1、2021 年中考一轮复习几何图形变换综合解题题培优提升专题训练年中考一轮复习几何图形变换综合解题题培优提升专题训练 1如图 1，在 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜边 BC 上两动点，且DAE45，将ABE 绕点 A 逆时 针旋转 90 后，得到AFC，连接 DF （1）试说明：AEDAFD； （2）当 BE3，CE9 时，求BCF 的度数和 DE 的长； （3）如图 2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，D 是斜边 BC 所在直线上 一点，BD3，BC8，求 DE2的长 2已知ABC 是边长为 4 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA6，点 D 是射
2、线 OM 上的动点，当 点 D 不与点 A 重合时，将ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到BCE，连接 DE （1）如图 1，求证：CDE 是等边三角形 （2）设 ODt， 当 6t10 时，BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE 周长的最小值；若不存在，请 说明理由 求 t 为何值时，DEB 是直角三角形（直接写出结果即可） 3如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，CD 是中线，一个以点 D 为顶点的 45角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC、BC 的延长线相交，交点分别为点 E、F，DF 与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N （1）如图 1，若
3、CECF，求证：DEDF （2）在EDF 绕点 D 旋转过程中： 如图 2，探究三条线段 AB、CE、CF 之间的数量关系，并说明理由； 如图 3，过点 D 作 DGBC 于点 G若 CE4，CF2，求 DN 的长 4如图，在ABC 中，ABBC，B90，点 D 为直线 BC 上一个动点（不与 B，C 重合） ，连结 AD将 线段 AD 绕点 D 按顺时针方向旋转 90得到线段 DE，连结 EC （1）如图 1，点 D 在线段 BC 上，依题意画图得到图 2 求证：BADEDC； 方方同学通过观察、测量得出结论：在点 D 运动的过程中，总有DCE135方方的主要思路有 以下几个： 思路一：在
4、AB 上取一点 F 使得 BFBD，要证DCE135，只需证ADFDEC 思路二：以点 D 为圆心，DC 为半径画弧交 AC 于点 F，要证DCE135，只需证AFDECD 思路三：过点 E 作 BC 所在直线的垂线段 EF，要证DCE135只需证 EFCF 请你参考井选择其中一个思路，证明DCE135； （2）如果点 D 在线段 CB 的延长线上运动，利用图 3 画图分析，DCE 的度数还是确定的值吗？如果 是，请写出DCE 的度数并说明理由；如果不是，也请说明你的理由 5如图 1，已知ACB90，ACBC，BDDE，AEDE，垂足分别为 D、E （这几何模型具备“一 线三直角” ）如下图
5、1： （1）请你证明：ACECBD；若 AE3，BD5，求 DE 的长； （2）迁移：如图 2：在等腰 RtABC 中，且C90，CD2，BD3，D、E 分别是边 BC，AC 上 的点，将 DE 绕点 D 顺时针旋转 90，点 E 刚好落在边 AB 上的点 F 处，则 CE （不要求写 过程） 6已知，如图，在ABC 中，ACB90，B60，BC2，MON30 （1）如图 1，MON 的边 MOAB，边 ON 过点 C，求 AO 的长； （2）如图 2，将图 1 中的MON 向右平移，MON 的两边分别与ABC 的边 AC、BC 相交于点 E、F， 连接 EF，若OEF 是直角三角形，求 AO
6、 的长； （3）在（2）的条件下，MON 与ABC 重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不 存在，请说明理由 7活动一：已知如图 1，ABAD，DEAD，BCCE，且 ABCD求证：ABCDCE 活动二：动手操作，将两个斜边长相等的直角三角形纸片按图 2 放置，其中ACBCED90，A 45，D30把DCE 绕点 C 按顺时针方向旋转 15得到MCN如图 3，连接 MB，求证： ACBCBM 活动三：如图 4，已知点 C 坐标为（0，2） ，B 为 x 轴上一点，ABC 是以 BC 为腰的在第一象限的等腰 直角三角形，BCA90，当 B 点从原点出发沿 x 轴正半轴运动时，在图中
7、画出 A 点运动路线并请 说明理由 8如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，以 C 为顶点作等腰直角三角形 CMN使CMN90， 连接 BN，射线 NM 交 BC 于点 D （1）如图 1，若点 A，M，N 在一条直线上， 求证：BN+CMAM； 若 AM4，BN，求 BD 的长； （2）如图 2，若 AB4，CN2，将CMN 绕点 C 顺时针旋转一周，在旋转过程中射线 NM 交 AB 于点 H，当三角形 DBH 是直角三角形时，请你直接写出 CD 的长 9如图，等边ABC 与等腰三角形EDC 有公共顶点 C，其中EDC120，ABCE2，连接 BE， P 为 BE 的中点，连接 PD、A
8、D （1）为了研究线段 AD 与 PD 的数量关系，将图 1 中的EDC 绕点 C 旋转一个适当的角度，使 CE 与 CA 重合，如图 2，请直接写出 AD 与 PD 的数量关系； （2）如图 1， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，若ACD45，求PAD 的面积 10在四边形 ABCD 中，ABCD90，ABCD10，BCAD8 （1）P 为边 BC 上一点，将ABP 沿直线 AP 翻折至AEP 的位置（点 B 落在点 E 处） 如图 1，当点 E 落在 CD 边上时，利用尺规作图，在图 1 中作出满足条件的图形（不写作法，保留作 图痕迹
9、，用 2B 铅笔加粗加黑） 并直接写出此时 DE ； 如图 2，若点 P 为 BC 边的中点，连接 CE，则 CE 与 AP 有何位置关系？请说明理由； （2）点 Q 为射线 DC 上的一个动点，将ADQ 沿 AQ 翻折，点 D 恰好落在直线 BQ 上的点 D处，则 DQ ； 11已知，把 RtABC 和 RtDEF 按图 1 摆放， （点 C 与 E 点重合） ，点 B、C、E、F 始终在同一条直线 上，ACBEDF90，DEF45，AC8，BC6，EF10，如图 2，DEF 从图 1 的位置出 发，以每秒 1 个单位的速度沿 CB 方向匀速移动，同时，点 P 从 A 出发，沿 AB 以每秒
10、 1 个单位向点 B 匀速移动，AC 与DEF 的直角边相交于 Q，当 P 到达终点 B 时，DEF 同时停止运动连接 PQ，设移 动的时间为（s）解答下列问题： （1）DEF 在平移的过程中，当点 D 在 RtABC 的 AC 边上时，求 AB 和 t 的值； （2）在移动的过程中，是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 12等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE 中，BACDAE90，AB4，AE2，其中ABC 固定，ADE 绕点 A 作 360旋转，点 F、M、N 分别为线段 BE、BC、CD 的中点，连接 MN、NF 问题提出： （1）如图
11、1，当 AD 在线段 AC 上时，则MNF 的度数为 ，线段 MN 和线段 NF 的数 量关系为 ； 深入讨论： （2）如图 2，当 AD 不在线段 AC 上时，请求出MNF 的度数及线段 MN 和线段 NF 的数量关 系； 拓展延伸：（3） 如图3， ADE持续旋转过程中， 若CE与BD交点为P， 则BCP面积的最小值为 13如图，等腰ABC 中，CACB4，ACB120，点 D 在线段 AB 上运动（不与 A、B 重合） ，将 CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ （1）证明：CPCQ； （2）求PCQ 的度数； （3）当点 D 是 AB 中点时，请直接写出P
12、DQ 是何种三角形 14在数学活动中，小明发现将两块不同的等腰直角三角板进行旋转，能得到一组结论：在其中一块三角 板 RtABC， ABBC4， B 为直角， 将另一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AC 的中点 O 处， 将三角板绕点 O 旋转，三角板的两直角边分别交 AB、BC 或其延长线于 E、F 两点，如图与是旋转 三角板所得图形的两种情况 （1）三角板绕点 O 旋转，OFC 是否能成为等腰直角三角形？若能，求出 CF；若不能，请说明理由； （2）三角板绕点 O 旋转，线段 OE 和 OF 之间有什么数量关系？用图加以证明； （3） 若将三角板的直角原点放在斜边上的点 P 处 （如图
13、） ， 当， PF 和 PE 有怎样的数量关系， 证明你发现的结论 15旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而 方便解决问题 已知，ABC 中，ABAC，BAC，点 D、E 在边 BC 上，且DAE （1）如图 1，当 60时，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 60到AFB 的位置，连接 DF， 求DAF 的度数； 求证：ADEADF； （2）如图 2，当 90时，猜想 BD、DE、CE 的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当 120，BD4，CE5 时，请直接写出 DE 的长为 16如图，在ABC 中，ABC90，BABC将线段 AB 绕
14、点 A 逆时针旋转 90得到线段 AD，E 是 边 BC 上的一动点，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 BF （1）求证：FBFD； （2）点 H 在边 BC 上，且 BHCE，连接 AH 交 BF 于点 N 判断 AH 与 BF 的位置关系，并证明你的结论； 连接 CN若 AB2，请直接写出线段 CN 长度的最小值 17如图在等腰 RtABC 中，BAC90，ABAC2，M 为 AC 的中点D 是射线 CB 上一个动点， 连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 MN （1）如图 1，BCE ，NM 与 AC 的位置关系是
15、 ； （2）如图 2，判断（1）中 NM 与 AC 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 CD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写 出结果 18将一副直角三角尺按图 1 摆放，其中C90，EDF90，B60，F45，等腰直角三 角尺的直角边 DF 恰好垂直平分 AB，与 AC 相交于点 G，BC4cm （1）求 DG 的长； （2）如图 2将DEF 绕点 D 按顺时针方向旋转，直角边 DF 经过点 C，另一直角边 DE 与 AC 相交于 点 H，分别过点 H，D 作 AB，BC 的垂线，垂足分别为点 M，N猜想 HM 与 CN
16、 之间的数量关系，并证 明； （3）如图 3，在旋转的过程中，若DEF 两边 DE，DF 与ABC 两边 AC，BC 分别交于 K、T 两点，则 KT 的最小值为 19类比探究： （1）如图 1，等边ABC 内有一点 P，若 AP8，BP15，CP17，求APB 的大小； （提示：将ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处） （2）如图 2，在ABC 中，CAB90，ABAC，E、F 为 BC 上的点，且EAF45求证：EF2 BE2+FC2； （3）如图 3，在ABC 中，C90，ABC30，点 O 为ABC 内一点，连接 AO、BO、CO， 且AOCCOBBOA120，若 AC1，求 OA+OB
17、+OC 的值 20已知：如图，ABC 是等边三角形，点 D 是平面内一点，连接 CD，将线段 CD 绕 C 逆时针旋转 60 得到线段 CE，连接 BE，AD，并延长 AD 交 BE 于点 P （1）当点 D 在图 1 所在的位置时 求证：ADCBEC； 求APB 的度数； 求证：PD+PEPC； （2）如图 2，当ABC 边长为 4，AD2 时，请直接写出线段 CE 的最大值 参考答案参考答案 1解： （1）如图 1 中， BAECAF， AEAF，BAECAF， BAC90，EAD45， CAD+BAECAD+CAF45， DAEDAF，DADA，AEAF， AEDAFD； （2）如图 1
18、 中，设 DEx，则 CD9x ABAC，BAC90， BACB45， ABEACF45， DCF90， AEDAFD， DEDFx， 在 RtDCF 中，DF2CD2+CF2，CFBE3， x2（9x）2+32， x5， DE5 （3）当点 D 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BE BACEAD90， EABDAC， AEAD，ABAC， EADADC， ABECABC45，EBCD5， EBD90， DE2BE2+BD252+3234， 当点 D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，连接 BE 同法可证DBE 是直角三角形，EBCD11，DB3， DE2EB2+BD2121+91
19、30， 综上所述，DE2的值为 34 或 130 2解： （1）证明：将ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到BCE， DCE60，DCEC， CDE 是等边三角形； （2）存在，当 6t10 时， 由旋转的性质得，BEAD， CDBEBE+DB+DEAB+DE4+DE， 由（1）知，CDE 是等边三角形， DECD， CDBECD+4， 由垂线段最短可知，当 CDAB 时，BDE 的周长最小， 此时，CD2， BDE 的最小周长CD+42+4； （3）存在，当点 D 与点 B 重合时，D，B，E 不能构成三角形， 当点 D 与点 B 重合时，不符合题意， 当 0t6 时，由旋转可知，AB
20、E60，BDE60， BED90， 由（1）可知，CDE 是等边三角形， DEB60， CEB30， CEBCDA， CDA30， CAB60， ACDADC30， DACA4， ODOADA642， t2； 当 6t10 时，由DBE12090， 此时不存在； 当 t10 时，由旋转的性质可知，DBE60， 又由（1）知CDE60， BDECDE+BDC60+BDC， 而BDC0， BDE60， 只能BDE90， 从而BCD30， BDBC4， OD14， t14， 综上所述：当 t2 或 14 时，以 D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形 3 （1）证明：ACB90，ACBC，ADBD，
21、 BCDACD45，BCEACF90， DCEDCF135， 在DCE 与DCF 中， DCEDCF（SAS） ， DEDF； （2）解：DCFDCE135， CDF+F18013545， CDF+CDE45， FCDE， CDFCED， ， 即 CD2CECF， ACB90，ACBC，ADBD， CDAB， AB24CECF； 如图，过 D 作 DGBC 于 G， 则DGNECN90，CGDG， 当 CE4，CF2 时， 由 CD2CECF 得 CD2， 在 RtDCG 中，CGDGCDsinDCG2sin452， ECNDGN，ENCDNG， CENGDN， 2， GNCG， DN 4解：
22、 （1）证明：B90， BAD+BDA90， ADE90，点 D 在线段 BC 上， BAD+EDC90， BADEDC； 证法 1：如图 1，在 AB 上取点 F，使得 BFBD，连接 DF， BFBD，B90， BFD45， AFD135， BABC， AFCD， 在ADF 和DEC 中， ADFDEC， （SAS） ， DCEAFD135； 证法 2：如图 2，以 D 为圆心，DC 为半径作弧交 AC 于点 F，连接 DF， DCDF，DFCDCF， B90，ABBC， ACB45，DFC45， DFC90，AFD135， ADEFDC90， ADFEDC， 在ADFCDE 中， ADF
23、CDE， （SAS） ， AFDDCE135； 证法 3：如图 3，过点 E 作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F， EFD90， B90， EFDB， 在ABD 和DFE 中， ABDDFE， （AAS） ， ABDF，BDEF， ABBC， BCDF，BCDCDFDC， 即 BDCF， EFCF， EFC90， ECF45，DCE135； （2）解：DCE45， 理由：如图 4，过 E 作 EFDC 于 F， ABD90， EDFDAB90ADB， 在ABD 和DFE 中， ABDDFE， （AAS） ， DBEF，ABDFBC， BCBFDFBF， 即 FCDB， FCEF， DCE
24、45 5解： （1）BDDE，AEDE， AECBDC90， CAE+ACE90， ACB90， ACE+BCD90， CAEBCD， 在ACE 和CBD 中， ACECBD（AAS） ； 由知，ACECBD， CDAE3，CEBD5， DECD+CE3+58； （2）如图 2， 过点 F 作 FGBC 于 G， DGF90， GDF+DFG90， 由旋转知，DEDF，EDF90， CDE+GDF90， CDEDFG， 在CDE 和GFD 中， CDEGFD（AAS） ， CEDE，FGCD2， ABC 是等腰直角三角形， B45， 在 RtBGF 中，BGFG2， DGBDBG1， CE1，
25、 故答案为：1 6解： （1）MON30，MOAB， COB60， B60 BOC 是等边三角形 BC2， BO2 在ABC 中，ACB90，B60，BC2， AB4 AOABBO2 （2）OEF90 设 AOx，根据题意得 OB4x，OF4x， ， ， OFE90 设 AOx，根据题意得 OB4x，OF4x， ， OEF 是直角三角形时，AO 长为或 （3）设 AOx，根据题意得 OB4x， 设重叠部分的面积为 S，根据题意得：SSABCSAOESOBF 整理得： ， S 有最大值 当时，S 最大值 7活动一：证明：如图 1，ABAD，BCCE， ABC+BCA90， ECD+BCA90，
26、ABCDCE， BACCDE90，ABCD， ABCDCE（ASA） 活动二：证明：如图 3，CNM90，CMN30， MCN60， BCN15， MCB45， A45， ABCM， ABCM，ACCB， ACBCBM（SAS） 活动三：解：作 AHy 轴于 H C（0，2） ， OC2， AHCCOBACB90， HAC+ACH90，ACH+BCO90， HACBCO， ACCB， ACHCBO（AAS） ， AHOC2， 点 A 的横坐标为 2， 点 A 在平行于 y 轴的射线上运动，射线与 y 轴之间的距离为 2（如图中竖直虚线） 8证明： （1）如图，过点 C 作 CFCN，交 AN
27、于点 F， CMN 是等腰直角三角形， CNM45，CMMN， CFCN，ACB90， FCNACB，CFNCNF45， ACFBCN，CFCN，且 ACBC， ACFBCN（SAS） ， AFBN， CFCN，CMMN， MFMNCM， AMAF+FMBN+CM AM4，BN，BN+CMAM， CMMN， ACFBCN， CAFCBN， CAF+ACFCFN45，BCN+MCDMCN45 CAFMCD，且CAFCBN， MCDCBN CMBN MCDNBD，CMDBND90 MDND MD+NDMN ND 在 RtDNB 中，BD （2）若BDH90，如图，此时点 M 与点 D 重合， CM
28、N 是等腰直角三角形，CN2 CMMN CD， 若BHD90，如图， BHD90，B45， BDH45 CDN45N CDCN2 9解： （1）如图 2 中， DCDA，CDA120， PCA30， ABC 是等边三角形， CAP60， CPA90， 由题意：在 RtAPD 中，APD90，PAD30， AD2PD （2）结论成立 理由：如图 1 中，延长 ED 到 F，使得 DFDE，连接 BF，CF BPEP，DEDF， BF2PD，BFPD， EDC120， FDC60，DFDEDC， DFC 是等边三角形， CBCA，BCADCF60， BCFACD， CFCD， BCFACD（SAS
29、） ， BFAD， AD2PD （3）如图 1 中，延长 BF 交 AD 于 G，由（2）得到FBCDAC， AGBACB60， DPBG， ADPAGB60， 如图 3 中，作 DMAC 于 M，PNAD 于 N设 DNa，则 PD2a，AD2PD4a，PNa，可得 PNAD， 在等腰CDE 中，CE2，CDE120， CDDE2， ACD45， CMDM2AM22， 在 RtADM 中，AD2（22）2+22328 在 RtPAD 中，SPADADPNAD243 10解： （1）如图 1 中，以 A 为圆心 AB 为半径画弧交 CD 于 E，作EAB 的平分线交 BC 于点 P，点 P 即
30、为所求 在 RtADE 中，D90，AEAB10，AD8， DE6， 故答案为 6 如图 2 中，结论：ECPA 理由：由翻折不变性可知：AEAB，PEPB， PA 垂直平分线段 BE， 即 PABE， PBPCPE， BEC90， ECBE， ECPA （2）如图 31 中，当点 Q 在线段 CD 上时，设 DQQDx 在 RtADB 中，ADAD8，AB10，ADB90， BD6， 在 RtBQC 中，CQ2+BC2BQ2， （10 x）2+82（x+6）2， x4， DQ4 如图 32 中，当点 Q 在线段 DC 的延长线上时， DQAB， DQAQAB， DQAAQB， QABAQB，
31、 ABBQ10， 在 RtBCQ 中，CQ6， DQDC+CQ16， 综上所述，满足条件的 DQ 的值为 4 或 16 故答案为 4 和 16 11解： （1）作 DHEF 于 H如图 1， 在 RtABC 中， ACB90，AC8，BC6， AB10， EDF90，DEF45， F45， HEHFEF， EF10， EH5， t5s 时，点 D 在 AC 边上； （2）当 0t5，即直角边 DE 与 AC 相交于 Q 点时， 由题意知：APCECQt AQ8t （）当 APAQ 时，t8t 解得 t4 （）如图 21 中，当 PAPQ 时，作 PMAQ 于 M， 则 AMQMAQ（8t） 经
32、探索：APMABC ， 即 ， AMt， t（8t） ， 解得 t， （）如图 22 中，当 QPQA 时，作 QNAP 于 N， 则 ANPNAPt， 经探索：AQNABC， 即 ， t； 当 5t10 时，即直角边 DF 与 AC 相交于 Q 点时， 由题意知：APCEt，CQCF10t，PB10t，AQt2 （） 当 APAQ 时， tt2 不存在 （）如图 23 中，当 QAQP 时，作 QGAP 于 G， 则 PGAGAPt， AQGABC ， 即， t； （）如图 14 中，当 PAPQ 时，作 PIAQ 于 I， 则 AIQIAQ（t2） ， 经探索：APIABC， ， 即 t（
33、舍去） ； 综上所述：当 t4，时，APQ 是等腰三角形 12解： （1）如图 1 中，连接 DB，MF，CE，延长 BD 交 EC 于 H ACAB，AEAD，BADCAE90， BADCAE（SAS） ， BDEC，ACEABD， ABD+ADB90，ADBCDH， ADH+DCH90， CHD90， ECBH， BMMC，BFFE， MFEC，MFEC， CMMB，CNND， MNBD，MNBD， MNMF，MNMF， NMF90， MNF45，NFMN 故答案为：45 （2） ：如图 2 中，连接 MF，EC，BD设 EC 交 AB 于 O，BD 交 EC 于 H ACAB，AEAD，
34、BADCAE90， BADCAE， BADCAE（SAS） ， BDEC，ACEABD， AOC+ACO90，AOCBOH， OBH+BOH90， BHO90， ECBD， BMMC，BFFE， MFEC，MFEC， CMMB，CNND， MNBD，MNBD， MNMF，MNMF， NMF90， MNF45，NFMN （3） ：如图 3 中，如图以 A 为圆心 AD 为半径作A 当直线 PB 与A 相切时，此时CBP 的值最小，点 P 到 BC 的距离最小，即BCP 的面积最小， ADAE，ABAC，BACDAE90， BADCAE， BADCAE（SAS） ， ACEABD，BDEC， AB
35、D+AOB90，AOBCPO， CPB90， PB 是A 的切线， ADP90， DPEADPDAE90， 四边形 ADPE 是矩形， AEAD， 四边形 ADPE 是正方形， ADAEPDPE2，BDEC2， PC22，PB2+2， SBCP的最小值PCPB（22） （2+2）4 13解： （1）将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ， CPCDCQ； （2）将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ， ACPACD，BCQBCD， ACP+BCQACD+BCDACB120， PCQ360（ACP+BCQ+ACB）360（120+120
36、）120； （3）PDQ 是等边三角形 理由：将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ， ADAP，DACPAC， DAC30， APD60， APD 是等边三角形， PDAD，ADP60， 同理：BDQ 是等边三角形， DQBD，BDQ60， PDQ60， 当点 D 在 AB 的中点， ADBD， PDDQ， DPQ 是等边三角形 14解： （1）OFC 能成为等腰直角三角形， RtABC，ABBC4， C45， OFC 是等腰直角三角形， OFC90或COF90， 当OFC90时，OFBC， B90， OFAB， 点 O 是 AC 的中点， 点 F 是 BC 的
37、中点， CFBC2， 当COF90时，此时点 F 和点 B 重合，CFBC4， 即：CF2 或 CF4； （2）OEOF， 理由：连结 OB，CF，如图， ABBC，ABC90，O 点为 AC 的中点， OBACOC，BOC90 EOF90， EOBFOC OBE90+45135， OCF18045135， OBEOCF OEBOFC（ASA） OEOF； （3）PF4PE，如图，过点 P 作 PNAB 于 N，PMBC 于 M， B90， MPN90， EPF90， EPNFPN ENPFMP90， PNEPMF， ， APN 和PCM 为等腰直角三角形， APNPCM， ， ， 即：PF4
38、PE 15解： （1）由旋转得，FABCAE， BAD+CAEBACDAE603030， DAFBAD+BAFBAD+CAE30； 由旋转知，AFAE，BAFCAE， BAF+BADCAE+BADBACDAEDAE， 在ADE 和ADF 中， ADEADF（SAS） ； （2）BD2+CE2DE2， 理由：如图 2，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90到AFB 的位置，连接 DF， BFCE，ABFACB， 由（1）知，ADEADF， DEDF， ABAC，BAC90， ABCACB45， DBFABC+ABFABC+ACB90， 根据勾股定理得，BD2+BF2DF2， 即：BD2+CE2DE
39、2； （3）如图 3，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 120到AFB 的位置，连接 DF， BFCE，ABFACB， 由（1）知，ADEADF， DEDF，BFCE5， ABAC，BAC120， ABCACB30， DBFABC+ABFABC+ACB60， 过点 F 作 FMBC 于 M， 在 RtBMF 中，BFM90DBF30， BF5， BM，FM， BD4， DMBDBM， 根据勾股定理得，DF， DEDF， 故答案为 16 （1）证明：如图 1 中， BABC，ABC90， BACACB45， 线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AD， BAD90，BAAD， FADFA
40、B45， AFAF， FADFAB（SAS） ， BFDF （2）解：结论：AHBF 理由：如图 2 中，连接 CD ABC+BAD180， ADBC， ADABBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC90， 四边形 ABCD 是矩形， ABBC， 四边形 ABCD 是正方形， BACD，ABHDCE，BHCE， ABHDCE（SAS） ， BAHCDE， FCDFCB45，CFCF，CDCB， CFDCFB（SAS） ， CDFCBF， BAHCBF， CBF+ABF90， BAH+ABF90， ANB90， AHBF 如图 3 中，取 AB 的中点 O，连接 ON，OC ANB90
41、，AOOB， ONAB1， 在 RtOBC 中，OC， CNOCON， CN1， CN 的最小值为1 17解： （1）如图 1 中，连接 AN，CN ABC，ADE 都是等腰直角三角形， ABAC，ADAE，BACDAE90，BACB45 BADCAE， BADCAE（SAS） ， ABDACE45， ECB45+4590， DNEN， CNDE，同法 ANDE， NANC， AMMC， NMAC， 故答案为 90，MNAC （2）如图 2 中，结论不变 理由：连接 AN，CN ABC，ADE 都是等腰直角三角形， ABAC，ADAE，BACDAE90，BACB45 BADCAE， BADCA
42、E（SAS） ， ABDACE， ABCACB45， ABDACE135， DCE90， DNEN， CNDE，同法 ANDE， NANC， AMMC， NMAC （3）如图 3 中， 由（1）可知ECB90， CEBC， 当 MEEC 时，ME 的值最小， 在 RtABC 中，ABAC2， BC4， AMMC， 在 RtCME 中，ECMCME45， ECEM1， 由（1）可知：BADCAE， BDEC1， CD413 当 CD3 时，EM 的值最小，最小值为 1 18解： （1）如图 1 中， 在 RtABC 中，C90，BC4，CAB30 AB2BC8， DF 垂直平分线段 AB， AD
43、DB4， 在 RtADG 中，DGADtan3044 （2）结论：CNHM 理由：如图 2 中， ACB90，ADDB， CDDADB， B60， BDC 是等边三角形， DCBCDB60， ACBCDH90， MDHHCD30， CDDH， DHMDCN60，DMHDNC90， DMHDNC， ， CNHM （3）如图 3 中，连接 CD KCTKDT90， KCT+KDT180， K，D，T，C 四点共圆， KT 是该圆的直径， KTCD， 当 KTCD 时，KT 的长最短，此时 KTCDAB4 19解： （1）如图 1，将APB 绕着点 A 逆时针旋转 60得到ACP， ACPABP，
44、APAP8、CPBP15、APCAPB， 由题意知旋转角PA P60， AP P为等边三角形， P PAP8，A PP60， PP2+PC282+152172PC2， PPC90， APBAPCA PP+P PC60+90150 （2）如图 2，把ABE 绕着点 A 逆时针旋转 90得到ACE， 则 AEAE，CECE，CAEBAE， BAC90，EAF45， BAE+CAFCAF+CAEFAE45， EAFEAF，且 AEAE，AFAF， AEFAEF（SAS） ， EFEF， B+ACB90， ACB+ACE90， FCE90， EF2CF2+CE2， EF2BE2+CF2； （3）如图
45、3，将AOB 绕点 B 顺时针旋转 60至AOB 处，连接 OO， 在 RtABC 中，C90，AC1，ABC30， AB2， BC， AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60， AOB 如图所示； ABCABC+6030+6090， ACB90，AC1，ABC30， AB2AC2， AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60，得到AOB， ABAB2，BOBO，AOAO， BOO是等边三角形， BOOO，BOOBOO60， AOCCOBBOA120， COB+BOOBOA+BOO120+60180， C、O、A、O四点共线， 在 RtABC 中，AC， OA+OB+OCAO+OO+OCAC 20解
46、： （1）ABC 是等边三角形， ABACBC，BACACBABC60， 将线段 CD 绕 C 逆时针旋转 60得到线段 CE， CECD，DCE60， DCE 是等边三角形， ACD+DCB60，BCE+DCB60， ACDBCE， ACDBCE（SAS） ； ACDBCE， EBCDAC， DAC+BADBAC60， PBC+BAD60， APB180（ABC+PBC+BAP）180606060； 如图 1 由知，APB60ACB， 点 A，B，C，P 四点共圆， APCABC60， 在 PC 上取一点 F，使 PFPD， PDF 是等边三角形，DPDF，PDF60， CDE60， PDFCDE， PDEFDC， DEDC， DPEDFC（SAS） ， PEFC PD+PEPF+CFPC； （2）ABC 边长为 4， AC4， CDE 是等边三角形， CECD，要 CE 最大，即：CD 最大， 点 D 在 CA 的延长线时，CD最大CA+AD6， CE最大6