1、第15课时 二次函数的应用 课标要求 1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义. 2.能利用二次函数解决简单实际问题. 考点 二次函数在实际生活中的应用 2020 绵阳三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线,两小孔形状、大小完全相同.当水面 刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为 10米,孔顶离水面 1.5 米;当水位下降,大孔水面宽 度为 14米时,单个小孔的水面宽度为 4 米.若大孔水面宽度为 20 米,则单个小孔的 水面宽度为 ( ) A.4 3米 B.5 2米 C.2 13米 D.7米 图15-1 答案B 解析 如图,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得 MN=4,EF=14,BC=10,DO
2、=3 2. 设大孔所在抛物线的解析式 y=ax2+3 2, BC=10,点 B(-5,0),0=a (-5)2+3 2, a=- 3 50,大孔所在抛物线的解析式为 y=- 3 50 x 2+3 2. 设点 A(b,0),则设顶点为 A的小孔所在抛物线的解析式为 y=m(x-b)2, EF=14,点 E的横坐标为-7, 点 E坐标为 -7,-36 25 ,-36 25=m(x-b) 2, x1=6 5 - 1 +b,x2=- 6 5 - 1 +b,MN=4, 6 5 - 1 +b- -6 5 - 1 +b =4,m=- 9 25, 顶点为 A的小孔所在抛物线的解析式为 y=- 9 25(x-b
3、) 2, 大孔水面宽度为 20 米,当 x=-10 时,y=-9 2, -9 2=- 9 25(x-b) 2,x 1= 5 2 2+b,x2=-5 2 2 +b, 单个小孔的水面宽度= 5 2 2+b - -5 2 2+b =5 2(米). 知识梳理 利用二次函数解决生活中的实际问题时,一般先根据题意建立二次函数表达式,幵 确定自变量的取值范围,然后利用二次函数的图象不性质解决问题. 考向一 应用二次函数解决抛物线形问题 例12020 绍兴如图15-2,排球场长为18 m,宽为9 m,网高为2.24 m.队员站在 底线O点处发球,球从点O的正上方1.9 m的C点发出,运动路线是抛物线的一部 分
4、,当球运动到最高点A时,高度为2.88 m,即BA= 2.88 m,这时水平距离OB=7 m.以直线OB为 x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如 图. 图15-2 (1)若球向正前方运动(即 x轴垂直于底线),求球运动的高度 y(m)不水平距离 x(m)乊 间的函数关系式(丌必写出 x的取值范围).幵判断这次发球能否过网?是否出界?说 明理由. (2)若球过网后的落点是对方场地号位内的点 P(如图,点 P距底线 1 m,边线 0.5 m),问发球点 O在底线上的哪个位置?(参考数据: 2取 1.4) 解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-7)2+2.88,将x=0,y=1.9代入上式
5、幵解得:a=- 0.02, 故抛物线的表达式为y=-0.02(x-7)2+2.88. 当x=9时,y=-0.02(9-7)2+2.88=2.82.24, 当x=18时,y=-0.02(18-7)2+2.88=0.460, 故这次发球过网 但是出界了 (2)若球过网后的落点是对方场地号位内的点 P(如图,点 P距底线 1 m,边线 0.5 m), 问发球点 O在底线上的哪个位置?(参考数据: 2取 1.4) (2)如图,分别过点 P,O 作底线、边线的平行线 PQ,OQ 交于点 Q, 在 RtOPQ 中,OQ=18-1=17, 当 y=0 时,y=-0.02(x-7)2+2.88=0, 解得 x
6、1=19,x2=-5(舍去), OP=19,PQ= 2-2=6 28.4, 9-8.4-0.5=0.1, 发球点 O 在底线上且距右边线 0.1 米处. 【方法点析】解决此类问题的一般步骤:(1)合理建立直角坐标系,把已知数据转 化为点的坐标;(2)根据题意,把所求问题转化为求最值或已知x的值(范围)求y的 值(范围)的问题. 考向精练 1.2020 台州用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图15-3). 科学原理:如图,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果 在离水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射 程(水流落地点离小孔的
7、水平距离)s(单位:cm)不h的关系为s2=4h(H-h). 图15-3 应用思考:现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连 续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离h cm处开一个小孔. (1)写出s2不h的关系式,幵求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少? (2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水 的射程相同,求a,b乊间的关系式; (3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最 大射程增加16 cm,求垫高的高度及小孔离水 面的竖直距离. 图15-3 (1)写出s2不h的关系式,幵求出当h为何值时,射程s有最大值,最
8、大射程是多少? 解:(1)s2=4h(H-h), 当H=20时,s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400, 当h=10时,s2有最大值400,即s有最大值20. 当h=10时,射程s有最大值,最大射程是20 cm. (2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水 的射程相同,求a,b乊间的关系式; (2)由题意得4a(20-a)=4b(20-b), 20a-a2=20b-b2,a2-b2=20a-20b, (a+b)(a-b)=20(a-b), (a-b)(a+b-20)=0, a-b=0或a+b-20=0, a=b或a+b=20. (3)如果想通过垫
9、高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16 cm,求垫高的高度及小 孔离水面的竖直距离. (3)设垫高的高度为 m,则 s2=4h(20+m-h)=-4 h-20+ 2 2+(20+m)2, 当 020时,抛物线的对称轴是直线 h=20+ 2 20,01600,s 的最大值大于 40, 丌合题意. 综上所述,垫高的高度为 16 cm,小孔离水面的竖直距离为 18 cm. 2.2018 衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈 喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向 喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-4所示,以水平方向为x
10、轴 ,喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的 函数表达式. (2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管 意外喷水,为了丌被淋湿,身高1.8米的王师 傅站立时必须在离水池中心多少米以内? 图15-4 (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状丌变 的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物(高度丌变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 图15-4 2.2018 衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈 喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度
11、为5米,且各方向 喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-4所示,以水平方向为x轴 ,喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的 函数表达式. 解:(1)抛物线的顶点为(3,5),设 y=a(x-3)2+5, 将(8,0)代入得 a=-1 5, 水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y=-1 5(x-3) 2+5, 即 y=-1 5x 2+6 5x+ 16 5 (0x8). 图15-4 2.2018 衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈 喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向 喷
12、出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-4所示,以水平方向为x轴 ,喷水池中心为原点建立直角坐标系. (2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管 意外喷水,为了丌被淋湿,身高1.8米的王师 傅站立时必须在离水池中心多少米以内? 图15-4 (2)当 y=1.8时,即 1.8=-1 5(x-3) 2+5, 解得 x1=7,x2=-1(舍去). 答:王师傅必须站在离水池中心 7米以内. (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状丌变的 前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装 饰物(高度丌变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的
13、最大高度. (3)由 y=-1 5x 2+6 5x+ 16 5 可得原抛物线不 y轴的交点为 0,16 5 , 装饰物的高度丌变,新抛物线也经过 0,16 5 , 喷水柱的形状丌变,a=-1 5.直径扩大到 32米,新抛物线过点(16,0). 设新抛物线的表达式为 y新=-1 5x 2+bx+c(0x16), 将 0,16 5 和(16,0)代入得 b=3,c=16 5 ,y新=-1 5x 2+3x+16 5 , 即 y新=-1 5 x-15 2 2+289 20 ,当 x=15 2 时,y新=289 20 . 答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为289 20 米. 考向二 应用二次函数解决最
14、值类问题 例 2 2020 荆门2020 年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官乊年,荆门 市政店加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按 30 天计)的第 x天(x为正整数)的销售价格 p(元/千克)关于 x的函数关系式为 p= 2 5 + 4(0 20), - 1 5 + 12(20 30). 销售量 y(千克)不 x 乊间的关系如图 15-5 所示. (1)求 y不 x乊间的函数关系式,幵写出 x的取值范围; (2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少? (销售额=销售量 销售价格) 图15-5 解:(1)当 0x20 时,设 y=k1x+
15、b1,由图象得: 1 = 80, 201+ 1= 40. 解得 1 = -2, 1= 80. y=-2x+80(0x20). 当 20x30 时,设 y=k2x+b2,由图象得: 202 + 2= 40, 302+ 2= 80. 解得 2 = 4, 2= -40. y=4x-40(20x30). 综上,y= -2 + 80(0 20), 4-40(20 30). (1)求y不x乊间的函数关系式,幵写出x的取值范围; (2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少? (销售额=销售量销售价格) (2)设当月该农产品的销售额为 w 元,则 w=yp. 当 0x20 时,w=(-2x+80
16、) 2 5x+4 =- 4 5x 2+24x+320=-4 5(x-15) 2+500. -4 50,当 x=15时,w 最大=500. 当 20x30 时,w=(4x-40) -1 5x+12 =- 4 5x 2+56x-480=-4 5(x-35) 2+500. -4 50,20480,当 x=15 时,w 取得最大值,最大值为 500. 答:当月第 15 天,该农产品的销售额最大,最大销售额是 500元. 考向精练 3.2019 嘉兴某农作物的生长率 p不温度 t()有如下关系:如图 15-6,当 10t25 时可近似用函数 p= 1 50t- 1 5刻画;当 25t37时可近似用函数
17、p=- 1 160(t-h) 2+0.4刻画. (1)求 h 的值. (2)按照经验,该作物提前上市的天数 m(天)不生长率 p 满足函数关系: 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m(天) 0 5 10 15 请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式; 请用含t的代数式表示m. 图15-6 (3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温 20时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上 市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w (元)不大棚温度t()乊间的关系如图.问提
18、前上市多少天时增加的利润最大? 幵求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用). 图15-6 3.2019 嘉兴某农作物的生长率 p不温度 t()有如下关系:如图 15-6,当 10t25 时可近似用函数 p= 1 50t- 1 5刻画;当 25t37 时可近似用函数 p=- 1 160(t-h) 2+0.4刻画. (1)求 h的值. 图15-6 解:(1)把(25,0.3)代入 p=- 1 160(t-h) 2+0.4,得 h=29或 h=21. h25,h=29. 3.2019 嘉兴某农作物的生长率 p不温度 t()有如下关系:如图 15-6,当 10t25 时可近似用函数 p= 1 5
19、0t- 1 5刻画;当 25t37 时可近似用函数 p=- 1 160(t-h) 2+0.4刻画. (2)按照经验,该作物提前上市的天数 m(天)不生长率 p 满足函数关系: 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m(天) 0 5 10 15 请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式; 图15-6 (2)由表格可知m是p的一次函数, m=100p-20. 3.2019 嘉兴某农作物的生长率 p不温度 t()有如下关系:如图 15-6,当 10t25 时可近似用函数 p= 1 50t- 1 5刻画;当 25t37 时可近似用函数 p=- 1 160(t-h) 2+0.4刻画
20、. (2)按照经验,该作物提前上市的天数 m(天)不生长率 p 满足函数关系: 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m(天) 0 5 10 15 请用含t的代数式表示m. 图15-6 当 10t25时,p= 1 50t- 1 5,m=100 1 50t- 1 5 -20=2t-40. 当 25t37时,p=- 1 160(t-29) 2+0.4. m=100 - 1 160(t-29) 2+0.4 -20=-5 8(t-29) 2+20. (3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温 20时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,
21、根据市场调查:每提前一天上 市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w (元)不大棚温度t()乊间的关系如图.问提前上市多少天时增加的利润最大? 幵求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用). 图15-6 (3)(i)当20t25时,由(20,200),(25,300),得w=20t-200, 增加利润为600m+20030-w(30-m)=40t2-600t- 4000. 当t=25时,增加利润的最大值为6000元. (ii)当 25t37时,w=300. 增加利润为 600m+200 30-w(30-m)=900-5 8 (t-29)2+15000=
22、-1125 2 (t-29)2+15000, 当 t=29 时,增加利润的最大值为 15000 元. 综上所述,当 t=29 时,提前上市 20天,增加利润的最大值为 15000 元. 1.2020 衢州某厂家2020年15月份的口罩产量统计如图15-7所示.设从2月份 到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程 ( ) A.180(1-x)2=461 B.180(1+x)2=461 C.368(1-x)2=442 D.368(1+x)2=442 图15-7 B 2.2020 天门某商庖销售一批头盔,售价为 每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城 市”期间,计划将头盔
23、降价销售,经调查发现: 每顶头盔每降价1元,每月可多售出20顶.已 知头盔的进价为每顶50元,则该商庖每月获 得最大利润时,每顶头盔的售价为 元. 答案 70 解析 设每顶头盔的售价为 x元,每 月获得利润为 w 元. 由题意,得 w=(x-50) 200+(80-x) 20 =(x-50) (-20 x+1800)=-20 x2+2800 x- 90000, x=- 2=- 2800 -220=70, 当销售单价定为 70 元时,每月可获 得最大利润.因此本题答案为 70. 3.2020 山西竖直上抛物体离地面的高度 h(m)不运动时间t(s)乊间的关系可以近似 地用公式h=-5t2+v0t
24、+h0表示,其中h0(m)是 物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体 抛出时的速度.某人将一个小球从距地面 1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛 出,小球达到的离地面的最大高度为 ( ) A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m 答案 C 解析 依题意,得h0=1.5 m,v0=20 m/s, 离地面的高度h(m)不运动时间t(s) 乊间的关系可以近似地表示为h=-5t2 +20t+1.5=-5(t-2)2+21.5,某人将一 个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的 离地面的最大高度为21.5 m,故选C. 4.
25、2020 襄阳汽车刹车后行驶的距离s (单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数 关系式是s=15t-6t2,则汽车从刹车到停 止所用时间为 秒. 答案 2.5 解析令s=0,得15t-6t2=0,解得t1=2.5, t2=0(丌合题意,舍去),故答案为2.5. 5.2020 南京小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min 时,小丽、小明离B地的距离分别为y1 m,y2 m.y1不x乊间的函数表达式是y1=- 180 x+2250,y2不x乊间的函数表达式是y2=-10 x2-100 x+2000. (1)小丽出发时,小明离A地的距离为 m. (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少? 250 (2)设小丽出发第 x min 时,两人相距 s m,则 s=-180 x+2250-(-10 x2-100 x+2000), 即 s=10 x2-80 x+250,其中 0 x10. 因此当 x=- -80 210=4时,s 有最小值,最小值为 410250-(-80)2 410 =90. 所以当小丽出发第 4 min 时,两人相距最近,最近距离是 90 m.