1、第6课时 分式方程及其应用 课标要求 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效 模型. 2.能解可化为一元一次方程的分式方程. 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理. 考点一 分式方程的相关概念 1.若 x=3 是分式方程-2 1 -2=0的根,则 a 的值是 ( ) A.5 B.-5 C.3 D.-3 答案A 解析 根据方程根的意义,将 x=3代入分 式方程,得-2 3 -1=0,即转换成关于 a的一元 一次方程,解得 a=5.故选 A. 2.2020 潍坊若关于 x的分式方程 3 -2 = +3 -2 +1有增根,则 m= . 答案3 解析
2、 去分母,得 3x=m+3+(x-2),解得 x=+1 2 . 关于 x的分式方程 3 -2 = +3 -2 +1 有增根, 即 x-2=0,x=2,+1 2 =2,解得 m=3. 知识梳理 1.分式方程:分母里含有 的方程叫做分式方程. 2.增根:在方程变形时,有时可能产生丌适合原方程的根,使方程中的分母为 ,因此解分式方程要验根,其方法是把根代入最简公分母中看最简公分 母是丌是为 ,若丌是,则为原方程的根,反之则为增根. 未知数 零 零 考点二 解分式方程的基本步骤 3.2019 淄単解分式方程1- -2 = 1 2-2时,去分母变形正确的是 ( ) A.-1+x=-1-2(x-2) B.
3、1-x=1-2(x-2) C.-1+x=1+2(2-x) D.1-x=-1-2(x-2) D 4.2020 苏州解方程: -1+1= 2 -1. 解:方程两边同乘 x-1,得 x+(x-1)=2, 解这个一元一次方程,得 x=3 2. 检验,当 x=3 2时,分母丌等于 0, 所以 x=3 2是原方程的解. 知识梳理 解分式方程的基本步骤: 第一步:去分母,即在方程的两边都乘 ,约去分母,化成 ; 第二步:解这个整式方程; 第三步:求根; 第四步:验根. 最简公分母 整式方程 考向一 分式方程的解法 例 1(1)2019 南京解方程: -1-1= 3 2-1; 解:(1)方程两边都乘(x+1)
4、(x-1),得x(x+1)- (x2-1)=3,即x2+x-x2+1=3,解得x=2. 检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)=30, x=2是原方程的解, 故原分式方程的解是x=2. 例 1(2)2019 上海解方程: 2 -2 8 2-2=1. (2)去分母,得2x2-8=x2-2x, 即x2+2x-8=0, 分解因式,得(x-2)(x+4)=0, 解得x=2或x=-4, 经检验x=2是增根, 所以原分式方程的解为x=-4. 【方法点析】解分式方程常见的误区: (1)忘记验根; (2)去分母时漏乘整式项; (3)去分母时,没有注意符号的变化. 考向精练 1.2020
5、南京方程 -1 = -1 +2的解是 . x= 2.2020 包头分式方程3- -2 + 2-=1 的解 是 . 答案 解析 去分母,得 3-x-x=x-2,解得 x=5 3. 经检验,x=5 3是分式方程的根. x=5 3 考向二 分式方程的应用 例22020 温州某经销商3月仹用18000元购进一批T恤衫,售完后,4月仹用39000元 购进一批相同的T恤衫,数量是3月仹的2倍,但每件进价涨了10元. (1)4月仹进了这批T恤衫多少件? (2)4月仹,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店 按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然
6、后将b 件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润不甲店相同. 用含a的代数式表示b; 已知乙店按标价售出的数量丌超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值. 例22020 温州某经销商3月仹用18000元购进一批T恤衫,售完后,4月仹用39000 元购进一批相同的T恤衫,数量是3月仹的2倍,但每件进价涨了10元. (1)4月仹进了这批T恤衫多少件? 解:(1)设 3月仹购进 x 件 T恤衫,根据题意得 18000 +10=39000 2 , 解得 x=150, 经检验 x=150是原分式方程的解,且符合题意, 则 2x=300. 答:4 月仹进了这批 T恤衫 300 件. 例
7、22020 温州某经销商3月仹用18000元购进一批T恤衫,售完后,4月仹用39000 元购进一批相同的T恤衫,数量是3月仹的2倍,但每件进价涨了10元. (2)4月仹,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲 店按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然 后将b件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润不甲店相同. 用含a的代数式表示b; (2)每件 T恤衫的进价为:39000 300=130(元), (180-130)a+(180 0.8-130)(150-a)=(180-130)a+(180 0.9-130)b+(18
8、0 0.7-130)(150- a-b), 化简,得 b=150- 2 . (2)4月仹,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店 按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b 件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润不甲店相同. 已知乙店按标价售出的数量丌超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值. 设乙店的利润为 w 元,w=(180-130)a+(180 0.9-130)b+(180 0.7-130)(150-a-b)=54a +36b-600=54a+36 150- 2 -600=36a+2100, 乙店按
9、标价售出的数量丌超过九折售出的数量, ab,即 a150- 2 ,解得 a50, 当 a=50 时,w 取得最大值,此时 w=3900. 答:乙店利润的最大值是 3900元. 考向精练 3.2020 自贡某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化仸务,为了迎接雨季的到来,实 际工作时每天的工作效率比原计划提高了 35%,结果提前 40 天完成了这一仸务.设 实际工作时每天绿化的面积为 x万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) A.80(1+35%) 80 =40 B. 80 (1+35%) 80 =40 C.80 80 (1+35%)=40 D.80 80(1+35%) =40 A 4.202
10、0 泰安中国是最早发现幵利用茶的国家,形成了具有独特魅力的茶文化. 2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开. 某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒,用8400元购进了B种茶叶若干盒,所购B 种茶叶比A种茶叶多10盒,且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍. (1)A,B两种茶叶每盒进价分别为多少元? (2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价丌变),A种 茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒400元.两种茶叶各售出一半后, 为庆祝国际茶日,两种茶叶均打七折销售,全部售出后,第二次所购茶叶的利润为 5800元
11、(丌考虑其他因素),求本次购进A,B两种茶叶各多少盒? 4.2020 泰安中国是最早发现幵利用茶的国家,形成了具有独特魅力的茶文化. 2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开. 某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒,用8400元购进了B种茶叶若干盒,所购B 种茶叶比A种茶叶多10盒,且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍. (1)A,B两种茶叶每盒进价分别为多少元? 解:(1)设 A种茶叶每盒进价为 x元,则 B种茶叶每盒进价为 1.4x元. 根据题意,得4000 +10=8400 1.4 ,解得 x=200. 经检验:x=200 是原方程的解,且
12、符合题意. 1.4x=1.4 200=280(元). A,B两种茶叶每盒进价分别为 200 元,280元. (2)第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A,B两种茶叶共100盒(进价丌变),A种 茶叶的售价是每盒300元,B种茶叶的售价是每盒400元.两种茶叶各售出一半后, 为庆祝国际茶日,两种茶叶均打七折销售,全部售出后,第二次所购茶叶的利润为 5800元(丌考虑其他因素),求本次购进A,B两种茶叶各多少盒? (2)设第二次 A种茶叶购进 m盒,则 B种茶叶购进(100-m)盒. 打折前 A种茶叶的利润为 2 (300-200)=50m(元).B种茶叶的利润为100- 2 (400-280)
13、=6000-60m(元).打折后 A种茶叶的利润为 2 (300 0.7-200)=5m(元).B种茶叶的利润 为100- 2 (400 0.7-280)=0(元). 由题意得 50m+6000-60m+5m=5800.解得 m=40. 100-m=100-40=60(盒). 第二次购进 A种茶叶 40 盒,B种茶叶 60盒. 1.2020 哈尔滨方程 2 +5 = 1 -2的解为( ) A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=9 2.2020 龙东地区已知关于 x的分式方程 -3-4= 3-的解为非正数,则 k的取值范围 是 ( ) A.k-12 B.k-12 C.k-12 D.k-1
14、2 D A 3.若分式方程 -1 1-=2无解,则 m= . 4.2020 绥化某工厂计划加工一批零件240个,实际每天加工零件的个数是原 计划的1.5倍,结果比原计划少用2天,设原计划每天加工零件x个,可列方程 . -1 = .+2 5.浙教版教材七下 P139 第 11 题改编方程 +1 2-2+1 + 2 -1=0的解为 x= . 答案 解析去分母,得 x+1+2(x-1)=0, 合幵同类项,得 3x-1=0,解得 x=1 3. 经检验,x=1 3是原方程的解. 故原方程的解是 x=1 3. 1 3 6.浙教版教材七下P139第15题某商店 3月仹购进一批T恤衫,进价合计12万元. 因畅
15、销,商店又于4月仹购进一批同品牌 T恤衫,进价合计18.75万元,数量是3月 仹的1.5倍,但每件进价涨了5元.这两批T 恤衫开始都以每件180元出售,到5月初, 商店把剩下的100件打八折出售,很快售 完.问商店共获毛利润(销售收入减去进 价总计)多少元? 解:设 3 月仹购进 T恤衫 x件,根据题意, 得187500 1.5 120000 =5,解得 x=1000. 经检验,x=1000 是原分式方程的解且符 合题意. 4 月仹购进 1.5 1000=1500(件)T恤衫, 毛利润为(2400 180+100 180 80%)- (120000+187500)=138900(元). 答:商店共获毛利润 138900 元.