1、2021 年中考一轮复习四边形综合解题题培优提升专题训练年中考一轮复习四边形综合解题题培优提升专题训练 1已知四边形 ABCD 是正方形，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 （090） ，得到线段 CE，连接 BE、CE、DE过点 B 作 BFDE 交线段 DE 的延长线于 F （1）如图，当 BECE 时，求旋转角 的度数； （2） 当旋转角 的大小发生变化时， BEF 的度数是否发生变化？如果变化， 请用含 的代数式表示； 如果不变，请求出BEF 的度数； （3）联结 AF，求证：DEAF 2如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点
2、 B 的坐标为 （10，4） ，点 D 是 OA 的中点，动点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单位长的速度由点 C 向 B 运动设动点 P 的运动时间为 t 秒 （1）当 t 时，四边形 PODB 是平行四边形？ （2） 在直线 CB 上是否存在一点 Q， 使得四边形 ODPQ 是菱形？若存在， 求 t 的值， 并求出 Q 点的坐标， 若不存在，请说明理由； （3）在点 P 运动的过程中，线段 PB 上有一点 M，且 PM5，求四边形 OAMP 的周长最小值 3阅读发现 如图 在正方形 ABCD 的外侧 作两个等边三角形 ABE 和 ADF， 连接 ED、 FC， ED 与 FC 交于点
3、M， 则图中ADEDFC（不用证明） ，可知 EDFCDMC 拓展应用 如图，在矩形 ABCD（ABBC）的外侧，作两个等边三角形 ABE 和 ADF，连接 ED、FC，ED 与 FC 交于点 M （1）求证：EDFC； （2）若ADE20，直接写出DMC 的度数 4如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEADEC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AFAB （1）求证：BDEC； （2）若 AB1，求 AE 的长； （3）如图 2，连接 AG，求证：EGDGAG 5如图，在正方形 ABCD 中，AB4，点 G 在边 BC 上，连接 AG，作 D
4、EAG 于点 E，BFAG 于点 F， 连接 BE、DF，设EDF，EBF，k （1）求证：AEBF； （2）求证：tanktan； （3）若点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止，求点 E，F 所经过的路径与边 AB 围成的图形的面积 6在矩形 ABCD 的 CD 边上取一点 E，将BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处 （1）如图 1，若 BC2BA，求CBE 的度数； （2）如图 2，当 AB5，且 AFFD10 时，求 BC 的长； （3）如图 3，延长 EF，与ABF 的角平分线交于点 M，BM 交 AD 于点 N，当 NFAN+FD 时，求的 值
5、 7 （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD100，BADC90E，F 分别是 BC， CD 上的点且EAF50探究图中线段 EF，BE，FD 之间的数量关系 小明同学探究的方法是：延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG，先证明ABEADG，再证明AEF AGF，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明） ； （2）如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 2 EAFBAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图 3，四边形 ABCD 是边长为 7 的正方形，EBF45，
6、直接写出DEF 的周长 8问题情境 （1）如图 1，已知正方形 ABCD，点 E 在 CD 的延长线上，以 CE 为边构造正方形 CEFG，连接 BE 和 DG，则 BE 和 DG 的数量关系为 继续探究 （2）如图 2，若正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AD 边上的一个动点，以 CE 为边在 CE 的右侧作正 方形 CEFG，连接 DG、BE 求证：DGBE 连接 BG，若 AE1，求 BG 长 9已知四边形 ABCD 为矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，CDO30点 E、F 为矩形边上的两个动 点，且EOF60 （1）如图 1，当点 E、F 分别位于 AB、AD 边上时
7、求证：DOFAOE； 若OEB75，求证：DFAE （2） 如图 2， 当点 E、 F 同时位于 AB 边上时，若OFB75， 试探究线段 AF 与线段 BE 的数量关系， 并说明理由 10综合与实践 问题情境： 如图，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得 到CBE（点 A 的对应点为点 C） 延长 AE 交 CE于点 F，连接 DE 猜想证明： （1）试判断四边形 BEFE 的形状，并说明理由； （2）如图，若 DADE，请猜想线段 CF 与 FE的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图，若 AB15，CF3，请直接写出
8、DE 的长 11如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合） ，连结 BP，将 BP 绕点 B 顺 时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若 APAC，求 CE：BC 的值； （3）求证：PFEQ 12如图 1，在等腰直角三角形 ADC 中，ADC90，AD4点 E 是 AD 的中点，以 DE 为边作正方形 DEFG，连接 AG，CE将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转，旋转角为 （090） （1）如图 2，在旋转过程中， 判断AGD 与CED 是否全等，并
9、说明理由； 当 CECD 时，AG 与 EF 交于点 H，求 GH 的长 （2）如图 3，延长 CE 交直线 AG 于点 P 求证：AGCP； 在旋转过程中，线段 PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 13如图 1，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 DE，过点 B 作 BFDE 于点 F，交 CD 于 点 G （1）求证：CGCE； （2）如图 2，连接 FC、AC若 BF 平分DBE，求证：CF 平分ACE （3）如图 3，若 G 为 DC 中点，AB2，求 EF 的长 14问题情境 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主
10、题分组开展数学探究活动，已知正方形 ABCD， 直线 PQ 经过点 A，并绕点 A 旋转，作点 B 关于直线 PQ 的对称点 E，直线 DE 交直线 PQ 于点 F，连结 AE，BE 操作发现 （1）如图 1，若PAB20则ADF ，BEF 拓展应用 （2）如图 2，当直线 PQ 在正方形 ABCD 的外部时， “梦想小组”的同学们发现 BEF 的度数是一个定值，这个值为 ； 线段 AB、DF、EF 之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由 15 【问题情境】 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是 CD 边的中点，AE 平分DAM 【探究展示】 （
11、1）证明：AMAD+MC； （2）AMDE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 【拓展延伸】 （3）若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图 2，探究展示（1） 、 （2）中的结论是 否成立？请分别作出判断，不需要证明 16已知，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是正方形 ABCD 所在平面内一动点（不与点 D 重合） ，ABAE， 过点 B 作 DE 的垂线交 DE 所在直线于点 F，连接 CF 提出问题：当点 E 运动时，线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系是否发生变化？ 探究问题： （1）首先考察点 E 的一个特殊位置：当点 E 与点 B
12、重合（如图时） ，点 F 与点 B 也重合用等式表 示线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系： （2）然后考察点 E 的一般位置，分两种情况： 情况 1：当点 E 是正方形 ABCD 内部一点（如图时） ； 情况 2：当点 E 是正方形 ABCD 外部一点（如图时） 在情况 1 或情况 2 下，线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系与（1）中结论是否相同？如果都相同，请选 择 一 种 情 况 证 明 ； 如 果 只 在 一 种 情 况 下 相 同 或 在 两 种 情 况 下 都 不 相 同 ， 请 说 明 理 由 ； 拓展问题： （3）连接 AF，用等式表示线段 AF、CF、DF 三者之间
13、的数量关系： 17 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上， OA 在 y 轴上 O 为坐标原点， ABOC， 线段 OA，AB 的长分别是方程 x29x+200 的两个根（OAAB） ，tanOCB （1）求点 B，C 的坐标； （2）P 为 OA 上一点，Q 为 OC 上一点，OQ5，将POQ 翻折，使点 O 落在 AB 上的点 O处，双曲 线 y的一个分支过点 O求 k 的值； （3）在（2）的条件下，M 为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 N，使以 O，Q，M，N 为顶点四边 形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 18四边形
14、 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是 AB 的中点，连结 DE，点 F 是射线 BC 上一动点（不与点 B 重合） ，连结 AF，交 DE 于点 G （1）如图 1，当点 F 是 BC 边的中点时，求证：ABFDAE； （2）如图 2，当点 F 与点 C 重合时，求 AG 的长； （3）在点 F 运动的过程中，当线段 BF 为何值时，AGAE？请说明理由 19 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 O 是对角线 AC 的中点， 点 P 为线段 AO 上一个动点 （不包括两个端点） ， Q 为 CD 边上一点，且BPQ90 （1）ACB 度（直接填空） ； 求证：PBCPQD； 直接写出线
15、段 PB 与线段 PQ 的数量关系； （2）若 BC+CQ6，则四边形 BCQP 的面积为 （直接填空） ； （3）如图，连接 BQ 交 AC 于点 E，直接用等式表示线段 AP、PE、EC 之间的数量关 系 20如图所示，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是线段 DE 上一点（不与点 D 重合） ，ABDE，AF DC （1）如图 1，当点 F 与 E 重合时，求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）如图 2，当点 F 不与 E 重合时， （1）中的结论还成立吗？请说明理由 （3）如图 3，当BCD90，且 CDCE，F 恰好运动到 DE 的中点时，直接写出 AB 与
16、DC 的数量关 系 参考答案参考答案 1 （1）解：在正方形 ABCD 中，BCCD， 由旋转可知，CECD， BECE， BECEBC， BEC 是等边三角形， BCE60， BCD90， DCE30； （2）解：BEF 的度数不发生变化， 理由如下：在CED 中，CECD， CEDCDE90， 在CEB 中，CECB，BCE90， CEBCBE45+， BEF180CEDCEB45； （3）证明：过点 A 作 AGDF 与 BF 的延长线交于点 G，过点 A 作 AHGF 与 DF 交于点 H，过点 C 作 CIDF 于点 I， 则四边形 AGFH 是平行四边形， BFDF， 平行四边形
17、AGFH 是矩形， BADBFP90，BPFAPD， ABGADH AGBAHD90，ABAD， ABGADH（AAS） ， AGAH， 矩形 AGFH 是正方形， AFHFAH45， AHAF， DAH+ADHCDI+ADH90， DAHCDI AHDDIC90，ADDC， AHDDIC（AAS） ， AHDI， CDCE，CIDE， DE2DI， DE2AHAF 2解： （1）四边形 OABC 为矩形，点 B 的坐标为（10，4） ， BCOA10，ABOC4， 点 D 是 OA 的中点， ODOA5， 由题意知，PC2t， BPBCPC102t， 四边形 PODB 是平行四边形， PBO
18、D5， 102t5， t2.5， 即当 t2.5s 时，四边形 PODB 是平行四边形； 故答案为：2.5s； （2）当点 Q 在线段 BC 上时，如图 1， 四边形 ODPQ 是菱形， OQOD5， 在 RtOCQ 中，CP3+58， t4，点 Q 的坐标为（3，4） ； 当点 Q 在射线 BC 上时，如图 2， 四边形 ODPQ 是菱形， OQOD5， 在 RtOCQ 中，CP532， t1，点 Q 的坐标为（3，4） ； （3）如图 3，连接 DM， PMOD5，PMOD 四边形 ODMP 是平行四边形， OPDM 四边形 OAMP 的周长OA+AM+MP+PO15+AM+PO15+AM
19、+DM 作点 A 关于直线 BC 的对称点 A，连接 AM，AD， AMAM 四边形 OAMP 的周长15+AM+DM， 所以，当点 A，M，D 三点在同一直线上时，四边形 OAMP 的周长最小， 在 RtADA 中， 所以四边形 OAMP 的周长最小值为 3解：如图中，四边形 ABCD 是正方形， ADABCD，ADC90， ADEDFC， DFCDAEAD， FDCFDA+ADC60+90150， DFCDCFADEAED15， FDE60+1575， MFD+FDM90， FMD90， 故答案为：90 （1）ABE 为等边三角形， EAB60，EAAB ADF 为等边三角形， FDA60
20、，ADFD 四边形 ABCD 为矩形， BADADC90，DCAB EADC EADEAB+BAD150，CDFFDA+ADC150， EADCDF 在EAD 和CDF 中， ， EADCDF（SAS） EDFC； （2）EADCDF， ADEDFC20， DMCFDM+DFCFDA+ADE+DFC60+20+20100 4 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上， EAFDAB90， 又AEAD，AFAB， AEFADB（SAS） ， AEFADB， GEB+GBEADB+ABD90， 即EGB90， 故 BDEC， （2）解：四边形 ABCD 是矩形， AECD
21、， AEFDCF，EAFCDF， AEFDCF， ， 即 AEDFAFDC， 设 AEADa（a0） ，则有 a （a1）1，化简得 a2a10， 解得或（舍去） ， AE （3）证明：如图，在线段 EG 上取点 P，使得 EPDG， 在AEP 与ADG 中，AEAD，AEPADG，EPDG， AEPADG（SAS） ， APAG，EAPDAG， PAGPAD+DAGPAD+EAPDAE90， PAG 为等腰直角三角形， EGDGEGEPPGAG 5解： （1）证明：在正方形 ABCD 中，ABBCAD，BADABC90， DEAG，BFAG， AEDBFA90， ADE+DAE90， BAF
22、+DAE90， ADEBAF， ABFDAE（AAS） ， AEBF； （2）在 RtDEF 和 RtEFB 中，tan，tan， 由可知ADEBAG，AEDGBA90， AEDGBA， ， 由可知，AEBF， ， ， k，ABBC， k， k tanktan （3）DEAG，BFAG， AEDBFA90， 当点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止时，点 E 经过的路径是以 AD 为直径，圆心角为 90的圆弧， 同理可得点 F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点 O，如图 ABAD4， 所围成的图形的面积为 SSAOB444 6解： （1）四边形 ABCD 是矩形， C90， 将BC
23、E 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处， BCBF，FBEEBC，CBFE90， BC2AB， BF2AB， AFB30， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFBCBF30， CBEFBC15； （2）将BCE 沿 BE 翻折，使点 C 恰好落在 AD 边上点 F 处， BFEC90，CEEF， 又矩形 ABCD 中，AD90， AFB+DFE90，DEF+DFE90， AFBDEF， FABEDF， ， AFDFABDE， AFDF10，AB5， DE2， CEDCDE523， EF3， DF， AF2， BCADAF+DF23 （3）过点 N 作 NGBF 于
24、点 G， NFAN+FD， NFADBC， BCBF， NFBF， NFGAFB，NGFBAF90， NFGBFA， ， 设 ANx， BN 平分ABF，ANAB，NGBF， ANNGx，ABBG2x， 设 FGy，则 AF2y， AB2+AF2BF2， （2x）2+（2y）2（2x+y）2， 解得 yx BFBG+GF2x+xx 7证明： （1）延长 FD 到点 G使 DGBE连结 AG， 在ABE 和ADG 中， ， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， BAD100，EAF50， BAE+FADDAG+FAD50， EAFFAG50， 在EAF 和GAF 中， ， EAF
25、GAF（SAS） ， EFFGDF+DG， EFBE+DF， 故答案为：EFBE+DF； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图 2，延长 EB 到 G，使 BGDF，连接 AG ABC+D180，ABG+ABC180， ABGD， 在ABG 与ADF 中， ， ABGADF（SAS） ， AGAF，BAGDAF， 2EAFBAD， DAF+BAEBAG+BAEBADEAF， GAEEAF， 又 AEAE， AEGAEF（SAS） ， EGEF EGBE+BG EFBE+FD； （3）如图，延长 EA 到 H，使 AHCF，连接 BH， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC7ADCD，BADB
26、CD90， BAHBCF90， 又AHCF，ABBC， ABHCBF（SAS） ， BHBF，ABHCBF， EBF45， CBF+ABE45HBA+ABEEBF， EBHEBF， 又BHBF，BEBE， EBHEBF（SAS） ， EFEH， EFEHAE+CF， DEF 的周长DE+DF+EFDE+DF+AE+CFAD+CD14 8解： （1）四边形 ABCD 是正方形，四边形 CEFG 是正方形， BCCD，BCDDCG，CECG， BCEDCG（SAS） ， BEDG， 故答案为：BEDG； （2）如图，延长 BE，GD 交于点 H， 四边形 ABCD 是正方形，四边形 CEFG 是正
27、方形， BCCD，BCDECG90，CECG， BCEDCG， BCEDCG（SAS） ， EBCCDG， CDG+CDH180， EBC+CDH180， EBC+BCD+CDH+DHE360， DHE90， DGBE； 如图 3，过点 G 作 GHBC，交 BC 延长线于点 H， AE1，AD4， DE3， ECGDCN90， ECDGCN 又ECCG，EDCN90， ECDGCN（AAS） ， DEGN3，CNCD4， BNBC+CN8， BG 9证明： （1）四边形 ABCD 是矩形， ACBD，AOCO，BODO，CDA90， AODO， CDO30， ADO60， AOD 是等边三角
28、形， AOD60， EOF60， EOFAOD， DOFAOE； 在 OF 上截取 OHOE，连接 DH， AOOD，DOFAOE，OEOH， AOEDOH（SAS） ， AEDH， OEB75， AEO105， AEO+EOF+OFA+DAB360， AFO105， DFH75， DFHDHF， DFDHAE； （2）将OAF 绕点 O 顺时针旋转 120得到OBN，连接 NE ONOF，NOFAOB120，AFBN， AOB120，EOF60， BON+BOEAOF+BOE60， EONEOF， OFON，OEOE， EOFEON（SAS） ， OEFOEN， OFB75，OBF30， B
29、OF75， BOE756015， FEOBOE+OBE45， OEFOEN45， NEBNEF90， OBNOAF30，OBE30， EBN60， ENB906030， BN2BE， AFBN， AF2BE 10解： （1）四边形 BEFE 是正方形， 理由如下： 将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AEBCEB90，BEBE，EBE90， 又BEF90， 四边形 BEFE 是矩形， 又BEBE， 四边形 BEFE 是正方形； （2）CFEF； 理由如下：如图，过点 D 作 DHAE 于 H， DADE，DHAE， AHAE， ADH+DAH90， 四边形 ABCD 是正方形，
30、 ADAB，DAB90， DAH+EAB90， ADHEAB， 又ADAB，AHDAEB90， ADHBAE（AAS） ， AHBEAE， 将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AECE， 四边形 BEFE 是正方形， BEEF， EFCE， CFEF； （3）如图，过点 D 作 DHAE 于 H， 四边形 BEFE 是正方形， BEEFBE， ABBC15，CF3，BC2EB2+EC2， 225EB2+（EB+3）2， EB9BE， CECF+EF12， 由（2）可知：BEAH9，DHAECE12， HE3， DE3 11 （1）证明：如图 1，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转
31、 90得到线段 BQ， BPBQ，PBQ90 四边形 ABCD 是正方形， BABC，ABC90 ABCPBQ ABCPBCPBQPBC，即ABPCBQ 在BAP 和BCQ 中， ， BAPBCQ（SAS） CQAP （2）解：过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 T APAC， 可以假设 APCQa，则 PC3a， 四边形 ABCD 是正方形， BACACB45， ABPCBQ， BCQBAP45， PCQ90， PQa， CHPQ， CHa， BPBQ，BTPQ， PTTQ， PBQ90， BTPQa， CHBT， ， （3）证明：如图 2，当 F 在边 AD 上时，
32、过 P 作 PGFQ，交 AB 于 G，则GPF90， BPQ45， GPB45， GPBPQB45， PBBQ，ABPCBQ， PGBQEB， EQPG， BAD90， F、A、G、P 四点共圆， 连接 FG， FGPFAP45， FPG 是等腰直角三角形， PFPG， PFEQ 12解： （1）如图 2 中，结论：AGDCED 理由：四边形 EFGD 是正方形， DGDE，GDE90， DADC，ADC90， GDEADC， ADGCDE， AGDCED（SAS） 如图 2 中，过点 A 作 ATGD 于 T AGDCED，CDCE， ADAG4， ATGD， TGTD1， AT， EFD
33、G， GHFAGT， FATG90， GFHATG， ， ， GH （2）如图 3 中，设 AD 交 PC 于 O AGDCED， DAGDCE， DCE+COD90，CODAOP， AOP+DAG90， APO90， CPAG CPA90，AC 是定值， 当ACP 最小时，PC 的值最大， 当 DEPC 时，ACP 的值最小，此时 PC 的值最大，此时点 F 与 P 重合（如图 4 中） ， CED90，CD4，DE2， EC2， EFDE2， CPCE+EF2+2， PC 的最大值为 2+2 13 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， BCDC，BCGDCE90， BFDE， DFGB
34、CG90， DGFBGC， GBCEDC， 在BCG 和DCE 中， ， BCGDCE（ASA） ， CGCE； （2）证明：BF 平分DBE，BFDE， DFEF， CF 是 RtDCE 的中线， CFEF， EFCE， 四边形 ABCD 是正方形， DBEACB45， BF 平分DBE， FBEDBE22.5， E90FBE9022.567.5， FCE67.5， ACF180FCEACB18067.54567.5， ACFFEC， CF 平分ACE； （3）解：四边形 ABCD 是正方形， BCG90，ABBCCD2，BDAB2， G 为 DC 中点， CGGDCD1， 在 RtBCG
35、中，由勾股定理得：BG， 设 GFx， 在 RtBDF 和 RtDFG 中，由勾股定理得：BD2BF2DF2，DG2GF2DF2， （2）2（+x）212x2， 解得：x， DF212（）2， DF， 由（1）知：BCGDCE， BGDE， EFDEDF 14解： （1）如图 1 中，B，E 关于 PQ 对称， PABPAE20，ABAE， 四边形 ABCD 是正方形， ABADAE，BAD90， EAD904050， ADEAED（18050）65， AEBABE（18040）70， BEF180706545， 故答案为：65，45 （2）如图 2 中，连接 BD，BF， 由折叠知，BEFE
36、BF，AEBABE， AEDABF， 由折叠知，EFBF，AEAB， 四边形 ABCD 是正方形， BAD90，ABAD， AEAD， AEDADE， ABFADE， AOBFOD， BFDBAD90， BFE90， FEFB BEFEBF45 故答案为：45； 结论：EF2+DF22AB2 理由：BFD90 BD2BF2+DF2EF2+DF2， BD 是正方形 ABCD 的对角线， BD22AB2， EF2+DF22AB2 15 （1）证明：延长 AE、BC 交于点 N，如图 1（1） ， 四边形 ABCD 是正方形， ADBC DAECNE AE 平分DAM， DAEMAE CNEMAE
37、AMMN E 是 CD 边的中点， DECE， 在ADE 和NCE 中， ADENCE（AAS） ADNC AMMNNC+MCAD+MC （2）解：AMDE+BM 成立，理由如下： 如图 1（2）所示，作 FAAE 交 CB 的延长线于点 F， 四边形 ABCD 是正方形， BADDABC90，ABAD，ABDC ABF90D， AFAE， FAE90， BAF90BAEDAE， 在ABF 和ADE 中， ABFADE（ASA） ， BFDE，FAED， ABDC， AEDBAE， FABEADEAM， AEDBAEBAM+EAMBAM+FABFAM， FFAM AMFM， AMFB+BMDE
38、+BM； （3）解： （1）结论 AMAD+MC 仍然成立，理由如下： 延长 AE、BC 交于点 P，如图 2（1） ， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DAEP， AE 平分DAM， DAEMAE， PMAE， MAMP， 在ADE 和PCE 中， ADEPCE（AAS） ， ADPC MAMPPC+MCAD+MC （2）结论 AMDE+BM 不成立理由如下： 假设 AMDE+BM 成立过点 A 作 AQAE，交 CB 的延长线于点 Q，如图 2（2）所示 四边形 ABCD 是矩形， BADDABC90，ABDC AQAE， QAE90 BAQ90BAEDAE Q90BAQ90DAE
39、AED ABDC， AEDBAE BAQEADEAM， AEDBAEBAM+EAMBAM+BAQ， QQAM AMQM AMBQ+BM AMDE+BM， BQDE 在ABQ 和ADE 中， ABQADE（AAS） ， ABAD与条件“ABAD“矛盾，故假设不成立 AMDE+BM 不成立 16解： （1）四边形 ABCD 是正方形， CDCB，BCD90， BCD 是等腰直角三角形， DBCB， 当点 E、F 与点 B 重合时，则 DECF， 故答案为：DECF； （2）在情况 1 或情况 2 下，线段 CF 与线段 DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下： 情况 1：四边形 ABCD
40、 是正方形， CDCBADABAE，BCDDABABC90， 过点 C 作 CGCF，交 DF 于 G，如图所示： 则BCDGCF90， DCGBCF， 设 BC 交 DF 于 P， BFDE， BFDBCD90， DPCFPB， CDPFBP， 在CDG 和CBF 中， CDGCBF（ASA） ， DGFB，CGCF， GCF 是等腰直角三角形， FGCF， 连接 BE， 设CDG，则CBF，ADE90， ADAE， DEAADE90， DAE1802（90）2， EAB902， ABAE， BEAABE（180EAB）（18090+2）45+， CBE90（45+）45， FBECBE+C
41、BF45+45， BFDE， BEF 是等腰直角三角形， EFBF， EFDG， EF+EGDG+EG，即 DEFG， DECF； 情况 2：过点 C 作 CGCF 交 DF 延长线于 G，连接 BE，设 CD 交 BF 于 P，如图所示： GCFBCD90， DCGBCF， FPDBPC， FDPPBC， 在CDG 和CBF 中， CDGCBF（ASA） ， DGFB，CGCF， GCF 是等腰直角三角形， FGCF， 设CDG，则CBF， 同理可知：DEAADE90，DAE2， EAB90+2， ABAE， BEAABE45， FEBDEAAEB90（45）45， BFDE， BEF 是等
42、腰直角三角形， EFBF， EFDG， DEFG， DECF； （3）当 F 在 BC 的右侧时，作 HDDF 交 FA 延长线于 H，如图所示： 由（2）得：BEF 是等腰直角三角形，EFBF， 在ABF 和AEF 中， ABFAEF（SSS） ， EFABFABFE45， HDF 是等腰直角三角形， HFDF，DHDF， HDFADC90， HDAFDC， 在HDA 和FDC 中， HDAFDC（SAS） ， CFHA， DFHFHA+AFCF+AF，即 AF+CFDF； 当 F 在 AB 的下方时，作 DHDE，交 FC 延长线于 H，在 DF 上取点 N，使 CNCD，连接 BN，如
43、图所示： 设DAE，则CDNCND90， DCN2， NCB902， CNCDCB， CNBCBN（180NCB）（18090+2）45+， CNE180CND180（90）90+， FNB90+（45+）45， BFN 是等腰直角三角形， BFNF， 在CNF 和CBF 中， CNFCBF（SSS） ， NFCBFCBFD45， DFH 是等腰直角三角形， FHDF，DFDH， ADCHDE90， ADFCDH， 在ADF 和CDH 中， ， ADFCDH（SAS） ， CHAF， FHCH+CFAF+CF， AF+CFDF； 当 F 在 DC 的上方时，连接 BE，作 HDDF，交 AF
44、于 H，如图所示： 由（2）得：BEF 是等腰直角三角形，EFBF， 在ABF 和AEF 中， ， ABFAEF（SSS） ， EFABFABFE45， HDF 是等腰直角三角形， HFDF，DHDF， ADCHDF90， ADHCDF， 在ADC 和HDF 中， ADCHDF（SAS） ， AHCF， HFAFAHAFCF， AFCFDF； 当 F 在 AD 左侧时，作 HDDF 交 AF 的延长线于 H，连接 BE，设 AD 交 BF 于 P，如图所示： ABAEAD， AEDADE， PFDPAB90，FPDBPA， ABPFDP， FEAFBA， ABAE， AEBABE， FEBFB
45、E， BFE 是等腰直角三角形， EFBF， 在ABF 和AEF 中， ， ABFAEF（SSS） ， EFABFABFE45， DFHEFA45， HDF 是等腰直角三角形， DHDF，HFDF， HDFCDA90， HDAFDC， 在HDA 和FDC 中， ， HDAFDC（SAS） ， AFCF， AHAFCFAFHF， CFAFDF， 综上所述， 线段 AF、 CF、 DF 三者之间的数量关系： AF+CFDF 或 AFCFDF 或 CFAF DF， 故答案为：AF+CFDF 或 AFCFDF 或 CFAFDF 17解： （1）解方程：x29x+200， （x4） （x5）0， 得 x
46、14，x25， OAAB， OA4，AB5， 如图 1，过点 B 作 BDOC 于点 D， tanOCB，BDOA4， CD3， ODAB5， OC8， 点 B 的坐标为（5，4） ，点 C 的坐标为（8，0） ； （2）如图 2，ABOC，OQAB5，AOQ90， 四边形 AOQB 为矩形 BQOA4， 由翻折，得 OQOQ5， OB3， AO2， O（2，4） ， k248； （3）存在 分四种情况： 如图 3，M 在 x 轴的正半轴上，四边形 NOMQ 是矩形，此时 N 与 B 重合，则 N（5，4） ； 如图 4，M 在 x 轴的负半轴上，四边形 NMOQ 是矩形，过 O作 ODx 轴于 D，过 N 作 NHx 轴于 H， 四边形 NMOQ 是矩形， MNOQ5，MNOQ， NMODQO， NHMQDO90， NHMODQ（AAS） ， NHOD4，DQMH3， 由（2）知：AO2， 设 POx，则 OPx，AP4x， 在 RtAPO中，由勾股定理得：AP2+AO2OP2， 即 x222+（4x）2， 解