1、 第第 17 章章 勾股定理勾股定理 B 卷卷 考试时间：考试时间：9090 分钟；总分：分钟；总分：120120 分分 一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1下列线段中，能构成直角三角形的是（ ） A1.5，2，3 B2，3，4 C， D8，15，17 2下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的（ ） A5，12，13 B3，4，5 C6，8，10 D7，8，10 3三角形的三边 a、b、c 满足（a+b）2c22ab，则此三角形一定是( ) A锐角三角形
2、B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 4下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A5，12，13 B8，15，17 C3，4，5 D13，14，15 5已知ABC 的三个顶点 A(-1,0)，B(1, 0)， 13 , 22 C ，则ABC 的形状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 6已知三角形的三边分别为 6，8，10，则最长边上的高等于( ) A10 B14 C4.8 D2.4 7如图摆放的三个正方形，S 表示面积，则 S（ ） A10 B500 C300 D30 7 题图 8 题图 9 题图 8如图，已知在 RtABC 中，ACB=90, AB=8，
3、分别以 AC,CB 为直径作半圆，面积分别 记为 S1、S2，则 S1+S2等于( ) A2 B4 C6 D8 9如图所示，以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的 延长线上取点 F， 使 PF=PD， 以 AF 为边作正方形 AMEF， 点 M 在 AD 上， 则 DM 的长为 （ ） A5 1 B 51 2 C35 D625 10 在ABC 中， BC=a， AB=c， AC=b， 则不能作为判定ABC 是直角三角形的条件是 （ ） AA=B-C BABC=253 Cabc=72425 Dabc=456 二、填空题（将正确答案填在题中
4、横线上，每题二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 11已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 5cm、12cm，那么第三条斜边的长是 _. 12已知ABC 的三边长分别是 6，8，10，则ABC 的面积是_ 13如图，一架梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时梯子底部 B 到墙底端的距离为 0.7 米； 当梯子顶部 A 沿墙下移 0.4 米到 A处时，梯子底部 B 将会外移 0.8 米达到 B处，则梯子 AB 长 为_米 13 题图 14 题图 15 题图 14如图，已知格点 A 的坐标为（1，2） ，格点 B 的坐标为（3，2） ，在 4
5、4 的正方形网格 中（小正方形的边长为 1）取一格点 C，构建三边都为无理数的直角三角形 ABC，则格点 C 的 坐标可为_ 15如图，在ABC 中，A=90 , DCB 为等腰三角形，D 是 AB 边上一点，过 BC 上一点 P, PEAB，垂足为点 E,PFCD，垂足为点 F，已知 AD:DB=1:2, BC=63，则 PE+PF 的长为 _ 16如图，AOB=45 , P 是AOB 内的一点，PO=10，点 Q,R 分别在AOB 的两边上，PQR 周长的最小值是_ 16 题图 17 题图 18 题图 17如图，点 C 为直线 l 上的一个动点，ADl 于 D 点，BEl 于 E 点，AD
6、=DE=4，BE=1， 当 CD 长为_ABC 为直角三角形 18如图，在 3 3 的正方形网格中标出了1 和2，则21=_ 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 8 小题，共小题，共 6666 分）分） 19(本题 8 分)如图，ADBC,A=90，E 是 AB 上的点，且 AD=BE, 1=2 （1）求证：ADEBEC （2）若AED=30, AE=3，求线段 CD 的长度 19 题图 20(本题 8 分)如图 1，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 在正方形网格的格点上，AB 5，AC2，BC13 （1）请在网格中画出ABC， （2）如图 2，直接写出：AC ，BC AB
7、C 的面积为 AB 边上的高为 21(本题 8 分)如图，己知 AD 为ABC 的中线，延长 AD，分别过点 B，C 作 BEAD，CF AD （1）求证：BEDCFD （2）若EAC=45，AF=12，DC=13，求 EF 的长 21 题图 22(本题 8 分)在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： 其中 m、n 为正整数，且 mn. （1）观察表格，当 m=2，n=1 时，此时对应的 a、b、c 的值能否为直角三角形三边的长? 说明你的理由 （2）探究 a，b，c 与 m、n 之间的关系并用含 m、n 的代数式表示： a= ，b= ，c= . （3）以 a，b，c 为边长的三
8、角形是否一定为直角三角形?如果是，请说明理由；如果不是， 请举出反例. 23(本题 6 分)如图，在 44 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分 别按下列要求画三角形 （1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数 24(本题 8 分)如图，在ABC 中，ABBC，B90 ，点 D 为线段 BC 上一个动点（不与 点 B，C 重合） ，连接 AD，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE，连接 EC （1）依题意补全图
9、1； 求证：EDCBAD； （2）小方通过观察、实验，提出猜想：在点 D 运动的过程中，线段 CE 与 BD 的数量关 系始终不变，用等式表示为 ； 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：过点 E 作 EFBC，交 BC 延长线于点 F，只需证ADBDEF 想法 2：在线段 AB 上取一点 F，使得 BFBD，连接 DF，只需证ADFDEC 想法 3：延长 AB 到 F，使得 BFBD，连接 DF，CF，只需证四边形 DFCE 为平行四边形 请你参考上面的想法，帮助小方证明(2)中的猜想 （一种方法即可） 25(本题 10 分)定义：如图，点 M、N
10、 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若以 AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点. （1）已知 M、N 把线段分割成 AM、MN、NB，若 AM=2，MN=4，BN=2 3，则点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由. （2）已知 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若 AB=12，AM=5，求 BN 的 长. 26(本题 10 分)已知ABC 三边长 a=b=6 2，c=12 （1）如图 1，以点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直接写出点 B，C 的坐标 （2）如图 2，过点
11、C 作MCN=45 交 AB 于点 M，N，请证明 AM2+BN2=MN2； （3）如图 3，当点 M，N 分布在点 B 异侧时，则（2）中的结论还成立吗？ 第第 17 章章 勾股定理勾股定理 B 卷参考答案卷参考答案 1D. 解析：A、因为 1.52+2252，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、因为 22+3242，故不能围成直角三角形，此选项错误； C、因为，故不能围成直角三角形，此选项错误； D、因为 82+52=172，能围成直角三角形，此选项正确 故选：D 2D. 解析：A、52+122132，能构成直角三角形，故不符合题意； B、32+4252，能构成直角三角形，故不符合题意
12、； C、62+82102，能构成直角三角形，故不符合题意； D、72+82102，不能构成直角三角形，故符合题意 故选：D 3B. 解析：(a+b)2c2=2ab，a2+b2=c2.所以为直角三角形. 故选 B. 4D. 解析：A. 222 51213，是勾股数，此选项错误； B. 222 81517，是勾股数，此选项错误； C. 222 345，是勾股数，此选项错误； D. 222 131415，不是勾股数，此选项正确； 故选：D. 5C. 解析： 1,0A ，10B ,， 13 , 22 C ， 2222 1313 21)03101 2 ( 2 ) 2 ) 2 ()ABACBC ， 222
13、 ACBCAB，ABC 是直角三角形故选：C 6C.解析：由三角形的三边分别为 6，8，10 可知三角形为直角三角形，最长边为 10，利用 等面积公式可得最长边上的高为6 8 104.8 . 故答案选 C. 7D. 解析：如图，由题意可知，BD=BE，DAB=ABE=BCE=90 ， ADB+ABD=90 ，ABD+CBE=90 ， ADB=CBE，ABDCEB，AB=CE， 在 RtABD 中，BD2=AB2+AD2， BD2=AD2+CE2， S=BD2，S1=CE2，S2=AD2，S=S1+S2=10+20=30. 故选 D. 8D. 解析：在 RtABC 中，ACB=90, AB=8，
14、 222 64ACBCAB， 2 2 1 11 228 AC SAC ， 2 2 2 11 228 BC SBC ， 22222 12 1111 8 8888 SSACBCACBCAB 故选：D 9C. 解析：在 RtAPD 中，AB=2，AD=2，取 AB 的中点 P，AP=1， 由勾股定理知 PD= 2222 125APAD ， AM=AF=PFAP=PDAP=51 , DM=AD-AM=2-( 5-1) =3-5. 故选 C 10D. 解析：A、A=B-C，A+C =B，得到B=90，即ABC 是直角三角 形；B、设A=2x，B=5x，C=3x，故235180 xxx，解得 x=18，B
15、=5x=90， 即ABC 是直角三角形； C、设 a=7x，则 b=24x，c=25x， 222 (7 )(24 )(25 )xxx， 222 abc， ABC 是直角三角形； D、设 a=4x，b=5x，c=6x， 222 (4 )(5 )(6 )xxx， 222 abc， ABC 不是直角三角形； 故选：D 1113cm. 解析：三角形是直角三角形，且两条直角边长分别为 5cm、12cm 斜边长： 22 5 +12 =13cm，故答案为：13cm 1224. 解析： 222 6810，ABC 是直角三角形 ABC 的面积 1 6 824 2 故答案为：24 132.5. 解析：令 AC=x
16、，在 RtABC 中， 2 22 0.40.7ABx， 在 RtABC 中， 2 22 0.70.8A Bx ， 22 22 0.40.7 =0.70.8xx，解得 x=2，即 AC=2， 在 RtABC 中， 22 2.40.72.5AB 米， 故答案为：2.5. 14 （0，-1） ， （0，1）. 解析：根据 A 点坐标和 B 点坐标可建立直角坐标系 ABC 为直角三角形，C 点不能在 AB 右侧 又ABC 三边长都为无理数， 点 C 位置如图， 11 2=3 2ACBC，故 1(0 1)C， ； 22 10= 10ACBC，故 2(01) C， 故答案为：(0 1)， 、(0 ) 1
17、， 153 3. 解析：DCB 为等腰三角形， ,PEABPFCDACBD ， 111 222 BCD SBD PECD PFBD AC V ，PEPFAC :1:2,6 3AD DBBCQ， 设 ,2 ,3ADxDBCDxABADBDx 又 222222 (2 )3ACCDADxxxQ， 22222 (6 3)(3 )ACBCABx， 22 336 39xx ， 2 1236 3x ， 2 9x ，3x ，39ABx 又在RtABC中， 22 3 3ACBCAB ， 3 3PEPFAC 故答案为：3 3 1610 2. 解析：分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连接 OM、ON，
18、连接 MN 交 OA、 OB 交于 Q、R，则PQR 符合条件且PQR 的周长等于 MN， 由轴对称的性质可得：OMONOP10，MOAPOA，NOBPOB， MONMOPNOP2AOB90 ， MON 为等腰直角三角形MN 22 101010 2 ， 所以PQR 周长的最小值为10 2，故答案为：10 2 173 或 2 或 13 4 解析：作 BFAD 于 F， 则四边形 DEBF 为矩形， BF=DE=4，DF=BE=1， AF=AD-DF=3， 由勾股定理得， 222 25,ABAFBF 2222 16,ACADCDCD 22222 (4)1816 1,BCCEBECDCDCD 当AB
19、C 为直角三角形时， 222, ABACBC 即 22 25 16816 1,CDCDCD 解得，CD=3， 如图 2，作 BHAD 于 H， 仿照上述作法，当ACB=90 时， 由勾股定理得， 222 25,ABAHBH 2222 16,ACADCDCD 22222 (4)1816 1,BCCEBECDCDCD 由 222 ABACBC得： 22 2516816 1,CDCDCD 解得：CD=2, 同理可得：当ABC=90 时， 13. 4 CD 综上：CD 的长为：3 或 2 或 13 4 故答案为：3 或 2 或 13 4 1845. 解析：如图，连接 AC，BC. 设正方形的边长为 1
20、， 根据勾股定理 AC=BC=5， AB=10， 因为 222 ( 5) +( 5) =( 10)， 所以ACB=90 ， CAB=45 ， 因为ACHFDE，AOBABD（SAS） ， 所以CAH=2，OAB=1， 因为CAB=CAH-OAB=45 ， 所以2-1=45 ， 故答案为 45 19 （1）ADBC，A=90 ，A=B=90 ， 1=2，DE=CE AD=BE，在 RtADE 与 RtBEC 中 ADBE DECE ， RtADERtBEC（HL） （2）由ADEBEC 得AED=BCE，AD=BEDE=CE, AED+BEC=BCE+BEC=90 DEC=90 在 RtADE
21、中 又AED =30, AE=3, 设 AD=x，则 DE=2x, 由勾股定理 222 ADAEDE，即 22 94xx 解得3x ， DE=CE=23 在 RtCDE 中，由勾股定理，DC2=DE2+CE2， 22 =2 3+ 2 3=2 6CD 20解： （1）ABC 即为所求； （2）AC 22 12 5，BC 22 11 2； SABC2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 ， 如图 2， AB 边上的高为 CD，垂足为 D， SABC 1 2 ABCD 3 2 ，AB 22 12 5， 1 2 5CD 3 2 ，CD 3 5 5 故答案为：5、 2、 3 2
22、、 3 5 5 21 （1）证明：AD 是ABC 的中线，BD=CD， BEAD，CFAD，CFD=BED=90 ， FDC=EDB，BEDCFD（AAS） ； （2）解：由（1）可得：BEDCFD，AFC=90 ，ED=FD， EAC=45，AFC 是等腰直角三角形，AF=FC， AF=12，DC=13， 在 RtDFC 中， 22 5DFDCFC ，EF=2DF=10 22解： （1）当 m=2，n=1 时，a=5、b=4、c=3， 32+42=52，a、b、c 的值能为直角三角形三边的长； （2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2-n2； （3）以 a，b，c 为边长的三角形一
23、定为直角三角形， a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4， b2+c2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4， a2=b2+c2，以 a，b，c 为边长的三角形一定为直角三角形 23解： （答案不唯一） （1）图（2）图 （3）图 24 （1）补全的图形如图 1 所示； ADEB90 ，EDC+ADBBAD+ADB90 ， EDCBAD； （2）猜想：CE2BD； 故答案为 CE2BD； 想法 1： 证明：过点 E 作 EFBC，交 BC 延长线于点 F，如图 2 所示： F90 ，BF， 在ADB 和DEF 中， BF BADEDC ADDE ， ADBDEF（
24、AAS） ，ABDF，BDEF， ABBC，DFBC，即 DC+CFBD+DC， CFBDEF，CEF 是等腰直角三角形， CE 2CF2BD； 想法 2： 证明：在线段 AB 上取一点 F，使得 BFBD，连接 DF，如图 3 所示： B90 ，ABBC，DF2BD， ABBC，BFBD，ABBFBCBD，即 AFDC， 在ADF 和DEC 中， AFDC BADEDC ADDE ， ADFDEC（SAS） ，CEDF 2BD； 想法 3： 证明：延长 AB 到 F，使得 BFBD，连接 DF，CF，如图 4 所示： B90 ，DF 2BD， 在 RtABD 和 RtCBF 中， ABBC
25、ABDCBF90 BDBF ， ABDCBF（SAS） ， ADCF，BADBCF， ADDE，DECF EDCBAD，EDCBCF， DECF，四边形 DFCE 为平行四边形， CEDF2BD 25解： （1）是 理由：AM=2，MN=4，BN=23， 2 222 22 316AMBN， 22 416MN ， 222 AMNBMN， AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形 即：点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点. （2）设 BN=x，则 MN=12-AM-BN=7-x， 当 MN 为最长线段时，依题意 222 MNAMNB， 即 2 2 725xx，解得 12 7 x ， 当 B
26、N 为最长线段时，依题意 222 BNAMMN 即 2 2 257xx，解得 37 7 x ， 综上所述 BN 的长为 12 7 或 37 7 26 （1）a=b=6，c=12， a2+b2=（6 ）2+（6）2=144=c2，ABC 是直角三角形， 又a=b，ABC 是等腰直角三角形； AB=c=12，点 B（12，0） ， 如图 1，过点 C 作 CDx 轴于 D， 则 AD=CD= 1 2 AB= 1 2 12=6，点 C 的坐标为（6，6） ； （2）如图，把ACM 绕点 C 逆时针旋转 90 得到BCM，连接 MN， 由旋转的性质得，AM=BM、CM=CM、CAM=CBM=45 ，A
27、CM=BCM， MBN=ABC+CBN=45 +45 =90 ，MCN=45 ， MCN=BCN+BCM=BCN+ACM=90 MCN=90 45 =45 ， MCN=MCN， 在MCN 和MCN 中， ， MCNMCN（SAS） ，MN=MN， 在 RtMNB 中，BM2+BN2=MN2，AM2+BN2=MN2； （3）仍然成立， 如图 3，ABC 是等腰直角三角形，CAB=CBA=45 ， 把BCN 绕点 C 顺时针旋转 90 得到ACN， 由旋转的性质得，AN=BN，CN=CN，CAN=CBN=135 ， MAN=135 45 =90 ，点 N在 y 轴上， MCN=45 ，MCN=90 45 =45 ， MCN=MCN， 在MCN 和MCN中， ， MCNMCN（SAS） ，MN=MN， 在 RtAMN中，AM2+AN2=MN2， AM2+BN2=MN2