1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（十十） 二次函数二次函数 【中考真题】【中考真题】 1.（2017 浙江宁波 25）如图，抛物线 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连 结 AB点 C 在抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D (1)求 c 的值及直线 AC 的函数表达式； (2)点 P 在 x 轴的正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点 求证： APMAON； 设点 M 的横坐标为 m ， 求 AN 的长（用含 m 的代数式表示） 【答案】 （1）
2、解：把点 C（6，）代入抛物线得:=9+c. 解得 c=-3. 当 y=0 时，x2+x-3=0. 解得：x1=-4,x2=3. A(-4,0). 设直线 AC 的函数表达式为：y=kx+b(k0）. 把 A(-4,0)，C（6，）代入得： 解得：直线 AC 的函数表达式为：y=x+3. （2）证明：在 Rt AOB 中，tanOAB=. 在 Rt AOB 中，tanOAD=. OAB=OAD. 在 Rt POQ 中,M 为 PQ 中点. OM=MP. MOP=MPO. 又 MOP=AON. APM=AON. APMAON. 解：如下图，过点 M 作 MEx 轴于点 E. OM=MP. OE=
3、EP. 又点 M 的横坐标为 m. AE=m+4,AP=2m+4. tanOAD=. cosEAM=cosOAD=. AM=AE=. APMAON. =. AN=. 2.（2019 浙江宁波 22）如图，已知二次函数3 2 axxy的图象经过点 P（-2，3）. （1）求 a 的值和图象的顶点坐标； （2）点 Q（m，n）在该二次函数图象上. 当 m=2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围. 【答案】 （1）解：把 P（-2，3）代入 y=x2+ax+3，得 3=（-2）2-2a+3， 解得 a=2. y=x2+2x+3=(x+1）2+2
4、， 顶点坐标为（-1，2） （2）解：把 x=2 代入 y=x2+2x+3，求得 y=11， 当 m=2 时，n=11. 211 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【分析】（1） 将点 P 的坐标代入抛物线 即可算出 a 的值， 从而求出抛物线的解析式， 再将抛物线的解析式配成顶点式，即可求出其顶点坐标； （2）将点 Q 的横坐标 x=2 代入（1）所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，该值就是 n 的值； （3）由于该函数顶点坐标是（-1,2） ，且函数开口向上，点 Q 的横坐标横坐标是 2 的时候，对应的函数值 是 11，故点 Q 到到
5、 y 轴的距离小于 2 的时候，对应的函数值 n 的取值范围是 2n11. 3.（2020 浙江宁波 20）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 （2）平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式 【分析】（1）利用待定系数法求出 a，再求出点 C 的坐标即可解决问题 （2）由题意点 D 平移的 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，由此可得
6、抛物线的解析式 解：（1）把 B（1，0）代入 yax2+4x3，得 0a+43，解得 a1， yx2+4x3（x2）2+1， A（2，1）， 对称轴 x1，B，C 关于 x2 对称， C（3，0）， 当 y0 时，1x3 （2）D（0，3）， 点 D 平移的 A， 抛物线向右平移 2 个单位， 向上平移 4 个单位， 可得抛物线的解析式为 y （x4） 2+5 【解题指导解题指导】 二次函数近两年考得偏性质，同学们在复习时，一定要熟记各个系数对函数图像的影响，以下 内容要熟记！ ！ 【牛刀小试牛刀小试】 1如图如图，点，点 G 是等边三角形是等边三角形 AOB 的外心，点的外心，点 A 在第
7、一象限，点 在第一象限，点 B 坐标为坐标为(4，0)，连结，连结 OG抛物线抛物线 y ax（x2）+1+3的顶点为的顶点为 P （1）直接写出点）直接写出点 A 的坐标与抛物线的对称轴；的坐标与抛物线的对称轴； （2）连结）连结 OP，求当，求当AOG2AOP 时时 a 的值的值 （3）如图）如图，若抛物线开口向上，点，若抛物线开口向上，点 C，D 分别为抛物线和线段分别为抛物线和线段 AB 上的动点，以上的动点，以 CD 为底边构造顶角为为底边构造顶角为 120的等腰三角形的等腰三角形 CDE（点（点 C，D，E 成逆时针顺序） ，连结成逆时针顺序） ，连结 GE 点点 Q 在在 x 轴
8、上，当四边形轴上，当四边形 GDQO 为平行四边形时，求 为平行四边形时，求 GQ 的值；的值； 当当 GE 的最小值为的最小值为 1 时，求抛物线的解析式时，求抛物线的解析式 【详解】 解： （1）如图，连接 AG 并延长 AG 交 OB 于 H， 点 B 坐标为（4，0） ， OB4， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， AHOB，OAOB4，AOB60， OAH30， OH 1 2 OA2，AH3OH23， 点 A（2，2 3） ， 抛物线 yax（x2）+1+ 3ax 22ax+1+ 3， 对称轴为：直线 x 2 2 a a 1； （2）如图，过点 P 作 PNOB 于 N，交 A
9、O 于 F， ON1， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， OG 平分AOB， AOG30BOG， 当点 P 在 AOB 内， AOG2AOP， AOP15POG， PON45， PNOB， PONOPN45， PNON1， 点 P 坐标（1，1） ， 1a（12）+1+ 3， a3， 当点 P 在 AOB 外， 同理可得AOP15， PON75， OPN15AOP， OFPF， AOB60，PNOB， OF2ON2PF，FN3ON3， PNPF+FN2+ 3， 点 P 坐标为（1，2+ 3） ， 2+ 3a（12）+1+3， a1， 综上所述：a1 或3； （3）如图，连接 AG 并延长
10、 AG 交 OB 于 H， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， AG2GH，OHBH2，AH2 3， GH 2 3 3 ， 四边形 GDQO 为平行四边形， GDOB，GDOQ， AGGD AHOB ， GD 4 3 ， QH 2 3 ， GQ 2 2 GHQH 412 99 4 3 ； 如图，在 OB 上截取 OMBD，连接 CM，GM，GB，MD，GD， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， OGGB，GOBGBOABG30， 又OMBD， OGMBGD（SAS） ， MGGD，OGMBGD， OGBMGD1803030120， MD3GD，GDM30， CDE 中 CEDE，CED
11、120， CD3DE，CDE30， MDCGDE，3 MDCD GDDE ， GDEMDC， MC GE 3， 当 GE 最小值为 1 时，MC 最小值为 3， 当点 C 与抛物线顶点 P 重合，且 CMOB 时，CM 有最小值， CM 的最小值为顶点 P 的纵坐标， 点 P 坐标（1，3） ， 3a（12）+1+3， a1， 抛物线的解析式为：yx（x2）+1+ 3（x1） 2+ 3 2如图，抛物线如图，抛物线 y= 7 24 x2+bx+c，经过矩形，经过矩形 OABC 的的 A(3，0)，C(0，2)，连结，连结 OBD 为横轴上一个动点，为横轴上一个动点， 连结连结 CD，以，以 CD
12、 为直径作为直径作M，与线段，与线段 OB 有一个异于点有一个异于点 O 的公共点的公共点 E，连结，连结 DE过过 D 作作 DFDE，交，交M 于于 F (1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式； (2)tanFDC 的值；的值； (3)当点当点 D 在移动过程中恰使在移动过程中恰使 F 点落在抛物线上，求此时点点落在抛物线上，求此时点 D 的坐标； 的坐标； 连结连结 BF，求点，求点 D 在线段在线段 OA 上移动时，上移动时，BF 扫过的面积 扫过的面积 【详解】 解：(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线的表达式得： 2 7 930 24 2 bc c ， 解得： 5 24 2 b
13、c ， 故抛物线的解析式为：y= 7 24 x2+ 5 24 x+2； (2)如图 1，连接 CE、CF、FO， CD 是直径， CED=90，即 CEDE， 又DFDE， FDC=ECD=EOD=BOA， tanFDC=tanBOA= 2 3 AB AO ； (3)如图 2， 连接 FO，则FOG=FCD， CD 是直径， CFD=90， 同理FDE=90， FCDE， FCD=CDE=COE， FOG=FCD=CDE=COE， tanFOG=tanCOE=tanCOB= 3 2 ， 故直线 OF 的表达式为：y= 3 2 x， 联立并解得： 1 3 2 x y ，故点 F(1， 3 2 )
14、； 过点 F 作 y 轴的平行线 GH，交 x 轴于点 G，交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H， FG= 3 2 ，CH=1，HF=2 3 2 = 1 2 ， HFC+GFD=90，HFC+HCF=90， HCF=GFD， 又CHF=FGD=90， CHFFGD， HCFH FGGD ，即 1 1 2 3 2 GD ，解得：GD= 3 4 ， OD=1 3 4 = 1 4 ， 故点 D 的坐标为：( 1 4 ，0)； 如图 3，当点 D、O 重合时，连接 CF、BF， 则 BF 扫过的面积为 BOF 的面积，CFO=90， 过点 F 作 y 轴的平行线 HG，交 x 轴于点 G，交过点 C
15、 与 x 轴的平行线于点 H， 由同理可得： CHFFGO，则 HCHF FGOG ， 由知 tanFOG= 3 2 ，设 FG=3a，则 OG=2a=HC，HF=2GF=23a， 223 32 aa aa ，解得：a= 6 13 ； 在 Rt FOG 中，FO= 22 6 13 13 13 FGOGa， 同理在 Rt AOB 中，OB= 13， EF 是圆的直径，故 OFOE， BF 扫过的面积=S BOF= 1 2 BOFO= 16 13 133 213 ， 故 BF 扫过的面积为 3 3矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点如图，在平面直角坐标系中，点矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点如
16、图，在平面直角坐标系中，点A，B为抛物线为抛物线 2 yx=上上 的两个动点（的两个动点（A在在B的左侧） ，且的左侧） ，且/AB x轴，以轴，以AB为边画矩形为边画矩形ABCD，原点，原点O在边在边CD上上 （1）如图）如图 1，当矩形，当矩形ABCD为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标 （2）如图）如图 2，在点，在点A，B的运动过程中，连结的运动过程中，连结AC交抛物线于点交抛物线于点E 求证：点求证：点E为矩形的奇特点；为矩形的奇特点； 连结连结BE，若，若BEAC，抛物线上的点，抛物线上的点F为矩形的另一奇特点，求经过 为矩形
17、的另一奇特点，求经过A，E，F三点的圆的半径三点的圆的半径 【详解】 （1）设(2 ,0)Ca，则 2 2 ,4Baa ， 因为ABCD是矩形， 易证4CDa， 2 4BCa， 当矩形ABCD为正方形时，CDBC， 解得1a ， (2,0)C，(2,4)B，4CDBC， 易得矩形在第一象限内的奇特点的坐标为(1,1)，(1,3) （2）证明：设(2 ,0)Ca，则 2 2 ,4Baa ， 矩形在第一象限AC上的奇特点为 2 , a a ， 又 2 , a a 在抛物线 2 yx=上， 2 , a a 为AC与抛物线 2 yx=的交点E， 即：点E为矩形的奇特点 由E是奇特点，设CEk ，3AE
18、k 可以得到：3BCk， 3 tan 3 BE A AE ， 30A ， 由对称性，90AFBBEA， A，F，E，B四点共圆，且AB为直径， tanBCABA， 2 3 44 3 aa， 3 3 a ，即半径为 2 3 3 4如图如图 1，二次函数，二次函数 2 1 2 3 yxbx 的图象与的图象与 x 轴交于点轴交于点 A、B，与，与 y 轴交于点轴交于点 C，点，点 A 的坐标为的坐标为(4， 0) （1）b= ，点，点 B 的坐标是的坐标是 ； （2）连接）连接 AC、BC，判断，判断CAB 和和CBA 的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由 （3） 如图） 如图 2， 点，
19、点 D 是抛物线上第二象限内的一动点， 过点是抛物线上第二象限内的一动点， 过点 D 作作 DMAC 于点于点 M， 是否存在点， 是否存在点 D， 使得， 使得 CDM 中的某个角恰好等于中的某个角恰好等于BAC 的的 2 倍？若存在，写出点倍？若存在，写出点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由的横坐标；若不存在，请说明理由 【详解】 （1）把 A（4，0）代入 2 1 2 3 yxbx 得， 16 3 4b+2=0， b= 5 6 当 y=0 时，有 2 15 -20 36 xx， 解得：x1=4，x2= 3 2 ， 点 B 的坐标为（ 3 2 ，0） 故答案为： 5 6 ； （ 3 2
20、，0） （2）CBA=2CAB，理由如下： 作CBA 的角平分线，交 y 轴于点 E，过点 E 作 EFBC 于点 F，如图所示 点 B（ 3 2 ，0） ，点 C（0，2） ， OB= 3 2 ，OC=2，BC= 5 2 设 OE=n，则 CE=2n，EF=n， 由面积法，可知： 1 2 OBCE= 1 2 BCEF，即 3 2 （2n）= 5 2 n， 解得：n= 3 4 OC OA = 1 2 = OE OB ，AOC=90=BOE， AOCBOE， CAO=EBO， CBA=2EBO=2CAB （3） 如图所示： 过点D作DRy垂足为R， DR交AC与点G， 在AB上找点E使ACEEA
21、C， 则DGAB， G=BAC，CEO=2BAC， A（-4，0） ，B（ 3 2 ，0） ，C（0，2） ， 在直角三角形 EOC 中， 222 OEOCEC 即： 2 2 44OEOE 解得：OE= 3 2 tanBAC= 1 2 OC OA ，tanOEC= 4 3 OC OE ， 设 D 2 15 ,2 36 xxx ， 当MCD=2BAC时， MCD=CDG+G CDR=BAC， 1 tantan 2 CR CDRBAC DR 则 2 15 - CR1 36 DR-x2 xx 解得： 1 x=0（不符合题意，舍去） ， 2 x=-1， 点 D 的横坐标是-1 当CDM=2BAC时，则
22、CDM=CEO 4 tantan 3 CDMCEO 设 CM=4k，DM=3k，则 CD=5k， tantanMGDBAC= 1 2 ，则 MG=6k，DG=3 5，CG=2k， AC= 22 2 5AOOC 5 sinsin 5 CROC CGRCAB CGAC CR= 2 5 5 k， 22 4 5 5 GRCGCRk ， 22 DRCDCR 11 5 5 k， 2 152 5 - CR 365 DR-x11 5 5 xxk k , 解得： 1 x=0（不符合题意，舍去） ， 2 x= 43 22 ， 点 D 的横坐标是 43 22 综上所述，点 D 的横坐标是-1 或 43 22 5已知
23、，如图已知，如图 1，O 是坐标原点，抛物线是坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过）经过 A、B、C 三点，三点，AB y 轴于点轴于点 A，AB=2， AO=4，OC=5，点，点 D 是线段是线段 AO 上一动点，连接上一动点，连接 CD、 、BD （1）求出抛物线的解析式；）求出抛物线的解析式； （2）如图）如图 2，抛物线的对称轴分别交，抛物线的对称轴分别交 BD、CD 于点于点 E、F，当，当 DEF 为等腰三角形时，求出点为等腰三角形时，求出点 D 的坐标；的坐标； （3）当）当BDC 的度数最大时，请直接写出的度数最大时，请直接写出 OD 的长的长 【详解】 （1）A
24、By 轴于点 A，AB=2，AO=4，OC=5， A（0，4） ，B（2，4） ，C（5，0） ， 抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 A、B、C 三点， 424 2550 4 abc abc c ， 4 15 2 15 4 a b c ， 抛物线解析式为 y=- 4 15 x2- 2 15 x+4； （2）如图， 过点 B 作 BGOC 于 G，交 CD 于 H， 点 H，G 的横坐标为 2， EFOC， EFBH， DEF 是等腰三角形， BDH 是等腰三角形， 设 D（0，5m） （0m 4 5 ） ， C（5，0） ， 直线 CD 的解析式为 y=mx+5m， H（2，3m） ，
25、 BH=43m， BH2=9m224m+16，DH2=4+（5m3m）2=4+4m2，BD2=4+（5m4）2=25m240m+20， 当 BD=DH 时，25m240m+20=4+4m2， m= 4 3 （舍）或 m= 4 7 ， 5m= 20 7 ， D（0， 20 7 ） ， 当 BD=BH 时，25m240m+20=9m224m+16， m= 1 2 ， D（0， 5 2 ） ， 当 BH=DH 时，9m224m+16=4+ 4m2， m=12 2 21 5 或 m=12 2 21 5 （舍去） ， D（0，122 21） ， 即：当 DEF 为等腰三角形时，点 D 的坐标为（0， 2
26、0 7 ）或（0， 5 2 ）或（0，122 21） ； （3）如图 1， 过点 B 作 BGOC 于 G，交 CD 于 H， 四边形 OABG 是矩形，点 H，G 的横坐标为 2， OAB=ABG=90， OG=2， OC=5， CG=3， B（2，4） ， BG=4， 过点 B 作 BQCD， BQD=90， 要BDC 最大， DBQ 最小， 即：BDBC 时，DBQ 最小， DBC=90=ABG， ABD=CBG， BGC=BAD=90， ABDGBC， ABAD BGCG ， 2 43 AD ， AD= 3 2 ， ODOAAD= 5 2 6 如图， 抛物线 如图， 抛物线 2 yxa
27、xb与与 x 轴相交于轴相交于 (1,0)A ，(3,0)B， 与， 与 y 轴相交于点轴相交于点 C， 点， 点 P 在抛物线上运动在抛物线上运动 （1）直接写出抛物线的解析式；）直接写出抛物线的解析式； （2）若以）若以 P 为圆心，为圆心，2 为半径的为半径的P与坐标轴相切，直接写出点与坐标轴相切，直接写出点 P 的坐标；的坐标； （3）若）若PBC的面积等于的面积等于 3，直接写出点，直接写出点 P 的横坐标的横坐标 【详解】 解： （1） 抛物线 2 yxaxb与 x 轴相交于 (1,0)A ，(3,0)B， 抛物线为： 2 1343,yxxxx （2） 点 P 在抛物线上， 所以设
28、 2 ,43 ,P x xx 当P与y轴相切时，则2,x 2,x 当2x时， 2 242315,y 215P ， ， 当2x时， 2 24 231,y 2, 1 ,P 当P与x轴相切时，则2,y 2,y 当 2y 时， 2 432,xx 2 410,xx 2 =44 1 112, 12 42 342 3 23,23, 22 xx 23,2P或 23,2 ,P 当 2y 时，则 2 432,xx 2 450,xx 2 =44 1 516204 0, 所以方程无解 综上：215P ，或2, 1P或23,2P或23,2P （3）如图， (1,0)A ，(3,0)B， 2,AB 2 43,yxx 令0
29、,x 则3,y 0,3 ,3,COC 11 2 33, 22 ABC SAB OC 3, PBC S 此时,P A重合，1, P x 过A作 1/ AP BC交抛物线于 1, P 连接,BC 此时 1 3, PBCABC SS 设BC为,ykxb 3 30, b kb 1, 3 k b 所以BC为3,yx 所以设 1 AP的解析式为：y xm ， 10,m 1,m 所以 1 AP的解析式为：1yx ， 联立： 2 1 , 43 yx yxx 2 431,xxx 2 320,xx 120,xx 12 1,2,xx 结合图像可得： 1 2, P x 记1yx 与y轴的交点为,G 令0,x 则1,y
30、 0,1 ,G 而0,3C， 所以把3yx 向上平移2个单位长度得直线：5,yx 与抛物线交于 23 ,P P 由平行线等分线段定理可得：直线 123 ,AP BC PP之间的距离相等， 23 3, P BCP BCABC SSS 所以联立 2 5 , 43 yx yxx 2 435,xxx 2 320,xx 由 2 =34 1217, 317 , 2 x 23 317317 ,. 22 PP xx 综上：P的横坐标为：1或2或 317 2 或 317 . 2 7如图，抛物线如图，抛物线 2 24(0)yaxaxa与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线y m
31、，交抛，交抛 物线于物线于D、E两点两点 （1）当）当 2 5 a 时，求时，求A，B两点的坐标；两点的坐标； （2）当）当2m，4DE 时，求抛物线的解析式；时，求抛物线的解析式； （3）当）当1a时，方程时，方程 2 34axaxm在在64x 的范围内有实数解，请直接写出的范围内有实数解，请直接写出m的取值范的取值范 围：围： 【详解】 解：(1)将 2 5 a 代回 2 24(0)yaxaxa中 得到抛物线的解析式为： 2 24 4 55 yxx 再令0y ，即： 2 24 40 55 xx 解得 12 2,5 xx 故(5,0)A， ( 2,0)B . 故答案为：(5,0)A， ( 2
32、,0)B . (2)对称轴是直线 3 2 x 4DE ，2m， 7 (,2) 2 D，代入解析式中： 49 274 4 aa 解得 8 7 a 抛物线的解析式为： 2 824 4 77 yxx . 故答案为： 2 824 4 77 yxx . (3) 当1a时，方程 2 34axaxm 方程左边可以看成二次函数 2 34yxx ， 方程右边可以看成y m ， 方程 2 34axaxm在64x 的范围内有实数解 函数 2 34yxx 和直线y m 在64x 的范围内图像上有交点， 当64x 时， 函数 2 34yxx 的最大值为当 3 2 x 时取得，此时 9925 4 424 y； 函数 2
33、34yxx 的最小值为当6x时取得，此时 36 18450 y ； 故m的取值范围是：- 25 50 4 m. 故答案为： 25 50 4 m. 8在平面直角坐标系中，设二次函数在平面直角坐标系中，设二次函数 y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b 是实数，是实数，a0） ） （1）若函数）若函数 y1的对称轴为直线的对称轴为直线 x3，且函数，且函数 y1的图象经过点（的图象经过点（a，b） ，求函数） ，求函数 y1的表达式的表达式 （2）若函数）若函数 y1的图象经过点（的图象经过点（r，0） ，其中） ，其中 r0，求证：函数，求证：函数 y2的图象经过点（的图象经过点（ 1
34、 r ，0） ） （3）设函数）设函数 y1和函数和函数 y2的最小值分别为的最小值分别为 m 和和 n，若，若 m+n0，求，求 m，n 的值的值 【详解】 解： （1）由题意，得到 2 b 3，解得 b6， 函数 y1的图象经过（a，6） ， a26a+a6， 解得 a2 或 3， 函数 y1x26x+2 或 y1x26x+3 （2）函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0， r2+br+a0， 1+ 2 ba rr 0， 即 a（ 1 r ）2+b 1 r +10， 1 r 是方程 ax2+bx+1 的根， 即函数 y2的图象经过点（ 1 r ，0） （3）由题意 a0，m 2 4
35、 4 ab ，n 2 4 4 ab a ， m+n0， 2 4 4 ab + 2 4 4 ab a 0， （4ab2） （a+1）0， a+10， 4ab20， mn0 9已知关于已知关于 x 的二次函数的二次函数 yax24ax+a+1（a0） （1）若二次函数的图象与）若二次函数的图象与 x 轴有交点，求轴有交点，求 a 的取值范围；的取值范围； （2）若）若 P（m，n）和）和 Q（5，b）是抛物线上两点，且）是抛物线上两点，且 nb，求实数，求实数 m 的取值范围；的取值范围； （3）当）当 mxm+2 时，求时，求 y 的最小值（用含的最小值（用含 a、m 的代数式表示） 的代数式表
36、示） 【详解】 解： （1）由题意得： （4a）24a（a+1）0，且 a0， 解得：a 1 3 ； （2）抛物线的对称轴为直线 x 4 2 a a 2， 当 nb 时，根据函数的对称性，则 m1 或 m=5， 故实数 m 的取值范围为：m1 或 m5； （3）当 m+22 时，即 m0 时， 函数在 xm+2 时，取得最小值， ymina（m+2）24a（m+2）+a+1am23a+1； 当 m2m+2 时，即 0m2， 函数在顶点处取得最小值， 即 ymin4a4a2+a+13a+1； 当 m2 时， 函数在 xm 时，取得最小值， yminam24am+a+1； 综上，y 的最小值为：a
37、m23a+1 或3a+1 或 am24am+a+1 10如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 2 1 ()4 2 yxm 图象的顶点为图象的顶点为 A，与，与 y 轴交于点轴交于点 B， 异于顶点异于顶点 A 的点的点 C(1，n)在该函数图象上在该函数图象上 （1）当）当 m=5 时，求时，求 n 的值的值 （2）当）当 n=2 时，若点时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当在第一象限内，结合图象，求当 y2时，自变量时，自变量 x 的取值范围的取值范围 （3）作直线）作直线 AC 与与 y 轴相交于点轴相交于点 D.当点当点 B 在在 x 轴上方
38、，且在线段轴上方，且在线段 OD 上时，求上时，求 m 的取值范围的取值范围 【详解】 解： （1）当5m时， 2 1 (5)4 2 yx ， 当1x 时， 2 1 444 2 n= -?= - （2）当2n时，将 (1,2)C 代入函数表达式 2 1 ()4 2 yxm ，得 2 1 2(1)4 2 m= -+， 解得3m或1（舍弃） ， 此时抛物线的对称轴 3x ， 根据抛物线的对称性可知，当 2y 时，1x 或 5， x 的取值范围为15x剟 （3）点A与点C不重合， 1m， 抛物线的顶点A的坐标是( ,4) m ， 抛物线的顶点在直线4y 上， 当0 x时， 2 1 4 2 ym= -+， 点B的坐标为 2 1 (0,4) 2 m-+， 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动， 当点B与O重合时， 2 1 40 2 m-+=， 解得2 2m 或 2 2 ， 当点B与点D重合时，如图 2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点， 点(0,4)B ， 2 1 44 2 m -+=，解得0m， 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时，如图 3 点B不在线段OD上， B点在线段OD上时，m的取值范围是：01m或12 2m