （ ） A4 B2 C12 D4 【解答】解：向量 ， 满足| |1，| |4，且（ + ） （2 ）12， 可得2 2 + 2 = 12， 即：2+ 1612， 所以 =2 故选：B 7 （5 分）函数 f（x） 4 :的大致图象为（ ） A B 第 10 页（共 20 页） C D 【解答】解：函数的定义域为 R， f（x）= ()4 + = 4 :
16、=f（x） ，即 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A， B， 当 x0 且趋向无穷大时，f（x）趋向 0，排除 C， 故选：D 8 （5 分）已知 O 为坐标原点，P 为圆 C： （x1）2+（yb）21（常数 b0）上的动点， 若|OP|最大值为 3，则 b 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 【解答】解：圆 C： （x1）2+（yb）21 的圆心为 C（1，b） ，半径为 1， 所以圆 C 上的点 P 到原点的最大距离为|OP|OC|+13， 即12+2+13，解得 b3， 又 b0，所以 b 的值为3 故选：C 9 （5 分）若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a
17、，b，c，A2 3 ，b23，且ABC 的面积为33 2 ，则 a（ ） A3 B4 C21 D33 【解答】解：A2 3 ，b23，且ABC 的面积为33 2 ， 1 2bcsinA= 33 2 ，即1 2 23 3 2 = 33 2 ， 解得 c= 3， 第 11 页（共 20 页） 又a2b2+c22bccosA12+32 23 3 ( 1 2) =21，解得 a= 21 故选：C 10 （5 分）设 ， 是两个不同平面，m，n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A如果 mn，m，n，那么 B如果 mn，m，n，那么 C如果 mn，m，n，那么 D如果 ，m 与 所成的角和 n 与
18、所成的角相等，那么 mn 【解答】解：由 ， 是两个不同平面，m，n 是两条直线，知： 对于 A，如果 mn，m，n，那么 与 相交或平行，故 A 错误； 对于 B，如果 mn，m，n，那么 与 相交或平行，故 B 错误； 对于 C，如果 mn，m，n，那么由面面平行的判定定理得 ，故 C 正确； 对于 D，如果 ，m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，那么 m 与 n 相交、平行 或异面，故 D 错误 故选：C 11 （5 分）已知直线 yx1 与抛物线 C：y22px（p0）交于 M，N 两点，且抛物线 C 上存在点 P，使得 + = 2 3 （O 为坐标原点） ，则 p（ ） A1
19、2 B1 C2 D4 【解答】解：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立 = 1 2= 2 ，整理可得：x22（1+p）x+10， x1+x22（1+p） ，y1+y2x1+x222p， 因为 + = 2 3 ，所以（2（1+p） ，2p）= 2 3（x0，y0） ， 所以可得 x03（1+p） ，可得 y03p， 即 P（3p+3，3p） ， 将 P 点坐标代入抛物线上： （3p）22p（3p+3） ， 整理可得：p2 或 0（舍） ， 故选：C 12 （5 分）已知 4m3，3n2，5p22，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Amnp Bmpn Cpmn Dpnm 第 12
20、页（共 20 页） 【解答】解：因为 4m22m3，则2= 3， 作出函数 y2x，y3x，y5x的图象如图所示， 再作出 = 3， = 2， = 22，然后观察交点的横坐标， 则交点的横坐标即为 m，n，p 的值， 由图可知 npm 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 ykx（k0） ，离 心率为 2，则 k 的值为 3 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 ykx（k0） ，离 心率为 2， 可得
21、=2，所以 2:2 2 = 4，所以 =3， 所以 k= = 3 故答案为：3 14 （5 分）若实数 x，y 满足 1 2 2 0 ，则 2x+y 的最小值是 4 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 13 页（共 20 页） 联立 = 1 2 = 0，得 A（1，2） ， 令 z2x+y，化为 y2x+z，由图可知，y2x+z 过点 A（1，2）时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值4 故答案为：4 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，ABACADBCBD22，CD4，则点 A，B， C，D 所在的球面面积为 16 【解答】解：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，
22、 设点 A，B，C，D 所在的球半径为 R， 三棱锥 ABCD 中，ABACADBCBD22，CD4， BD2+BC2DC2且 AD2+AC2DC2， BEECEDEAR= 1 2CD2， 点 A，B，C，D 所在的球面面积为：4R216 故答案为：16 16 （5 分）已知函数 f（x）|cos（2x 6）cos（2x 2）|，给出下列四个结论： f（x）的值域是0，1； 第 14 页（共 20 页） f（x）是以 2为最小正周期的周期函数； f（x）在0，2上有 4 个零点； f（x）在区间 6 ， 2 3 上单调递增 其中所有正确结论的编号是 【解答】解：f（x）|cos（2x 6）co
23、s（2x 2）|2sin（2x 3）sin（ 6）|sin（2x 3）|， 对于，f（x）的值域是0，1，所以对； 对于，sin（2x 3）的最小正周期为 ， 所以 f（x）的最小正周期是 2，所以对； 对于，因为 f（x）在0， 2上仅有一个零点 6， 区间0，2长是周期的 4 倍，所以有 4 个零点，所以对； 对于，区间 6 ， 2 3 长是 2， 而 f（x）在0， 2上不是单调函数，所以错 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。
24、第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分） 在新型冠状病毒疫情期间， 某高中学校实施线上教学， 为了解线上教学的效果， 随机抽取了 100 名学生对线上教学效果进行评分 （满分 100 分） ， 记低于 80 的评分为 “效 果一般” ，不低于 80 分为“效果较好” （1）请补充完整 22 列联表；通过计算判断，有没有 99%的把握认为线上教学效果评 分为“效果较好”与性别有关？ 效果一般 效果较好 合计 男 20 女 15 55 合计 第 15 页（共
25、20 页） （2）根据（1）中列联表的数据，在评分为“效果较好”的学生中按照性别用分层抽样 的方法抽取了 6 名学生若从这 6 名学生中随机选择 2 名进行访谈，求所抽取的 2 名学 生中恰好有 1 名男生的概率 附表及公式： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中 K2 (;)2 (:)(:)(:)(:)，na+b+c+d 【解答】解： （1）根据题意填写列联表如下； 效果一般 效果较好 合计 男 25 20 45 女 15 40 55 合计 40 60 100 计算 K2= 100(25
26、401520)2 45554060 = 2450 1127 8.2496.635， 所以有 99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关 （2）根据列联表中的数据，用分层抽样法抽取 6 名学生，其中男生 2 人，记为 A、B， 女生 4 人，记为 c、d、e、f， 从这 6 名学生中随机选择 2 名，基本事件为 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、 ce、cf、de，df、ef 共 15 种， 则所抽取的 2 名学生中恰有 1 名男生的基本事件为 Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf 共 8 种， 故所求的概率为 P= 8 15 18 （12 分）
27、 已知数列an是等差数列，bn是递增的等比数列， 且 a11，b12，b22a2， b33a31 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若 cn 2 (;1)(+1;1)，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）设数列an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q（q1）的等比数 第 16 页（共 20 页） 列， 由 a11，b12，b22a2，b33a31 可得 2q2（1+d） ，2q23（1+2d）1， 解得 d0，q1（舍去）或 d1，q2， 则 an1+n1n，bn22n 12n； （2）cn 2 (;1)(+1;1) = 2 (2;1)(2+1;1) = 1 2;
28、1 1 2+1;1， 则 Sn1 1 221 + 1 221 1 231 + 1 231 1 241 + + 1 21 1 2+11 1 1 2+11 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABC90，BCAD， BC2AD，平面 PBC平面 ABCD，PBPC2，DPDC3，E 为 PB 的中点 （1）证明：AEPC； （2）求四棱锥 PABCD 的体积 【解答】 （1）证明：取 PC 中点 F，连接 DF、EF， DPDC，DFPC， 又 E 为 PB 的中点，EFBC 且 EF= 1 2BC， 又BCAD，BC2AD，EFAD 且 EFAD， 则四边形
29、 ADFE 为平行四边形，得 AEDF， AEPC； （2）解：平面 PBC平面 ABCD，且平面 PBC平面 ABCDBC， AB平面 ABCD，ABBC，AB平面 PBC，则 ABPC， 又由（1）知，PCAE，而 ABAEA，PC平面 PAB， 则 PCPB，作 PGBC，由面面垂直的性质可得 PG底面 ABCD，且 PG= 1 2BC= 2， 连接 DG，ABC90，BCAD，BC2AD，四边形 ADGB 为矩形， 第 17 页（共 20 页） 可得 DGBC， 又 DC= 3，GC= 2，可得 DGAB1， 四棱锥 PABCD 的体积 V= 1 3 = 1 3 1 2 (2+ 22)
30、 1 2 =1 20 （12 分）已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 2 2 ，短轴长为 4 （1）求 a，b 的值； （2）设直线 ykx1（kR）与椭圆 E 交于 C，D 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使 得对任意实数 k，直线 QC，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 【解答】解： （1）由题意可知 b2， = 2 2 且 a2b2+c2， a22，b2； （2）由（1）知椭圆方程为 2 8 + 2 4 = 1， 设 Q（0，m） ，C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， = 1 2 8 + 2 4 = 1，得（2k
31、 2+1）x24kx60， x 1+ 2= 4 22+1，x 12= 6 22+1， kQCkQD= 1 1 2 2 = (11)(21) 12 ， 化简得 kQCkQD= (4 3 2 3 )2+ ( + 1)2， 为使其为定值则令4 3 2 3 = 0，解得 m2， Q（0，2）或 Q（0，2） 21 （12 分）已知函数 f（x）ex1 2ax 2（x0，aR） 第 18 页（共 20 页） （1）当 a1 时，比较 f（x）与 x+1 的大小； （2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1x2，证明：ln2 1 （a1）x1x2 【解答】 （1）解：当 a1 时，f（x）
32、ex1 2x 2（x0） ， 令 g（x）f（x）（x+1）ex1 2x 2x1， g（x）exx1，g（x）ex1， 当 x0 时，g（x）0，所以 g（x）在（0，+）上单调递增， 所以 g（x）g（0）0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增， 所以 g（x）g（0）0，即 f（x）（x+1）0， 所以 f（x）（x+1） （2）f（x）exax，因为 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1x2， 所以1ax10，2ax20， 则 a= 1 1 = 2 2 ， 构造 h（x）= （x0） ， h（x）= (1) 2 ， 所以在 x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，
33、在（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增， 当 x0 时，h（x）+， 当 x1 时，h（1）e， 当 x+时，h（x）+， 所以 h（x）h（1）e， 所以 h（x）a 有 2 个不同的零点，所以 ae， 此时 x11x2， 由可得 ln2 1 =ln（ 2 1）lne (2;1) =x2x1， 所以不等式 ln2 1 （a1）x1x2 可化为 x2x1（a1）x1x2， 第 19 页（共 20 页） 所以2 1 1（a1）x2， 所以2 1 （a1）x2， 所以 x1 1 1， 要证明不等式成立，只需证 f（ 1 ;1）0， 由（1）的结论知，任意 x0，ex 1 2x 2+x+1x+
34、1， 所以 f（ 1 ;1）e 1 1 1 1 1 +1 1 =0， 故原不等式成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系的坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l： = + ， = 3 （t 为参数，a 为常数）与曲线 C 交于点 A，B，且|AB|1， 求 a
35、 的值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 2cos，根据 = = 2+ 2= 2 ，整理得 2 2cos，转换为直角坐标方程为 x2+y22x （2）直线 l： = + ， = 3 （t 为参数，a 为常数）转换为 = + 1 2 = 3 2 （t 为参数） ，代入 x2+y22x， 得到：1 4 2+ + 2+ 3 4 2= 2 + ， 整理得 t2+（a1）t+a22a0（t1和 t2为 A 和 B 对应的参数） ， 故 t1+t21a，12= 2 2， |AB|t1t2|= (1+ 2)2 412=1， 解得 a0 或 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数
36、 f（x）2|x+1|+|3x|的最小值为 t 第 20 页（共 20 页） （1）求 t 的值； （2）若正数 a，b 满足 a+bt，求证： + 2 + + 2 4 【解答】 （1）解：函数 f（x）2|x+1|+|3x|2|x+1|+|x3|= 1 3， 1 + 5， 1 3 3 1，3 ，函数 的图形如图， 可知 x1 是函数取得最小值为：4 所以 t4 （2）证明：正数 a，b 满足 a+bt，即 a+b4， 所以 a+2+b+28，令 a+2x，b+2y，x2，y2， 则： + 2 + + 2 = + = + + 2 + + + = 16 =4， 当且仅当 xy，即 ab2 时，取等号， 所以正数 a，b 满足 a+bt， + 2 + + 2 4