1、2021 年中考一轮复习圆综合型解答题培优提升专题训练年中考一轮复习圆综合型解答题培优提升专题训练 1如图，AB 是O 的直径，点 C、E 位于O 上 AB 两侧在 BA 的延长线上取点 D，使ACDB （1）求证：DC 是O 的切线； （2）当 BCEC 时，求证：AC2AEAD； （3）在（2）的条件下，若 BC4，AD：AE5：9，求O 的半径 2如图，已知 AC，BD 为O 的两条直径，连接 AB，BC，OEAB 于点 E，点 F 是半径 OC 的中点，连 接 EF （1）设O 的半径为 1，若BAC30，求线段 EF 的长 （2）连接 BF，DF，设 OB 与 EF 交于点 P， 求
2、证：PEPF 若 DFEF，求BAC 的度数 3如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为直径，BCCD，过点 C 作 CEAB 于点 E，CHAD 交 AD 的 延长线于点 H，连接 BD 交 CE 于点 G （1）求证：CH 是O 的切线； （2）若点 D 为 AH 的中点，求证：ADBE； （3）若 sinDBA，CG5，求 BD 的长 4如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，将ABC 沿直线 AB 折叠得到ABD，交O 于 点 D连接 CD 交 AB 于点 E，延长 BD 和 CA 相交于点 P，过点 A 作 AGCD 交 BP 于点 G （1）求证：直线 GA 是O
3、的切线； （2）求证：AC2GDBD； （3）若 tanAGB，PG6，求 cosP 的值 5如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，点 F 为 AC 延长线上一 点，且BAC2CDF （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 DE，求证：DEDB； （3）若 cosB，CF2，求O 的半径 6如图，在 RtABC 中，ACB90，点 O 在 AB 上，以线段 OB 的长为半径的O 与 AC 相切于点 D， O 分别交 BC、AB 于点 M、N，连接 ND 并延长交 BC 延长线于点 P （1）求证：BOD2P； （2）已知O 的半径为 5
4、 若 AN8，则 DC ； 连接 DM，当 AN 时，四边形 OBMD 是菱形 7如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，ADBC，垂足为 D，BE 分别交 AD、AC 延长线于 点 F、G （1）过点 A 作直线 MN，使得 MNBG，判断直线 MN 与O 的位置关系，并说理 （2）若 AC3，AB4，求 BG 的长 （3）连接 CE，探索线段 BD、CD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由 8如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上一点（不与 A、B 重合） ，D 为的中点，过点 D 作弦 DE AB 于 F，P 是 BA 延长线上一点，且PEAB （1）求证：PE 是O 的切线
5、； （2）连接 CA 与 DE 相交于点 G，CA 的延长线交 PE 于 H，求证：HEHG； （3）若 tanP，试求的值 9如图，O 是ABC 的外接圆，ABBC，延长 AC 到点 D，使得 CDCB，连接 BD 交O 于点 E，过 点 E 做 BC 的平行线交 CD 于点 F （1）求证：AEDE （2）求证：EF 为O 的切线； （3）若 AB5，BE3，求弦 AC 的长 10如图所示，RtABC 中：C90，AB6，在 AB 上取点 O，以 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，与 AC 相切于点 D，并分别与 AB，BC 相交于点 E，F（异于点 B） （1）求证：BD 平分ABC；
6、（2）若点 E 恰好是 AO 的中点，求弧 BF 的长； （3）若 CF 的长为 1，求O 的半径长 11如图，在O 中，AB 为O 的直径，过 O 点作 OCAB 且交O 于 C 点，延长 AB 到 D，过点 D 作O 的切线 DE，切点为 E，连接 CE 交 AB 于 F 点 （1）求证：DEDF； （2）若O 的半径为 2，求 CFCE 的值； （3）若O 的半径为 2，D30，则阴影部分的面积 12如图，ABC 内接于O，ACBC，弦 CD 与 AB 交于 E，ABCD，过 A 作 AFBC 于 F （1）判断 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由； （2）求证：AC2CF+BD；
7、（3）若 SCFASCBD，求 tanBDC 的值 13如图，AB 是O 的直径，CDAB，交O 于 C、D 两点，交 AB 点 E、F 是弧 BD 上一点，过点 F 作 一条直线，交 CD 的延长线于点 G，交 AB 的延长线于点 M连结 AF，交 CD 于点 H，GFGH （1）求证：MG 是O 的切线； （2）若弧 AF弧 CF，求证：HCAC； （3）在（2）的条件下，若 tanG，AE6，求 GM 的值 14如图，ABC 内接于O，ABAC，AD 是O 的弦，ADBC，AD 与 BC 相交于点 E （1）求证：CB 平分ACD； （2）过点 B 作 BGAC 于 G，交 AD 于点
8、F 猜想 AC、AG、CD 之间的数量关系，并且说明理由； 若 SABGSACD，O 的半径为 15，求 DF 的长 15如图，已知 AB 是O 的直径，AB4，点 C 是 AB 延长线上一点，且 BC2，点 D 是半圆的中点，点 P 是O 上任意一点 （1）当 PD 与 AB 交于点 E 且 PCCE 时，求证：PC 与O 相切； （2）在（1）的条件下，求 PC 的长； （3）点 P 是O 上动点，当 PD+PC 的值最小时，求 PC 的长 16如图，在ABC 中，ABAC10，tanA，点 O 是线段 AC 上一动点（不与点 A，点 C 重合） ， 以 OC 为半径的O 与线段 BC 的
9、另一个交点为 D，作 DEAB 于 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当O 与 AB 相切于点 F 时，求O 的半径； （3）在（2）的条件下，连接 OB 交 DE 于点 M，点 G 在线段 EF 上，连接 GO若GOM45，求 DM 和 FG 的长 17如图：AB 是O 的直径，AC 交O 于 G，E 是 AG 上一点，D 为BCE 内心，BE 交 AD 于 F，且 DBEBAD （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：DFDG； （3）若ADG45，DF1，求证：ADBD 18如图 F 为O 上的一点，过点 F 作O 的切线与直径 AC 的延长线交于点 D，过圆上的另一点
10、B 作 AO 的垂线，交 DF 的延长线于点 M，交O 于点 E，垂足为 H，连接 AF，交 BM 于点 G （1）求证：MFG 为等腰三角形 （2）若 ABMD，求证：FG2EGMF （3）在（2）的条件下，若 DF6，tanM，求 AG 的长 19如图，半圆O 中，直径 AB4，点 C 为弧 AB 中点，点 D 在弧 BC 上，连结 CD 并延长交 AB 的延长 线于点 E，连结 AD 交O 于点 F，连结 EF （1）求证：DCAACE； 若点 D 为 CE 中点，求 AE 的长 （2）求证：ACE 面积与AFE 的面积差为定值，并求出该定值 （3）若 tanFEA，求 tanFAO 的
11、值 20如图，线段 AB10，P 是线段 AB 上的动点，以 AP 为腰在线段 AB 的上方作等腰PAC，且 PAPC， cosCAP，以 P 为圆心，PB 长为半径作P 交腰 PC 于点 D（不与点 P，C 重合） （1）若 D 是 PC 的中点，求 AC 的长； （2）当P 与 AC 相切时，求P 的半径； （3）设 BDx，ACy 求 y 关于 x 的函数表达式； 连结 AD，当ADB 的外接圆的圆心 O 在P 上时，求 AC 的长 21如图，在ABC 中，ACAB，点 E 在 BC 上，以 BE 为直径的O 经过点 A，点 D 是直径 BE 下方半 圆的中点，AD 交 BC 于点 F，
12、且B2D （1）求B 的度数； （2）求证：AC 为O 的切线； （3）连接 DE，若 OD3，求的值 22如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，连接 AC，过弧 BD 上一点 E 作 EGAC 交 CD 的延长 线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且 EGFG，连接 CE （1）求证：ECFGCE； （2）求证：EG 是O 的切线； （3）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若，求 EM 的值 参考答案参考答案 1 （1）证明：连接 OC AB 是O 的直径， ACB90， CAB+B90， OAOC， CAOACO， ACO+B90， 又ACDB， ACD+ACO9
13、0， DCO90， DC 是O 的切线； （2）解：连接 BE BCEC， ， CABCBE， 四边形 CAEB 内接于圆， CBE+CAE180， 又CAD+CAB180， CADCAE， 又ACDB，BAEC， ACDAEC， ACDAEC， AC2AEAD； （3）解：设 AD5k，AE9k，则 AC3k， ACDAEC， ， ， CD， DD，ACDCBD， DCADBC， CD2DADB， DB， AB5k， ACB90， AC2+BC2AB2， （3k）2+（4）2（）2， 整理得：81k4+684k23200， （9k2+80） （9k24）0， k2， k0， k， AB10，
14、 O 的半径为 5 2 （1）解：OEAB，BAC30，OA1， AOE60，OEOA，AEEBOE， AC 是直径， ABC90， C60， OCOB， OCB 是等边三角形， OFFC， BFAC， AFB90， AEEB， EFAB （2）证明：过点 F 作 FGAB 于 G，交 OB 于 H，连接 EH FGAABC90， FGBC， OFHOCB， ，同理， FHOE， OEABFHAB， OEFH， 四边形 OEHF 是平行四边形， PEPF OEFGBC， 1， EGGB， EFFB， DFEF， DFBF， DOOB， FOBD， AOB90， OAOB， AOB 是等腰直角三
15、角形， BAC45 3 （1）证明：如图 1，连接 OC，OD， BCCD， BOCCODBOD， 又BAHBOD， BAHBOC， AHOC， AHCH， OCCH， CH 是O 的切线； （2）证明：如图 2，连接 AC， BCCD， ， BACCAH， 又CEAB，CHAH， CECH， RtCEBRtCHD（HL） ， BEDH， 点 D 为 AH 的中点， ADDH， ADBE； （3）解：如图 3，延长 CE 交O 于点 F， AB 是O 的直径，CFAB， ， BCECBD， GBGC5， 在 RtGEB 中，sinGBE， GE3， BE4， CECG+GE5+38， EACC
16、ADCBDBCE，AECCEB90， RtAECRtCEB， ， 即， AE16， ABAE+BE16+420， 在 RtADB 中，sinDBA， ADAB2012， BD16 4 （1）证明：将ABC 沿直线 AB 折叠得到ABD， BCBD 点 B 在 CD 的垂直平分线上 同理得：点 A 在 CD 的垂直平分线上 ABCD 即 OACD， AGCD OAGA OA 是O 的半径， 直线 GA 是O 的切线； （2）证明：AB 为O 的直径， ACBADB90 ABD+BAD90 GAB90， GAD+BAD90 ABDGAD ADBADG90， BADAGD AD2GDBD ACAD，
17、 AC2GDBD； （3）解：tanAGB，ADG90， AD2GDBD， BD2GD ， GADGBAPCD AGCD， PAGPCD PAGPBA PP， PAGPBA PA2PGPB PG6，BD2GD， PA26（6+3GD） ADP90， PA2AD2+PD2 6（6+3GD）（）2+（6+GD）2 解得：GD2 或 GD0（舍去） PD8，AP6， cosP 5 （1）证明：连接 AD，OD， AC 为O 的直径， ADC90， ADO+CDO90， ABAC， BADCAD， BAC2CAD， BAC2CDF， CADCDF， ODC+CDF90， ODF90， DF 是O 的切
18、线； （2）证明：ABAC， BACD， BEDACD， BEDB， DEDB； （3）解：DACCDF，FF， ADFDCF， ， cosBcosACB， 设 CDk，AC3k， AD2k， ， CF2， DF4， AF16， ACAFCF14， AOOC7， O 的半径是 7 6 （1）证明：O 与 AC 相切于点 D， ODAC， ACB90， ODAC， ODNP， ONOD， ODNOND， ONDP， BODOND+ODN， BOD2P； （2）解：连接 BD， BN 是O 的直径， BDN90， BDO+ODN90， ADN+ODN90， BDOADN， OBOD， OBDODB
19、， ADNOBD， AA， ADNABD， ， AD2ANAB818144， AD12， ODBC， AODABC， ， ， AC， CD； 当 AN5 时，四边形 OBMD 是菱形， 理由：连接 OM 交 BD 于 E， 四边形 BMDO 是菱形， OMBD，OEEMOMOB， OBD30， OBC60， A30， AO2OD10， ANAOON1055，故答案为：，5 7解： （1）直线 MN 与O 相切， 理由：MNBG， NAGG， NAGFAG， BACADC90， CADABO， OAOB， OABABO， CADBAO， NACBAO， BAO+OAC90， NAC+OAC90，
20、 OAMN， 直线 MN 与O 相切； （2）解：连接 AE， ， ABAE， AEBACB， ABAE， ABEAEB， ACBABE， BACGAB， ABCAGB， ， BC 是O 的直径， BAC90， AC3，AB4， BC5， ， BG； （3）解：BDCE+CD， 理由：连接 CE， 在 BC 上截取 BHCE，连接 AH， ABAE， 又ABCAEC， ABHAEC（SAS） ， AHAC， 又ADBC， HDCD， BDBH+HDCE+CD 8解： （1）证明：如图 1，连接 OE， AB 是O 的直径， AEB90， EAB+B90， OAOE， OAEAEO， B+AEO
21、90， PEAB， PEA+AEO90， PEO90， 又OE 为半径， PE 是O 的切线； （2）如图 2，连接 OD， D 为的中点， ODAC，设垂足为 M， AMO90， DEAB， AFD90， AOD+OAMOAM+AGF90， AODAGF， AEBEFB90， BAEF， PEAB， PEF2B， DEAB， ， AOD2B， PEFAODAGF， HEHG； （3）解：如图 3， PEFAOD，PFEDFO， PODF， tanPtanODF， 设 OF5x，则 DF12x， OD13x， BFOF+OB5x+13x18x，AFOAOF13x5x8x， DEOA， EFDF
22、12x， AE4x，BE6x， PEAB，EPABPE， PEAPBE， ， P+PEFFAG+AGF90， PEFAGF， PFAG， 又FAGPAH， PPAH， PHAH， 过点 H 作 HKPA 于点 K， PKAK， ， tanP， 设 HK5a，PK12a， PH13a， AH13a，PE36a， HEHG36a13a23a， AGGHAH23a13a10a， 9 （1）证明：CDCB， DBCD， 又DBCCAE， DCAE， AEDE （2）证明：ACBDBC+D2DBC2CAE 又ABBC， BACACB BAC2CAE， CAEBAE 点 E 为弧 BEC 的中点， 连接
23、OE，则 OEBC， 又EFBC， OEEF， EF 为圆 O 的切线 （3）解：在ABE 和DBA 中， BAEDABEDBA， ABEDBA， ， AB2BEDB， ， 由（1）得， ， ， CDCBAB5， 10 （1）证明：如图 1 中，连接 OD AC 是O 的切线， ODAC， ADO90， C90， ADOC， ODBC， ODBDBC， ODOB， ODBOBD， OBDDBC， BD 平分ABC （2）解：如图 1 中，连接 DE，OF AEOEOB，AB6， AEOEOB2， ADO90， DEOA2， DEOEOF2， ODE 是等边三角形， DOE60， ODBC， A
24、ODOBF60， OFOB， OFB 是等边三角形， FOB60， 的长 （3）如图 2 中，连结 OD，过 O 作 OMBC 于 M， 则 BMFM，四边形 CDOM 是矩形 设圆的半径为 r，则 OA6rBMFMODCFr1， DOBC， AODOBM， 而ADO90OMB， ADOOMB， ， ， 解之得 r或 2， O 的半径为或 2 11 （1）证明：连接 OE DE 是O 的切线， DEOE， OED90， DEF+OEC90， OCAB， COB90， C+OFC90， OEOC， OECC， OFCDFE， DEFEFD， DEDF （2）解：延长 CO 交O 于 H，连接 E
25、H CH 为直径， CEH90， OCAB， COF90， COFCEH， CC， COFCEH， ， CECFCOCH248 （3）解：OED90，D30，OE2， OD2OE4，EOB60，DE2， S阴SEDOS扇形OEBOEDE222 故答案为 2 12 （1）解：结论：ACBD 理由：连接 BD ABCD， ， ， ABDCAB， ACBD （2）证明：在 BF 上取一点 H，使得 FHFC，连接 AH，AD AFCH，FCFH， ACAH， ACHAHC， ACH+ADB180，AHC+AHB180， ADBAHB， CACB， ， ， CBADACAH，ABHABD， ABHAB
26、D（AAS） ， BDBH， ACBCCF+FH+BH2CF+BD （3）解：BDAC， SBDCSADB， ABHABD， SABDSABH， CFFH， SACFSAFH， SACFSDCB， SACFSAFHSABH， CFFHBH，设 CFFHBHa，则 ACBC3a， CFBC， AFCAFB90， AF2a， ， BDCABC， tanBDCtanABC 13 （1）证明：连接 OF ABCD， AEH90， EAH+AHE90， GFGH， GFHGHFAHE， OAOF， OAFOFA， OFA+GFH90， OFGM， MG 是O 的切线 （2）证明：， OF 垂直平分线段
27、AC OFMG， ACGM， CAHGFH， CHAGHF，HFGGHF， CAHCHA， CACH （3）解：ACGM， GACH， tanCAHtanG， AE6， EC8，AC10， 设 GFGHx，则 CGCH+GHAC+GH10+x， CD2EC16， GD10+x16x6， GF2GDGC， x2（x6） （x+10） ， 解得 x15， EGCGCE25817， tanG， EM， GM 14 （1）证明：如图 1 中， ADBC， ， ， ABAC， ， ， ACBBCD， CB 平分ACD （2）结论：AC2AGCD 理由：如图 2 中，连接 BD，在 GC 上取一点 H，使
28、得 GHGA BGAH，GAGH， BABH， BAHBHA， BAH+BDC180，BHG+BHC180， BDCBHC， BCHBCD，CBCB， BCHBCD（AAS） ， CDCH， AC2AGACAHCHCD 如图 3 中，过点 G 作 GNAB 于 G，过点 D 作 DMAC 交 AC 的延长线于 M，连接 AO，延长 AO 交 BC 于 J，连接 OC ， BADADC， ABCD， SACDSBCD， BCHBCD， SBCHSBCD， AGGH， SABGSBGH， SABGSACD， SABGSBGHSBCH， AGGHCH，设 AGGHHCa，则 ABAC3a，BG2a，
29、 BGAC， BGAGABGN， GNa， 在 RtBGC 中，BC2a， ABAC， ， AJBC， BJJCa， AJa， 在 RtOJC 中，OC2OJ2+JC2， 152（a15）2+（a）2， a， SABGSACD，ABAC，GNAB，DMAC， DMGNa， BCAD2a20， AM， FGDM， ， ， AF6， DFADAF20614 15 （1）证明：如图 1， 点 D 是半圆的中点， APD45， 连接 OP， OAOP， OAPOPA， PECOAP+APEOPA+APEAPEOPE+APE2APEOPE90OPE， PCEC， CPEPEC90APE， OPCOPE+
30、CPEOPE+90OPE90， 点 P 在O 上， PC 是O 的切线； （2）解：由（1）知，OPC90， AB4， OPOBAB2， BC2， OCOB+BC4， 根据勾股定理得，CP2； （3）解：连接 OD，如图 2， D 是半圆 O 的中点， BOD90，要使 PD+PC 的值最小，则连接 CD 交O 于 P， 即点 P 在 P的位置时，PD+PC 最小， 由（2）知，OC4， 在 RtCOD 中，ODOB2， 根据勾股定理得，CD2， 连接 BP，AD，则四边形 ADPB 是O 的内接四边形， CBPCDA， BCPDCA， CBPCDA， ， ， CP 16解： （1）证明：如图
31、 1，连接 OD OC，OD 均为O 的半径， OCOD， DCOCDO， 又在ABC 中，ABAC， ABCACB， ABCCDO， ODAB， DEAB， DEOD， DE 是O 的切线 （2）解：如图 2，连接 OF， 设O 的半径为 r，则 OFr，OCr， O 与 AB 相切于点 F， ABOF， OFA90， 在 RtAOF 中，OFA90，OFr，tanA， AFr， AOr， 又AOACOC10r， r10r， r （3）解：如图 3，由（2）知 r ， AFr ， ODEDEFOFE90， 四边形 ODEF 是矩形 OFOD， 矩形 ODEF 是正方形， DEEFOF ， B
32、EABAFEF10 ， BMEOMD，BEMODM90， BEMODM， ， 解得 DM ， 在 EF 延长线上截取 FTDM， 四边形 ODEF 是正方形， OFTODM90，OFOD， OFTODM（AAS） ， FOTBOD，OTOM， DOF90，GOM45， GOF+BOD45， GOF+FOT45， 即GOT45， GOTGOM， 又 OGOG， OGTOGM（SAS） ， GMGTGF+FTGF+DM， 设 GFa，则 EG a，GM +a， EMDEDM ， 在 RtEMG 中，EM 2+EG 2GM 2， 即（ ）2+（ a ）2（ +a ）2， 解得 a ，FG 的长为 1
33、7 （1）证明：如图 1，连接 DE，BG D 为BCE 内心， DBCDBE， DBEBAD， DBCBAD， AB 是O 的直径， AGB90， BCG+CBG90， BCG+CBD+GBD90， DACDBG，ADBDAC+ACB+CBD， ADBDBG+ACB+CBD90， BAD+ABD90， DBC+ABD90，即ABC90， ABBC， BC 是O 的切线； （2）证明：如图 1，连接 DE， DBCBAD，DBCDBE， DBEBAD， ABF+BADABF+DBE， BFDABD， DGCABD， BFDDGC， DFEDGE， D 为BCE 内心， DEGDEB， 在DEF
34、 和DEG 中 ， DEFDEG（AAS） ， DFDG； （3）证明：如图 2，在 AD 上截取 DHBD，连接 BH、BG， AB 是O 的直径， ADBAGB90， ADG45， ABGADG45， ABBG， BDH90，BDDH， BHD45， AHB18045135， BDGADB+ADG90+45135， AHBBDG， BADBGD， ABHGBD， ， DGDF1， AH， ADBDADDHAH， ADBD 18 （1）证明：连接 OF DM 是O 的切线， DMOF， MFG+OFA90， BMAD， AHG90， OAF+AGH90， OFOA， OFAOAF， MGFA
35、GH， MFGAGF， MFMG， MFG 是等腰三角形 （2）证明：连接 EF ABDM， MFAFAB， FABFEG，MFGMGF， FEGMFG， EGFMGF， EGFFGM， ， FG2EGGM， MFMG， FG2EGMF （3）解：连接 OB M+D90，FOD+D90， MFOD， tanMtanFOD， DF6， OF8， DMAB， MABH， tanMtanABH， 可以假设 AH3k，BH4k，则 ABBG5k，GHk，AGk， 在 RtOHB 中，OH2+BH2OB2， （83k）2+（4k）282， 解得 k， AG 19解： （1）证明：点 C 为弧 AB 的中
36、点， COAB， OCOA， CDACAE45， 又DCAACE， DCAACE； D 为 CE 的中点，AC2， 由（1）知，DCAACE， ， AC2CDCECD2CD， 即 CD2， CE4， OE2， 即 AEAO+OE2+2 （2）证明：DCAACE， CAFCEA， 又ACFCAE45， ACFEAC， ， SACESAEF4 （3）tanFEA， 设 OFa， OE6a， AC2AECF， 8（2+6a） （2a） ， 得（3a2） （a1）0， 即 a1 或 a， 当 OF1 时，tanFAO， 当 OF时，tanFAO， tanFAO或 20解： （1）如图 1，作 PEAC
37、 于点 E， D 是 AC 的中点， PC2PD， PAPC，PDPB， PA2PB，AECE， AB10，cosCAP， AP， AC2APcosCAP28， （2）设P 的半径为 r，则 AP10r， 作 PEAC 于点 E，则 E 点为所求的切点， 在 RtPEA 中，sinCAP， EP（10r） ， 当P 与 AC 相切时，有 EPr， （10r）r， 解得，r， 当P 与 AC 相切时，P 的半径为 （3）如图 2，作 PFBD 于点 F，则 BFDF， PDPB，PAPC， PBDPDB，CAPC， BPFBPD（CAP+C）CAP， DBx，ACy， PBFBx，APAEy，
38、PB+PA10， y10， y 关于 x 的函数表达式为 y12x 如图 3，由题意得，延长 FP 与P 的交点 O 即为ADB 的外接圆的圆心， 作 OHAB 于点 H，连接 OB，OA， OAOB， AHBH5， BPFCAP，cosBPFcosOPHcosCAP， 设 PF3k，PB5k，则 BFDF4k，POPB5k，PH3k， BH5k+3k5， k， xBD8k5， ACy12x125 21解： （1）如图 1，连接 OA， 点 D 是直径 BE 下方半圆的中点， ， BODEOD90， BADBOD45， BAO+DAO45， OAOBOD， DAOD，BAOB， B+D45，
39、B2D， B30； （2）由（1）知，B30， ACAB， CB30， AOC2B60， CAO180CAOC90， OA 为O 的半径， AC 为O 的切线； （3）如图 2，连接 OA，AE，则BAE90， 在 RtACO 中，CAO90，C30，AOOEDO3， ，OC2AO6， CEOCOE3， CEOE3， 由（2）知，CAO90， AEOC3， CAOCOD90，OADODAB15， CAFOFD75， CFAOFD， CAFCFA， CFAC3， ， 连接 DE， DEFBAD45， DAEBAEBAD45， DEFDAE， EDFADE， EDFADE， 22 （1）证明：如图 1 中， ACEG， GACG， ABCD， ， CEFACD， GCEF， ECFECG， ECFGCE； （2）证明：如图 2 中，连接 OE， GFGE， GFEGEFAFH， OAOE， OAEOEA， AFH+FAH90， GEF+AEO90， GEO90， GEOE， EG 是O 的切线 （3）解：如图 3 中，连接 OC设O 的半径为 r 在 RtAHC 中，tanACHtanG， AH3， HC4， 在 RtHOC 中，OCr，OHr3，HC4， （r3）2+（4）2r2， r， GMAC， CAHM， OEMAHC， AHCMEO， ， ， EM