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江苏省镇江市丹阳市2020-2021学年九年级上期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年江苏省镇江市丹阳市九年级(上)期末数学试卷学年江苏省镇江市丹阳市九年级(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题共有一、填空题(本大题共有 12 小题,每小题小题,每小题 2 分,共计分,共计 24 分)分) 1已知,那么 2如图,DEBC,AEDE1,BC3,则线段 CE 的长为 3如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,ACD30,AD1,则 AB 4若圆锥的母线长为 8cm,其底面半径为 2cm,则圆锥的侧面积为 cm2(结果保留 ) 5已知 x1 是方程 x2+2mx30 的一个根,则 m 6一组数据 1、2、3、4、5 的方差是 7关于 x 的一元二次方程 x

2、22x+a0 有两不等实根,则 a 的取值范围是 8抛物线 yx22x+1 的顶点坐标是 9 把函数 yx2的图象先向左平移两个单位, 再向上平移一个单位, 则平移后的图象的函数表达式是 10已知二次函数 ya(x2) 2+c(a0) ,当自变量 x 分别取1、4、6 时,对应的函数值分别为 y1,y2, y3,则 y1,y2,y3的大小关系是 (用“”号连接) 11如图,在 RtABC 中,ACB90,AC6,BC8,以点 A 为圆心、AC 长为半径画弧,交 AB 于 点 D,再分别以 B、D 为圆心,大于BD 的长为半径画弧,两弧交于 M,N,作直线 MN,分别交 AB、 BC 于点 E、

3、F,则线段 EF 的长为 12若实数 m、n 满足 m+n2,则代数式 2m2+mn+mn 的最小值是 二、选择题(本大题共有二、选择题(本大题共有 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共计分,共计 18 分,在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题分,在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题 目要求目要求.) 13 (3 分)关于 x 的方程(m+1)x2+2mx30 是一元二次方程,则( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 14 (3 分)一枚质地均匀的普通骰子,抛掷 6 次没有 1 次点数 1 朝上,那么第 7 次抛掷,点数 1 朝上的概 率是( ) A B C1 D0 15 (3 分

4、)如图,AB 为O 的弦,点 C 为 AB 的中点,AB8,OC3,则O 的半径长为( ) A4 B5 C6 D7 16 (3 分)如图,已知ABCD,以 B 为位似中心,作ABCD 的位似图形EBFG,位似图形与原图形的位 似比为,连结 CG,DG若ABCD 的面积为 30,则CDG 的面积为( ) A3 B4 C5 D6 17 (3 分)二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a0)中的 x 与 y 的部分对应值如表: x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 则代数式(4a+2b+c)的值为( ) A B C9 D15 18 (3 分)如图,矩形 ABCD 中,AB4,BC2

5、,以点 A 为旋转中心将矩形 ABCD 旋转,旋转后的矩形 记为 AEFG,如图所示CD 所在直线与 AE、GF 交于点 H、I,CHIH则线段 HI 的长度为( ) A3 B2 C5 D 三、解答题(本大题共有三、解答题(本大题共有 10 小题,共计小题,共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19 (10 分)用适当的方法解方程: (1) (x1)29; (2)x2+4x50 20 (6 分)如图,转盘被等分成 6 个扇形,每个扇形上依次标有数字 1,2,3,4,5,6在游戏中特别规 定:当指针指向边界时,重新转

6、动转盘 (1)自由转动转盘,当它停止转动时,指针指向的数大于 3 的概率为 ; (2)请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘,指针指向的数的和大于 8”的概率 21 (6 分)小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支,他连续 7 个月估计了每个月的煤气使用数据,并记录如 表: 日期 6 月 1 日 7 月 1 日 8 月 1 日 9 月 1 日 10 月 1 日 11 月 1 日 12 月 1 日 使用量(方) 9.51 10.12 9.47 9.63 10.12 10.12 11.03 (1)求这 7 个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数; (2)若煤气每方 3 元,估计小强家一年的煤气

7、费为多少元 22 (6 分)如图是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙(足够长) ,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为 36m,设垂直于墙的一边长为 xm (1)若所围的面积为 160m2,求 x 的值? (2)求当 x 的值是多少时,所围成的鸡场面积最大,最大值是多少? 23 (6 分)已知直线 yx+3 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和 B,抛物线 yax2+bx+c 经过点 A 和 B,且抛物线 的对称轴为直线 x2 (1)抛物线与 x 轴的另一个交点 C 的坐标为 ; (2)试确定抛物线的解析式; (3)在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象(请用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗)

8、 ,观察图 象,写出二次函数值小于一次函数值的自变量 x 的取值范围 24 (6 分)如图,已知 AB 是O 的直径,点 C 在O 上,过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P,连接 AC,若 CACP,A30 (1)求证:CP 是O 的切线; (2)若 OA1,求弦 AC 的长 25 (8 分)如图,ABC 中,BD 平分ABC,E 为 BC 上一点,BDEBAD90 (1)求证:BD2BABE; (2)求证:CDECBD; (3)若 AB6,BE8,求 CD 的长 26 (8 分) 【发现】 如图(1) ,AB 为O 的一条弦,点 C 在弦 AB 所对的优弧上,根据圆周角性质,我们知道

9、ACB 的度数 (填“变”或“不变” ) ;若AOB150,则ACB 爱动脑筋的小明猜想,如果平面内 线段 AB 的长度已知,ACB 的大小确定,那么点 C 是不是在某一个确定的圆上运动呢? 【研究】 为了解决这个问题,小明先从一个特殊的例子开始研究如图(2) ,若 AB2,直线 AB 上方一点 C 满足ACB45,为了画出点 C 所在的圆,小明以 AB 为底边构造了一个等腰 RtAOB,再以 O 为圆 心,OA 为半径画圆,则点 C 在O 上请根据小明的思路在图(2)中完成作图(要求尺规作图,不写 作法,保留作图痕迹,并用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗) 后来,小明通过逆向思维及合情推理,得

10、出 一个一般性的结论, 即: 若线段 AB 的长度已知, ACB 的大小确定, 则点 C 一定在某一个确定的圆上, 即定弦定角必定圆,我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型 【应用】 (1)如图(3) ,AB2,平面内一点 C 满足ACB60,则ABC 面积的最大值为 (2)如图(4) ,已知正方形 ABCD,以 AB 为腰向正方形内部作等腰BAE,其中 BEBA,过点 E 作 EFAB 于点 F,点 P 是BEF 的内心 BPE ,BPA ; 连接 CP,若正方形 ABCD 的边长为 2,则 CP 的最小值为 27 (11 分)对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那

11、么称这两个三角形互为顺 相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似例如,如图(1) , CDECAB,且沿周界 CDEC 与 CABC 环绕的方向(同为逆时针方向)相同,因此CDE 和CAB 互为顺相似;如图(2) ,CDECBA,且沿周界 CDEC 与 CBAC 环绕的方向相反,因此CDE 和 CBA 互为逆相似 (1)根据以上材料填空: 如图(3) ,ABCD,则AOBCOD,它们互为 相似(填“顺”或“逆” ,下同) ; 如图(4) ,RtABC 中,ACB90,CDAB 于点 D,则ABC ,它们互为 相 似; 如图(5) ,若DABEBC90,并且 BD

12、CE 于点 F,则ABD ,它们互为 相 似; (2)如图(6) ,若AOBCOD,指出图中另外的一对相似三角形并说明理由,同时指出它们互为顺 相似还是互为逆相似; (3)如图(7) ,在 RtABC 中,C90,AC20,BC15,点 P 在ABC 的斜边上,且 AP16, 过点 P 画直线截ABC,使截得的一个三角形与ABC 相似,则满足的截线共有 条 28 (11 分)已知抛物线 C1:yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 左边) ,与 y 轴交于点 C,抛 物线 C2经过点 A,与 x 轴的另一个交点为 E(4,0) ,与 y 轴交于点 D(0,2) (1)求抛

13、物线 C2的解析式; (2)点 P(m,0)为线段 AB 上一动点(不与 A、B 重合) ,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 C1于点 M, 交抛物线 C2于点 N 请用含 m 的代数式分别表示点 M、N 的坐标; 设四边形 OMEN 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出当 S 的最大值以及此时 m 的值; 在点 P 移动的过程中,若 CMDN0,则 m 的值为 (3)如图(2) ,点 Q(0,n)为 y 轴上一动点(0n4) ,过点 Q 作 x 轴的平行线依次交两条抛物线于 点 R、S、T、U,则 TURS 2020-2021 学年江苏省镇江市丹阳市九年级(上)期末数学试

14、卷学年江苏省镇江市丹阳市九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共有一、填空题(本大题共有 12 小题,每小题小题,每小题 2 分,共计分,共计 24 分)分) 1已知,那么 1 【分析】直接利用已知进而变形,代入原式求出答案 【解答】解:, 3a2b, 1 故答案为:1 2如图,DEBC,AEDE1,BC3,则线段 CE 的长为 2 【分析】由平行线的性质可得ADEB,由 AEDE1,可得ADEDAE,易得DAEB, 可得 ACBC,易得结果 【解答】解:DEBC, ADEB, AEDE1, ADEDAE, DAEB,BC3, ACBC3, CEAC

15、AE312, 故答案为:2 3如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,ACD30,AD1,则 AB 2 【分析】根据圆周角定理得到ADB90,BACD30,然后利用含 30 度的直角三角形三边 的关系求解 【解答】解:AB 是O 的直径, ADB90, BACD30, AB2AD212 故答案为 2 4若圆锥的母线长为 8cm,其底面半径为 2cm,则圆锥的侧面积为 16 cm2(结果保留 ) 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2,把相应数值代入即可求解 【解答】解:圆锥的侧面积282216(cm2) 故答案为:16 5已知 x1 是方程 x2+2mx30 的一个根,则 m 1 【分析】根

16、据一元二次方程的解,把 x1 代入方程 x2+2mx30 得到关于 m 的一次方程,然后解此一 次方程即可 【解答】解:把 x1 代入 x2+2mx30 得 1+2m30,解得 m1 故答案为:1 6一组数据 1、2、3、4、5 的方差是 2 【分析】根据方差公式计算即可S2(x1 )2+(x2 )2+(xn )2 【解答】解: (1+2+3+4+5)53, S2(13)2+(23)2+(33)2+(43)2+(53)22 故填 2 7关于 x 的一元二次方程 x22x+a0 有两不等实根,则 a 的取值范围是 a1 【分析】根据根的判别式得到44a0,然后解不等式即可 【解答】解:根据题意得

17、44a0, 解得 a1 故答案为 a1 8抛物线 yx22x+1 的顶点坐标是 (1,0) 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式,确定顶点坐标即可 【解答】解:yx22x+1(x1)2, 抛物线顶点坐标为(1,0) 故答案为: (1,0) 9把函数 yx2的图象先向左平移两个单位,再向上平移一个单位,则平移后的图象的函数表达式是 y (x+2)2+1 【分析】利用“左加右减,上加下减”的规律求得即可 【解答】解:按照“左加右减,上加下减”的规律,yx2的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单 位得 y(x+2)2+1 故答案为 y(x+2)2+1 10已知二次函数 ya(x2)

18、 2+c(a0) ,当自变量 x 分别取1、4、6 时,对应的函数值分别为 y1,y2, y3,则 y1,y2,y3的大小关系是 y2y1y3 (用“”号连接) 【分析】 利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出 y1, y2, y3的值, 结合 a0, 即可得出 4a+c9a+c 16a+c,即 y2y1y3 【解答】解:当 x1 时,y1a(12)2+c9a+c; 当 x4 时,y2a(42)2+c4a+c; 当 x6 时,y3a(62)2+c16a+c a0, 4a+c9a+c16a+c, y2y1y3 故答案为:y2y1y3 11如图,在 RtABC 中,ACB90,AC6,BC8,以

19、点 A 为圆心、AC 长为半径画弧,交 AB 于 点 D,再分别以 B、D 为圆心,大于BD 的长为半径画弧,两弧交于 M,N,作直线 MN,分别交 AB、 BC 于点 E、F,则线段 EF 的长为 【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质,即可得到 BE 的长,再根据ABCFBE,即可 得到 EF 的长 【解答】解:RtABC 中,ACB90,AC6,BC8, 由勾股定理得,AB, 由题可得,ADAC6, BD1064, 由题可得,MN 垂直平分 BD, BE2,BEFACB90, 又BB, ABCFBE, , 即, 解得 EF, 故答案为: 12若实数 m、n 满足 m+n2,则代数

20、式 2m2+mn+mn 的最小值是 6 【分析】设 y2m2+mn+mn,由 m+n2 得 n2m,再由二次函数的性质即可解决问题 【解答】解:设 y2m2+mn+mn, m+n2, n2m, y2m2+m(2m)+m(2m)m2+4m2(m+2)26, 此为一个二次函数,开口向上,有最小值, 当 m2 时,y 有最小值为6, 故答案为:6 二、选择题(本大题共有二、选择题(本大题共有 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共计分,共计 18 分,在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题分,在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题 目要求目要求.) 13 (3 分)关于 x 的方程(m+1)x

21、2+2mx30 是一元二次方程,则( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】根据一元二次方程定义可得 m+10,再解可得答案 【解答】解:由题意得:m+10, 解得:m1, 故选:D 14 (3 分)一枚质地均匀的普通骰子,抛掷 6 次没有 1 次点数 1 朝上,那么第 7 次抛掷,点数 1 朝上的概 率是( ) A B C1 D0 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的普通骰子,朝上一面共有 6 种等可能结果,其中点数 1 朝上的只有 1 种结果,再利用概率公式求解即可得出答案 【解答】解:抛掷一枚质地均匀的普通骰子,朝上一面共有 6 种等可能结果,其中点数 1 朝上的只有 1 种结果, 第

22、7 次抛掷,点数 1 朝上的概率是, 故选:A 15 (3 分)如图,AB 为O 的弦,点 C 为 AB 的中点,AB8,OC3,则O 的半径长为( ) A4 B5 C6 D7 【分析】已知 AB 和 OC 的长,根据垂径定理可得,ACCB4,在 RtAOC 中,根据勾股定理可以求 出 OA 【解答】解:OCAB 于 C, ACCB, AB8, ACCB4, 在 RtAOC 中,OC3, 根据勾股定理, OA5 故选:B 16 (3 分)如图,已知ABCD,以 B 为位似中心,作ABCD 的位似图形EBFG,位似图形与原图形的位 似比为,连结 CG,DG若ABCD 的面积为 30,则CDG 的

23、面积为( ) A3 B4 C5 D6 【分析】连接 BG,根据位似变换的概念得到点 D、G、B 在同一条直线上,FGCD,根据相似三角形 的性质得到,根据三角形的面积公式计算,得到答案 【解答】解:连接 BG, ABCD 和EBFG 是以 B 为位似中心的位似图形, 点 D、G、B 在同一条直线上,FGCD, 四边形 ABCD 是平行四边形,面积为 30, CDB 的面积为 15, FGCD, BFGBCD, , , CDG 的面积155, 故选:C 17 (3 分)二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a0)中的 x 与 y 的部分对应值如表: x 1 0 1 3 y 1 3

24、 5 3 则代数式(4a+2b+c)的值为( ) A B C9 D15 【分析】 由当 x0 和 x3 时 y 值相等, 可得出二次函数图象的对称轴为直线 x, 进而可得出的 值,由 x1 时 y5,可得出当 x2 时 y5,即 4a+2b+c5,再将及 4a+2b+c5 代入 (4a+2b+c)中即可求出结论 【解答】解:当 x0 和 x3 时,y 值相等, 二次函数图象的对称轴为直线 x, 当 x1 时,y5, 当 x212 时,y5, 4a+2b+c5 (4a+2b+c)5 故选:B 18 (3 分)如图,矩形 ABCD 中,AB4,BC2,以点 A 为旋转中心将矩形 ABCD 旋转,旋

25、转后的矩形 记为 AEFG,如图所示CD 所在直线与 AE、GF 交于点 H、I,CHIH则线段 HI 的长度为( ) A3 B2 C5 D 【分析】由“HL”可证 RtAGIRtADI,可得GAIDAI,由余角的性质可得IAHAID,可 证 IHAH,通过证明ADICDA,可得,可求 DI1,即可求解 【解答】解:如图,连接 AI,AC, 以点 A 为旋转中心将矩形 ABCD 旋转,旋转后的矩形记为 AEFG, AGAD,GAEDAB90, 在 RtAGI 和 RtADI 中, , RtAGIRtADI(HL) , GAIDAI, 90GAI90DAI, IAHAID, IHAH, 又IHH

26、C, IHHCAH, IAC90, DAI+DAC90, 又DAC+DCA90, DAIDCA, 又ADIADC90, ADICDA, , , DI1, CIID+CD5, IHIC, 故选:D 三、解答题(本大题共有三、解答题(本大题共有 10 小题,共计小题,共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19 (10 分)用适当的方法解方程: (1) (x1)29; (2)x2+4x50 【分析】 (1)利用直接开平方法解方程; (2)利用因式分解法解方程 【解答】解: (1)x13, 所以 x14,x22; (2)

27、(x+5) (x1)0, x+50 或 x10, 所以 x15,x21 20 (6 分)如图,转盘被等分成 6 个扇形,每个扇形上依次标有数字 1,2,3,4,5,6在游戏中特别规 定:当指针指向边界时,重新转动转盘 (1)自由转动转盘,当它停止转动时,指针指向的数大于 3 的概率为 ; (2)请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘,指针指向的数的和大于 8”的概率 【分析】 (1)直接由概率公式求解即可; (2)画树状图,共有 36 个等可能的结果,两次转动转盘,指针指向的数的和大于 8”的结果有 10 个, 再由概率公式求解即可 【解答】解: (1)自由转动转盘,当它停止转动时,指

28、针指向的数大于 3 的概率为, 故答案为:; (2)画树状图如图: 共有 36 个等可能的结果,两次转动转盘,指针指向的数的和大于 8”的结果有 10 个, 两次转动转盘,指针指向的数的和大于 8”的概率为 21 (6 分)小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支,他连续 7 个月估计了每个月的煤气使用数据,并记录如 表: 日期 6 月 1 日 7 月 1 日 8 月 1 日 9 月 1 日 10 月 1 日 11 月 1 日 12 月 1 日 使用量(方) 9.51 10.12 9.47 9.63 10.12 10.12 11.03 (1)求这 7 个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数; (2)

29、若煤气每方 3 元,估计小强家一年的煤气费为多少元 【分析】 (1)将数据重新排列,再根据众数、中位数和平均数的定义求解即可; (2)用每方的费用乘以 12 个月,再乘以平均每月的使用量,据此可得答案 【解答】解: (1)将这 7 个数据重新排列为:9.47,9.51,9.63,10.12,10.12,10.12,11.03, 则 这7个 月 每 月 煤 气 使 用 量 的 众 数 为10.12方 , 中 位 数 为10.12方 , 平 均 数 为 10(方) ; (2)估计小强家一年的煤气费为 31210360(元) 22 (6 分)如图是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙(足够长) ,另外三面

30、用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为 36m,设垂直于墙的一边长为 xm (1)若所围的面积为 160m2,求 x 的值? (2)求当 x 的值是多少时,所围成的鸡场面积最大,最大值是多少? 【分析】 (1)若所围的面积为 160m2,则矩形的长宽160,据此列出方程并求解即可; (2)设长方形鸡场的面积为 S,由题意得 S 关于 x 的二次函数,根据二次函数的性质可得答案 【解答】解: (1)由题意得: x(362x)160, 解得:x18,x210, 0362x36, 0 x18, x 的值为 8 或 10 (2)设长方形鸡场的面积为 S,由题意得: Sx(362x) 2x2+36x 2(x9)2

31、+162, 20, 当 x9 时,S 取得最大值,最大值为 162 当 x 的值是 9 时,所围成的鸡场面积最大,最大值是 162m2, 23 (6 分)已知直线 yx+3 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和 B,抛物线 yax2+bx+c 经过点 A 和 B,且抛物线 的对称轴为直线 x2 (1)抛物线与 x 轴的另一个交点 C 的坐标为 (1,0) ; (2)试确定抛物线的解析式; (3)在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象(请用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗) ,观察图 象,写出二次函数值小于一次函数值的自变量 x 的取值范围 3x0 【分析】 (1)先求出点 B,点 A 坐标

32、,由对称性可求点 C 坐标; (2)利用待定系数法可求解析式; (3)由图象可求解 【解答】解: (1)直线 yx+3 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和 B, 点 A(3,0) ,点 B(0,3) , 抛物线的对称轴为直线 x2 点 C(1,0) , 故答案为(1,0) ; (2)抛物线 yax2+bx+c 经过点 A(3,0) ,B(0,3) ,点 C(1,0) , , , 二次函数的解析式为:yx2+4x+3; (3)如图所示: 当3x0 时,二次函数值小于一次函数值, 故答案为:3x0 24 (6 分)如图,已知 AB 是O 的直径,点 C 在O 上,过点 C 的直线与 AB 的延长

33、线交于点 P,连接 AC,若 CACP,A30 (1)求证:CP 是O 的切线; (2)若 OA1,求弦 AC 的长 【分析】 (1)连接 OC,由等腰三角形的性质得出AACO30,P30,求出ACP 的度数, 则可求出答案; (2)连接 BC,由勾股定理可求出答案 【解答】 (1)证明:连接 OC,如图 1, OAOC,A30, AACO30, CACP, AP30, ACP180AP1803030120, OCPACPACO1203090, OCCP, CP 是O 的切线; (2)解:如图 2,连接 BC, OAOB1, AB2, AB 是O 的直径, ACB90, A30, BCAB1,

34、 AC 25 (8 分)如图,ABC 中,BD 平分ABC,E 为 BC 上一点,BDEBAD90 (1)求证:BD2BABE; (2)求证:CDECBD; (3)若 AB6,BE8,求 CD 的长 【分析】 (1)直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案; (2)直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出DBEEDC,即可得出答案; (3)利用锐角三角函数关系得出ABDDBE30,进而得出答案 【解答】 (1)证明:BD 平分ABC, BADDBE, 又ABDE, BADBDE, , BD2BABE; (2)证明:BADBDE, ADBDEB, BDE90, DBE+BED90, A

35、DB+EDC90, DBEEDC, 又CC, CDECBD; (3)解:由(1)得:BD2BABE, AB6,BE8, BD26848, BD4, cosABD, ABD30, ABDDBC30, C30, CDBE, BDCD4 26 (8 分) 【发现】 如图(1) ,AB 为O 的一条弦,点 C 在弦 AB 所对的优弧上,根据圆周角性质,我们知道ACB 的度数 不变 (填“变”或“不变” ) ;若AOB150,则ACB 75 爱动脑筋的小明猜想,如果平 面内线段 AB 的长度已知,ACB 的大小确定,那么点 C 是不是在某一个确定的圆上运动呢? 【研究】 为了解决这个问题,小明先从一个特

36、殊的例子开始研究如图(2) ,若 AB2,直线 AB 上方一点 C 满足ACB45,为了画出点 C 所在的圆,小明以 AB 为底边构造了一个等腰 RtAOB,再以 O 为圆 心,OA 为半径画圆,则点 C 在O 上请根据小明的思路在图(2)中完成作图(要求尺规作图,不写 作法,保留作图痕迹,并用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗) 后来,小明通过逆向思维及合情推理,得出 一个一般性的结论, 即: 若线段 AB 的长度已知, ACB 的大小确定, 则点 C 一定在某一个确定的圆上, 即定弦定角必定圆,我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型 【应用】 (1)如图(3) ,AB2,平面内一点 C 满

37、足ACB60,则ABC 面积的最大值为 3 (2)如图(4) ,已知正方形 ABCD,以 AB 为腰向正方形内部作等腰BAE,其中 BEBA,过点 E 作 EFAB 于点 F,点 P 是BEF 的内心 BPE 135 ,BPA 135 ; 连接 CP,若正方形 ABCD 的边长为 2,则 CP 的最小值为 【分析】 【发现】根据题意,直接得出答案,利用圆周角定理求出ACB; 【研究】先作出 AB 的垂直平分线,再以垂足为圆心,AB 的一半为半径确定出圆心 O,即可得出结论; 【应用】 (1)先确定出ABC 的外接圆的半径,再判断出点 C 到 AB 的最大距离为 3,即可得出结论; (2)先确定

38、出BFE90,再判断出BEPBEF,EBPABE,最后用三角形的内角 和定理,即可得出结论; 先作出ABP 的外接圆,进而求出外接圆的半径,进而判断出 CP 最小时,点 P 的位置,最后构造直 角三角形,即可得出结论 【解答】解: 【发现】根据圆周角性质,ACB 的度数不变, AOB150, ACBAOB75, 故答案为:不变,75; 【研究】补全图形如图 1 所示, 【应用】 (1)如图 2, 记ABC 的外接圆的圆心为 O,连接 OA,OB, ACB60, AOB2ACB120, OAOB, OAB30, 过点 O 作 OHAB 于 H, AHAB, 在 RtAHO 中,设O 的半径为 2

39、r,则 OHr, 根据勾股定理得, (2r)2r23, r1(舍去负数) , OA2,OH1, 点 C 到 AB 的最大距离 h 为 r+OH2+13, SABC最大ABh233, 故答案为:3; (2)EFAB, EFB90, BEF+EBF90, 点 P 是BEF 的内心, PE,PF 分别是BEF 和EBF 的角平分线, BEPBEF,EBPABPABE, BPE180(BEP+EBP)180(BEF+EBF)18090135; 在BPE 和BPA 中, , BPEBPA(SAS) BPABPE135, 故答案为:135,135; 如图 3, 作ABP 的外接圆,圆心记作点 O,连接 O

40、A,OB,在优弧 AB 上取一点 Q,连接 AQ,BQ, 则四边形 APBQ 是O 的圆内接四边形, AQB180BPA45, AOB2AQB90, OAOBAB, 连接 OC,与O 相交于点 P此时,CP是 CP 的最小值, 过点 O 作 OMAB 于 M,ONCB,交 CB 的延长线于 N, 则四边形 OMBN 是正方形, ONBNBMAB1, CNBC+BN3, 在 RtONC 中,OC, CP的最小值CPOCOP, 故答案为: 27 (11 分)对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺 相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三

41、角形互为逆相似例如,如图(1) , CDECAB,且沿周界 CDEC 与 CABC 环绕的方向(同为逆时针方向)相同,因此CDE 和CAB 互为顺相似;如图(2) ,CDECBA,且沿周界 CDEC 与 CBAC 环绕的方向相反,因此CDE 和 CBA 互为逆相似 (1)根据以上材料填空: 如图(3) ,ABCD,则AOBCOD,它们互为 逆 相似(填“顺”或“逆” ,下同) ; 如图(4) ,RtABC 中,ACB90,CDAB 于点 D,则ABC ACD(或CBD) ,它 们互为 逆 相似; 如图(5) ,若DABEBC90,并且 BDCE 于点 F,则ABD BCE ,它们互为 顺 相似

42、; (2)如图(6) ,若AOBCOD,指出图中另外的一对相似三角形并说明理由,同时指出它们互为顺 相似还是互为逆相似; (3)如图(7) ,在 RtABC 中,C90,AC20,BC15,点 P 在ABC 的斜边上,且 AP16, 过点 P 画直线截ABC,使截得的一个三角形与ABC 相似,则满足的截线共有 3 条 【分析】 (1)根据新定义直接判断,即可得出结论; 先判断出ADCBDC90ACB,进而分两种情况,判断出两三角形相似,最后根据新定义 判断,即可得出结论; 先判断出ABDC,进而得出ABDBCE,最后用新定义判断,即可得出结论; (2)先由AOBCOD,判断出,AOBCOD,进

43、而得出AOCBOD,即可得出 结论; (3)先求出 BP9,分三种情况,过点 P 作 AB,AC,BC 的垂线,利用相似三角形得出比例式,建立 方程求解,即可得出结论 【解答】解: (1)ABCD, AOBCOD, AOB 和COD 互为逆相似, 故答案为:逆; CDAB, ADCBDC90ACB, 、AA, ABCACD, ABC 和ACD 互为逆相似; 、BB, ABCCBD, ABC 和CBD 互为逆相似; 故答案为:ACD(或CBD) ,逆; BDCE, BFC90, CBD+C90, EBC90, CBD+ABD90, ABDC, ABDBCE, ABD 和BCE 互为顺相似; 【注

44、:、当ABDFCB 时,ABD 和FCB 互为逆相似; 、当ABDFBE 时,ABD 和FBE 互为逆相似; 】 故答案为:BCE,顺; (2)AOCBOD,AOC 和BOD 互为逆相似; 理由:AOBCOD, ,AOBCOD, AOBBOCCODBOC, AOCBOD, , , AOCBOD, AOC 和BOD 互为逆相似; (3)在 RtABC 中,AC20,BC15,根据勾股定理得,AB25, AP16, BPABAP9, 如图 1, 过点 P 作 PGBC 于 G, BGP90ACB, BB, ABCPBG, , , BGBC, 点 G 在线段 BC(不包括端点)上, 过点 P 作 P

45、GAC 于 G, AGPACB, AA, ABCAPG, , , AGAC, 点 G在线段 AC(不包括端点)上, 过点 P 作 PGAB,交直线 BC 与 G,交直线 AC 于 H, APGAPH90ACB, AA, ABCGBP, , , BG15BC, 点 G和点 H 都和点 C 重合(注:为了说明问题,有意将点 G和点 H 没画在点 C 处) , 故答案为:3 28 (11 分)已知抛物线 C1:yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 左边) ,与 y 轴交于点 C,抛 物线 C2经过点 A,与 x 轴的另一个交点为 E(4,0) ,与 y 轴交于点 D(0,2)

46、 (1)求抛物线 C2的解析式; (2)点 P(m,0)为线段 AB 上一动点(不与 A、B 重合) ,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 C1于点 M, 交抛物线 C2于点 N 请用含 m 的代数式分别表示点 M、N 的坐标; 设四边形 OMEN 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出当 S 的最大值以及此时 m 的值; 在点 P 移动的过程中,若 CMDN0,则 m 的值为 1 或 (3)如图(2) ,点 Q(0,n)为 y 轴上一动点(0n4) ,过点 Q 作 x 轴的平行线依次交两条抛物线于 点 R、S、T、U,则 TURS 1 【分析】 (1)令抛物线 l1:y0,可

47、求得点 A 和点 B 的坐标,然后设设抛物线 l2的解析式为 ya(x+1) (x4) ,将点 D 的坐标代入可求得 a 的值,从而得到抛物线的解析式 (2)利用待定系数法可得,M(m,m2+2M+3) ,N(M,m2m2) 由点 A 和点 B 的坐标可求得 AB 的长,依据 SAMBNABMN 列出 S 与 x 的函数关系,从而可得到当 S 有最大值时,m 的值,于是可得结论 CM 与 DN 不平行时,可证明四边形 CDNM 为等腰梯形,然后可证明 GMHN,列出关于 m 的方程, 于是可求得点 P 的坐标;当 CMDN 时,四边形 CDNM 为平行四边形故此 DCMN5,从而得到关 于 m 的方程,从而可得结论 (3)设 S,T 的横坐标分别为 x1,x2,设 R,U 的横坐标分别为 x3,x4利用根与系数的关系解决问题 即可 【解答】解: (1)令x2+2x+30,解得:x11,x23, A(1,0) ,B(3,0) , 设抛物线 l2的解析式为 ya(x+1) (x4) , 将 D(0,2)代入得:4a2, a, 抛物线的解析式为 yx2x2 (2)由题意 P(m