1、2019-2020 学年浙江省台州市温岭市九年级（上）期末数学试卷学年浙江省台州市温岭市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、 错选，均不给分）错选，均不给分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2一元二次方程 x2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 3下列说法正确的是（ ） A在同一年出生的 400 人中至少有两
2、人的生日相同是必然事件 B某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票一定有 5 张中奖 C某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D一个袋中装有 3 个红球、5 个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 4将抛物线 yx2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）23 5 若 x 支球队参加篮球比赛， 每两队之间都比赛一场， 共比赛了 28 场， 则下列方程中符合题意的是 （ ） Ax（x1）28 Bx（x+1）28 Cx（x1）28 Dx（x+1）28
3、 6已知函数 yx2+bx+c，其中 b0，c0，此函数的图象可以是（ ） A B C D 7如图，在三角形 ABC 中，ACB90，B50，将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到三角 形 ABC，若点 B恰好落在线段 AB 上，AC、AB交于点 O，则COA的度数是（ ） A50 B60 C70 D80 8如图， E 是四边形 ABCD 边 BC 上一点 EACD， EDAB若 SABE4，SDEC9， 则 SAED（ ） A （+）2 B6 C6.5 D2 9二次函数 y2x2+bx+c 的图象如图所示，点 A、点 B 是图象与 x 轴的两个交点，若 AB2，则二次函 数 y2x2+b
4、x+c 的最小值是（ ） A6 B4 C4 D6 10如图，已知矩形 ABCD 的四个顶点都在双曲线 y上，BC2AB，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A18 B32 C36 D72 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分） 分） 11抛物线 y2（x+1）22 的对称轴是直线 12 排水管的截面如图， 水面宽 AB8dm， 圆心 O 到水面的距离 OC3dm， 则排水管的半径等于 dm 13学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CDBD，垂 足分别为 B，D，AO4m，AB1.6m
5、，CO1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 14如图，图 1 是由若干个相同的图形（图 2）组成的美丽图案的一部分，图 2 中，图形的相关数据：半径 OA3cm，AOB120，则图 2 的周长（三条弧长的和）为 cm（结果保留 ） 15把抛物线 yx28x+15 绕着顶点逆时针旋转 90，所得新图形与 y 轴交于点 A、B，则 AB 16将两块相同的含有 30角的直角三角板如图放置，顶点 D 在边 BC 上移动（不运动至 B、C） ，边 DE 始终经过点 A，边 DF 与边 AC 交于点 H，已知 AB3 （1）若 H 是 AC 的中点，则 CD ； （2）AH 的最小值为 三、解答
6、题（第三、解答题（第 17-20 题，每题题，每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 2223 题，每题题，每题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17解方程： （1）x24x10 （2）x（x2）x2 18某游泳池有 1200 立方米水，设放水的平均速度为 v 立方米/小时，将池内的水放完需 t 小时 （1）求 v 关于 t 的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）若要求在 3 小时之内（包括 3 小时）把游泳池的水放完，求放水速度 v 的范围 19如图，在每个小正方形的边长都是 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点都在小正方形
7、的格点上 （1）ABC 的面积为 （面积单位） （2）将ABC 绕点 C 旋转 180得到A1B1C（点 A 的对应点是 A1） ，连接 AB1，BA1 请在网格中补全图形； 直接写出四边形 AB1A1B 是何种特殊的四边形 20如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，过 D 作 AC 的垂线，垂足为 E （1）求证：点 D 是 BC 的中点： （2）求证：DE 是O 切线 21图 1 是一枚质地均匀的骰子，每个面上的点数分别是 1，2，3，4，5，6，图 2 是一个正五边形棋盘， 现通过掷股子的方式玩跳棋游戏， 规则是： 将这枚骰子在桌面掷出后， 看骰子落在桌
8、面朝上的点数是几， 就从图中的 A 点开始沿着逆时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方 法继续 （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是 （2）随机掷两次骰子，用列表或画树状图的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率 22如图，在 RtABC 中，ABC90，将 RtABC 绕点 A 旋转得 RtADE，使点 B 的对应点 D 落在 AC 上，连接 CE、BD，并延长 BD 交 CE 与点 F （1）若BCA40，求DEC； （2）若BCA，求证：DFFC； （3）若 AB3，BC4，求 BD 的长 23QQ 是大家常用的通讯工具，它的等级、等级图标、活
9、跃天数如下表，请仔细观察，解答下列问题： （1）等级图标“”表示第 级，至少需要活跃 天； （2）设要获得 x 级至少活跃 y 天，求 y 关于 x 的函数关系式，并求活跃第 1000 天是哪级？ （3） 明叔和亮叔都是从新号 （即 0 级） 开始上 QQ， 明叔每天都获得 1 活跃天， 即第 0 天至第 4 天 0 级， 第 5 天至第 11 天 1 级，以此类推：亮叔有时一天都不上 QQ，有时进行 QQ 加速，刚好每 50 天升一级， 即第 0 天至第 49 天 0 级，第 50 天至第 99 天 1 级，以此类推设明叔第 p 天处于第 n 级，亮叔第 q 天也 处于第 n 级，问 n 为
10、多少时，qp 最大，最大值是多少？ 等级 等级图标 至少活跃天数 0 0 1 5 2 12 3 21 4 32 5 45 6 60 7 77 8 96 15 285 16 320 17 357 24如图 1，锐角ABC，ABAC，O 是ABC 的外接圆，连接 BO 并延长交 AC 于点 D， （1）若BDC30，求BAC 的度数； （2）如图 2，当 0BAC60时，作点 C 关于 BD 的对称点 E，连接 AE、DE，DE 交 AB 于 F 点 E 在O （选填“内” 、 “上” 、 “外” ） ； 证明：AEFEAB； 若BDC 为等腰三角形，AD2，求 AE 的长 2019-2020 学
11、年浙江省台州市温岭市九年级（上）期末数学试卷学年浙江省台州市温岭市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确 故选：D 2一元二次方程 x2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数
12、根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断 【解答】解：（1）24（1）50， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 3下列说法正确的是（ ） A在同一年出生的 400 人中至少有两人的生日相同是必然事件 B某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票一定有 5 张中奖 C某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D一个袋中装有 3 个红球、5 个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断 【解答】解：A “在同一年出生的 400 名学生中，至少有
13、两人的生日是同一天”是必然事件，故此选项 正确； B某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票不一定有 5 张中奖，故此选项错误； C某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，它们发生的可能性不等，故本选项错误； D一个袋中装有 3 个红球、5 个白球，任意摸出一个球是红球的概率是，故此选项错误； 故选：A 4将抛物线 yx2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后，抛物线的解析式为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）23 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式 【解答】解：将抛
14、物线 yx2向上平移 3 个单位再向右平移 2 个单位， 平移后的抛物线的解析式为：y（x2）2+3 故选：B 5 若 x 支球队参加篮球比赛， 每两队之间都比赛一场， 共比赛了 28 场， 则下列方程中符合题意的是 （ ） Ax（x1）28 Bx（x+1）28 Cx（x1）28 Dx（x+1）28 【分析】设这次有 x 队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，则此次比赛的总场数 为：x（x1）场根据题意可知：此次比赛的总场数28 场，依此等量关系列出方程即可 【解答】解：设这次有 x 队参加比赛，则此次比赛的总场数为x（x1）场， 根据题意列出方程得：x（x1）28， 故选
15、：C 6已知函数 yx2+bx+c，其中 b0，c0，此函数的图象可以是（ ） A B C D 【分析】根据已知条件“a0、b0、c0”判断出该函数图象的开口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称 轴所在的位置，然后据此来判断它的图象 【解答】解：a10，b0，c0， 该函数图象的开口向下，对称轴是 x0，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上； 故选：D 7如图，在三角形 ABC 中，ACB90，B50，将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到三角 形 ABC，若点 B恰好落在线段 AB 上，AC、AB交于点 O，则COA的度数是（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】由三角形的内角和
16、为 180可得出A40，由旋转的性质可得出 BCBC，从而得出B BBC50，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论 【解答】解：在三角形 ABC 中，ACB90，B50， A180ACBB40 由旋转的性质可知： BCBC， BBBC50 又BBCA+ACB40+ACB， ACB10， COAAOBOBC+ACBB+ACB60 故选：B 8如图， E 是四边形 ABCD 边 BC 上一点 EACD， EDAB若 SABE4，SDEC9， 则 SAED（ ） A （+）2 B6 C6.5 D2 【分析】根据平行线的性质可得AEBC，BDEC，则ABEDEC；根相似三角形的面积 之比等于
17、相似比的平方，得出，然后根据三角形面积公式即可得到答案 【解答】解：EACD， AEBC， 又EDAB， BDEC， ABEDEC， （）2， ， 又CDAE， SAED：SDECAE：CD2：3， SAEDSDEC96， 故选：B 9二次函数 y2x2+bx+c 的图象如图所示，点 A、点 B 是图象与 x 轴的两个交点，若 AB2，则二次函 数 y2x2+bx+c 的最小值是（ ） A6 B4 C4 D6 【分析】根据二次函数的图象与 x 轴的两个交点间的距离 AB2，得到2，求得 4ac b248，根据二次函数的顶点坐标公式即可得到结论 【解答】解：AB2， 2， |b24ac|48，
18、b24ac0， b24ac48， 4acb248， 二次函数 y2x2+bx+c 的最小值6， 故选：A 10如图，已知矩形 ABCD 的四个顶点都在双曲线 y上，BC2AB，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A18 B32 C36 D72 【分析】过 B 点作 MNy 轴，AMx 轴CN，设点 A（m，） ， （m0） ，则 B（，m） ，C（m， ） ，通过证得ABMBCN，求得 m，可得 A（，3） ，B（3，） ，运用两点间距 离公式求得 AB，即可求得 BC，即可得到矩形 ABCD 的面积 【解答】解：过 B 点作 MNy 轴，AMx 轴CN， 设点 A（m，） ， （m0） ， 根
19、据矩形和双曲线的对称性可得，B（，m） ，C（m，） ， 矩形 ABCD 中，ABC90， CBN+ABMCBN+BCN， ABMBCN， AMBBNC90， ABMBCN， ， 2BMCN， 2（m）（+m） ， 解得 m， A（，） ，B（3，） ， 由两点间距离公式可得，AB4， BC2AB8， 矩形 ABCD 的面积ABAD4832， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11抛物线 y2（x+1）22 的对称轴是直线 x1 【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y2（x+1）22， 该抛物线的对称轴是直线 x
20、1， 故答案为：x1 12 排水管的截面如图， 水面宽 AB8dm， 圆心 O 到水面的距离 OC3dm， 则排水管的半径等于 5 dm 【分析】连接 OA，先根据垂径定理求出 AC 的长，再由勾股定理求出 OA 的长即可 【解答】解：连接 OA， AB8，OCAB， ACAB4 OC3， OA5（dm） 故答案为：5 13学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CDBD，垂 足分别为 B，D，AO4m，AB1.6m，CO1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 0.4m 【分析】由ABOCDO90、AOBCOD 知ABOCDO，据此得
21、，将已知数据 代入即可得 【解答】解：ABBD，CDBD， ABOCDO90， 又AOBCOD， ABOCDO， 则， AO4m，AB1.6m，CO1m， ， 解得：CD0.4， 栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 0.4m 故答案为：0.4 14如图，图 1 是由若干个相同的图形（图 2）组成的美丽图案的一部分，图 2 中，图形的相关数据：半径 OA3cm，AOB120，则图 2 的周长（三条弧长的和）为 4 cm（结果保留 ） 【分析】先根据图 1 确定：图 2 的周长2 个的长，根据弧长公式可得结论 【解答】解：由图 1 得：的长+的长的长 半径 OA3cm，AOB120 则图 2
22、的周长为：4， 故答案为：4 15把抛物线 yx28x+15 绕着顶点逆时针旋转 90，所得新图形与 y 轴交于点 A、B，则 AB 4 【分析】求得抛物线的顶点坐标，从而求得旋转前对应点 A、B的纵坐标，把纵坐标代入解析式求得 坐标，即可求得 AB，得到 AB 【解答】解：抛物线 yx28x+15（x4）21， 抛物线开口向上，顶点为（4，1） ， 旋转前的对应点 A、B的纵坐标为 3， 把 y3 代入 yx28x+15 得 x28x+153， 解得 x12，x26， A（2，3） ，B（6，3） ， ABAB624， 故答案为 4 16将两块相同的含有 30角的直角三角板如图放置，顶点 D
23、 在边 BC 上移动（不运动至 B、C） ，边 DE 始终经过点 A，边 DF 与边 AC 交于点 H，已知 AB3 （1）若 H 是 AC 的中点，则 CD 2 ； （2）AH 的最小值为 1218 【分析】 （1）首先证明 AD 平分BAC 时，点 H 是 AC 的中点，直角三角形求出 CD 即可 （2）如图，延长 DB 到 T，使得ATB60，则 BT，AT2，在 CD 上取一点 R，使得 CR HR，设 BDx，CRHRy，则 CHy根据一元二次方程，利用判别式，求出 y 的最大值，即可 解决问题 【解答】解： （1）在 RtABC 中，B90，AB3，C30， AC2AB6，BCAB
24、3， 当 AD 平分BAC 时， DABDAH30，ADBADH60，ADAD， ADBADH（ASA） ， ADAH3，BAHD90 AHCH3，即此时点 H 是 AC 的中点， CD2 故答案为：2 （2）如图，延长 DB 到 T，使得ATB60，则 BT，AT2，在 CD 上取一点 R，使得 CR HR，设 BDx，CRHRy，则 CHy EDCT+TADADF+HDR，TADF60， TADHDR， RCRH， CRHC30， DRHC+RHC60， TDRH， ATDDRH， ， ， x2（2y）x+3y90， 0， （2y）24（3y9）0， y216y+480， y812 或 y
25、8+12（舍弃） ， CHy2412， AH 的最小值6（2412）1218 故答案为：1218 三解答题三解答题 17解方程： （1）x24x10 （2）x（x2）x2 【分析】 （1）根据配方法即可求出答案 （2）根据因式分解法即可求出答案 【解答】解： （1）x24x10， x24x+45， （x2）25， x2 （2）x（x2）x2， x（x2）（x2）0， （x1） （x2）0， x1 或 x2 18某游泳池有 1200 立方米水，设放水的平均速度为 v 立方米/小时，将池内的水放完需 t 小时 （1）求 v 关于 t 的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）若要求在 3
26、 小时之内（包括 3 小时）把游泳池的水放完，求放水速度 v 的范围 【分析】 （1）由题意得 vt900，即 v，自变量的取值范围为 t0， （2）把 t3 代入求出相应的 v 的值，即可求出放水速度的范围 【解答】解： （1）由题意得：vt1200， 即：v， 答：v 关于 t 的函数表达式为 v，自变量的取值范围为 t0 （2）当 t3 时，v400， 所以放水速度的范围为 v400 立方米/小时 19如图，在每个小正方形的边长都是 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上 （1）ABC 的面积为 4 （面积单位） （2）将ABC 绕点 C 旋转 180得到A1B1C（
27、点 A 的对应点是 A1） ，连接 AB1，BA1 请在网格中补全图形； 直接写出四边形 AB1A1B 是何种特殊的四边形 【分析】 （1）用一个正方形的面积分别减去 3 个三角形的面积可计算出ABC 的面积； （2）延长 AC 到 A1，使 CA1AC，延长 BC 到 B1，使 CB1CB，从而得到B1A1C； 利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形进行判断 【解答】解： （1）ABC 的面积333122314； 故答案为 4； （2）如图，A1B1C 为所作； 四边形 AB1A1B 是矩形 20如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，过 D 作 AC 的垂线
28、，垂足为 E （1）求证：点 D 是 BC 的中点： （2）求证：DE 是O 切线 【分析】 （1）连接 AD，得出 ADBC，根据等腰三角形性质推出 BDDC 即可； （2）连接 OD，求出BODBAC，推出 ODAC，即可得出ODE90，根据切线的判定推出即 可 【解答】证明： （1）连接 AD， AB 是直径， ADBC， 又ABAC， BDCD， 点 D 是 BC 的中点； （2）连接 OD， BAC2BAD，BOD2BAD， BACBOD， ODAC， 又DEAC， DEOD， DE 是O 的切线 21图 1 是一枚质地均匀的骰子，每个面上的点数分别是 1，2，3，4，5，6，图 2
29、 是一个正五边形棋盘， 现通过掷股子的方式玩跳棋游戏， 规则是： 将这枚骰子在桌面掷出后， 看骰子落在桌面朝上的点数是几， 就从图中的 A 点开始沿着逆时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方 法继续 （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是 （2）随机掷两次骰子，用列表或画树状图的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率 【分析】 （1）当底面数字为 2 时，可以到达点 C，根据概率公式计算即可； （2）先列表得到 36 种等可能的结果，再找出两数的和 2 或 7 或 12 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点
30、 C 处的概率 故答案为：； （2）表格如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 共有 36 种等可能的结果，棋子最终跳动到点 C 处的组合为（1，1）
31、， （1，6） ， （2，5） ， （3，4） ， （4， 3） ， （5，2） ， （6，1） ， （6，6）共 8 种， 棋子最终跳动到点 C 处的概率 22如图，在 RtABC 中，ABC90，将 RtABC 绕点 A 旋转得 RtADE，使点 B 的对应点 D 落在 AC 上，连接 CE、BD，并延长 BD 交 CE 与点 F （1）若BCA40，求DEC； （2）若BCA，求证：DFFC； （3）若 AB3，BC4，求 BD 的长 【分析】 （1）先求出BAC，再用旋转得出 ACAE，AED40，CAE50，进而求出AEC， 即可得出结论； （2）先求出BAC，再利用旋转的性质得出
32、ACAE，ADAB，进而求出CAE45+CDF， 即可得出结论； （3）先求出 AC，进而求出 CD，再利用相似三角形的性质求出 DH，CH，最后用勾股定理即可得出结 论 【解答】解： （1）在 RtABC 中，BCA40， BAC90BCA50， 由旋转知，AEDACB40，CAEBAC50，ACAE， AEC（180CAE）65， DECAECAED654025； （2）在 RtABC 中，BCA， BAC90BCA90， 由旋转知，ADAB， ADB（180BAC）180（90）45+， CDFADB45+， 由旋转知，CAEBAC90，ACAE， ACE180（90）45+， CDFA
33、CE， DFCF； （3）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4， 根据勾股定理得，AC5， 由旋转知，ADAB3， CDACAD2， 过点 D 作 DHBC 于 H， DHC90ABC， DHAB， DHCABC， ， ， DH，CH， BHBCCH4 在 RtBDH 中，根据勾股定理得，BD 23QQ 是大家常用的通讯工具，它的等级、等级图标、活跃天数如下表，请仔细观察，解答下列问题： （1）等级图标“”表示第 20 级，至少需要活跃 480 天； （2）设要获得 x 级至少活跃 y 天，求 y 关于 x 的函数关系式，并求活跃第 1000 天是哪级？ （3） 明叔和亮叔都是从新号 （即
34、 0 级） 开始上 QQ， 明叔每天都获得 1 活跃天， 即第 0 天至第 4 天 0 级， 第 5 天至第 11 天 1 级，以此类推：亮叔有时一天都不上 QQ，有时进行 QQ 加速，刚好每 50 天升一级， 即第 0 天至第 49 天 0 级，第 50 天至第 99 天 1 级，以此类推设明叔第 p 天处于第 n 级，亮叔第 q 天也 处于第 n 级，问 n 为多少时，qp 最大，最大值是多少？ 等级 等级图标 至少活跃天数 0 0 1 5 2 12 3 21 4 32 5 45 6 60 7 77 8 96 15 285 16 320 17 357 【分析】 （1）由表格可知，一个太阳是
35、 16 个等级，一个月亮是 4 个等级，即可求出等级图标“” 表示的级数；根据 1 级需要 51（1+4）天，2 级需要 122（2+4）天，3 级需要 213（3+4） 天，以此类推，得出 20 级至少需要活跃天数； （2）根据（1）可得天数与级数活跃关系，即 y 关于 x 的函数关系式，再将 y1000 代入，求出 x 即可； （3） 根据题意， 分别求出 p 与 n， q 与 n 的函数解析式， 得到 qp50n （n2+4n） （n23） 2+529， 再利用二次函数的性质即可求解 【解答】解： （1）一个太阳是 16 个等级，一个月亮是 4 个等级， 等级图标“”表示第 20 级；
36、1 级需要 51（1+4）天， 2 级需要 122（2+4）天， 3 级需要 213（3+4）天， 20 级至少需要活跃天数为：20（20+4）480（天） 故答案为 20，480； （2）设要获得 x 级至少活跃 y 天，由（1）可得 yx（x+4） ，即 yx2+4x； 当 y1000 时，x2+4x1000， 解得 x12+2，x222（不合题意舍去） ， 225251256， 1516， 28x30， x29 即活跃第 1000 天是 29 级； （3）由题意可得，明叔获得等级的天数与表中情况一样， pn2+4n， 亮叔每 50 天升一级， q50n， qp50n（n2+4n）n2+4
37、6n（n23）2+529， a1， 当 n23 时，qp 最大，最大值是 529 24如图 1，锐角ABC，ABAC，O 是ABC 的外接圆，连接 BO 并延长交 AC 于点 D， （1）若BDC30，求BAC 的度数； （2）如图 2，当 0BAC60时，作点 C 关于 BD 的对称点 E，连接 AE、DE，DE 交 AB 于 F 点 E 在O 上 （选填“内” 、 “上” 、 “外” ） ； 证明：AEFEAB； 若BDC 为等腰三角形，AD2，求 AE 的长 【分析】 （1）延长 BD 交圆 O 于点 G，连结 CG，利用圆周角定理及其推论、三角形内角和与外角的性 质得出角之间的关系，进
38、而列出关于 的方程即可求解； （2）连结 OC、OE，延长 BD 交圆 O 于点 M，连结 CM，由轴对称的性质以及点与圆的位置关系即可得 出；利用圆周角定理及其推论、三角形内角和与外角的性质，运用参数法即可证明；运用分类讨论 以及等腰三角形的性质即可得出 【解答】解： （1）延长 BD 交圆 O 于点 G，连结 CG，如图： ， AG， 直径 BG， BCG90， ABAC， BCACBA， 设BCACBA，则AG1802，DCG90， BDCG+DCG1802+9030， 80， BACG18028020； （2）连结 OC、OE，延长 BD 交圆 O 于点 M，连结 CM，如图： C、E
39、 是关于 BD 的对称点， OCOE， 点 E 在O 上， 故答案为：上； 证明：C、E 是关于 BD 的对称点， ，23， 45M， 设1ABCx，则45M1802x，690 x， 23M+62703x， AEFEDCEAD23242（2703x）2（1802x）1802x， AEF51802x， 即AEFEAB； 1ABCDBC， BDDC， BDC 为等腰三角形， 分两种情况讨论： （）当 BDBC 时，12，即 x2703x， 解得：x67.5， 44560，满足题意，此时AED 为等腰直角三角形，AEAD2， AE2； （）当 DCBC 时，2DBC，即 2703x90（1802x） ， 解得：x72， 436，满足题意，此时AED 为等腰三角形，EADEDAAFD72； AFEFAD2，且EADAFD， ， 解得：AE1+（负值已舍去） ； 综上所述：AE2 或 1+