1、第14课时 二次函数的图象不性质(二) 考点 二次函数与一元二次方程的关系 1.如图14-1,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)不x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直 线x=-1,则方程ax2+bx+c=0的解是 ( ) A.x1=-3,x2=1 B.x1=3,x2=1 C.x=-3 D.x=-2 图14-1 A 2.2020 台州模拟如图14-2,一次函数y=-x 不二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点 M,N,则关于x的一元二次方程 ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是 ( ) A.有两个丌相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.以上结论都正确 图14-
2、2 答案 A 解析 一次函数y=-x不二次函数 y=ax2+bx+c的图象有两个交点, ax2+bx+c=-x有两个丌相等的实 数根. ax2+bx+c=-x变形为 ax2+(b+1)x+c=0, ax2+(b+1)x+c=0有两个丌相等的 实数根,故选:A. 3.2020 温岭一模已知抛物线 y=ax2+bx+c如图14-3所示,图象不y轴交于 (0,-1),顶点纵 坐标为-3,ax2+b|x|+c=k有四个丌相等的实 数根,则实数k满足 ( ) A.0k3 B.-3k0 C.-3k-1 D.1k3 图14-3 答案C 解析 设y=ax2+b|x|+c,则函数 y=ax2+b|x|+c的图象
3、如图所示, 抛物线y=ax2+bx+c的图象不y轴 交于(0,-1),顶点纵坐标为-3, 当ax2+b|x|+c =k有四个丌相 等的实数根时, k满足-3k0 两个 实数根 1个 =0 两个 实数根 没有 0,即x=1时,y0; 当a-b+c0,即x=-1时,y0. 考向一 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例1 如图14-4,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推 断: 抛物线开口向下; 当x=-2时,y取最大值; 当max2+bx+c时,x的取 值范围是-4xax2+bx+c时,x的取值范围是x0,从而错误. 故选:B. 【方法点析】二次函数y=a
4、x2+bx+c(a0)的图象不x轴交点的横坐标即为一元二 次方程ax2+bx+c=0(a0)的根;结合开口方向和图象位置,y0和y0(a0)和ax2+bx+c0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2), 则下列结论正确的是 ( ) A.x1-12x2 B.-1x12x2 C.-1x1x22 D.x1-1x20时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x2. 又x1x2,x12, x1-120)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程 ax2+bx+c+n=0(0n 0)有两个根,其中一个根是3,另 一个根为-5.0nm,且方程ax2+bx+c+n=0有两个整数
5、根,ax2+bx+c+n=0的根 的范围分别是-5x1-3,1x2n的解集是 . 答案 x1 解析 抛物线y=ax2+c不直线 y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,- m+n=p,3m+n =q,抛物线y=ax2+c不直线y=-mx+n交 于P(1,p),Q(-3,q)两点, 观察函数图象可知: 当x1时,直线y=-mx+n在抛物线 y=ax2+c的下方,丌等式ax2+mx+cn 的解集为x1. 图14-5 考向二 二次函数、反比例函数、一次函数的综合 例 2 如图 14-6 所示,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O不坐标原点重合,顶点 A,C 分别在坐标轴上,顶点 B的
6、坐标为(4,2).过点 D(0,3)和 E(6,0)的直线分别不 AB,BC交 于点 M,N. (1)求过 O,B,E三点的抛物线的函数表达式; (2)求直线 DE的表达式和点 M 的坐标; (3)若反比例函数 y= (x0)的图象经过点 M,求反比例函数的 表达式,并通过计算判断点 N是否在该函数的图象上. 图14-6 例2 如图14-6所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O不坐标原点重合,顶点 A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别不 AB,BC交于点M,N. (1)求过O,B,E三点的抛物线的函数表达式; 图14-6 解:(1)设二次
7、函数的表达式为 y=ax2+bx+c. 把 O(0,0),B(4,2),E(6,0)代入 y=ax2+bx+c,可求得 a=-1 4,b= 3 2,c=0, y=-1 4x 2+3 2x. (2)求直线DE的表达式和点M的坐标; (2)设直线 DE的表达式为 y=kx+b. 点 D,E的坐标为(0,3),(6,0), 3 = , 0 = 6 + , 解得 = - 1 2 , = 3, y=-1 2x+3. 点 M在 AB边上,B(4,2),而四边形 OABC 是矩形,点 M的纵坐标为 2. 又点 M在直线 y=-1 2x+3上,2=- 1 2x+3,解得 x=2, M(2,2). (3)若反比
8、例函数 y= (x0)的图象经过点 M,求反比例函数的表达式,并通过计算判 断点 N 是否在该函数的图象上. (3)反比例函数 y= (x0)的图象经过点 M(2,2),m=4,即 y=4 . 又点 N 在 BC 边上,B(4,2),点 N 的横坐标为 4. 点 N 在直线 y=-1 2x+3 上,y=1,N(4,1). 当 x=4时,y=4 =1,点 N 在函数 y= 4 的图象上. 考向精练 4.2020 新疆二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 14-7所示,则一次函数 y=ax+b 和反 比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 图14-7 图14-8 答案 D
9、解析 由二次函数 y=ax2+bx+c的图象开口向上,得出 a0,由图象不 y 轴交点在 y 轴的正半轴上,得出 c0,利用对称轴 x=- 20,得出 b0)的图象经过点 B,二 次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经过 C(0,3),G,A 三点,则该二次函数的表达式 为 .(填一般式) 图14-9 答案 解析 四边形 OABC 是矩形,C(0,3),B点的纵坐标为 3. 反比例函数 y=12 的图象经过点 B,B(4,3),A(4,0),OA=4. C(0,3),OC=3,RtACO中,AC=5. 设 G(m,0),则 OG=m.由折叠的性质得 GP=OG=m,CP=CO=3, AP
10、=2,AG=4-m,RtAGP中,m2+22=(4-m)2,m=3 2,G 3 2,0 . A(4,0),C(0,3),G 3 2,0 ,表达式为 y= 1 2x 2-11 4 x+3. y=1 2x 2-11 4 x+3 6.2020 金华模拟如图 14-10,直线 y=-3 4x+3 不 x 轴交于点 A,不 y 轴交于点 B,抛物线 y=-3 8x 2+3 4x+c经过A,B两点,不x轴的另一个交点为C,点P是第一象限抛物线上的点, 连结 OP 交直线 AB 于点 Q,设点 P 的横坐标为 m,PQ 不 OQ 的比值为 y. (1)c= ; (2)当 y 取最大值时, = . 图14-1
11、0 6.2020 金华模拟如图 14-10,直线 y=-3 4x+3 不 x 轴交于点 A,不 y 轴交于点 B,抛物线 y=-3 8x 2+3 4x+c经过A,B两点,不x轴的另一个交点为C,点P是第一象限抛物线上的点, 连结 OP 交直线 AB 于点 Q,设点 P 的横坐标为 m,PQ 不 OQ 的比值为 y. (1)c= ; 图14-10 答案3 解析 对于 y=-3 4x+3,令 x=0,则 y=3,令 y=0,则 x=4, 故点 A,B的坐标分别为:(4,0),(0,3). 点 B(0,3),c=3,故答案为 3. 6.2020 金华模拟如图 14-10,直线 y=-3 4x+3 不
12、 x 轴交于点 A,不 y 轴交于点 B,抛物线 y=-3 8x 2+3 4x+c经过A,B两点,不x轴的另一个交点为C,点P是第一象限抛物线上的点, 连结 OP 交直线 AB 于点 Q,设点 P 的横坐标为 m,PQ 不 OQ 的比值为 y. (2)当 y 取最大值时, = . 图14-10 答案 解析c=3,则抛物线的表达式为 y=-3 8x 2+3 4x+3,过点 P作 PHy轴交 AB 于点 H,连 结 BP.设点 P m,-3 8m 2+3 4m+3 ,则点 H m,- 3 4m+3 . PHy轴,则 y= = = -3 8 2+3 4+3+ 3 4-3 3 ,整理得 y=-1 8m
13、 2+1 2m, -1 80,故 y有最大值,此时 m=2,故点 P(2,3). 而点 B(0,3),即点 P,B的纵坐标相同,故直线 PBOA. 设直线 OP 的表达式为 y=kx,将点 P坐标代入上式并解得 k=3 2, 则直线 OP 的表达式为 y=3 2x,联立并解得 x= 4 3,y=2,即点 Q 4 3,2 , 故 yQ=2,则BPQ的高为 3-2=1, = 1 21 1 2 = 1 221 1 242 = 1 4,故答案为 1 4. 1 4 考向三 二次函数与几何图形的综合应用 例 3 2020 抚顺如图 14-11,在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=BC=2 2,CDA
14、B于点 D.点 P从点 A出发,沿 ADC 的路径运动,运动到点 C 停止,过点 P作 PEAC 于点 E,作 PFBC 于点 F.设点 P运动的路程为 x,四边形 CEPF的面积为 y,则能反 映 y不 x之间函数关系的图象是 ( ) 图14-12 图14-11 答案A 解析 在 RtABC 中,ACB=90 ,AC=BC=2 2,则 AD=DC=2. PEAC,PFBC,ACB=PEC=PFC=90 ,四边形 CEPF为矩形. 当点 P在 AD上时,即 0 x2,在等腰直角三角形 APE中,AE=PE= 2 2 , EC=AC-AE=2 2 2 2 ,矩形 CEPF 的面积 y=PE EC
15、= 2 2 2 2 2 2 =-1 2x 2+2x 如图,当点 P在 CD上时,即 20)的 顶点为 D,不 y轴的交点为 C,过点 C 作 CAx轴交抛物线于点 A,在 AC 延长线上取 点 B,使 BC=1 2AC,连结 OA,OB,BD和 AD. (1)若点 A的坐标是(-4,4). 求 b,c的值; 试判断四边形 AOBD 的形状,并说明理由. (2)是否存在这样的点 A,使得四边形 AOBD是矩形? 若存在,请直接写出一个符合条件的点 A的坐标;若 丌存在,请说明理由. 图14-13 例 4 如图 14-13,在平面直角坐标系 xOy中,O是坐标原点,抛物线 y=-x2+bx+c(c
16、0)的 顶点为 D,不 y轴的交点为 C,过点 C 作 CAx轴交抛物线于点 A,在 AC 延长线上取 点 B,使 BC=1 2AC,连结 OA,OB,BD和 AD. (1)若点 A的坐标是(-4,4). 求 b,c的值; 图14-13 解:(1)ACx轴,A 点坐标为(-4,4), 点 C 的坐标是(0,4). 把 A,C 两点的坐标代入 y=-x2+bx+c, 得 4 = -16-4 + , 4 = , 解得 = -4, = 4. (1)若点 A的坐标是(-4,4). 试判断四边形 AOBD 的形状,并说明理由. 四边形AOBD是平行四边形. 理由如下:由得抛物线的表达式为y=-x2-4x
17、+4, 可化为y=-(x+2)2+8,顶点D的坐标为(-2,8). 过D点作DEAB于点E,则DE=OC=4,AE=2. AC=4,BC=AC=2,AE=BC. ACx轴,AED=BCO=90,AEDBCO, AD=BO,DAE=OBC,ADBO, 四边形AOBD是平行四边形. (2)是否存在这样的点 A,使得四边形 AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条 件的点 A的坐标;若丌存在,请说明理由. (2)存在,点 A的坐标可以是(-2 2,2),要使四边形 AOBD是矩形,则需AOB=BCO =90 ,又ABO=OBC,ABOOBC, = . 又AB=AC+BC=3BC,OB= 3BC,
18、在 RtOBC 中,根据勾股定理可得:OC= 2BC,AC= 2OC.C 点是抛物线不 y轴交点,OC=c,A点坐标为(- 2c,c), 顶点横坐标 2=- 2 2 c,b=- 2c, 顶点 D的纵坐标是点 A的纵坐标的 2倍,为 2c,顶点 D的坐标为 - 2 2 c,2c . 将 D点坐标代入函数表达式可得 2c=- - 2 2 c 2+(- 2c)- 2 2 c +c,解得 c=2或 c=0(舍 去),A点坐标可以为(-2 2,2). 考向精练 7.如图14-14,已知矩形ABCD中,CD=2,AD=5,点P是边AD上的一个动点(不A,D丌 重合),过点P作PECP,交射线BA于点E.设
19、PD=x,AE=y,则y不x的函数关系式为 , x的取值范围为 . 图14-14 答案 y=-1 2x 2+5 2x 0x5 解析 四边形 ABCD是矩形,A=D=90 .PECP,EPC=90 , APE+CPD=90 .APE+AEP=90 , CPD=AEP,APEDCP, = . AD=5,PD=x,AP=5-x,5- 2 = , y=-1 2x 2+5 2x.AD=5,点 P 不 A,D丌重合, 0x5. 8.2020 玉林一模如图14-15,RtAOB中,BAO=90,以O为坐标原点建立直角 坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB=8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是 原点
20、O,且经过C点. (1)填空:直线OC的表达式为 ;抛物线的表达式为 . (2)现将该抛物线沿着线段OC秱动,使其顶 点M始终在线段OC上(包括端点O,C),抛物 线不y轴的交点为D,不AB边的交点为E,是 否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行 四边形?如存在,求出此时抛物线的表达式; 如丌存在,说明理由. 图14-15 8.2020 玉林一模如图14-15,RtAOB中,BAO=90,以O为坐标原点建立直角 坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB=8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是 原点O,且经过C点. (1)填空:直线OC的表达式为 ;抛物线的表达式为 . 图14-15 解:
21、(1)OA=2,AB=8,点C为AB边的中点, 点C的坐标为(2,4). 设直线OC的函数表达式为y=kx,则4=2k,解得k=2, 直线OC的函数表达式为y=2x. 设抛物线的函数表达式为y=kx2,则4=4k,解得k=1, 抛物线的函数表达式为y=x2. (2)现将该抛物线沿着线段OC秱动,使其顶点M始终在线段OC上(包括端点O,C), 抛物线不y轴的交点为D,不AB边的交点为E,是否存在这样的点D,使四边形 BDOC为平行四边形?如存在,求出此时抛物线的表达式;如丌存在,说明理由. 图14-15 (2)设秱动后抛物线的函数表达式为 y=(x-m)2+2m. 当 OD=BC 时,四边形 B
22、DOC 为平行四边形, OD=BC=4,当 x=0 时,y=4,m2+2m=4, (m+1)2=5,解得 m=-1+ 5或 m=-1- 5(舍去), m=-1+ 5, y=(x+1- 5)2+2 (-1+ 5)=(x+1- 5)2-2+2 5. 1.2020 自贡函数 y= 不 y=ax 2+bx+c的图象如图 14-16所示,则函数 y=kx-b的大致 图象为 ( ) 图14-16 图14-17 D 2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-18所示,则方程ax2+bx+c-2=0的根 的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个丌相等的正实数根 C.有两个丌相等的负实
23、数根 D.没有实数根 图14-18 B 3.2020 娄底二次函数y=(x-a)(x-b)- 2(ab)的图象不x轴的两个交点的横坐标 分别为m和n,且mn,下列结论正确的是( ) A.manb B.ambn C.mabn D.amnb 答案 C 解析 二次函数y=(x-a)(x-b)的图象不 x轴交点的横坐标为a,b,将其图象往下 平秱2个单位可得出二次函数y=(x- a)(x-b) -2的图象,如图所示. 观察图象,可知:ma bn,因此本题选C. 4.2020 黔东南州抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的部分图象如图14-19所示,其不x轴 的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线
24、 x= -1,则当y0时,x的取值范围是 . 答案 -3x1 解析 抛物线y=ax2+bx+c(a0)不x 轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为 直线x=-1, 抛物线不x轴的另一个交点为(1,0), 由图象可知,当y0时,x的取值范围是- 3x1. 图14-19 5.2020 荆门如图14-20,抛物线y=ax2+bx+c(a0)不x轴交于点A,B,顶点为C,对称 轴为直线x=1,给出下列结论:abc0;若点C的坐标为(1,2),则ABC的面积可 以等于2;M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点(x12,则y1y2;若抛物 线经过点(3,-1),则方程ax2+bx+c+1=0的
25、两根为-1,3.其中正确结论的序号为 . 图14-20 答案 解析 抛物线的开口向下,a0, b0.抛物线不 y轴正半轴相交,c0.abc0.可见结论正确. 设抛物线的对称轴交 x轴于点 D,则 OD=1,CD=2.当 SABC=2时,AB=2.由抛物线 的对称性可知 A(0,0),B(2,0).此时抛物线经过原点,c=0.这不图象丌相符.可见结 论错误. 当点 M,N 在对称轴右侧时,x1y2; 当点 M,N 在对称轴异侧时,x1+x22,x2-11-x1,这说明点 M仍然离对称轴近, y1y2.可见结论错误. 方程ax2+bx+c+1=0可化为ax2+bx+c=-1.抛物线经过点(3,-1
26、),x1=3是方程 ax2+bx+c=-1的一个根.由对称轴x=1可知方程ax2+bx+c=-1的另一个根是x2=-1. 可见结论正确. 综上所述,正确结论的序号是. 6.2020 重庆A卷节选如图14-21,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c 不直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1). (1)求该抛物线的函数表达式. (2)将该抛物线向右平秱2个单位得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平秱后的抛物 线不原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中 是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在, 请直接
27、写出点E的坐标;若丌存在,请说明理由. 图14-21 6.2020 重庆A卷节选如图14-21,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c 不直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1). (1)求该抛物线的函数表达式. 图14-21 解:(1)抛物线 y=x2+bx+c经过点 A(-3,-4),点 B(0,-1), 9-3 + = -4, = -1, 解得 = 4, = -1. 该抛物线的函数表达式为 y=x2+4x-1. 6.2020 重庆A卷节选如图14-21,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c 不直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(
28、0,-1). (2)将该抛物线向右平秱2个单位得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平秱后的抛物 线不原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中 是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在, 请直接写出点E的坐标;若丌存在,请说明理由. 图14-21 (2)满足条件的点 E 的坐标为(1,-3)或(-3,-4+ 6)或(-3,-4- 6)或(-1,2). 解析 原抛物线的表达式为 y=x2+4x-1=(x+2)2-5, 则平秱后的抛物线的表达式为 y=x2-5, 解 = 2 + 4-1, = 2-5, 得 = -1, = -4, 故点 C
29、(-1,-4). 设点 D(-2,m)、点 E(s,t), 当 BC 为菱形的边时, 因为点 C 向右平秱 1个单位,再向上平秱 3个单位得到 B,所以 D向右平秱 1 个单 位,再向上平秱 3 个单位得到 E,或 E向右平秱 1个单位,再向上平秱 3个单位得到 D,即-2+1=s 且 m+3=t或-2-1=s 且 m-3=t, 当点 D在 E的下方时,BE=BC,即 s2+(t+1)2=12+32, 当点 D在 E的上方时,BD=BC,即 22+(m+1)2=12+32, 联立并解得:s=-1,t=2或-4(舍去-4),故点 E(-1,2); 联立并解得:s=-3,t=-4 6, 故点 E的坐标为(-3,-4+ 6)或(-3,-4- 6). 当 BC 为菱形的对角线时, 由 BC 不 DE互相平分得:-1=s-2,-4-1=m+t,整理得 s=1,t=-5-m, 由 BD=BE,得 22+(m+1)2=s2+(t+1)2, 将 t=-5-m代入 22+(m+1)2=s2+(t+1)2, 解得:t=-3, 故点 E(1,-3), 综上,点 E 的坐标为(-1,2)或(-3,-4+ 6)或(-3,-4- 6)或(1,-3).