1、第十八章第十八章 平行四边形平行四边形 一、选择题一、选择题 1. 如图,在ABCD 中,M,N 是 BD 上两点,BM=DN,连接 AM,MC,CN,NA,若添加一个条件,使得四边 形 AMCN 是菱形,则这个条件可以是 ( ) A.OM= AC B.MB=MO C.BDAC D.AMB=CND 2. （2020 衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边 形ABCD是平行四边形的是 （ ） A. ABDC ，ADBC B. AB= DC，AD= BC C. ABDC，AD =BC D.OA= OC，OB =OD 3. （2019 上海）下列命题中，假命
2、题是( ) A矩形的对角线相等 B矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C矩形的对角线互相平 D矩形对角线交点到四条边的距离相等 4. 如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、 AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是( ) A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC6，将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三角形，所有 剪法中剩余部分面积的最小值是( ) A. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2 6. （2020 南通） 下列条件中，能判定ABCD是菱形的是 AACBD BABBC
3、CADBD DACBD 7. (2019 广西池河)如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点，点 F 在 DE 延长线上， 添加一个条件使四边形 ADFC 为平行四边形，则这个条件是 AB=F BB=BCF CAC=CF DAD=CF 8. （2020 广州）如图 5，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AB=6，BC=8，过点 O 作 OEAC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ） 图 5 A 48 5 B 32 5 C 24 5 D 12 5 二、填空题二、填空题 9. 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边
4、形，再顺次连结新四边形四边中点得到一 个 ，其面积为 10. 已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则: BDEFABCD SS 正方形正方形 11. 如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为 12. 如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BD 的中点，若 EF2，则菱形 ABCD 的周长 为_ C D F E O B A D CB A 13. 如图，在平行四边形ABCD中，2,ABABC的平分线与BCD的平分线交于点 E，若 点 E 恰好在边AD上，则 22 BECE的值为 14. （2020 四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片 AB
5、CD，AB8cm，BC10cm，点 E 为 CD 上一点， 将纸片沿 AE 折叠， BC 的对应边 BC恰好经过点 D， 则线段 DE 的长为_cm 15. （2020 黔东南州）以ABCD 对角线的交点 O 为原点，平行于 BC 边的直线为 x 轴，建立如 图所示的平面直角坐标系若 A 点坐标为（2，1） ，则 C 点坐标为 16. 如图， 有一矩形纸片ABCD，106ABAD， 将纸片折叠， 使AD边落在AB边上， 折痕为AE， 在将AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CEF的面积为 三、解答题三、解答题 17. （2020 扬州）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于
6、点 O，过点 O 作 EFAC，分别交 A B、DC 于点 E、F，连接 AF、CE. E D CB A E D C B A AB C D F E DC B A （1）若 OE= 3 2 ，求 EF 的长； （2）判新四边形 AECF 的形状，并说明理由. 18. 如图，将 ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE1 2AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，连接 FD. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB3，AD4，A60 ，求 CE 的长 19. 如图，点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，且不与点 A，C 重合，过点 P 分别作边 AB， AD 的
7、平行线，交两组对边于点 E，F 和点 G，H. (1)求证： PHCCFP； (2)证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系 20. 如图，ABC中，90ACB，AD是BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交 AD于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形 H F D E C B A 21. 如图所示，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若ABBF，求证：MNCF 22. 如图所示，矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5，求PD的长 答案答案 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】C 2. 【答案】【答案】C 【解析】本题考
8、查了平行四边形的判定注意掌握举反例的解题方法是解本题的关键AB DC ADBC，四边形ABCD是平行四边形，故A选项能判定这个四边形是平行四边形； AB=DC AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，故B选项能判定这个四边形是平行四边 形；、ABDC AD=BC，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故C选项不能判定这 个四边形是平行四边形AO=CO BO=DO，四边形ABCD是平行四边形，故D选项能判 定这个四边形是平行四边形；故选C 3. 【答案】【答案】D 【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项 D 错误，是假命题. 4. 【答案】【答案】D 【解析】本题考查勾股定理、
9、三角形的中位线定理和四边形的周长 . 解题思路： N M F E D CB A P D CB A BD4，CD3 BDCD BC5 E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点 EFHG1 2BC 5 2 E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点 AD6 EHFG1 2AD3 四边形EFGH 的周长EFFGHGEH11. 5. 【答案】【答案】C 【解析】本题考查了四边形裁剪问题中的最值问题 .使剩余面积最小的剪法如解 图所示，SABG1 2AB BG 1 2448，AD6，AEED3 2，EFDF3，SAED 1 2AE ED 1 2 3 2 3 29， SEDF 1 2EF D
10、F 1 2 3 34.5， S 剩余部分S矩形ABCDSABGSAED SEDF4 6894.52.5. 解图 6. 【答案】【答案】D 【解析】根据菱形的定义和判断定理判断定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形只有 D 能够判断出四边形 ABCD 是菱形故选 D 7. 【答案】【答案】B 【解析】在ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点， DE 是ABC 的中位线，DE 1 2 AC A 根据B=F 不能判定 ACDF， 即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形， 故本选项错误 B根据B=BCF 可以判定 CFAB，即 CFAD，由“两组
11、对边分别平行的四边形是平行 四边形”得到四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项正确 C 根据 AC=CF 不能判定 ACDF， 即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形， 故本选项错误 D根据 AD=CF，FDAC 不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 故选 B 8. 【答案】【答案】C 【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得 AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平 分的性质可得，OA=OD=5. ABD 的面积为 24，OA 为ABD 的中线，由中线等分面积可 得，AOD 的面积为 12.再由等面积法即可得 OE+EF 的值过程如下： AOEEODAOD SSS+=
12、 11 12 22 OA OEOD EF? 即 11 5512 22 OEEF鬃+鬃= ， OE+EF= 24 5 ， 因此本题选 C 二、填空题二、填空题 9. 【答案】【答案】ADBC 【解析】理由：由中位线得 1 2 EFFGGHHEAD即可 10. 【答案】【答案】2:1 11. 【答案】【答案】280 【解析】设每个小矩形的较短边为x，较长边为y，则 7468 25 xy yx ，解得 4 10 x y 故矩形的面积280SAB BC 12. 【答案】【答案】16 【解析】E，F 分别是 AD，BD 的中点，AB2EF4，菱形 ABCD 周 长是 4AB16. 13. 【答案】【答案
13、】16 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD=2,AD=BC,ADBC，ABCD,ABC+ BCD=180 , AEB=EBC， DEC=ECB.又BE、 CE分别是ABC与DCB的平分线， ABE=EBC， DCE=ECB， EBC+BCE=90 ， ABE=AEB， DCE=DEC， AB=AE=2,DC=DE=2, 2222 416.BCBECE 14. 【答案】【答案】5 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理 长方形纸片 ABCD，AB8，BC10，AB8，AD10，BC10 在 RtADB中，由勾股定理，得 DB6DC4 设 DEx，则 CECE8x 在
14、 RtCDE 中，由勾股定理，得 DE2EC2DC2 即 x2(8x)242 x5即线段 DE 的长为 5cm 15. 【答案】【答案】（2，1） 【解析】ABCD 是中心对称图形，它的对角线交点 O 为原点，点 A（2，1）与点 C 成中 心对称，点 C 的纵、横坐标与点 A 的互为相反数点 C 的坐标为（2，1）. 16. 【答案】【答案】8 【解析】454454AEDECABADCEFCFEC，所以可得面积为8 三、解答题三、解答题 17. 【答案】【答案】 解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO，ABDC，OAE=OCF， EFAC，AOE=COF=90 ，在AEO 和
15、CFO 中，OAEOCF，AO CO，AOECOF，AEOCFO，OE=OF，又 OE= 3 2 ，OE=OF= 3 2 ， EF= OE+OF=3； （2）四边形 AECF 是菱形，证明：由（1）得 OE=OF，又AO=CO，四边形 AECF 是平行四边形，EFAC，四边形 AECF 是菱形 18. 【答案】【答案】 (1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， DEFC.(2 分) F 是 BC 的中点， FC1 2BC 1 2AD， DE1 2AD，FCDE，(4 分) 四边形 CEDF 是平行四边形(5 分) (2) 解图 解：如解图，过点 D 作 DHBC 于点
16、 H. 由(1)知四边形 DECF 是平行四边形， DFCE.(6 分) 四边形 ABCD 是平行四边形，A60 ，AB3，AD4， BC4，CD3，BCD60 ，(8 分) 4 6 10 8 8-x x 10 8 C B DA B C E 在 RtDHC 中，HCDC cosHCD3 2， DHDC sinHCD3 3 2 ， F 是 BC 的中点， FC2， FHFCHC23 2 1 2，(10 分) 在 RtDFH 中，由勾股定理得 DFDH2FH2 （3 3 2 ）2（1 2） 2 7， CE 7.(12 分) 19. 【答案】【答案】 (1)证明：四边形 ABCD 是矩形，DCAB，
17、ADBC，DCB90 .(1 分) EFAB，GHAD， EFCD，GHBC， 四边形 PFCH 是矩形，(2 分) PHCPFC90 ，PHCF，HCPF，(3 分) PHCCFP(SAS)(4 分) (2)证明：(1)由(1)知 ABEFCD， ADGHBC， 四边形 PEDH 和四边形 PGBF 都是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， DB90 ， 四边形 PEDH 和四边形 PGBF 都是矩形， S矩形PEDHS矩形PGBF.(8 分) 【解法提示】同(1)证法一样可得，ACDCAB，APEPAG，PHCCFP， SACDSAEPSPCHSCABSPGASCFP， S四边形PED
18、HS四边形PFBG. 20. 【答案】【答案】 CHAB，90HAFAFH 90ACB，90CADADC AD平分CAB，CADHAF ，AFHCDF AFHCFD ，CDFCFD ，CFCD AD平分CAB，DCAC，DEAB CDDE，CFDE 又CHAB，DEAB CFDE，故四边形ABCD是平行四边形 CDDE，四边形ABCD是菱形 21. 【答案】【答案】 ABBF，BFDE，ABDE 90oAE ，AMBEMD AMBEMD，BM MD DMNB，BMND，BMDN是平行四边形 又BM MD，BMDN是菱形 连接BD，则BDMN，NBND，NBDNDB 从而证得BNFDNC，NFN
19、C，NFCNCF NFCNDB ，BDFC，MNBD，MNFC 22. 【答案】【答案】 3 2 【解析】过P点分别作AD、AB、BC、CD的垂线，垂足分别为E、F、G、H， 显然AFPE，EPHD，FBGP，PGCH都是矩形，则 2222 APAEEPPFPE， 222 PCPGPH， 222 PBPFPG， 222 PDPEPH， 22222222 PAPCPEPFPGPHPBPD， 2222222 35418PDPAPCPB， 3 2PD 另解：另解：如图所示，连接AC、BD交于点O，连接PO 因为AOOC，BODO，故 2222 111 224 OPPAPCAC（中线定理） ， N M F E D CB A 2222 111 224 OPPBPDBD 而ACBD，故 2222 PAPCPBPD，则 222 3543 2PD