1、第第 4 4 章章 几何图形几何图形 真题复习集锦真题复习集锦 1如图，在RtABC中，CACB，D为斜边AB的中点，Rt EDF 在ABC内绕点D转动，分别 交边AC，BC于点E，F（点E不与点A，C重合） ，下列说法正确的是（ ） 45DEF ； 222 BFAEEF+=； 2CDEFCD A B C D 2如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上， 120ADC ，50BECCBF，ED与BF 的延长线交于点M则对于以下结论：30BME；ADEABE；EMBC； 3AEBMEM 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3如图，动点M在边长为 2 的正方形AB
2、CD内，且AMBM ，P是CD边上的一个动点，E是AD边 的中点，则线段PEPM的最小值为（ ） A101 B 21 C 10 D51 4如图，点 A，B，C，D 四点均在圆 O 上，AOD=68 ，AO/DC，则B 的度数为（ ） A40 B60 C56 D68 5如果 n 边形的内角和是它外角和的 2 倍，则n等于 （ ） A4 B5 C6 D7 6如图，O 是 ABC 的外接圆，已知ABO40 ，则ACB 的大小为（ ） A40 B30 C50 D60 7如图，AB、CD 都是O 的直径，连接 AD，BC （1）求证：ADBC； （2）过 D 点作O 的切线 DE 交 BA 的延长线于点
3、 E，F 是 BE 上一点，连接 CF 交O 于点 M，若 ED CF，求证：BEDCFB （3）在（2）的条件下，连接 DM 交 EB 于点 N，连接 CN，若 tanCNO 2 3 ，ON2 5，求 DE 的长 8已知：在矩形ABCD中，6AB，2 3AD ，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A 与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF （1）如图 1，当点P与点C重合时，则线段EB _，EF _； （2） 如图 2， 当点P与点B，C均不重合时， 取EF的中点O， 连接并延长PO与GF的延长线交于点M， 连接PF，ME，MA 求证：四边形MEPF是平行四边形： 当 1 tan
4、 3 MAD时，求四边形MEPF的面积 9如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60 ,点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN. （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空：当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形；当 AM 的值为 时，四边 形 AMDN 是菱形 10将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至 AB ，记旋转角为连接 BB ，过点D作DE垂直 于直线 BB ，垂足为点E，连接,DB CE ， 1如图 1，当60时，DEB的形状为 ，连接BD，可求出 BB
5、CE 的值为 ； 2当0360且90时， 1中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； 当以点, ,B E C D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 BE B E 的值 11如图，在ABC中，以AB为直径的 O经过点,C过点C作O的切线,CE点D是O上不与点 、 、A BC重合的一个动点，连接ADCDBD、 1求证:ACEADC； 2填空: 当DCB_ 时，ABD为等腰直角三角形: 当DOB 时，四边形OCAD为菱形 12如图，在ABC中，BABC，90ABC ，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是BD上 不与点 B，
6、D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G （1）求证：ADFBDG ； （2）填空： 若=4AB，且点 E 是BD的中点，则 DF 的长为 ； 取AE的中点 H，当 EAB的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形 13如图，AB 为O 的直径，C 为O 上的一点，连接 AC、BC，ODBC 于点 E，交O 于点 D，连接 CD、AD，AD 与 BC 交于点 F，CG 与 BA 的延长线交于点 G （1）求证： ACDCFD； （2）若CDAGCA，求证：CG 为O 的切线； （3）若 sinCAD 1 3 ，求 tanCDA 的值 14如图，四边形
7、 ABCD 为矩形，G 是对角线 BD 的中点连接 GC 并延长至 F，使 CFGC，以 DC，CF 为邻边作菱形 DCFE，连接 CE （1）判断四边形 CEDG 的形状，并证明你的结论 （2）连接 DF，若 BC3，求 DF 的长 15已知ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 P 在边 AD 上，过点 P 分 别作 PEAC、PFBD，垂足分别为 E、F，PEPF （1）如图，若 PE3，EO1，求EPF 的度数； （2）若点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BF BC3 24，求 BC 的长 16如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线
8、AC 上一动点（点 E 与点 A，C 不重合） ，连接 DE，作 EFDE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MNBC 分别交 CD，AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于点 G （1）求证：EFDE； （2）当 AF2 时，求 GE 的长 17如图，在 ABC 中，ACB90 ，点 D 为 AB 的中点，AC3， 1 cos 3 CAB，将 DAC 沿着 CD 折叠后，点 A 落在点 E 处，则 BE 的长为_ 18等腰三角形的两条边长为 2 和 5，则该等腰三角形的周长为_ 19如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱 O
9、B1为边 作正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2的对角线 OB2为边作正方形 OB2B3C3以此类推，则正方形 OB2020B2021C2021的顶点 B2021的坐标是_ 20如图，在边长为2 2的正方形ABCD中，点 ,E F分别是边,AB BC的中点，连接,EC FD点,G H分 别是,EC FD的中点，连接GH，则GH的长度为_ 21如图，矩形 ABCD 中，AB2，BC 2，E 为 CD 的中点，连接 AE、BD 交于点 P，过点 P 作 PQBC 于点 Q，则 PQ_ 22如图，菱形 ABCD 的周长为 16，AC，BD 交于点 O，点 E 在 BC 上，OEAB，则
10、 OE 的长是_ 23如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点 P 满足 S PAB= 1 3 S矩形ABCD，则点 P 到 A、 B 两点的距离之和 PA+PB 的最小值为_ 参考答案参考答案 1A 2D 3A 4C 5C 6C OA=OB，ABO40 ， BAO=ABO=40 （等边对等角） AOB=100 （三角形内角和定理） ACB=50 （同弧所对圆周角是圆心角的一半） 故选 C 7 （1）证明：AB、CD 是O 的直径， OAOB，OCOD AODBOC， AODBOC(SAS) .ADBC （2）证明：如图 2，过点 C 作 CHAB 于 H，过点 D 作
11、 DGAB 于 G， DOGCOH，DGOCHO90 ，OD=OC， ODGOCH（AAS） DGCH 在 Rt EGD 和 Rt FHC 中， DECF，DGCH， Rt EGDRt FHC(HL) BEDCFB （3）解：如图 3，过点 C 作 CHAB 于 H，过点 D 作 DGAB 于 G， DE 为O 的切线， MDEMCD BEDCFB， DENCFO DNECOF DNODON DNDO DGAB，ON2 5， OGGN 1 2 ON5 OGDOHC， OGOH5 NH3 5 在 Rt CNH 中，tanCNH 2 3 CH NH ， 即 2 33 5 CH CH2 5 DG2
12、5 在 Rt ODG 中，由勾股定理得：OD 22 5OGDG ODEOGD，DOEGOD， ODEOGD ODDE OGGD 即 5 52 5 DE DE10 8解： （1）EB 2 ，EF 4 ； 过点 F 作 FHAB， 折叠后点 A、P、C 重合 AECE，FEAFEC， CDAB CFEFEA， CFEFEC， CFCEAE， 设 AECECFx，BEABAE6x， 在 Rt BCE 中，由勾股定理可得 222 BCBECE，即 2 2 2 2 36xx 解得： x4，即 AECECF4 BE2、DF2， DAFHA90 四边形 DAHF 是矩形， FH2 3AD 、EHABBEAH
13、6222 在 Rt EFH 中，由勾股定理可得: 2 222 2 32EFFHEH 4 （2）证明：如图 2， 在矩形ABCD中，/CD AB ， 由折叠（轴对称）性质，得：/MG PE， MFOPEO， 点O是EF的中点，OF OE， 又FOMEOP，FOMEOP， MFPE，四边形MEPF是平行四边形： 如图 2，连接PA与EF交于点H，则EFPA且PHAH ， 又由知：POMO，/MA EF，则MAPA， 又DABA，MADPAB ， 1 tantan 3 MADPAB 在Rt PAB， 1 tan 3 PB PAB AB ， 而6AB，2PB ， 又在Rt PEB中，若设PEx，则6B
14、Ex， 由勾股定理得： 2 22 62xx，则 10 3 PEx， 而PGMG且2 3PGAD， 又四边形MEPF是平行四边形， 四边形MEPF的面积为 1020 3 2 3 33 PEPG 9 试题分析： （1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形 AMDN 的对边平行且相等即可； （2） 有 （1） 可知四边形 AMDN 是平行四边形， 利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即DMA=90 ， 所以 AM= 1 2 AD=1 时即可； 当平行四边形 AMND 的邻边 AM=DM 时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形 AMD 是等边三角 形即可 试题解析： （1）证明：四边形 ABCD
15、是菱形， NDAM， NDE=MAE，DNE=AME， 又点 E 是 AD 边的中点， DE=AE， NDEMAE， ND=MA， 四边形 AMDN 是平行四边形； （2）解：当 AM 的值为 1 时，四边形 AMDN 是矩形理由如下： AM=1= 1 2 AD， ADM=30 DAM=60 ， AMD=90 ， 平行四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 2 时，四边形 AMDN 是菱形理由如下： AM=2， AM=AD=2， AMD 是等边三角形， AM=DM， 平行四边形 AMDN 是菱形， 10 （1）由题知60 BAB ，90BAD ，ABAD AB 30BAD ，且 ABB为
16、等边三角形 60ABB ， 1 (18030 )75 2 AB D 180607545DB E DE BB 90DEB 45BDE DEB为等腰直角三角形 连接 BD，如图所示 45BDCBDE BDCBDCBDEBDC即BDBCDE 2 2 CDDE BDDB BDBCDE 2 =2 2 BBBD CECD 故答案为：等腰直角三角形， 2 （2）两个结论仍然成立 连接 BD，如图所示： ABAB，BAB 90 2 ABB 90 ,BADADAB 135 2 AB D 45EB DAB DAB B DE BB 45EDBEB D DEB是等腰直角三角形 2 DB DE 四边形ABCD为正方形
17、2,45 BD BDC CD BDDB CDDE EDBBDC BDBEDC BDBEDC 2 BBBD CECD 结论不变，依然成立 若以点, ,B E C D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以 CD 为边时，则/CD BE，此时点 B 在线段 BA 的延长线上， 如图所示： 此时点 E 与点 A 重合， BECEBE，得1 BE B E ； 当以 CD 为对角线时，如图所示： 此时点 F 为 CD 中点， DE BB CBBB 90BCD BCFCBFBBC 2 BCCBBB CFB FCB 4BBB F 6,2BEB F B EB F 3 BE B E 综上： BE
18、 B E 的值为 3 或 1 11 解： 1如图，连接,OC ,OBOC ,OCBOBC ABQ为O的直径， 90 ,ACB 90OCAOCB， CE是O的切线， 90 ,OCE 90 ,OCAACE ,ACEOCB ,ABCADC ACEADC （2）ABD为等腰直角三角形， ADDB， 弧 AD弧 DB， ACDDCB 1 2 ACB， ACB90 ， DCB45 ， 四边形OCAD为菱形， ODAD， 又ODOA， ODOAAD， AOD 为等边三角形， OAD60 ， OAD 1 2 DOB， DOB120 12 解： （1）证明：如图 1，BABC，90ABC ， 45BAC AB
19、是O的直径， 90ADBAEB ， 90DAFBGDDBGBGD DAFDBG 90ABDBAC 45ABDBAC ADBD ()ADFBDGASA ； （2）如图 2，过 F 作FHAB于 H，点 E 是BD的中点， BAEDAE FDAD，FHAB FHFD 2 sinsin45 2 FH ABD BF ， 2 2 FD BF ，即2BFFD 4ABQ， 4cos452 2BD ，即 2 2BFFD ，( 21)2 2FD 2 2 42 2 21 FD 故答案为42 2 连接 OE，EH，点 H 是AE的中点， OHAE， 90AEB BEAE BEOH 四边形 OBEH 为菱形， 1 2
20、 BEOHOBAB 1 sin 2 BE EAB AB 30EAB 故答案为30 13 （1）证明：ODBC， CD BD , CADFCD， 又ADCCDF， ACDCFD； （2）证明：连接 OC，如图 1 所示： AB 是O 的直径， ACB90 ， ABC+CAB90 ， OBOC， OBCOCB， CDAOBC，CDAGCA， OCBGCA， OCGGCA+OCAOCB+OCA90 ， CGOC， OC 是O 的半径， CG 是O 的切线； （3）解：连接 BD，如图 2 所示： CADCBD， ODBC， sinCADsinCBD 1 3 DE BD ，BECE， 设 DEx，OD
21、OBr，则 OErx，BD3x 在 Rt BDE 中，BE 2222 92 2BDDExxx ， BC2BE4 2x, 在 Rt OBE 中，OE2+BE2OB2， 即(rx)2+(2 2x)2r2， ， 解得：r 9 2 x， AB2r9x， 在 Rt ABC 中，AC2+BC2AB2， AC2+(4 2x)2(9x)2， AC7x 或 AC7x（舍去） ， tanCDAtanCBA 7 4 2 ACx BCx 7 2 8 14 （1）四边形 CEDG 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 为矩形，G 是对角线 BD 的中点， GB=GC=GD， CF=GC， GB=GC=GD=CF， 四边
22、形 DCFE 是菱形， CD=CF=DE，DECG， DE=GC， 四边形 CEDG 是平行四边形， GD=GC， 四边形 CEDG 是菱形； （2）过点 G 作 GHBC 于 H，设 DF 交 CE 于点 N，如图所示： CD=CF，GB=GD=GC=CF， CH=BH= 1 2 BC= 3 2 ， CDG 是等边三角形， GCD=60 ， DCF=180 GCD=180 60 =120 ， 四边形 ABCD 为矩形， BCD=90 ， GCH=90 60 =30 ， CG= cos30 CH = 3 2 3 2 =1， CD=1， 四边形 DCFE 是菱形， DN=FN，CNDF，DCE=
23、FCE= 1 2 DCF= 1 2 120 =60 ， 在 Rt CND 中，DN=CDsinDCE=1 sin60 =1 3 2 = 3 2 ， DF=2DN=2 3 2 = 3 15 （1）60 （2）4 解： （1）连接 PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， Rt PEORt PFO（HL） EPOFPO 在 Rt PEO 中， tanEPO EO PE 3 3 ， EPO30 EPF60 （2）点 P 是 AD 的中点， APDP 又 PEPF， Rt PEARt PFD（HL） OADODA OAOD AC2OA2ODBD ABCD是矩形 点 P 是 AD 的中点，点
24、F 是 DO 的中点， AOPF PFBD， ACBD ABCD是菱形 ABCD是正方形 BD 2BC BF 3 4 BD， BC3 24 3 2 4 BC， 解得，BC4 16 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，且 MNBC， 四边形 ANMD 是矩形，BAC=45 ， ANM=DMN=90 ，EN=AN=DM， DEM+EDM=90 ， EFDE， DEM+FEN=90 ， EDM=FEN， 在 DME 与 ENF 中 DME=ENF=90 ，DM=EN，EDM=FEN， DMEENF（ASA） ， EFDE； （2）四边形 ABCD 是正方形， ABDC，DAB=90 ， DF=
25、22 2 5ADAF ， DCDG AFFG ，即 4 22 5 DG DG ，解得：DG= 4 5 3 ， FG=DF-DG= 2 5 3 ， 又DE=EF，EFDE， DEF 是等腰直角三角形， EDF=45 ，DE=EF= 2 sin452 510 2 DF ， GAF=GDE=45 ， 又DGE=AGF， DGEAGF， DEGE AFGF ，即 10 22 5 3 GE ，解得： 5 2 3 GE ， 5 2 3 GE 17 如图，以点 D 为圆心，AB 为直径作圆D，并连接 AE，AE 与 CD 相交于点 G ACB90 ，AC3， 1 cos 3 CAB 1 cos 3 AC C
26、AB AB ，90ACDCAB 39ABAC 点 D 为 AB 的中点 19 22 ADBDCDAB 将 DAC 沿着 CD 折叠后，点 A 落在点 E 处 DEAD，ACCE，ACGECG 点 E 在D上，CAE ABC CGCG ACGECG ACCE ACGECG AGCEGC，AGGE 180AGCEGC 90AGCEGC 90ACGCAG 90CAEABCCAB ，即90CAGCAB 90ACGCAGCAB 1 coscos 3 CG ACGCAB AC 1 1 3 CGAC 22 2 2AGACCG 24 2AEAGGEAG AB 为D直径 90AEB 22 81 327EBABA
27、E 故答案为：7 1812 解：当 5 为底时，其它两边都为 2， 2+25， 不能构成三角形，故舍去， 当 5 为腰时，其它两边为 2 和 5， 5、5、2 可以构成三角形， 周长为 5+5+2=12 故答案为：12 19 （-21011，-21011） 解：正方形 OA1B1C1的边长为 2， OB1=2 2，点 B1的坐标为（2，2） OB2=2 22=4 B2（0，4） ， 同理可知 B3（-4，4） ，B4（-8，0） ，B5（-8，-8） ，B6（0，-16） ，B7（16，-16） ，B8（32，0） ，B9（32，32） ， B10（0，64） 由规律可以发现，点 B1在第一象
28、限角平分线上、B2在 y 轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在 x 轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在 y 轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在 x 轴正半轴 上、B9在第一象限角平分线上、B10在 y 轴正半轴上，每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符 号相同，每次正方形的边长变为原来的 2倍， 2021 8=2525， B2021和 B5都在第三象限角平分线上，且 OB2021=2 2021 2=2 21010 2=2 1011 2 点 B2021到 x 轴和 y 轴的距离都为 21011 22=2 1011 B2021（-21011，-21011）
29、故答案为： （-21011，-21011） 20、过 E 作EPDC，过 G 作GQ DC ，过 H 作HRBC，垂足分别为 P，R，R，HR与GQ相交 于 I，如图， 四边形 ABCD 是正方形， 2 2ABADDCBC ， 90AADC ， 四边形 AEPD 是矩形， 2 2EPAD ， 点 E，F 分别是 AB，BC 边的中点， 1 2 2 PCDC， 1 2 2 FCBC EPDC，GQ DC ， GQEP/ 点 G 是 EC 的中点， GQ 是EPC的中位线， 1 2 2 GQEP， 同理可求： 2HR ， 由作图可知四边形 HIQP 是矩形， 又 HP= 1 2 FC，HI= 1
30、2 HR= 1 2 PC， 而 FC=PC， HIHP， 四边形 HIQP 是正方形， 2 2 IQHP， 22 2 22 GIGQIQHI HIG 是等腰直角三角形， 21GHHI 故答案为：1 21 4 3 解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，ADBC，BAD90 ， E 为 CD 的中点， DE 1 2 CD 1 2 AB， ABPEDP， AB DE PB PD ， 2 1 PB PD ， PB BD 2 3 ， PQBC， PQCD， BPQDBC， PQ CD BP BD 2 3 ， CD2， PQ 4 3 ， 故答案为： 4 3 222 解：菱形 ABCD 的周长
31、为 16， ABBCCDAD4，OAOC， OEAB，且 O 点是 AC 的中点， OE 是 ABC 的中位线， OE 1 2 AB2， 故答案为：2 234 2 详解：设 ABP 中 AB 边上的高是 h S PAB= 1 3 S矩形ABCD， 1 2 ABh= 1 3 ABAD， h= 2 3 AD=2， 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连 接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离 在 Rt ABE 中，AB=4，AE=2+2=4， BE= 2222 = 44 =4 2ABAE ， 即 PA+PB 的最小值为 4 2 故答案为 4 2