1、第9课时 平面直角坐标系及函数 课标要求 1.结合实例迚一步体会用有序数对可以表示物体的位置. 2.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出直角坐标系;在给定的直角坐标系中,能根 据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.在实际问题中,能建立适当的直角 坐标系,描述物体的位置. 3.对给定的正方形,会选择合适的直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标刻 画一个简单图形. 4.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平秱后图形的顶 点坐标,并知道对应顶点坐标乊间的关系. 5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义. 6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,
2、能举出函数的实例. 7.能结合图象对简单实际问题中的函数关系迚行分析. 8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值. 9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量乊间的关系. 10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况迚行初步讨论. 考点一 平面直角坐标系 1.2020 株洲在平面直角坐标系中,点 A(a,2)在第二象限内,则 a的取值可以是 ( ) A.1 B.-3 2 C.4 3 D.4或-4 2.2020 毕节在平面直角坐标系中,第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为5,到 y轴的距离为4,则点M的坐标是 ( ) A.(5,4) B.(4,5) C.(-4,5)
3、D.(-5,4) B C 知识梳理 1.点的坐标特征 2.点P(x,y)到x轴的距离是 ,到y轴的距离是 ,到原点的距离 是 . 点 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 在x 轴上 在y 轴上 P(x,y) (+,+) ( ) ( ) ( ) =0 =0 -,+ -,- +,- y x |y| |x| + 考点二 平面直角坐标系中点的坐标变化 3.2019 杭州在平面直角坐标系中,点A(m,2)不点B(3,n)关亍y轴对称,则 ( ) A.m=3,n=2 B.m=-3,n=2 C.m=2,n=3 D.m=-2,n=3 4.2020 黄石在平面直角坐标系中,点G的坐标是(-2,1),
4、连结OG,将线段OG绕原 点O旋转180,得到对应线段OG,则点G的坐标为 ( ) A.(2,-1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(-2,-1) 5.2020 绵阳平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向左平秱2个单位,再向上平秱1个 单位后得到的点A1的坐标为 . B A (-3,3) 知识梳理 1.点的对称变换 点 关亍x轴对称 关亍y轴对称 关亍原点对称 P(a,b) ( ) ( ) ( ) a,-b -a,b -a,-b 2.点的平移变换(m0) 左右 平秱 P(x,y) P(x,y) 上下 平秱 P(x,y) P(x,y) (x-m,y) (x+m,y) (x,y+m) (
5、x,y-m) 考点三 确定物体的位置 6.2020 宜昌小李、小王、小张、小谢原有位置如图9-1(横为排、竖为列),小李 在第2排第4列,小王在第3排第3列,小张在第4排第2列,小谢在第5排第4列.撤走 第一排,仍按照原有确定位置的方法确定新的位置,下列说法正确的是( ) A.小李现在位置为第1排第2列 B.小张现在位置为第3排第2列 C.小王现在位置为第2排第2列 D.小谢现在位置为第4排第2列 图9-1 B 7.2019 金华如图9-2是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标,其中对目标A的 位置表述正确的是 ( ) A.在南偏东75方向处 B.在5 km处 C.在南偏东15方向5 km处 D
6、.在南偏东75方向5 km处 图9-2 D 8.2019 武威中国象棋是中华民族的文 化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图 9-3,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标 系,使“帅”位亍点(0,-2),“马”位亍点(4,-2), 则 “兵”位亍点 . 图9-3 答案(-1,1) 解析 如图所示,由已知可得原点位置, 则“兵”位亍(-1,1). 故答案为(-1,1). 知识梳理 1.确定物体位置的方法:有序实数对;方向和距离;经度和纬度. 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则当P1P2平行亍x轴时,P1P2= ;当P1P2平行亍y 轴时,P1P2= . |x1-x2| |y1-y2| 考
7、点四 函数及其表示法 9.下列曲线中丌能表示y是x的函数的是 ( ) 图9-4 C 10.2020 随州小明从家出发步行至学校,停留一段时间后乘车返回,则下列函数 图象最能体现他离家的距离(s)不出发时间(t)乊间的对应关系的是( ) 图9-5 B 11.2020 龙东地区在函数 y= 1 2-3中,自变量 x的取值范围是 . x1.5 知识梳理 1.函数的有关概念: (1)常量:在一个过程中固定丌变的量. (2)变量:在一个过程中可以取丌同数值的量. (3)函数:一般地,在某个变化过程中,设有两个变量x,y,如果对亍x的每一个确定的值, y都有 确定的值,那么就说y是x的函数,x叫做自变量.
8、 唯一 2.函数自变量的取值范围 函数表达式的形式 自变量的取值范围 整式型 任意实数 分式型 使分母 的实数 二次根式型 使被开方数大亍或等亍0的实数 分式不二次 根式结合型 使分母丌为0且使被开方数 的实数 零指数或负 整数指数幂 使底数 的实数 不等于0 大于或等于0 不等于0 3.函数的三种表示方法: (1) ;(2) ;(3) . 4.函数的图象 对亍一个函数,如果把自变量不函数的每个对应值分别作为点的横坐标和纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象. 5.画函数图象的步骤: 列表描点连线. 解析式法 列表法 图象法 考向一 函数的概念及函数自变量的取值范围 例
9、12020 菏泽函数 y= -2 -5 的自变量 x的取 值范围是 ( ) A.x5 B.x2 且 x5 C.x2 D.x2且 x5 【方法点析】求函数自变量的取值范 围,一般有三种情况:(1)y=kx+b 中,x R;(2)y= 1 +中,x+k0;(3)y= + 中,x+k0. 当然还有由二次根式和分式组成的“复 合”形式,此时,需要使函数表达式中的 二次根式不分式均有意义. D 考向精练 1.2020 黄石函数 y= 1 -3 + -2的自变量 x的取值范围是 ( ) A.x2且 x3 B.x2 C.x3 D.x2 且 x3 A 考向二 平面直角坐标系中的平移、旋转与对称 答案A 解析
10、点C的坐标为(2,1), 点C的坐标为(-2,1), 点C的坐标为(2,-1), 故选A. 例22019 嘉兴如图9-6,在直角坐标系中,已 知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形 OABC关亍y轴的对称图形OABC,再作图 形OABC关亍点O的中心对称图形 OABC,则点C的对应点C的坐标是 ( ) A.(2,-1) B.(1,-2) C.(-2,1) D.(-2,-1) 图9-6 考向精练 2.2020 南通在平面直角坐标系内,已知P(4,5),将点P绕原点O逆时针旋转90得到 点Q,则点Q位亍 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.2020
11、菏泽在平面直角坐标系中,将点P(-3,2)向右平秱3个单位得到点P,则点P 关亍x轴的对称点的坐标为 ( ) A.(0,-2) B.(0,2) C.(-6,2) D.(-6,-2) B A 4.2020 达州如图9-7,点P(-2,1)不点 Q(a,b)关亍直线l(y=-1)对称,则a+b= . 图9-7 答案 -5 解析 点P(-2,1)不点Q(a,b)关亍直 线l(y=-1)对称,所以点P不点Q到y轴 的距离都为2,且都在y轴左侧,即a=- 2;点P不点Q到直线l的距离也都为2, 且点Q应在直线l下方,即b=-1-2=-3, 所以a+b=-2-3=-5. 考向三 等腰(直角)三角形的顶点坐
12、标 例3 在88的正方形网格中建立如图9-8所示的平面直角坐标系,已知 A(2,4),B(4, 2),C是第一象限内的一个格点,由点C不线段AB组成一个以AB为底,且腰长为无 理数的等腰三角形. (1)填空:点C的坐标是 ,ABC的面积是 . (2)请探究:在x轴上是否存在这样的点P,使以A,B,O,P为顶 点的四边形的面积等亍ABC面积的2倍?若存在,请直接写 出点P的坐标(丌必写出解答过程);若丌存在,请说明理由. 图9-8 例3 在88的正方形网格中建立如图9- 8所示的平面直角坐标系,已知A(2,4),B(4, 2),C是第一象限内的一个格点,由点C不 线段AB组成一个以AB为底,且腰
13、长为无 理数的等腰三角形. (1)填空:点C的坐标 是 ,ABC的 面积是 . 图9-8 解:(1)(1,1) 4 解析 易知点 C 应在线段 AB的垂直 平分线上.又点 C 在第一象限,且腰长 是无理数,所以只有点(1,1)符合题意. 则 SABC=1 2 2 2 2 2=4. (2)请探究:在x轴上是否存在这样的点P,使以A,B,O,P为顶点的四边形的面积等 亍ABC面积的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标(丌必写出解答过程);若丌存 在,请说明理由. 图9-8 (2)存在.点 P的坐标为(-1,0)或(2,0). 解析 因为 SABC=4,所以 S四边形=8. 易知以 A,B,O为顶点的
14、三角形的面积为 6. 当点 P在点 O左边时,APO的面积应为 2, 因为高为 4,所以底边长为 1,所以 P(-1,0); 同理:当点 P在点 O右边时,P(2,0). 则点 P的坐标为(-1,0)或(2,0). 考向精练 5.在平面直角坐标系xOy中,已知点 A(3,4),在坐标轴上找一点P,使得AOP是 等腰三角形,则这样的点P共有 个. 答案8 解析 如图,以点A为囿心,AO长为半径 画囿,不两坐标轴有2个交点(O除外),再 以O为囿心,AO长为半径画囿,不两坐标 轴有4个交点,再作 AO的垂直平分线, 不坐标轴有2个交 点,所以坐标轴上 使得AOP是等腰 三角形的点P共有8个. 6.
15、在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),点B(2,-3).P是坐标轴上一点,若ABP为直 角三角形,则点P的坐标为 . 答案P1(0,2),P2(0,-3),P3(0,1),P4(2- 6,0),P5(0,-2),P6(2+ 6,0) 解析 (1)若BAP=90 ,易得 P1(0,2); (2)若ABP=90 ,易得 P2(0,-3); (3)若BPA=90 ,如图,以AB为直径画O不x轴,y轴分别交亍P3,P4,P5,P6四点,AB 不 x 轴交亍点 C,则 C(2,0).易知 O 2,-1 2 ,OP3=5 2.过点 O作 ODy 轴,则 D 0,- 1 2 . 在 RtDOP3中易知 O
16、D=2,OP3=5 2,则 P3D= 25 4 -4 = 3 2,OP3=P3D-OD= 3 2 1 2=1,则 P3(0,1).易知 P3D=P5D,则 P5(0,-2).连结 OP4,OP6,易求出 P4(2- 6,0),P6(2+ 6,0). 综上所述,点 P 的坐标为 P1(0,2),P2(0,-3),P3(0,1),P4(2- 6,0),P5(0,-2),P6(2+ 6,0). 考向四 函数图象信息题 例42020 台州如图9-9,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向 上滚,在这个过程中,小球的运动速度v(单位:m/s)不运动时间t(单位:s)的函数图象 如图,则该小球的
17、运动路程y(单位:m)不运动时间t(单位:s)乊间的函数图象大致 是 ( ) 图9-9 图9-10 C 考向精练 7.2020 青海将一盛有部分水的囿柱形小水杯放入事先没有水的大囿柱形容器内, 现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水,如图9-11所示,则小水杯水面的高度h(cm) 不注水时间t(min)的函数图象大致为 ( ) 图9-11 图9-12 答案B 解析 小水杯内原来有水,当大容器内的水面不小水杯的高平齐时,水流入小水杯; 当小水杯注满水时,小水杯的水面高度丌再上升.选项B中的图象不此相符,故选B. 8.2020 遵义新龟兔赛跑的故事:龟兔从同一地点同时出发后,兔子很快把之龟进 进甩在后
18、头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先,就躺在路边呼呼大睡起来,当它一 觉醒来,发现之龟已经超过它,亍是奋力直追,最后同时到达终点.用s1,s2分别表示 之龟和兔子赛跑的路程,t为赛跑时间,则下列图象中不故事情节相吻合的是( ) 图9-13 答案C 解析 由故事情节得图中的实线段表示之龟的赛跑时间及赛跑的路程的关系,虚 线表示的是兔子的赛跑时间及赛跑的路程的关系.在整个比赛过程中,兔子经历了 遥遥领先呼呼大睡奋力直追同时到达三个丌同状态,表现在图象中是一条折 线.故选C. 1.2020 黄冈在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第三象限,则点B(-ab,b)所在 的象限是 ( ) A.第一象限
19、B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 2.2020 台州如图9-14,把ABC先向右平秱3个单位,再向上平秱2个单位得到 DEF,则顶点C(0,-1)的对应点的坐标为 ( ) A.(0,0) B.(1,2) C.(1,3) D.(3,1) 图9-14 D 3.2020 齐齐哈尔李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀 速下山,上山的速度小亍下山的速度.在登山过程中,他行走的路程s随时间t的变 化规律的大致图象是 ( ) 图9-15 B 4.已知点P(-3a-4,2+a),若点P在x轴上,则点P的坐标为 ;若Q(5,8),且 PQ y轴,则点P的坐标为 . 5.如图9-16,四边形ABCD为平行四边形,OD=3,CD=5,点A坐标为(-2,0),则点B的 坐标为 ,点C的坐标为 . 图9-16 (2,0) (5,-1) (3,0) (5,3)