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广东省深圳市南山区2020-2021学年九年级上期末考试数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有一、选择题(本题有 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上) 。求的,请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上) 。 1如图,这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体,该几何体的左视图( ) A B C D 2下列命题是假命题的是( ) A四个角相等的四边形是矩形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线垂直的四边形

2、是菱形 D对角线垂直的平行四边形是菱形 3在一个不透明的口袋中,装有若干个红球和 3 个黄球,它们除颜色外没有任何区别,摇匀后从中随机摸 出一个球,记下颜色后再放回口袋中,通过大量重复摸球实验发现,摸到黄球的频率是 0.2,则估计盒子 中红球的个数大约是( ) A20 个 B16 个 C15 个 D12 个 4一元二次方程 x2+2x10 的根的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 5ABC 与ABC是位似图形, 且ABC 与ABC位似比是 1: 2,已知ABC 的面积是 10, 则ABC的面积是( ) A10 B20 C40 D80 6关

3、于反比例函数 y,下列说法不正确的是( ) A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点(6,2) D当 x0 时,y 随 x 的增大而增大 7如图ABCDEF,AF、BE 交于点 G,下列比例式错误的是( ) A B C D 8 如图, 已知点 A 是反比例函数 y (x0) 的图象上一点, ABx 轴交另一个反比例函数 y (x0) 的图象于点 B,C 为 x 轴上一点,若 SABC2,则 k 的值为( ) A4 B2 C3 D1 9如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC6,BD8,过 A 点作 AE 垂直 BC,交 BC 于

4、点 E,则的值为( ) A B C D 10如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,BEAC,垂足为点 F,连接 DF,下面四个结论: CF2AF;ADCD;DFDC;AEFCAB;S四边形CDEFSABF其中正确的结 论有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题(本题有二、填空题(本题有 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分分.把答案填在答题卡上)把答案填在答题卡上). 11已知,且 a+b2c6,则 a 的值为 12小王同学想利用树影测量校园内的树高他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时,其影长为 1.2 米,当他 测量教学楼旁的一棵大树的

5、影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上经测量,地面部分影长 为 6.4 米,墙上影长为 1.4 米,那么这棵大树高约为 米 13设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根,则 m2+2m+n 的值为 14如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 的中点,连接 DE 交对角线 AC 于点 F,若 AB4,AD3,则 CF 的长为 15如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴上,对角线 BDx 轴,反比例 函数 y(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A(2,0) 、D(0,4) ,则反比例函数 的解析式为 三、解答题: (三、

6、解答题: (16 题题 6 分,分,17 题题 6 分,分,18 题题 7 分,分,19 题题 8 分,分,20 题题 9 分,分,21 题题 9 分,分,22 题题 10 分,共计分,共计 55 分)分) 16解下列方程: (1)2(x2)2x24 (2)2x24x10 17甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4100 米接力跑比赛,因为丁的速度最快,所以由他负责 跑最后一棒,其他三位同学的跑步顺序随机安排 (1)请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序; (2)请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率 18如图,在菱形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,且 AED

7、E,连接 CE (1)求证:CEDE (2)当 BE2,CE1 时,求菱形的边长 19某商店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个 30 元的价格进货,经过市场发现当每个背包 的售价为 40 元时,月均销量为 280 个,售价每增长 2 元,月均销量就相应减少 20 个 (1)若使这种背包的月均销量不低于 130 个,每个背包售价应不高于多少元? (2)在(1)的条件下,当该这种书包销售单价为多少元时,销售利润是 3120 元? (3) 这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗?若能, 请求出此时的销售单价; 若不能, 请说明理由 20如图,在平面直角坐标系中,直线 y3x+b 经过

8、点 A(1,0) ,与 y 轴正半轴交于 B 点,与反比例函 数 y(x0)交于点 C,且 BC2AB,BDx 轴交反比例函数 y(x0)于点 D,连接 AD (1)求 b、k 的值; (2)求ABD 的面积; (3)若 E 为射线 BC 上一点,设 E 的横坐标为 m,过点 E 作 EFBD,交反比例函数 y(x0)的 图象于点 F,且 EFBD,求 m 的值 21问题背景 如图(1) ,在四边形 ABCD 中,B+D180,ABAD,BAD,以点 A 为顶点作一个角,角 的两边分别交 BC,CD 于点 E,F,且EAF,连接 EF,试探究:线段 BE,DF,EF 之间的数量 关系 (1)特

9、殊情景 在上述条件下,小明增加条件“当BADBD90时”如图(2) ,小明很快写出了:BE,DF, EF 之间的数量关系为 (2)类比猜想 类比特殊情景,小明猜想:在如图(1)的条件下线段 BE,DF,EF 之间的数量关系是否仍然成立?若 成立,请你帮助小明完成证明;若不成立,请说明理由 (3)解决问题 如图(3) ,在ABC 中,BAC90,ABAC4,点 D,E 均在边 BC 上,且DAE45,若 BD ,请直接写出 DE 的长 22 (1)证明推断:如图(1) ,在正方形 ABCD 中,点 E、Q 分别在边 BC、AB 上,DQAE 于点 O,点 G、 F 分别在边 CD、AB 上,GF

10、AE 填空:DQ AE(填“” “”或“” ) ;推断的值为 ; (2)类比探究:如图(2) ,在矩形 ABCD 中,k(k 为常数) 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 E 处,得到四边形 FEPG,EP 交 CD 于点 H,连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的数量关系,并说明理由; (3)拓展应用:在(2)的条件下,连接 CP,当 k时,若,GF2,求 CP 的长 2020-2021 学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(

11、共 10 小题)小题) 1如图,这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体,该几何体的左视图( ) A B C D 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可 【解答】解:左视图有 2 列,每列小正方形数目分别为 2,1 故选:A 2下列命题是假命题的是( ) A四个角相等的四边形是矩形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线垂直的四边形是菱形 D对角线垂直的平行四边形是菱形 【分析】根据矩形的判定对 A、B 进行判断;根据菱形的判定方法对 C、D 进行判断 【解答】解:A、四个角相等的四边形是矩形,为真命题,故 A 选项不符合题意; B、对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故 B 选

12、项不符合题意; C、对角线垂直的平行四边形是菱形,为假命题,故 C 选项符合题意; D、对角线垂直的平行四边形是菱形,为真命题,故 D 选项不符合题意 故选:C 3在一个不透明的口袋中,装有若干个红球和 3 个黄球,它们除颜色外没有任何区别,摇匀后从中随机摸 出一个球,记下颜色后再放回口袋中,通过大量重复摸球实验发现,摸到黄球的频率是 0.2,则估计盒子 中红球的个数大约是( ) A20 个 B16 个 C15 个 D12 个 【分析】利用大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小, 根据这个频率稳定性定理, 可以用频率的集中趋势来估计概率, 这个固定的近似值

13、就是这个事件的概率 【解答】解:设红球有 x 个,根据题意得, 3: (3+x)1:5, 解得 x12, 经检验:x12 是原分式方程的解, 所以估计盒子中红球的个数大约有 12 个, 故选:D 4一元二次方程 x2+2x10 的根的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先计算出根的判别式的值,根据的值就可以判断根的情况 【解答】解:在方程 x2+2x10 中,2241(1)80, 方程 x2+2x10 有两个不相等的实数根 故选:A 5ABC 与ABC是位似图形, 且ABC 与ABC位似比是 1: 2,已知ABC 的面积是 10,

14、 则ABC的面积是( ) A10 B20 C40 D80 【分析】根据位似变换的性质得到ABCABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方 是解题的关键 【解答】解:ABC 与ABC是位似图形,且ABC 与ABC位似比是 1:2, ABCABC,相似比为 1:2, ()2, ABC 的面积是 10, ABC的面积是 40, 故选:C 6关于反比例函数 y,下列说法不正确的是( ) A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点(6,2) D当 x0 时,y 随 x 的增大而增大 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 C 进行判断;根据反比例函数的性质对

15、A、B、D 进行 判断 【解答】解:反比例函数 y,k120, A、函数图象分别位于第二、四象限,故本选项说法正确; B、函数图象关于原点成中心对称,故本选项说法正确; C、函数图象经过点(6,2) ,故本选项说法不正确; D、当 k0,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大,故本选项说法 正确; 故选:C 7如图ABCDEF,AF、BE 交于点 G,下列比例式错误的是( ) A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可 【解答】解:A、由 ABCDEF,则,所以 A 选项的结论正确; B、由 ABCDEF,则,所以 B 选项的结论正确; C

16、、由 ABCDEF,则,所以 C 选项的结论正确; D、由 ABCDEF,则,所以 D 选项的结论错误; 故选:D 8 如图, 已知点 A 是反比例函数 y (x0) 的图象上一点, ABx 轴交另一个反比例函数 y (x0) 的图象于点 B,C 为 x 轴上一点,若 SABC2,则 k 的值为( ) A4 B2 C3 D1 【分析】由点 A 是反比例函数 y的图象上,可得 SAOD3,根据等底同高的三角形面积相等可得 S AOBSACB2,进而求出 SBOD1,再根据点 B 在反比例函数 y(x0)的图象上,求出 SBOD 1,进而求出 k 的值 【解答】解:延长 AB 交 y 轴于点 D,

17、连接 OA、OB, 点 A 是反比例函数 y(x0)的图象上,ABx 轴, SAOD|k|63,SAOBSACB2, SBODSAODSAOB321, 又点 B 在反比例函数 y(x0)的图象上, SBOD|k|1, k2,k2(舍去) , 故选:B 9如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC6,BD8,过 A 点作 AE 垂直 BC,交 BC 于点 E,则的值为( ) A B C D 【分析】利用菱形的性质即可计算得出 BC 的长,再根据面积法即可得到 AE 的长,最后根据勾股定理进 行计算,即可得到 BE 的长,进而得出结论 【解答】解:四边形 ABCD 是菱形

18、, COAC3,BOBD4,AOBO, BC5, S菱形ABCDACBDBCAE, AE 在 RtABE 中,BE, CEBCBE5, 的值为, 故选:C 10如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,BEAC,垂足为点 F,连接 DF,下面四个结论: CF2AF;ADCD;DFDC;AEFCAB;S四边形CDEFSABF其中正确的结 论有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】依据AEFCBF,即可得出 CF2AF;依据BAEADC,即可得到 ADCD;过 D 作 DMBE 交 AC 于 N,依据 DM 垂直平分 CF,即可得出 DFDC;依据EACACB,ABC

19、AFE90,即可得到AEFCAB;设AEF 的面积为 s,则ABF 的面积为 2s,CEF 的面积为 2s,CDE 的面积为 3s,四边形 CDEF 的面积为 5s,进而得出 S四边形CDEFSABF 【解答】解:ADBC, AEFCBF, , AEADBC, , CF2AF,故正确; 设 AEa,ABb,则 AD2a, BEAC,BAD90, ABEADC,而BAEADC90, BAEADC, , 即 ba, ADCD, 故正确; 如图,过 D 作 DMBE 交 AC 于 N, DEBM,BEDM, 四边形 BMDE 是平行四边形, BMDEBC, BMCM, CNNF, BEAC 于点 F

20、,DMBE, DNCF, DM 垂直平分 CF, DFDC,故正确; 四边形 ABCD 是矩形, ADBC,ABC90,ADBC, BEAC 于点 F, EACACB,ABCAFE90, AEFCAB,故正确; 如图,连接 CE, 由AEFCBF,可得, 设AEF 的面积为 s,则ABF 的面积为 2s,CEF 的面积为 2s, ACE 的面积为 3s, E 是 AD 的中点, CDE 的面积为 3s, 四边形 CDEF 的面积为 5s, S四边形CDEFSABF,故正确 故选:D 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11已知,且 a+b2c6,则 a 的值为 12 【分析】直接利用已

21、知比例式假设出 a,b,c 的值,进而利用 a+b2c6,得出答案 【解答】解:, 设 a6x,b5x,c4x, a+b2c6, 6x+5x8x6, 解得:x2, 故 a12 故答案为:12 12小王同学想利用树影测量校园内的树高他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时,其影长为 1.2 米,当他 测量教学楼旁的一棵大树的影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上经测量,地面部分影长 为 6.4 米,墙上影长为 1.4 米,那么这棵大树高约为 9.4 米 【分析】根据在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例计算 【解答】解:设这棵大树高为 x, 根据平行投影特点:在同一时刻,不同物体的物高和影长

22、成比例 可得树高比影长为1.25, 则有0.8, 解可得:x9.4 米 13设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根,则 m2+2m+n 的值为 1000 【分析】由于 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根,根据根与系数的关系可以得到 m+n1,并 且 m2+m10010,然后把 m2+2m+n 可以变为 m2+m+m+n,把前面的值代入即可求出结果 【解答】解:m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根, m+n1, 并且 m2+m10010, m2+m1001, m2+2m+nm2+m+m+n100111000 故答案为:1000 14如图,在矩形 ABCD

23、中,E 是边 AB 的中点,连接 DE 交对角线 AC 于点 F,若 AB4,AD3,则 CF 的长为 【分析】根据矩形的性质可得出 ABCD,进而可得出FAEFCD,结合AFECFD(对顶角相 等)可得出AFECFD,利用相似三角形的性质可得出2,利用勾股定理可求出 AC 的长 度,再结合 CFAC,即可求出 CF 的长 【解答】解:四边形 ABCD 为矩形, ABCD,ADBC,ABCD, FAEFCD, 又AFECFD, AFECFD, 2 AC5, CFAC5 故答案为: 15如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴上,对角线 BDx 轴,反比例

24、 函数 y(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A(2,0) 、D(0,4) ,则反比例函数 的解析式为 y 【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同,可设 B(x,4) 利用矩形的性质得出 E 为 BD 中点,DAB90根据线段中点坐标公式得出 E(x,4) 由勾股定理得出 AD2+AB2BD2,列出 方程 22+42+(x2)2+42x2,求出 x,得到 E 点坐标,即可求得反比例函数的解析式 【解答】解:BDx 轴,D(0,4) , B、D 两点纵坐标相同,都为 4, 可设 B(x,4) 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E, E 为 BD 中点,DAB90 E(

25、x,4) DAB90, AD2+AB2BD2, A(2,0) ,D(0,4) ,B(x,4) , 22+42+(x2)2+42x2, 解得 x10, E(5,4) 反比例函数 y(k0,x0)的图象经过点 E, k5420, 反比例函数的解析式为 y 故答案为 y 三解答题三解答题 16解下列方程: (1)2(x2)2x24 (2)2x24x10 【分析】 (1)先移项得到 2(x2)2(x2) (x+2)0,然后利用因式分解法解方程; (4)利用配方法解方程即可 【解答】解: (1)2(x2)2(x2) (x+2)0, (x2) (2x4x2)0, 所以 x12,x26; (2)x22x,

26、x22x+1+1,即(x1)2, x1, 所以 x11+,x21 17甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4100 米接力跑比赛,因为丁的速度最快,所以由他负责 跑最后一棒,其他三位同学的跑步顺序随机安排 (1)请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序; (2)请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率 【分析】 (1)画树状图即可得出答案; (2)共有 6 个等可能的结果,正好由丙将接力棒交给丁的结果有 2 个,再由概率公式求解即可 【解答】解: (1)画树状图如图: (2)由(1)得:共有 6 个等可能的结果,正好由丙将接力棒交给丁的结果有 2 个, 正好由丙将接力棒交给丁

27、的概率为 18如图,在菱形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,且 AEDE,连接 CE (1)求证:CEDE (2)当 BE2,CE1 时,求菱形的边长 【分析】 (1)证ABECBE(SAS) ,即可得出结论; (2)连接 AC 交 BD 于 H,先由菱形的性质可得 AHBD,BHDH,AHCH,求出 BH、EH 的长, 由勾股定理求出 AH 的长,再由勾股定理求出 AB 的长,即可得出结果 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是菱形, ABECBE,ABCB, 在ABE 和CBE 中, , ABECBE(SAS) , AECE, AEDE, CEDE; (2)解:如图,连接 A

28、C 交 BD 于 H, 四边形 ABCD 是菱形, AHBD,BHDH,AHCH, CEDEAE1, BDBE+DE2+13, BHBD,EHBEBH2, 在 RtAHE 中,由勾股定理得:AH, 在 RtAHB 中,由勾股定理得:AB, 菱形的边长为 19某商店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个 30 元的价格进货,经过市场发现当每个背包 的售价为 40 元时,月均销量为 280 个,售价每增长 2 元,月均销量就相应减少 20 个 (1)若使这种背包的月均销量不低于 130 个,每个背包售价应不高于多少元? (2)在(1)的条件下,当该这种书包销售单价为多少元时,销售利润是 31

29、20 元? (3) 这种书包的销售利润有可能达到 3700 元吗?若能, 请求出此时的销售单价; 若不能, 请说明理由 【分析】 (1)设每个背包的售价为 x 元,则月均销量为(28020)个,根据月均销量不低于 130 个,即可得出关于 x 的一元一次不等式,解之取其最大值即可得出结论; (2)根据总利润每个的利润月均销量,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出 结论; (3)根据总利润每个的利润月均销量,即可得出关于 x 的一元二次方程,由根的判别式36 0,即可得出这种书包的销售利润不能达到 3700 元 【解答】解: (1)设每个背包的售价为 x 元,则月均销量为(2

30、8020)个, 依题意,得:28020130, 解得:x55 答:每个背包售价应不高于 55 元 (2)依题意,得: (x30) (28020)3120, 整理,得:x298x+23520, 解得:x142,x256(不合题意,舍去) 答:当该这种书包销售单价为 42 元时,销售利润是 3120 元 (3)依题意,得: (x30) (28020)3700, 整理,得:x298x+24100 (98)2412410360, 该方程无解, 这种书包的销售利润不能达到 3700 元 20如图,在平面直角坐标系中,直线 y3x+b 经过点 A(1,0) ,与 y 轴正半轴交于 B 点,与反比例函 数

31、y(x0)交于点 C,且 BC2AB,BDx 轴交反比例函数 y(x0)于点 D,连接 AD (1)求 b、k 的值; (2)求ABD 的面积; (3)若 E 为射线 BC 上一点,设 E 的横坐标为 m,过点 E 作 EFBD,交反比例函数 y(x0)的 图象于点 F,且 EFBD,求 m 的值 【分析】 (1)作 CHy 轴于点 H,把点 A 坐标代入直线解析式中求出 b,求出点 B 坐标,再用相似三角 形的性质求出 CH、BH,求出点 C 坐标,即可求出 k; (2)先求出点 D 坐标,求出 BD,根据三角形的面积公式计算,得到答案; (3)先求出 EF2,设出点 E 坐标,分 0m2、

32、m2 两种情况,表示出点 F 坐标,根据反比例函数 图象上点的坐标特征建立方程求解,即可得出结论 【解答】解: (1)作 CHy 轴于点 H, 直线 y3x+b 经过点 A(1,0) , 13+b0, 解得,b3, 对于直线 y3x+3,当 x0 时,x3, 点 B 的坐标为(0,3) ,即 OB3, CHOA, AOBCHB, ,即, 解得,CH2,BH6, OHOB+BH9, 点 C 的坐标为(2,9) , k2918; (2)BDx 轴, 点 D 的纵坐标为 3, 点 D 的横坐标为6,即 BD6, ABD 的面积639; (3)EFBD62, 设 E(m,3m+3) , 当 0m2 时

33、,点 F 的坐标为(m+2,3m+3) , 点 F 在反比例函数 y上, (m+2) (3m+3)18, 解得,m14(舍去) ,m21, 当 m2 时,点 F 的坐标为(m2,3m+3) , 点 F 在反比例函数 y上, (m2) (3m+3)18, 解得,m3(舍去) ,m4, 综上所述,m 的值为 1 或 21问题背景 如图(1) ,在四边形 ABCD 中,B+D180,ABAD,BAD,以点 A 为顶点作一个角,角 的两边分别交 BC,CD 于点 E,F,且EAF,连接 EF,试探究:线段 BE,DF,EF 之间的数量 关系 (1)特殊情景 在上述条件下,小明增加条件“当BADBD90

34、时”如图(2) ,小明很快写出了:BE,DF, EF 之间的数量关系为 BE+DFEF (2)类比猜想 类比特殊情景,小明猜想:在如图(1)的条件下线段 BE,DF,EF 之间的数量关系是否仍然成立?若 成立,请你帮助小明完成证明;若不成立,请说明理由 (3)解决问题 如图(3) ,在ABC 中,BAC90,ABAC4,点 D,E 均在边 BC 上,且DAE45,若 BD ,请直接写出 DE 的长 【分析】 (1)将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90,得到ADG,据此知 AEAG,BEDG,BAE DAG证AFEAFG 得 EFFG,从而得出答案; (2)将ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到A

35、DH,知ABEADH,BAEDAH,AEAH,BE DH,证AEFAHF 得 EFFHDF+DHDF+BE; (3)将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90,得到AEB,连接 DE据此知 BEEC,AEAE, CABE,EACEAB,由 ABAC4 知ABC+ABE90,即EBD90,从而 得 EB2+BD2ED2易证AEDAED 得 DEDE,根据 DE2BD2+EC2可得答案 【解答】解: (1)BE+DFEF, 如图 1,将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90,得到ADG, ADCBADG90, FDG180,即点 F,D,G 共线 由旋转可得 AEAG,BEDG,BAEDAG BAE+DAF

36、BADEAF904545, DAG+DAF45, EAFFAG, AFEAFG(SAS) , EFFG 又FGDG+DFBE+DF, BE+DFEF, 故答案为:BE+DFEF (2)成立 证明:如图 2,将ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到ADH, 可得ABEADH,BAEDAH,AEAH,BEDH B+ADC180, ADH+ADC180, 点 C,D,H 在同一直线上 BAD,EAF, BAE+FAD, DAH+FAD, FAHEAF, 又AFAF, AEFAHF(SAS) , EFFHDF+DHDF+BE; (3)DE, 如图 3,将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90,得到AEB,连接

37、 DE 可得 BEEC,AEAE,CABE,EACEAB, 在 RtABC 中,ABAC4, ABCACB45,BC4, ABC+ABE90,即EBD90, EB2+BD2ED2 易证AEDAED, DEDE, DE2BD2+EC2,即 DE2, 解得 22 (1)证明推断:如图(1) ,在正方形 ABCD 中,点 E、Q 分别在边 BC、AB 上,DQAE 于点 O,点 G、 F 分别在边 CD、AB 上,GFAE 填空:DQ AE(填“” “”或“” ) ;推断的值为 1 ; (2)类比探究:如图(2) ,在矩形 ABCD 中,k(k 为常数) 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠,使点 A

38、落在 BC 边上的点 E 处,得到四边形 FEPG,EP 交 CD 于点 H,连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的数量关系,并说明理由; (3)拓展应用:在(2)的条件下,连接 CP,当 k时,若,GF2,求 CP 的长 【分析】 (1)由正方形的性质得 ABDA,ABE90DAH所以HAO+OAD90,又知 ADO+OAD90,所以HAOADO,于是ABEDAH,可得 AEDQ 证明四边形 DQFG 是平行四边形即可解决问题 (2)结论:k如图 2 中,作 GMAB 于 M证明:ABEGMF 即可解决问题 (3) 如图 2 中, 作 PMBC 交 BC 的延长线于 M

39、 利用相似三角形的性质求出 PM, CM 即可解决问题 【解答】 (1)解:四边形 ABCD 是正方形, ABDA,ABE90DAQ QAO+OAD90 AEDQ, ADO+OAD90 QAOADO ABEDAQ(ASA) , AEDQ 故答案是:; 解:DQAE,FGAE, DQFG, FQDG, 四边形 DQFG 是平行四边形, FGDQ, AEDQ, FGAE, 1 故答案为:1 (2)解:结论:k 理由:如图 2 中,作 GMAB 于 M AEGF, AOFGMFABE90, BAE+AFO90,AFO+FGM90, BAEFGM, ABEGMF, , AMGDDAM90, 四边形 AMGD 是矩形, GMAD, k (3)解:如图 2 中,作 PMBC 交 BC 的延长线于 M 由,可以假设 BE3k,BF4k,EFAF5k, ,FG2, AE3, (3k)2+(9k)2(3)2, k1 或1(舍弃) , BE3,AB9, BC:AB2:3, BC6, BECE3,ADPEBC6, EBFFEPPME90, FEB+PEM90,PEM+EPM90, FEBEPM, FBEEMP, , , EM,PM, CMEMEC3, PC