1、2021 年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x24x50，B1，0，1，2，3，5，则 AB（ ） A1，0 B1，0，1 C0，1，2 D0，1，2，3 2i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 3已知点 A（2，3）在抛物线 y22px 的准线上，则 p（ ） A1 B2 C4 D8 4 已知首项为最小正整数， 公差不为零的等差数列an中， a2， a8， a12依次成等比数列， 则 a4的值是 （ ） A B C26 D5
2、8 5观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ） A B C D 6 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 7已知函数 f（x）sin（2x+）其中 （0，2），若对于一切 xR 恒成立，则 f（x） 的单调递增区间是（ ） A B C D 8已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x），且当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2），则 f（ 2021）（ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 9直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2），则 2a+
3、b（ ） A4 B3 C2 D1 10设 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2| 3b，|PF1|PF2 |ab，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D3 11天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法天干有十，即： 甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、 酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支 纪年 甲子 年 乙丑
4、 年 丙寅 年 丁卯 年 戊辰 年 己巳 年 庚午 年 辛未 年 壬申 年 癸酉 年 甲戌 年 乙亥 年 丙子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干支纪年法，2049 年是己巳年，则 2058 年是（ ）年 A己巳 B甲申 C戊寅 D丙戌 12三棱柱 ABCA1B1C1中，棱 AB、AC、AA1两两垂直，AA12，底面ABC 是面积为 2 的等腰直角三角 形，若该三棱柱的顶点都在同一个球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ） A8 B10 C12 D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知 x，y 满足约束条件，则 2
5、xy 的最大值为 14某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是 10、12、14、14、15、15、16、17、17、 17，记这组数据的平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则 a，b，c 由大到小的顺序为 15已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+2y的最大值 16已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a1+1，则数列an的前 16 项和 S16 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、2
6、3 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a2 （1）若，求角 B； （2）若 c2b，当角 B 最大时，求ABC 的面积 18某地区 2014 年至 2020 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：万元）的数据如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回方程； （2）利用（1）中的回
7、归方程，分析 2014 年至 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并 预测该地区 2021 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 19如图在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PAD 为正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E、F 分别是 AD、CD 的中点 （1）证明：BDPF； （2）若 M 是棱 PB 上一点，三棱锥 MPAD 与三棱锥 PDEF 的体积相等，求 M 点的位置 20已知椭圆离心率为，点 A，B，D，E 分别是 C 的左，右，上，下顶点， 且四边形 ADBE 的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程；
8、（2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP，BQ 的交点为 T，求证： 点 T 横坐标为定值 21设函数 f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，cR，f（x）为 f（x）的导函数 （1）若 abc，f（4）8，求 a 的值； （2）若 ab，bc，且 f（x）和 f（x）的零点均在集合3，1，3中，求 f（x）的极小值； （3）若 a0，0b1，c1，且 f（x）的极大值为 M，求证：M （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则
9、按所做的第一题计分选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程 为 2+12cos+110 （1）求圆心 C 的直角坐标； （2）若直线 l 的参数方程是（t 为参数），l 与 C 交于 A， B 两点，求 l 的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+1，g（x）|xa|2x1|，a （1）当 a时，解不等式 g（x2）； （2）对任意 x1，x2R若不等式 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共
10、一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x24x50，B1，0，1，2，3，5，则 AB（ ） A1，0 B1，0，1 C0，1，2 D0，1，2，3 解：Ax|1x5，B1，0，1，2，3，5， AB0，1，2，3 故选：D 2i（2+3i）（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 解：i（2+3i）2i+3i23+2i 故选：D 3已知点 A（2，3）在抛物线 y22px 的准线上，则 p（ ） A1 B2 C4 D8 解：由已知得，抛物线 y22px 的准线方程为，且过点 A（2，3）， 故，p4 故选：C 4 已知首项为最小正整数， 公差不为零的等差数列an中
11、， a2， a8， a12依次成等比数列， 则 a4的值是 （ ） A B C26 D58 解：设公差不为零的等差数列an的公差为 d（d0）， a2，a8，a12依次成等比数列， a82a2a12，即（a1 +7d）2（a1+d）（a1+11d），可得 19d 2a 1d， d0，a119d， 又由已知可得 a11，在， 因此， 故选：A 5观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ） A B C D 解：观察已知的 8 个图象， 每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的， 根据这些规律观察四个答案， 发现 B 符合要求 故选：B 6 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如
12、图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 （ ） A6 B8 C12 D24 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以，由于锥体的高为 4， 故 故选：B 7已知函数 f（x）sin（2x+）其中 （0，2），若对于一切 xR 恒成立，则 f（x） 的单调递增区间是（ ） A B C D 解：函数 f（x）sin（2x+），其中 （0，2），若对于一切 xR 恒成立， 则 2+2k+，kZ， 所以 2k+，kZ， 由于 （0，2）， 所以 ， 即 f（x）sin（2x+）， 令 2k2x+2k+，kZ， 解得 kxk+，kZ， 即 f（x）的单调递增区间是 故选：B
13、8已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x），且当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2），则 f（ 2021）（ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 解：根据题意，定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）f（x）， 则 f（x）是周期为 2 的周期函数， 则有 f（2021）f（121011）f（1）， 又由当 0 x1 时，f（x）lg（x2+2），则 f（1）lg3， 则 f（2021）f（1）lg3， 故选：C 9直线 ykx+1 与曲线 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2），则 2a+b（ ） A4 B3 C2 D1 解：直线 ykx+1 与曲线
14、 f（x）alnx+b 相切于点 P（1，2）， 可得 k+12，即 k1，f（1）b2， f（x）的导数为 f（x），即有 a1， 则 2a+b2+24 故选：A 10设 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2| 3b，|PF1|PF2 |ab，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D3 【解答】解法一：不妨设右支上 P 点的横坐标为 x 由焦半径公式有|PF1|ex+a，|PF2|exa， |PF1|+|PF2|3b，|PF1|PF2 |ab， 2ex3b，（ex）2a2ab b2a2ab，即 9b24a29ab0， （3b4a
15、）（3b+a）0 ab， cb， e 解法二：不妨设不妨设右支上 P 点，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|+|PF2|3b， 联立解得：|PF1 | ，|PF2 | ，然后代入|PF1|PF2 |ab，可得： ab， 9b24a29ab0， （3b4a）（3b+a）0 ab， cb， e 故选：B 11天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法天干有十，即： 甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、 酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙
16、地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支 纪年 甲子 年 乙丑 年 丙寅 年 丁卯 年 戊辰 年 己巳 年 庚午 年 辛未 年 壬申 年 癸酉 年 甲戌 年 乙亥 年 丙子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干支纪年法，2049 年是己巳年，则 2058 年是（ ）年 A己巳 B甲申 C戊寅 D丙戌 解：根据题意，列表如下： 2049 年是己巳年，往后数 9 年，可得 2058 年是戊寅 故选：C 12三棱柱 ABCA1B1C1中，棱 AB、AC、AA1两两垂直，AA12，底面ABC 是面积为 2 的等腰直角三角 形，若
17、该三棱柱的顶点都在同一个球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ） A8 B10 C12 D 解：如图：底面ABC是面积为 2 的等腰直角三角形，所以直角边长为 2， 所以三棱柱 ABCA1B1C1可以补充成边长为 2 的正方体， 其外接球半径为：， 所以球 O 的表面积为， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 x，y 满足约束条件，则 2xy 的最大值为 4 解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示 令 z2xy，则 y2xz，作直线 y2x，向下平移， 可知当直线经过点（2，0）时 z 最大， zma
18、x2204 故答案为：4 14某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是 10、12、14、14、15、15、16、17、17、 17，记这组数据的平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则 a，b，c 由大到小的顺序为 cba 解：平均数14.7， 中位数 b15，众数 c17，则 cba， 故答案为：cba 15已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+2y的最大值 9 解：由约束条件直线可行域如图， 令 tx+2y，由图可知，当直线 tx+2y 过 A 时，t 有最大值为 t2， 此时 z3x+2y的最大值为 9 故答案为：9 16已知数列an的前 n 项和为 Sn，满
19、足 a1+1，则数列an的前 16 项和 S16 84 解：2（Sn+2+Sn）4Sn+1+1，化为 ，即， ，an为等差数列，公差， 故答案为：84 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分分 17在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a2 （1）若，求角 B； （2）若 c2b，当角 B 最大
20、时，求ABC 的面积 解：（1）因为， 所以，整理可得 a2+c2b2ac， 可得 cosB， 因为 B（0，）， 可得 B （2）在ABC 中，b2a2+c22accosB，c2b， 所以 cosB，当且仅当 b时取等号，此时 B，C， 所以ABC 的面积 Sab 18某地区 2014 年至 2020 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：万元）的数据如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回方程； （2）利
21、用（1）中的回归方程，分析 2014 年至 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并 预测该地区 2021 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 解：（1）由所给数据计算得 ， ， 所求回归方程为 （2）由（1）知，b0.50，故 2014 年至 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年 增加 0.5 万元 将 2021 年的年份代号 t8 代入（1）中的回归方程得 故预测该地区 2021 年农村居民家庭人均纯收入为 6.3 万元 19如图在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PAD 为正三角形，平面 P
22、AD平面 ABCD，E、F 分别是 AD、CD 的中点 （1）证明：BDPF； （2）若 M 是棱 PB 上一点，三棱锥 MPAD 与三棱锥 PDEF 的体积相等，求 M 点的位置 【解答】（1）证明：连接 AC，PAPD 且 E 是 AD 的中点，PEAD 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 PAD PE平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDPE 又 ABCD 为菱形，且 E、F 分别为棱 AD、CD 的中点，EFAC BDAC，BDEF，又 BDPE，PEEFE，PE平面 PEF，EF平面 PEF， BD平面 PEF； PF平面 PEF，BDPF （2
23、）解：如图，连接 MA、MD， 设，则， 又 解得，即 M 点在 PB 上靠近 P 点的四等分点处 20已知椭圆离心率为，点 A，B，D，E 分别是 C 的左，右，上，下顶点， 且四边形 ADBE 的面积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP，BQ 的交点为 T，求证： 点 T 横坐标为定值 解：（1）设椭圆 C 的半焦距为 c，根据题意， ，解得， 所以椭圆的方程为+1 （2）证明：由（1）知 A（3，0），B（3，0），F（2，0）， 设 T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由 kT
24、AkPA，得 ， kTBkQB，得， 两式相除得， 又+1， 故1， 故， 于是， 由于直线 PQ 经过点 F，故设直线 PQ 的方程为 xmy+2， 联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my250， 所以， 所以 ， 解得 x0， 所以点 T 横坐标为定值 21设函数 f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，cR，f（x）为 f（x）的导函数 （1）若 abc，f（4）8，求 a 的值； （2）若 ab，bc，且 f（x）和 f（x）的零点均在集合3，1，3中，求 f（x）的极小值； （3）若 a0，0b1，c1，且 f（x）的极大值为 M，求证：M 解：（1）abc，f（x）（xa
25、）3， f（4）8，（4a）38， 4a2，解得 a2 （2）ab，bc，设 f（x）（xa）（xb）2 令 f（x）（xa）（xb）20，解得 xa，或 xb f（x）（xb）2+2（xa）（xb）（xb）（3xb2a） 令 f（x）0，解得 xb，或 x f（x）和 f（x）的零点均在集合 A3，1，3中， 若：a3，b1，则A，舍去 a1，b3，则A，舍去 a3，b3，则1A，舍去 a3，b1，则A，舍去 a1，b3，则A，舍去 a3，b3，则1A， 因此 a3，b3，1A， 可得：f（x）（x3）（x+3）2 f（x）3x（3）（x1） 可得 x1 时，函数 f（x）取得极小值，f（1
26、）24232 （3）证明：a0，0b1，c1， f（x）x（xb）（x1） f（x）（xb）（x1）+x（x1）+x（xb）3x2（2b+2）x+b 4（b+1）212b4b24b+44+33 令 f（x）3x2（2b+2）x+b0 解得：x1 ，x2x1x2， x1+x2，x1x2， 可得 xx1时，f（x）取得极大值为 M， f（x1）（2b+2）x1+b0，令 x1t ， 可得：b Mf（x1）x1（x1b）（x11）t（tb）（t1） ， M 令 g（t）6t3+12t28t+2， g（t）18t2+24t82（3t2）20， 函数 g（t）在 t上单调递减，0 tg（t）0M0 函数
27、 M（t）在 t上单调递增， M（t） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程 为 2+12cos+110 （1）求圆心 C 的直角坐标； （2）若直线 l 的参数方程是（t 为参数），l 与 C 交于 A， B 两点，求 l 的斜率 解：（1）将 xcos，ysin，x2+y22代入 2+12cos+
28、110， 得 x2+y2+12x+110，即（x+6）2+y225， 所以圆 C 的圆心坐标为（6，0）； （2）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） 设 A，B 所对应的极径分别为 1，2， 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12cos+110 于是 1+212cos，1211， ， 由，得，tan， 所以 l 的斜率为或 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+1，g（x）|xa|2x1|，a （1）当 a时，解不等式 g（x2）； （2）对任意 x1，x2R若不等式 f（x1）g（x2）恒成立，求实数 a 的取值范围 解：（1）当时， 不等式 g（x2），即 ，即， 解得 x24 或 x23（舍去）， 由 x24，解得 x2 或 x2， 所以不等式的解集是（，2）（2，+） （2）由题意知，只需满足 f（x）mixg（x）max即可， 因为 f（x）x2+1，所以 f（x）min1， 依题意，当时，g（x）， 得 f（x）ming（x）max，得，即， 所以， 即 a 的取值范围是，