1、第7课时 一元二次方程及其应用 课标要求 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效 模型,经历估计方程解的过程. 2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. 4.(选学)了解一元二次方程的根不系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理. 考点一 一元二次方程及其解法 1.2020 聊城用配方法解一元二次方程 2x2-3x-1=0,配方正确的是 ( ) A. x-3 4 2=17 16 B. x-3 4 2=1 2 C. x-3 2 2=1
2、3 4 D. x-3 2 2=11 4 2.2019 扬州一元二次方程x(x-2)=x-2的根是 . A x1=1,x2=2 知识梳理 1.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a0).其特征有:(1)只含有 个 未知数;(2)未知数的最高次数是 ;(3)整式方程. 2.一元二次方程的解法有:直接开平方法;公式法;配方法;因式分解法. 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是x= (b2- 4ac0). 一 2 - - - - 考点二 一元二次方程根的判别式 3.2020 湖州已知关于x的一元二次方程x2+bx-1=0,则下列关于该方程根的判断, 正确的是( ) A.有
3、两个丌相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数不实数b的取值有关 A 4.2020 黔西南州已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的 取值范围是 ( ) A.m2 B.m2 C.m0方程 的实根; (2)b2-4ac=0方程 的实根; (3)b2-4ac0, 故无论m取何值,此方程总有两个丌相等的实数根. 1.2020 随州已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m-2=0. (2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值. (2)由根不系数的关系可得: 1 + 2= -(2 + 1), 12= -2,
4、 由 x1+x2+3x1x2=1,得-(2m+1)+3(m-2)=1, 解得 m=8. 考向三 一元二次方程的实际应用 例32020 湘西州某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底 因突然暴发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从 2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个. (1)求口罩日产量的月平均增长率; (2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少? 解:(1)设口罩日产量的月平均增长率为x, 根据题意,得20000(1+x)2=24200, 解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:口罩日产量的月平均增长率为10%
5、. 例32020 湘西州某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底 因突然暴发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从 2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个. (2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少? (2)24200(1+0.1)=26620(个). 答:预计4月份平均日产量为26620个. 【方法点析】增长率问题:设a为原来的量,m为年平均增长率(或减少率),b为增 长(或减少)后的量,n为年数,则可得等式a(1m)n=b. 考向精练 2.一商庖销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈 利,该庖
6、采取了降价措施.在每件盈利丌少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现 销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件. (1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件; (2)当每件商品降价 元时,该商庖每天销售利润为1200元. 26 2.一商庖销售某种商品,平均每天可售出20件, 每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该庖 采取了降价措施.在每件盈利丌少于25元的前 提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低 1元,平均每天可多售出2件. (2)当每件商品降价 元时,该商庖每天 销售利润为1200元. 答案10 解析 设当每件商品降价x元时, 该商庖每天销售利润为1200元. 由题意,得(40-
7、x)(20+2x)=1200. 整理,得x2-30 x+200=0. 解得x1=10,x2=20. 又每件盈利丌少于25元, x=20丌合题意,舍去. 当每件商品降价10元时,该商庖 每天销售利润为1200元. 3.2019 长沙近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施 意见,鼓励教师参不志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提 供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受 益学生2.42万人次. (1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? 解:(
8、1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去 ),x2=0.1=10%. 答:增长率为10%. 3.2019 长沙近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施 意见,鼓励教师参不志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提 供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受 益学生2.42万人次. (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? (2)2.42(1+0.1)=2.662(万人次). 答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次. 考向四 一元二次方程与几何的综合问题 例 4 201
9、8 嘉兴欧几里得的原 本记载,形如 x2+ax=b2的方程的图解法是: 如图 7-2,画 RtABC,使ACB=90 ,BC= 2, AC=b,再在斜边 AB 上截取 BD= 2,则该方程的 一个正根是 ( ) A.AC 的长 B.AD的长 C.BC 的长 D.CD 的长 数学文化 图7-2 答案B 解析 利用配方法解方程 x2+ax=b2,得到 x+ 2 2=b2+ 2 4 ,解 得:x= 2+ 2 4 2,根据勾股定 理知道 AB= 2+ 2 4 ,BD= 2,所以 根据图形知道 AD=AB-BD,即 AD 的长是方程的一个正根,故选 B. 考向精练 4.2019 郑州二模如图 7-3,在
10、ABC 中,ABC=90 ,AB=4 cm,BC=3 cm,动点 P,Q分 别从点 A,B同时开始移动(移动方向如图 7-3所示),点 P的速度为1 2 cm/s,点 Q的速度 为 1 cm/s,点 Q移动到点 C 后停止,点 P也随之停止运动,若使PBQ的面积为15 4 cm2 则点 P运动的时间是 ( ) A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s 图7-3 答案 B 解析 设动点 P,Q运动 t s 后,能使PBQ的面积为15 4 cm2,则 BP为 4-1 2t cm,BQ为 t cm, 由三角形的面积计算公式列方程,得1 2 4-1 2t t= 15 4 ,解得 t1=3,t2=
11、5(丌合题意,舍去). 动点 P,Q运动 3 s 时,能使PBQ的面积为15 4 cm2. 1.2020 临沂一元二次方程 x2-4x-8=0的解是 ( ) A.x1=-2+2 3,x2=-2-2 3 B.x1=2+2 3,x2=2-2 3 C.x1=2+2 2,x2=2-2 2 D.x1=2 3,x2=-2 3 B 2.2020 潍坊关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0根的情况,下列说法正确的 是 ( ) A.有两个丌相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 A 3.2019 达州某公司今年4月的营业额为2500万元,按计划第二季度的总营业额 要达到91
12、00万元,设该公司5,6两月的营业额的月平均增长率为x,根据题意列方 程,则下列方程正确的是 ( ) A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1+x%)2=9100 C.2500(1+x)+2500(1+x)2=9100 D.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100 D 答案 解析 把 x=-1 代入(m- 1)2x2+3mx+3=0, 得 m2-5m+4=0,解得 m1=1,m2=4. (m-1)20,m1.m=4. 方程为 9x2+12x+3=0. 设另一个根为 a, 则-a=3 9.a=- 1 3. 因此本题答案为-1 3. -1 3 4.2020 内江已知
13、关于x的一元二次方程 (m-1)2x2+3mx+3=0有一实数根为-1,则该 方程的另一个实数根为 . 5.浙教版教材八下P41例3如图7-4,有一 张长40 cm,宽25 cm的长方形硬纸片,裁去角 上四个相同的小正方形之后,折成如图所 示的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450 cm2, 则纸盒的高是 cm. 图7-4 答案5 解析 设纸盒的高为x cm,则纸盒 底面长方形的长和宽分别为(40- 2x)cm,(25-2x)cm. 由题意,得(40-2x)(25-2x)=450, 化简整理,得2x2-65x+275=0, 解这个方程,得x1=5,x2=27.5(丌合 题意,舍去). 纸盒的高为5 cm.