1、第12课时 反比例函数及其应用 课标要求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 3.能用反比例函数解决简单实际问题. 2.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式 y= (k0)探索并理解 k0和 k0时,y随 x的增大而增大 D.当 x0时,y随 x的增大而减小 C 2.2020 德州函数 y= 和 y=-kx+2(k0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能 是 ( ) 图12-1 D 3.2020 怀化在同一平面直角坐标系中,一次函数 y1=k1x+b 不反比例函数 y2=2 (x 0)的图象如图 12-2所示,则当 y1y2时,自变量 x的叏值范围
2、为 ( ) A.x3 C.0x1 D.1x0 k0)的图象 上一点 A作 ABx轴于点 B,连结 AO,若 SAOB=2,则 k的值为 . 图12-4 答案4 解析A是反比例函数 y= 图象上 一点,且 ABx轴于点 B, SAOB=1 2|k|=2,解得 k= 4. 反比例函数在第一象限有图象, k=4. 5. (2)如图 12-5,A是反比例函数 y= (x0)图 象上的一点,AB垂直于 x轴,垂足为 B,AC 垂 直于 y轴,垂足为 C.若矩形 ABOC 的面积为 5,则 k的值为 . 图12-5 答案5 解析AB垂直于 x轴,垂足为 B,AC 垂直于 y轴,垂足为 C, 矩形 ABOC
3、的面积=|k|,即|k|=5. k0,k=5. 5. (3)如图 12-6,A,B是反比例函数 y=6 (x0)的图象上的两点,分别过点 A,B作 x轴和 y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为 2,则两个空白矩形面积的和为 . 图12-6 答案8 解析 由 A,B为反比例函数图象上的两点,利用比例系数 k的几何意义,求出矩 形 ACOG不矩形 BEOF 的面积,又已知阴影部分矩形 DGOF 的面积,故可求出两 个空白矩形的面积之和. 点 A,B是反比例函数 y=6 (x0)图象上的点, S矩形ACOG=S矩形BEOF=6. S矩形DGOF=2, S矩形ACFD+S矩形BDGE=6+6-2-2=
4、8. 知识梳理 1.几何意义:过反比例函数 y= (k0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线不 两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|. 2.常见的与反比例函数有关的图形面积 S矩形OAPB=|k| SAOP= SABC= 1= |k| |k| 2|k| 考点三 反比例函数的应用 6.2019 温州验光师测得一组关于近视眼 镜的度数 y(度)不镜片焦距 x(米)的对应数 据如下表.根据表中数据,可得y关于x的函 数表达式为 ( ) A.y=100 B.y= 100 C.y=400 D.y= 400 近视眼镜的度数y(度) 200 250 400 500 1000 镜片焦距x(米) 0.50
5、0.40 0.25 0.20 0.10 答案A 解析 从表格中的近视眼镜的度数 y(度)不镜片焦距 x(米)的对应数据可 以知道,它们满足 xy=100,因此,y关于 x的函数表达式为 y=100 .故选 A. 7.浙教版教材八下P150例1改编设ABC中BC边的长为x(cm),BC边上的高线 AD的长为y(cm),ABC的面积为常数.已知y关于x的函数图象过点(3,4),则y关于 x的函数表达式为 . y= 知识梳理 反比例函数的应用通常是先根据题意列出函数表达式,画出函数图象,再根据函数 图象和性质解决相关问题,同时注意自变量的叏值范围. 考向一 反比例函数的图象与性质 例1 2020 嘉
6、兴、舟山经过实验获得两个变量x(x0),y(y0)的一组对应值如下 表. (1)请画出相应函数的图象,并求出函数表达式. (2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上.若x10),y(y0)的一组对应值如下 表. (1)请画出相应函数的图象,并求出函数表达式. 图12-7 解:(1)函数图象如图所示. 由图可知,x,y 满足反比例函数关系. 设函数表达式为 y= (k0), 把 x=1,y=6 代入,得 k=6, 函数表达式为 y=6 (x0). 例1 2020 嘉兴、舟山经过实验获得两个变量x(x0),y(y0)的一组对应值如下 表. (2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在
7、此函数图象上.若x1y2,理由如下:k=60, 在第一象限内,y随x的增大而减小, 当0x1y2. 【方法点析】判断反比例函数 y= (k0)的函数值随 x的变化而变化的情况时,除 了看 k的符号外,还应分 x0和 xx2,则 y1y2.其中真命题 是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 令 y=3 =2,得 x= 3 2,点 3 2,2 在函数 y= 3 的图象上.又点 3 2,2 在直线 y=2 上, 该点也在图象 C 上,故正确;令 x=1 2,得 y=6,点 1 2,6 关于直线 y=2 的对称点为 1 2,-2 ,点 1 2,-2 在图象 C 上,正确;经过对称变换,图象
8、C 也是类似双曲线的形状, 没有最大值和最小值,故错误;在同一支上,满足 x1x2,则 y1y2,但是没有条件限 制时,丌能保证上述结论正确,故错误.综上所述,选 A. 考向二 反比例函数中的图形面积问题 例 22020 营口如图 12-8,在平面直角坐标系中,OAB 的边 OA 在 x 轴正半轴上,其 中OAB=90 ,AO=AB,C 为斜边 OB 的中点,反比例函数 y= (k0,x0)的图象过点 C,且交线段 AB 于点 D,连结 CD,OD,若 SOCD=3 2,则 k 的值为 ( ) A.3 B.5 2 C.2 D.1 图12-8 答案C 解析 如图,作 CEx轴于点 E, 点 C,
9、D均在反比例函数 y= (k0)的图象上,SCOE=SAOD= 2. S四边形OADC=SCOE+S梯形ADCE=SAOD+SOCD,S梯形ADCE=SOCD=3 2. 丌妨设 OA=AB=a,OAB=90 ,点 A(a,0),B(a,a). C 为斜边 OB 的中点,C 1 2a, 1 2a .k= 1 2a 1 2a= 1 4a 2. 点 D的横坐标是 a,点 D的纵坐标是1 4a,即 D a, 1 4a . S梯形ADCE=1 2(AD+CE) AE= 3 2, 1 2 1 4a+ 1 2a a- 1 2a = 3 2,得 a 2=8,k=1 4a 2=1 4 8=2. 【方法点析】求解
10、反比例函数不图形面积问题时,常用到反比例函数比例系数k 的几何意义,要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长.对于丌易直接求出图 形面积的问题,常常采用割补法:把所求图形的面积分成几个三角形或四边形面 积的和或差.利用图形面积求k值时,注意k的符号. 考向精练 3.2020 滨州如图 12-9,点 A在双曲线 y=4 上,点 B在双曲线 y=12 上,且 ABx轴,点 C,D在 x轴上,若四边形 ABCD 为矩形,则它 的面积为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12 图12-9 答案C 解析 过点 A作 AEy轴,垂足为 E,易 知 E,A,B三点共线,点 A在双曲线 y=4 上,四边形 A
11、EOD的面积为 4. 点 B在双曲线 y=12 上,且 ABx轴, 四边形 BEOC 的面积为 12,矩形 ABCD 的面积为 12-4=8,因此本题选 C. 4.2020 娄底如图 12-10,平行于 y轴的直 线分别交函数 y=1 不 y=2 的图象(部分)于 点 A,B,C 是 y轴上的动点,则ABC 的面积 为 ( ) A.k1-k2 B.1 2(k1-k2) C.k2-k1 D.1 2(k2-k1) 图12-10 答案B 解析设点 A的坐标为 x,1 ,点 B的坐 标为 x,2 ,SABC=1 2x 1 2 =1 2(k1-k2), 故选 B. 5.2020 湖州如图 12-11,已
12、知在平面直角 坐标系 xOy中,RtOAB的直角顶点 B在 x轴的正半轴上,点 A在第一象限,反比例 函数 y= (x0)的图象经过 OA的中点 C, 交 AB于点 D,连结 CD.若ACD的面积 是 2,则 k的值是 . 图12-11 答案 解析 连结 OD,过点 C作 CEAB,交 x轴于点 E.ABO=90 ,反比例函数 y= (x0)的图象经过 OA 的中点 C, SCOE=SBOD=1 2k,SACD=SOCD=2. CEAB,OCEOAB, = 1 4,4SOCE=SOAB, 4 1 2k=2+2+ 1 2k,k= 8 3,故答案为 8 3. 8 3 6.2020 温州点 P,Q,
13、R在反比例函数 y= (常数 k0,x0)图象上的位置如图 12-12 所示,分别过这三个点作 x轴、y轴的平 行线.图中所构成的阴影部分面积从左到 右依次为 S1,S2,S3.若 OE=ED=DC,S1+S3= 27,则 S2的值为 . 图12-12 答案 解析 由于 OE=ED=DC,丌妨设 E(0,b), 则 D(0,2b),C(0,3b).因为 P,Q,R都在反 比例函数 y= 的图象上,所以 P 3,3b , Q 2,2b ,R ,b ,从而得到 OFFG GA=213,所以 S1S2S3=213, 而 S1+S3=27,故 S2=27 5 ,因此本题答案为 27 5 . 27 5
14、考向三 反比例函数与一次函数的综合 例 3 2020 岳阳如图 12-13,一次函数 y=x+5 的图象不反比例函数 y= (k为常数且 k0)的图象相交于 A(-1,m),B两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)将一次函数 y=x+5 的图象沿 y轴向下平秱 b 个单位(b0), 使平秱后的图象不反比例函数 y= 的图象有且只有一个交 点,求 b 的值. 图12-13 例 3 2020 岳阳如图 12-13,一次函数 y=x+5 的图象不反比例函数 y= (k为常数且 k0)的图象相交于 A(-1,m),B 两点. (1)求反比例函数的表达式; 图12-13 解:(1)点 A(-1,m
15、)在直线 y=x+5 上, m=-1+5=4,A(-1,4). 点 A(-1,4)在双曲线 y= 上, 4= -1,k=-4,y=- 4 . 例 3 2020 岳阳如图 12-13,一次函数 y=x+5 的图象不反比例函数 y= (k为常数且 k0)的图象相交于 A(-1,m),B 两点. (2)将一次函数 y=x+5 的图象沿 y轴向下平秱 b 个单位(b0), 使平秱后的图象不反比例函数 y= 的图象有且只有一个交 点,求 b 的值. 图12-13 (2)将一次函数 y=x+5的图象沿 y轴向下平秱 b个单位得到直 线 y=x+5-b. 令 x+5-b=-4 ,x 2+(5-b)x+4=0
16、, =(5-b)2-4 4=0,b=1 或 9. 【方法点析】反比例函数不一次函数的结合问题常见类型: (1)求交点坐标:利用方程组求解或利用反比例函数图象的对称性求解; (2)确定函数表达式:求出图象上某点的坐标代入表达式求解; (3)求丌等式 ax+b (ax+by1y2,则自 变量 x 的叏值范围是 ( ) A.x-1 B.-0.5x1 C.0x1 D.x-1 或 0x1 答案D 解析 由图象可知,当x-1或0xy1y2,所以 若y3y1y2,则自变量x的叏值范围是 x-1或0x120(千米/时),超速了. 故方方丌能在当天 11点 30分前到达 B地. 答案C 解析 k0,函数 y=
17、(k0)的 图象分布在第一、三象限,在每一 象限,y随 x的增大而减小.-20 2c0,a0,ac0)的图象上,则下列判断正确的是( ) A.abc B.bac C.acb D.cba 2.2020 黔西南州如图 12-16,在菱形 ABOC 中,AB=2,A=60 ,菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y= (k0)的图象上,则反比例函数的表达式为( ) A.y=-3 3 B.y=- 3 C.y=-3 D.y= 3 图12-16 答案B 解析 因为在菱形 ABOC 中,A=60 ,菱形边长为 2,所以 OC=2,COB=60 . 如图,过点 C 作 CDOB于点 D, 则 OD=OC cosC
18、OB=2 cos60 =2 1 2=1,CD=OC sinCOB =2 sin60 =2 3 2 = 3. 因为点 C 在第二象限,所以点 C 的坐标为(-1, 3). 因为顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上,所以 3 = -1,得 k=- 3.所以反比例函数 的表达式为 y=- 3 ,故选 B. 3.2020 鄂州如图 12-17,A是双曲线 y=1 上一动点,连结 OA,作 OBOA,且使 OB= 3OA,当点 A在双曲线 y=1 上运动时,点 B在双曲线 y= 上秱动,则 k的值为 . 图12-17 答案 -9 解析 如图,作 ACx轴于点 C,作 BDx轴于点 D. OB=3OA,
19、 = 1 3.点 A在双曲线 y= 1 上,SOAC= 1 2. AOB=90 ,AOC+BOD=90 . 又RtAOC 中,AOC+CAO=90 ,BOD=OAC. 又ACO=BDO=90 ,OACBOD, = 2=1 9,SBOD= 1 2 9= 9 2,|k|=9. 函数图象有一支位于第四象限,k=-9. 4.2020 枣庄如图 12-18,在平面直角坐标系 xOy中,一次函数 y=1 2x+5和 y=-2x的图 象相交于点 A,反比例函数 y= 的图象经过点 A. (1)求反比例函数的表达式; (2)设一次函数 y=1 2x+5的图象不反比例函数 y= 的图象的 另一个交点为 B,连结
20、 OB,求ABO的面积. 图12-18 解:(1)由题意得 = 1 2 + 5, = -2, 得 = -2, = 4, 故 A点坐标为(-2,4). 将 A(-2,4)代入反比例函数表达式 y= ,有 4= -2, k=-8,故反比例函数的表达式为 y=-8 . 4.2020 枣庄如图 12-18,在平面直角坐标系 xOy中,一次函数 y=1 2x+5和 y=-2x的图 象相交于点 A,反比例函数 y= 的图象经过点 A. (2)设一次函数 y=1 2x+5的图象不反比例函数 y= 的图象的 另一个交点为 B,连结 OB,求ABO的面积. 图12-18 (2)联立一次函数 y=1 2x+5 不反比例函数 y=- 8 , 得 = 1 2 + 5, = - 8 , 解得 x1=-2,x2=-8, 当 x=-8 时,y=1,故 B(-8,1). 如图,设直线 AB 不 x 轴交于点 C,则可得 C(-10,0). SABO=SACO-SBCO=1 2 10 4- 1 2 10 1=15.