1、2020-2021 学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上） 。求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上） 。 1如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ） A B C D 2下列命题是假命题的是（ ） A四个角相等的四边形是矩形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线垂直的四边形
2、是菱形 D对角线垂直的平行四边形是菱形 3在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 3 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸 出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是 0.2，则估计盒子 中红球的个数大约是（ ） A20 个 B16 个 C15 个 D12 个 4一元二次方程 x2+2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 5ABC 与ABC是位似图形， 且ABC 与ABC位似比是 1： 2，已知ABC 的面积是 10， 则ABC的面积是（ ） A10 B20 C40 D80 6关
3、于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 7如图ABCDEF，AF、BE 交于点 G，下列比例式错误的是（ ） A B C D 8 如图， 已知点 A 是反比例函数 y （x0） 的图象上一点， ABx 轴交另一个反比例函数 y （x0） 的图象于点 B，C 为 x 轴上一点，若 SABC2，则 k 的值为（ ） A4 B2 C3 D1 9如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AC6，BD8，过 A 点作 AE 垂直 BC，交 BC 于
4、点 E，则的值为（ ） A B C D 10如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF，下面四个结论： CF2AF；ADCD；DFDC；AEFCAB；S四边形CDEFSABF其中正确的结 论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分.把答案填在答题卡上）把答案填在答题卡上）. 11已知，且 a+b2c6，则 a 的值为 12小王同学想利用树影测量校园内的树高他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时，其影长为 1.2 米，当他 测量教学楼旁的一棵大树的
5、影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上经测量，地面部分影长 为 6.4 米，墙上影长为 1.4 米，那么这棵大树高约为 米 13设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 14如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB4，AD3，则 CF 的长为 15如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴，反比例 函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A（2，0） 、D（0，4） ，则反比例函数 的解析式为 三、解答题： （三、
6、解答题： （16 题题 6 分，分，17 题题 6 分，分，18 题题 7 分，分，19 题题 8 分，分，20 题题 9 分，分，21 题题 9 分，分，22 题题 10 分，共计分，共计 55 分）分） 16解下列方程： （1）2（x2）2x24 （2）2x24x10 17甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4100 米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责 跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排 （1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序； （2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率 18如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 AED
7、E，连接 CE （1）求证：CEDE （2）当 BE2，CE1 时，求菱形的边长 19某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市场发现当每个背包 的售价为 40 元时，月均销量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量就相应减少 20 个 （1）若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是 3120 元？ （3） 这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗？若能， 请求出此时的销售单价； 若不能， 请说明理由 20如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+b 经过
8、点 A（1，0） ，与 y 轴正半轴交于 B 点，与反比例函 数 y（x0）交于点 C，且 BC2AB，BDx 轴交反比例函数 y（x0）于点 D，连接 AD （1）求 b、k 的值； （2）求ABD 的面积； （3）若 E 为射线 BC 上一点，设 E 的横坐标为 m，过点 E 作 EFBD，交反比例函数 y（x0）的 图象于点 F，且 EFBD，求 m 的值 21问题背景 如图（1） ，在四边形 ABCD 中，B+D180，ABAD，BAD，以点 A 为顶点作一个角，角 的两边分别交 BC，CD 于点 E，F，且EAF，连接 EF，试探究：线段 BE，DF，EF 之间的数量 关系 （1）特
9、殊情景 在上述条件下，小明增加条件“当BADBD90时”如图（2） ，小明很快写出了：BE，DF， EF 之间的数量关系为 （2）类比猜想 类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若 成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由 （3）解决问题 如图（3） ，在ABC 中，BAC90，ABAC4，点 D，E 均在边 BC 上，且DAE45，若 BD ，请直接写出 DE 的长 22 （1）证明推断：如图（1） ，在正方形 ABCD 中，点 E、Q 分别在边 BC、AB 上，DQAE 于点 O，点 G、 F 分别在边 CD、AB 上，GF
10、AE 填空：DQ AE（填“” “”或“” ） ；推断的值为 ； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形 ABCD 中，k（k 为常数） 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k时，若，GF2，求 CP 的长 2020-2021 学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（
11、共 10 小题）小题） 1如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可 【解答】解：左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1 故选：A 2下列命题是假命题的是（ ） A四个角相等的四边形是矩形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线垂直的四边形是菱形 D对角线垂直的平行四边形是菱形 【分析】根据矩形的判定对 A、B 进行判断；根据菱形的判定方法对 C、D 进行判断 【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故 A 选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故 B 选
12、项不符合题意； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故 C 选项符合题意； D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故 D 选项不符合题意 故选：C 3在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 3 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸 出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是 0.2，则估计盒子 中红球的个数大约是（ ） A20 个 B16 个 C15 个 D12 个 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小， 根据这个频率稳定性定理， 可以用频率的集中趋势来估计概率， 这个固定的近似值
13、就是这个事件的概率 【解答】解：设红球有 x 个，根据题意得， 3： （3+x）1：5， 解得 x12， 经检验：x12 是原分式方程的解， 所以估计盒子中红球的个数大约有 12 个， 故选：D 4一元二次方程 x2+2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况 【解答】解：在方程 x2+2x10 中，2241（1）80， 方程 x2+2x10 有两个不相等的实数根 故选：A 5ABC 与ABC是位似图形， 且ABC 与ABC位似比是 1： 2，已知ABC 的面积是 10，
14、 则ABC的面积是（ ） A10 B20 C40 D80 【分析】根据位似变换的性质得到ABCABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方 是解题的关键 【解答】解：ABC 与ABC是位似图形，且ABC 与ABC位似比是 1：2， ABCABC，相似比为 1：2， （）2， ABC 的面积是 10， ABC的面积是 40， 故选：C 6关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 C 进行判断；根据反比例函数的性质对
15、A、B、D 进行 判断 【解答】解：反比例函数 y，k120， A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确； B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确； C、函数图象经过点（6，2） ，故本选项说法不正确； D、当 k0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，故本选项说法 正确； 故选：C 7如图ABCDEF，AF、BE 交于点 G，下列比例式错误的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可 【解答】解：A、由 ABCDEF，则，所以 A 选项的结论正确； B、由 ABCDEF，则，所以 B 选项的结论正确； C
16、、由 ABCDEF，则，所以 C 选项的结论正确； D、由 ABCDEF，则，所以 D 选项的结论错误； 故选：D 8 如图， 已知点 A 是反比例函数 y （x0） 的图象上一点， ABx 轴交另一个反比例函数 y （x0） 的图象于点 B，C 为 x 轴上一点，若 SABC2，则 k 的值为（ ） A4 B2 C3 D1 【分析】由点 A 是反比例函数 y的图象上，可得 SAOD3，根据等底同高的三角形面积相等可得 S AOBSACB2，进而求出 SBOD1，再根据点 B 在反比例函数 y（x0）的图象上，求出 SBOD 1，进而求出 k 的值 【解答】解：延长 AB 交 y 轴于点 D，
17、连接 OA、OB， 点 A 是反比例函数 y（x0）的图象上，ABx 轴， SAOD|k|63，SAOBSACB2， SBODSAODSAOB321， 又点 B 在反比例函数 y（x0）的图象上， SBOD|k|1， k2，k2（舍去） ， 故选：B 9如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AC6，BD8，过 A 点作 AE 垂直 BC，交 BC 于点 E，则的值为（ ） A B C D 【分析】利用菱形的性质即可计算得出 BC 的长，再根据面积法即可得到 AE 的长，最后根据勾股定理进 行计算，即可得到 BE 的长，进而得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形
18、， COAC3，BOBD4，AOBO， BC5， S菱形ABCDACBDBCAE， AE 在 RtABE 中，BE， CEBCBE5， 的值为， 故选：C 10如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF，下面四个结论： CF2AF；ADCD；DFDC；AEFCAB；S四边形CDEFSABF其中正确的结 论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】依据AEFCBF，即可得出 CF2AF；依据BAEADC，即可得到 ADCD；过 D 作 DMBE 交 AC 于 N，依据 DM 垂直平分 CF，即可得出 DFDC；依据EACACB，ABC
19、AFE90，即可得到AEFCAB；设AEF 的面积为 s，则ABF 的面积为 2s，CEF 的面积为 2s，CDE 的面积为 3s，四边形 CDEF 的面积为 5s，进而得出 S四边形CDEFSABF 【解答】解：ADBC， AEFCBF， ， AEADBC， ， CF2AF，故正确； 设 AEa，ABb，则 AD2a， BEAC，BAD90， ABEADC，而BAEADC90， BAEADC， ， 即 ba， ADCD， 故正确； 如图，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N， DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形， BMDEBC， BMCM， CNNF， BEAC 于点 F
20、，DMBE， DNCF， DM 垂直平分 CF， DFDC，故正确； 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABC90，ADBC， BEAC 于点 F， EACACB，ABCAFE90， AEFCAB，故正确； 如图，连接 CE， 由AEFCBF，可得， 设AEF 的面积为 s，则ABF 的面积为 2s，CEF 的面积为 2s， ACE 的面积为 3s， E 是 AD 的中点， CDE 的面积为 3s， 四边形 CDEF 的面积为 5s， S四边形CDEFSABF，故正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11已知，且 a+b2c6，则 a 的值为 12 【分析】直接利用已
21、知比例式假设出 a，b，c 的值，进而利用 a+b2c6，得出答案 【解答】解：， 设 a6x，b5x，c4x， a+b2c6， 6x+5x8x6， 解得：x2， 故 a12 故答案为：12 12小王同学想利用树影测量校园内的树高他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时，其影长为 1.2 米，当他 测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上经测量，地面部分影长 为 6.4 米，墙上影长为 1.4 米，那么这棵大树高约为 9.4 米 【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例计算 【解答】解：设这棵大树高为 x， 根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长
22、成比例 可得树高比影长为1.25， 则有0.8， 解可得：x9.4 米 13设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 1000 【分析】由于 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n1，并 且 m2+m10010，然后把 m2+2m+n 可以变为 m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果 【解答】解：m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根， m+n1， 并且 m2+m10010， m2+m1001， m2+2m+nm2+m+m+n100111000 故答案为：1000 14如图，在矩形 ABCD
23、中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB4，AD3，则 CF 的长为 【分析】根据矩形的性质可得出 ABCD，进而可得出FAEFCD，结合AFECFD（对顶角相 等）可得出AFECFD，利用相似三角形的性质可得出2，利用勾股定理可求出 AC 的长 度，再结合 CFAC，即可求出 CF 的长 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ABCD，ADBC，ABCD， FAEFCD， 又AFECFD， AFECFD， 2 AC5， CFAC5 故答案为： 15如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴，反比例
24、 函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A（2，0） 、D（0，4） ，则反比例函数 的解析式为 y 【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 B（x，4） 利用矩形的性质得出 E 为 BD 中点，DAB90根据线段中点坐标公式得出 E（x，4） 由勾股定理得出 AD2+AB2BD2，列出 方程 22+42+（x2）2+42x2，求出 x，得到 E 点坐标，即可求得反比例函数的解析式 【解答】解：BDx 轴，D（0，4） ， B、D 两点纵坐标相同，都为 4， 可设 B（x，4） 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E， E 为 BD 中点，DAB90 E（
25、x，4） DAB90， AD2+AB2BD2， A（2，0） ，D（0，4） ，B（x，4） ， 22+42+（x2）2+42x2， 解得 x10， E（5，4） 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 E， k5420， 反比例函数的解析式为 y 故答案为 y 三解答题三解答题 16解下列方程： （1）2（x2）2x24 （2）2x24x10 【分析】 （1）先移项得到 2（x2）2（x2） （x+2）0，然后利用因式分解法解方程； （4）利用配方法解方程即可 【解答】解： （1）2（x2）2（x2） （x+2）0， （x2） （2x4x2）0， 所以 x12，x26； （2）x22x，
26、x22x+1+1，即（x1）2， x1， 所以 x11+，x21 17甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4100 米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责 跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排 （1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序； （2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率 【分析】 （1）画树状图即可得出答案； （2）共有 6 个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有 2 个，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）画树状图如图： （2）由（1）得：共有 6 个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有 2 个， 正好由丙将接力棒交给丁
27、的概率为 18如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 AEDE，连接 CE （1）求证：CEDE （2）当 BE2，CE1 时，求菱形的边长 【分析】 （1）证ABECBE（SAS） ，即可得出结论； （2）连接 AC 交 BD 于 H，先由菱形的性质可得 AHBD，BHDH，AHCH，求出 BH、EH 的长， 由勾股定理求出 AH 的长，再由勾股定理求出 AB 的长，即可得出结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ABECBE，ABCB， 在ABE 和CBE 中， ， ABECBE（SAS） ， AECE， AEDE， CEDE； （2）解：如图，连接 A
28、C 交 BD 于 H， 四边形 ABCD 是菱形， AHBD，BHDH，AHCH， CEDEAE1， BDBE+DE2+13， BHBD，EHBEBH2， 在 RtAHE 中，由勾股定理得：AH， 在 RtAHB 中，由勾股定理得：AB， 菱形的边长为 19某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元的价格进货，经过市场发现当每个背包 的售价为 40 元时，月均销量为 280 个，售价每增长 2 元，月均销量就相应减少 20 个 （1）若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是 31
29、20 元？ （3） 这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗？若能， 请求出此时的销售单价； 若不能， 请说明理由 【分析】 （1）设每个背包的售价为 x 元，则月均销量为（28020）个，根据月均销量不低于 130 个，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论； （2）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出 结论； （3）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于 x 的一元二次方程，由根的判别式36 0，即可得出这种书包的销售利润不能达到 3700 元 【解答】解： （1）设每个背包的售价为 x 元，则月均销量为（2
30、8020）个， 依题意，得：28020130， 解得：x55 答：每个背包售价应不高于 55 元 （2）依题意，得： （x30） （28020）3120， 整理，得：x298x+23520， 解得：x142，x256（不合题意，舍去） 答：当该这种书包销售单价为 42 元时，销售利润是 3120 元 （3）依题意，得： （x30） （28020）3700， 整理，得：x298x+24100 （98）2412410360， 该方程无解， 这种书包的销售利润不能达到 3700 元 20如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+b 经过点 A（1，0） ，与 y 轴正半轴交于 B 点，与反比例函 数
31、y（x0）交于点 C，且 BC2AB，BDx 轴交反比例函数 y（x0）于点 D，连接 AD （1）求 b、k 的值； （2）求ABD 的面积； （3）若 E 为射线 BC 上一点，设 E 的横坐标为 m，过点 E 作 EFBD，交反比例函数 y（x0）的 图象于点 F，且 EFBD，求 m 的值 【分析】 （1）作 CHy 轴于点 H，把点 A 坐标代入直线解析式中求出 b，求出点 B 坐标，再用相似三角 形的性质求出 CH、BH，求出点 C 坐标，即可求出 k； （2）先求出点 D 坐标，求出 BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）先求出 EF2，设出点 E 坐标，分 0m2、
32、m2 两种情况，表示出点 F 坐标，根据反比例函数 图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论 【解答】解： （1）作 CHy 轴于点 H， 直线 y3x+b 经过点 A（1，0） ， 13+b0， 解得，b3， 对于直线 y3x+3，当 x0 时，x3， 点 B 的坐标为（0，3） ，即 OB3， CHOA， AOBCHB， ，即， 解得，CH2，BH6， OHOB+BH9， 点 C 的坐标为（2，9） ， k2918； （2）BDx 轴， 点 D 的纵坐标为 3， 点 D 的横坐标为6，即 BD6， ABD 的面积639； （3）EFBD62， 设 E（m，3m+3） ， 当 0m2 时
33、，点 F 的坐标为（m+2，3m+3） ， 点 F 在反比例函数 y上， （m+2） （3m+3）18， 解得，m14（舍去） ，m21， 当 m2 时，点 F 的坐标为（m2，3m+3） ， 点 F 在反比例函数 y上， （m2） （3m+3）18， 解得，m3（舍去） ，m4， 综上所述，m 的值为 1 或 21问题背景 如图（1） ，在四边形 ABCD 中，B+D180，ABAD，BAD，以点 A 为顶点作一个角，角 的两边分别交 BC，CD 于点 E，F，且EAF，连接 EF，试探究：线段 BE，DF，EF 之间的数量 关系 （1）特殊情景 在上述条件下，小明增加条件“当BADBD90
34、时”如图（2） ，小明很快写出了：BE，DF， EF 之间的数量关系为 BE+DFEF （2）类比猜想 类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若 成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由 （3）解决问题 如图（3） ，在ABC 中，BAC90，ABAC4，点 D，E 均在边 BC 上，且DAE45，若 BD ，请直接写出 DE 的长 【分析】 （1）将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ADG，据此知 AEAG，BEDG，BAE DAG证AFEAFG 得 EFFG，从而得出答案； （2）将ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到A
35、DH，知ABEADH，BAEDAH，AEAH，BE DH，证AEFAHF 得 EFFHDF+DHDF+BE； （3）将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到AEB，连接 DE据此知 BEEC，AEAE， CABE，EACEAB，由 ABAC4 知ABC+ABE90，即EBD90，从而 得 EB2+BD2ED2易证AEDAED 得 DEDE，根据 DE2BD2+EC2可得答案 【解答】解： （1）BE+DFEF， 如图 1，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ADG， ADCBADG90， FDG180，即点 F，D，G 共线 由旋转可得 AEAG，BEDG，BAEDAG BAE+DAF
36、BADEAF904545， DAG+DAF45， EAFFAG， AFEAFG（SAS） ， EFFG 又FGDG+DFBE+DF， BE+DFEF， 故答案为：BE+DFEF （2）成立 证明：如图 2，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到ADH， 可得ABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDH B+ADC180， ADH+ADC180， 点 C，D，H 在同一直线上 BAD，EAF， BAE+FAD， DAH+FAD， FAHEAF， 又AFAF， AEFAHF（SAS） ， EFFHDF+DHDF+BE； （3）DE， 如图 3，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到AEB，连接
37、 DE 可得 BEEC，AEAE，CABE，EACEAB， 在 RtABC 中，ABAC4， ABCACB45，BC4， ABC+ABE90，即EBD90， EB2+BD2ED2 易证AEDAED， DEDE， DE2BD2+EC2，即 DE2， 解得 22 （1）证明推断：如图（1） ，在正方形 ABCD 中，点 E、Q 分别在边 BC、AB 上，DQAE 于点 O，点 G、 F 分别在边 CD、AB 上，GFAE 填空：DQ AE（填“” “”或“” ） ；推断的值为 1 ； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形 ABCD 中，k（k 为常数） 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A
38、落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k时，若，GF2，求 CP 的长 【分析】 （1）由正方形的性质得 ABDA，ABE90DAH所以HAO+OAD90，又知 ADO+OAD90，所以HAOADO，于是ABEDAH，可得 AEDQ 证明四边形 DQFG 是平行四边形即可解决问题 （2）结论：k如图 2 中，作 GMAB 于 M证明：ABEGMF 即可解决问题 （3） 如图 2 中， 作 PMBC 交 BC 的延长线于 M
39、 利用相似三角形的性质求出 PM， CM 即可解决问题 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是正方形， ABDA，ABE90DAQ QAO+OAD90 AEDQ， ADO+OAD90 QAOADO ABEDAQ（ASA） ， AEDQ 故答案是：； 解：DQAE，FGAE， DQFG， FQDG， 四边形 DQFG 是平行四边形， FGDQ， AEDQ， FGAE， 1 故答案为：1 （2）解：结论：k 理由：如图 2 中，作 GMAB 于 M AEGF， AOFGMFABE90， BAE+AFO90，AFO+FGM90， BAEFGM， ABEGMF， ， AMGDDAM90， 四边形 AMGD 是矩形， GMAD， k （3）解：如图 2 中，作 PMBC 交 BC 的延长线于 M 由，可以假设 BE3k，BF4k，EFAF5k， ，FG2， AE3， （3k）2+（9k）2（3）2， k1 或1（舍弃） ， BE3，AB9， BC：AB2：3， BC6， BECE3，ADPEBC6， EBFFEPPME90， FEB+PEM90，PEM+EPM90， FEBEPM， FBEEMP， ， ， EM，PM， CMEMEC3， PC