1、2020-2021 学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分）分） 1把 4 个相同的正方体按如图方式摆放，那么它的俯视图是（ ） A B C D 2现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有 A、B、C、D 四个选项，瞎猜这两道题，这两道题 恰好全部猜对的概率是（ ） A B C D 3对于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A这个函数的图象分布在第一、三象限 B这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C点（1，4）在这个函数图象上 D当 x0 时，y 随 x
2、 的增大而增大 4如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A若 ABAD，则ABCD 是矩形 B若 ABAD，则ABCD 是正方形 C若 ABBC，则ABCD 是矩形 D若 ACBD，则ABCD 是正方形 5关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根为1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C1 D2 6如图，ABCDEF，若 BF3DF，则的值是（ ） A B2 C D3 7秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染的人数为（ ） A7 人 B8 人 C9 人 D10 人 8关于 x 的方程（a1）
3、x22x+30 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ） A2 B1 C0 D1 9在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，CAE15，连接 OE， 则下面的结论：其中正确的结论有（ ） DOC 是等边三角形； BOE 是等腰三角形； BC2AB； AOE150； SAOESCOE A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 10 如图， 函数 y （x0） 的图象经过 RtABO 斜边 OB 的中点 D， 与直角边 AB 相交于 C， 连接 AD 若 AD3，则ABO 的周长为（ ） A12 B6+ C6+2 D6+2 二、填空题（共二、填空题
4、（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分）分） 11若将方程 x24x+10 化为（x+m）2n 的形式，则 m 12某物体对地面的压强 P（Pa）与物体和地面的接触面积 S（m2）成反比例函数关系（如图） 当该物体 与地面的接触面积为 0.25m2时，该物体对地面的压强是 Pa 13有长为 30m 的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃 的面积是 72m2时，则 AB 14如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC 于点 E，若 AC6，BD8，则 OE 15数学兴趣小组的同学设计用手电来测量附近某大厦 CD
5、 的高度如图，点 P 处放一水平的平面镜光 线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，且测得 AB1 米，BP1.5 米，PD48 米，那么该大厦的高度约为 米 16已知：一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y（k0）的图象相交于 A，B 两点（A 在 B 的右 侧） 直线 OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D，ABC 的 面积 三、解答题（三、解答题（9 小题，共小题，共 72 分）分） 17解方程： （1）x（x+3）2x+6； （2）2x23x50 18随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟
6、通方式更多样、便捷为此，老师设计了“你最喜欢的沟通 方式” 调查问卷 （每人必选且只选一种） 进行调查 将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图， 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次参与调查的共有 人； 在扇形统计图中， 表示 “微信” 的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果我国有 13 亿人在使用手机； 请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数； 在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？ 19已知，如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB5m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC3m （1）
7、请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影； （2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长 20某商店进了一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，使库存减 少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到 1200 元？ 21如图，在ABC，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADEACB，相似比为 AD：AC2：3，ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F，求 AG 与 GF 的比 22
8、如图，RtABO 的顶点 A 是双曲线 y与直线 yx（k+1）在第二象限的交点ABx 轴于 B， 且 SABO （1）求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和AOC 的面积 23心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化学生 的注意力指数 y 随时间 x（分）的变化规律如图所示（其中 AB、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分） （1）上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较， 分钟时学生的注意力更集中 （2）分别求出线段 AB 和双曲线 CD 的函数关系式 （3）一道数学题，需要讲 18 分钟，为了学生听课效果
9、较好，要求学生的注意力指数不低于 40，那么经 过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 24如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点、F 是 AC 中点，AN 是ABC 的外角MAC 的平分线， 延长 DF 交 AN 于点 E，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）若 ABBC4，则四边形 ADCE 的面积为多少？ （3）直接回答：当ABC 满足 时，四边形 ADCE 是正方形 25如图：在 RtAOB 中，AOB90，OB2，ABx 轴，双曲线 y经过点 B，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上AB
10、 的对应线段 CB 恰好经过点 O （1）求证OBD 是等边三角形； （2）求出双曲线的解析式，并判断点 C 是否在双曲线上，请说明理由； （3） 在 y 轴上是否存在一点 P， 使PBD 的周长最小？若存在， 求点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 2020-2021 学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1把 4 个相同的正方体按如图方式摆放，那么它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】从上面看物体，所得到的图形是该物体的俯视图 【解答】解：从上面
11、看到的是三个正方形“一”字排列，选项 B 中的图形符合题意， 故选：B 2现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有 A、B、C、D 四个选项，瞎猜这两道题，这两道题 恰好全部猜对的概率是（ ） A B C D 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出这两道题恰好全部猜对的概率 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 16 种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有 1 种， 所以，两道题恰好全部猜对的概率为， 故选：D 3对于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A这个函数的图象分布在第一、三象限 B这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图
12、形 C点（1，4）在这个函数图象上 D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】利用反比例函数的性质进行解答即可 【解答】解：A、这个函数的图象分布在第一、三象限，故原题说法正确； B、这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原题说法正确； C、点（1，4）在这个函数图象上，故原题说法正确； D、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故原题说法错误，符合题意； 故选：D 4如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A若 ABAD，则ABCD 是矩形 B若 ABAD，则ABCD 是正方形 C若 ABBC，则ABCD 是矩形 D若 ACBD，则ABCD 是正
13、方形 【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案 【解答】解：A、若 ABAD，则ABCD 是菱形，选项说法错误； B、若 ABAD，则ABCD 是菱形，选项说法错误； C、若 ABBC，则ABCD 是矩形，选项说法正确； D、若 ACBD，则ABCD 是菱形，选项说法错误； 故选：C 5关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根为1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C1 D2 【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将 x1 代入求出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根是1， （1）22（1）+m0， 解得：m3 故选
14、：A 6如图，ABCDEF，若 BF3DF，则的值是（ ） A B2 C D3 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答 【解答】解：ABCDEF， ， 故选：B 7秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染的人数为（ ） A7 人 B8 人 C9 人 D10 人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感” ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人， 依题意，得： （1
15、+x）281， 解得：x18，x210（不合题意，舍去） 故选：B 8关于 x 的方程（a1）x22x+30 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】由关于 x 的一元二次方程（a1）x2+2x+30 有实数根，则 a10，且0，即224 （a1）31612a0，解不等式得到 a 的取值范围，最后确定整数 a 的最大值 【解答】解：关于 x 的方程（a1）x22x+30 有实数根， 当 a1 时，方程为2x+30， 解得，符合题意； 当 a1 时，该方程为一元二次方程， 则（2）24（a1）31612a0， 解得， a 的取值范围为且 a1， 整数 a 的最大值
16、是 1 故选：B 9在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，CAE15，连接 OE， 则下面的结论：其中正确的结论有（ ） DOC 是等边三角形； BOE 是等腰三角形； BC2AB； AOE150； SAOESCOE A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】判断出ABE 是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 ACB30，再判断出ABO，DOC 是等边三角形，可判断；根据等边三角形的性质求出 OB AB，再求出 OBBE，可判断，由直角三角形的性质可得 BCAB，可判断，由等腰三角形性质 求出BOE
17、75，再根据AOEAOB+BOE135，可判断；由面积公式可得 SAOESCOE 可判断；即可求解 【解答】解：AE 平分BAD， BAEDAE45， AEB45， ABE 是等腰直角三角形， ABBE， CAE15， ACEAEBCAE451530， BAO903060， 矩形 ABCD 中：OAOBOCOD， ABO 是等边三角形，COD 是等边三角形，故正确； OBAB，ABOAOB60， OBBE， BOE 是等腰三角形，故正确； OBEABCABO906030ACB， BOE（18030）75，BCAB，故错误； AOEAOB+BOE60+75135，故错误； AOCO， SAOES
18、COE，故正确； 故选：B 10 如图， 函数 y （x0） 的图象经过 RtABO 斜边 OB 的中点 D， 与直角边 AB 相交于 C， 连接 AD 若 AD3，则ABO 的周长为（ ） A12 B6+ C6+2 D6+2 【分析】过点 D 作 DEAO 于 E，由直角三角形的性质可得 BO6，由平行线分线段成比例可得 AB 2DE，AO2OE，由勾股定理可求 OA+AB，即可求解 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAO 于 E， 点 D 是 BO 的中点， ADBDDO3， BO6， DEAO，ABAO， ABDE， ， AB2DE，AO2EO， SDEODEEO， SABOABAO2
19、， AB2+AO2OB236， （AB+AO）236+8， AB+AO2， ABO 的周长AO+BO+AB6+2， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11若将方程 x24x+10 化为（x+m）2n 的形式，则 m 2 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方后，可得 m 的值 【解答】解：方程 x24x+10， 移项得：x24x1， 配方得：x24x+43，即（x2）23， 则 m2 故答案为：2 12某物体对地面的压强 P（Pa）与物体和地面的接触面积 S（m2）成反比例函数关系（如图） 当该物体 与地面的接触面积为 0.25m2时，该物体对地面的压强是 4000 Pa
20、 【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案 【解答】解：设 P，把（0.5，2000）代入得： k1000， 故 P， 当 S0.25 时， P4000（Pa） 故答案为：4000 13有长为 30m 的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃 的面积是 72m2时，则 AB 4m 或 6m 【分析】设 AB 长为 xm，则 BC 长为（303x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是 72m2，即可 得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设 AB 长为 xm，则 BC 长为（303x）m， 根据题意得：x（303x）7
21、2， 整理得：x210 x+240， 解得：x14，x26 答：AB 的长 4m 或 6m 故答案是：4m 或 6m 14如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC 于点 E，若 AC6，BD8，则 OE 【分析】 先由菱形的性质得 OAOCAC3， OBBD4， ACBD， 再由勾股定理求出 BC 的长， 然后由面积法可求 OE 的长 【解答】解：菱形 ABCD 中，AC6，BD8， OAOCAC3，OBBD4，ACBD， BC5， OEBC， SOBCOBOCBCOE， OE， 故答案为： 15数学兴趣小组的同学设计用手电来测量附近某大厦 CD 的高度
22、如图，点 P 处放一水平的平面镜光 线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，且测得 AB1 米，BP1.5 米，PD48 米，那么该大厦的高度约为 32 米 【分析】因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利 用对应边成比例即可解答 【解答】解：ABPCDP90，APBCPD ABPPDC， ， CDAB132（米） ； 答：该大厦的高度是 32 米 故答案为：32 16已知：一次函数 y2x+10 的图象与反比例函数 y（k0）的图象相交于 A，B 两点（A 在 B 的右 侧） 直线 OA 与此反比例函数
23、图象的另一支交于另一点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D，ABC 的 面积 10 【分析】 过点 B 作 BMy 轴于 M， 过点 C 作 CNy 轴于 N， 连接 AD， 如图， 由可知， 要求ABC 的面积，只需求ABD 的面积，只需求出点 A、B、D、F 的坐标易得，可设 BM 2x，就用含有 x 和 k 的代数式表示点 A、B 的坐标，然后代入直线 y2x+10 就可解决问题 【解答】解：过点 B 作 BMy 轴于 M，过点 C 作 CNy 轴于 N，连接 AD，如图， 则有 BMCN， BMDCND， ， 设 BM2x，则 CN3x， 点 B（2x，） ，点 C（3x，） 根据对称
24、性可得点 A（3x，） 点 A、B 在直线 y2x+10 上， ， 解得， 点 A（3，4） ，点 B（2，6） ，点 C（3，4） 设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 则有， 解得， 直线 BC 的解析式为 y2x+2 点 D 是直线 BC 与 y 轴的交点， 点 D（0，2） 点 F 是直线 AB 与 y 轴的交点， 点 F（0，10） ， SABDSADFSBDF （102）3（102）24 ， SABCSABD410 故答案为 10 三解答题三解答题 17解方程： （1）x（x+3）2x+6； （2）2x23x50 【分析】 （1）先变形得到 x（x+3）2（x+3）0，然后利用因
25、式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）x（x+3）2（x+3）0， （x+3） （x2）0， x+30 或 x20， 所以 x13；x22； （2） （2x5） （x+1）0， 2x50 或 x+10， 所以 x1；x21 18随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷为此，老师设计了“你最喜欢的沟通 方式” 调查问卷 （每人必选且只选一种） 进行调查 将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图， 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次参与调查的共有 2000 人； 在扇形统计图中， 表示 “微信” 的扇形圆心角的度数为 144 ； （2）将
26、条形统计图补充完整； （3）如果我国有 13 亿人在使用手机； 请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数； 在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？ 【分析】 （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用 360乘以利用沟通人数占被调查 人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据 5 种方式的人数之和等于总人数求出使用微信的人数，从而补全图 形； （3）用总人数乘以样本中用微信人数所占比例； 先求出抽取的恰好使用“QQ”的频率，再用频率估计概率即可得出答案 【解答】解： （1）喜欢用电话沟通的人数为 400，所占百分比为 20%，
27、 此次共抽查了 40020%2000（人） ， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360144， 故答案为：2000；144 （2）短信人数为 20005%100（人） ，微信人数为 2000（400+440+260+100）800（人） ， 如图： （3）由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有 800 人， 所以在全国使用手机的 13 亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有 135.2（亿人） 由（1）可知：参与这次调查的共有 2000 人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为 440 人， 所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是100%
28、22% 所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 22% 19已知，如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB5m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC3m （1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影； （2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长 【分析】 （1）根据投影的定义，作出投影即可； （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系计算可得 DE10（m） 【解答】解： （1）连接 AC，过点 D 作 DFAC，交直线 BC 于点 F，线段 EF 即为 DE
29、的投影 （2）ACDF， ACBDFE ABCDEF90 ABCDEF ， DE10（m） 说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线 AC 和 DF，再连接 EF 即可 20某商店进了一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，使库存减 少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到 1200 元？ 【分析】设每件衬衫应降价 x 元，则销售每件衬衫的利润为（40 x）元，平均每天的销售量为（20+2x） 件，根据总利润销售每件的利润日销售量，即可得
30、出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可 得出结论 【解答】 解： 设每件衬衫应降价 x 元， 则销售每件衬衫的利润为 （40 x） 元， 平均每天的销售量为 （20+2x） 件， 依题意，得： （40 x） （20+2x）1200， 解得：x110，x220 当 x10 时，20+2x40； 当 x20 时，20+2x60 要使库存减少最快， x20 答：当每件衬衫应降价 20 元时，商场平均每天盈利达到 1200 元 21如图，在ABC，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADEACB，相似比为 AD：AC2：3，ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F，求
31、AG 与 GF 的比 【分析】根据相似三角形的性质得出ADEACB，AEDABC，因为 AF 是BAC 的平分线，所 以BAFCAF，然后根据三角形外角的性质求得AGDAFC，即可判定AGDAFC，根据相 似三角形的性质求得，即可求得 AG：GF2：1 【解答】解：ADEACB， ADEACB，AEDABC， AF 是BAC 的平分线， BAFCAF， AGDCAF+AED，AFCBAF+ABC， AGDAFC， AGDAFC， ， AG：GF2：1 22如图，RtABO 的顶点 A 是双曲线 y与直线 yx（k+1）在第二象限的交点ABx 轴于 B， 且 SABO （1）求这两个函数的解析式
32、； （2）求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和AOC 的面积 【分析】 （1）欲求这两个函数的解析式，关键求 k 值根据反比例函数性质，k 绝对值为 3 且为负数， 由此即可求出 k； （2）交点 A、C 的坐标是方程组的解，解之即得；从图形上可看出AOC 的面积为两小三 角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出 【解答】解： （1）设 A 点坐标为（x，y） ，且 x0，y0， 则 SABO|BO|BA| （x） y， xy3， 又y， 即 xyk， k3 所求的两个函数的解析式分别为 y，yx+2； （2）由 yx+2， 令 x0，得 y2 直线 yx+2 与 y 轴的交点 D 的
33、坐标为（0，2） ， A、C 两点坐标满足 交点 A 为（1，3） ，C 为（3，1） ， SAOCSODA+SODCOD （|x1|+|x2|）2（3+1）4 23心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化学生 的注意力指数 y 随时间 x（分）的变化规律如图所示（其中 AB、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分） （1）上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较， 5 分钟时学生的注意力更集中 （2）分别求出线段 AB 和双曲线 CD 的函数关系式 （3）一道数学题，需要讲 18 分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于 40，那
34、么经 过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【分析】 （1）根据图象信息即可得到结论； （2）利用待定系数法分别求出 AB 和 CD 的函数表达式，进而得出答案； （3）分别求出注意力指数为 36 时的两个时间，再将两时间之差和 19 比较，大于 19 则能讲完，否则不 能 【解答】解： （1）由图象知，上课后的第 5 分钟与第 30 分钟相比较，5 分钟时学生的注意力更集中， 故答案为：5； （2）设线段 AB 的解析式为：yABkx+b， 把（10，50）和（0，30）代入得， 解得：， 直线 AB 的解析式为：yAB2x+30； 设双曲线 CD 的函数关系式为
35、：yCD， 把（20，50）代入得，50， a1000， 双曲线 CD 的函数关系式为：； （3）当 y40 时，2x+3040，x5. 2552018 教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题 24如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点、F 是 AC 中点，AN 是ABC 的外角MAC 的平分线， 延长 DF 交 AN 于点 E，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）若 ABBC4，则四边形 ADCE 的面积为多少？ （3）直接回答：当ABC 满足 BAC90 时，四边形 ADCE 是正方形 【分析】（1） 根据 AN 是ABC 外角CAM 的平分线， 推
36、得MAE （B+ACB） ， 再由BACB， 得MAEB，则 ANBC，根据三角形中位线的性质得 FDAB，可得四边形 ABDE 为平行四边形， 则 AEBDCD，得出四边形 ADCE 为平行四边形，再证出 ADAE 即可得出四边形 ADCE 为矩形 （2）由（1）知四边形 ADCE 是矩形，由条件可证明ABC 为等边三角形，求出 CD 和 AD 长，则四边 形 ADCE 的面积可求出； （3）由（1）知四边形 ADCE 是矩形，增加条件能使 ADDC 即可 【解答】 （1）证明：AN 是ABC 外角CAM 的平分线， MAEMAC， MACB+ACB， ABAC， BACB， MAEB， A
37、NBC， F 为 AC 的中点，D 为 BC 的中点， FDAB， 四边形 ABDE 为平行四边形， AEBD， BDCD， AECD， 四边形 ADCE 为平行四边形， ABAC，点 D 为 BC 中点， ADBC， ADAE， DAE90， 四边形 ADCE 为矩形； （2）解：由（1）知四边形 ADCE 是矩形， BCAB4，ABAC， ABC 是等边三角形， ABACBC4， D 为 BC 的中点， ADC90，BDCD2， AD2， 四边形 ADCE 的面积为 CDAD224； （3）解：答案不唯一，如当BAC90时，四边形 ADCE 是正方形 BAC90，ABAC， ABC 为等腰
38、直角三角形， D 为 BC 的中点， ADDC， 四边形 ADCE 为矩形， 四边形 ADCE 为正方形 故答案为：BAC90 25如图：在 RtAOB 中，AOB90，OB2，ABx 轴，双曲线 y经过点 B，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上AB 的对应线段 CB 恰好经过点 O （1）求证OBD 是等边三角形； （2）求出双曲线的解析式，并判断点 C 是否在双曲线上，请说明理由； （3） 在 y 轴上是否存在一点 P， 使PBD 的周长最小？若存在， 求点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）根据 ABx 轴，已经旋转的特征，可
39、证OBD 的三个内角相等即可证明结论 （2）根据（1）的结论，可求出点 B 的坐标，从而出去反比例函数的解析式，再根据边角关系求出点 C 的坐标，即可判断点 C 是否在反比例函数图像上 （3）PBD 的周长最小，作 B 关于 y 轴的对称点 B，根据已知求出直线 BD 解析式，即可求出点 P 的坐标 【解答】解： （1）ABx 轴， ABOBOD， ABOCBD， BODOBD， OBOD， BODBDO， BOD 是等边三角形 （2）由（1）得：BOD 是等边三角形 BOD60 OB2 双曲线 y经过点 B， k 双曲线的解析式为 y； ABO60，AOB60 A30， AB2BO， ABBC， BC2OB， OCOB， C ， 点 C 在双曲线上； （3）PBD 的周长 BD+PB+PD，且 BD 是定值， 当 PB+PD 取最小值时，PBD 有最小值， 如图，作点 B 关于 y 轴的对称点，连接 BD 交 y 轴于点 P， B OB2 BOD 是等边三角形， BOOD2， 点 D（2，0） ， 设直线 BD 解析式为 ykx+b， ， ， ， 当 x0 时，y， 点 P