北京市昌平区2020-2021学年八年级上期末考试数学试卷（含答案解析）

1、2020-2021 学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意 的的. 116 的算术平方根是（ ） A4 B4 C D 2如图，ABC 中，B55，D 是 BC 延长线上一点，且ACD130，则A 的度数是（ ） A50 B65 C75 D85 3 （唐）元稹长庆集十五景中秋诗： “帘断萤火人，窗明蝙蝠飞”蝙蝠省称“蝠” ，因“蝠”与“福” 谐音，人们以蝠表示福气

2、，福禄寿喜等祥瑞，民间绘画中画五只蝙蝠，意为五福临门 下列图案蝙 蝠纹样是轴对称图形的是（ ） A B C D 4如果一个三角形的三边长分别为 5，8，a那么 a 的值可能是（ ） A2 B9 C13 D15 5下列各式是最简二次根式的是（ ） A B C D 6下列事件中，属于必然事件的是（ ） A小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签 B掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零 C打开“学习强国 APP” ，正在播放歌曲让爱暖人间 D用长度分别是 3cm，4cm，8cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 7根据下列表格信息，y 可能为（ ） x 2 1 0 1 2 y 0

3、 * * 无意义 * A B C D 8如图，ABC 是等边三角形，D 是线段 BC 上一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AD，点 E，F 分别在线 段 AB， AC 的延长线上， 且 DEDFAD， 点 D 从 B 运动到 C 的过程中， BED 周长的变化规律是 （ ） A不变 B一直变小 C先变大后变小 D先变小后变大 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10计算： 11如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合） 只需添加一个条件即可证明

4、ABD ACD，这个条件可以是 （写出一个即可） 12请写出一个比小的正整数 13口袋里有 3 个红球、2 个白球、5 个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到白球的可能性 的大小是 14如图，点 C 在AOB 的平分线上，CDOA 于点 D，且 CD2，如果 E 是射线 OB 上一点，那么 CE 长度的最小值是 15已知等腰三角形的一个内角为 40，则这个等腰三角形的顶角为 16如图，ABC 中，ABBC，点 D 在线段 BC 上（不与点 B，C 重合） 作法如下： 连接 AD，作 AD 的垂直平分线分别交直线 AB，AC 于点 P，Q，连接 DP，DQ，则APQDPQ； 过点 D

5、作 AC 的平行线交 AB 于点 P，在线段 AC 上截取 AQ，使 AQDP，连接 PQ，DQ，则APQ DQP； 过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 P，过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，连接 PQ，则APQ DQP； 过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，在直线 AB 上取一点 P，连接 DP，使 DPAQ，连接 PQ，则 APQDPQ 以上说法一定成立的是 （填写正确的序号） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 12 道小题，第道小题，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28

6、 题，每小题，每小 题题 5 分，共分，共 68 分） 。分） 。 17 （5 分）计算：+|1| 18 （5 分）计算： 19 （5 分）解方程：+1 20 （5 分）已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，ADBE，ACEF，CF求证：BCDF 21 （5 分）已知：x2+x40，求代数式（）的值 22 （5 分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形 （1）在图 1 中计算格点三角形 ABC 的面积是 ； （每个小正方形的边长为 1） （2）ABC 是格点三角形 在图 2 中画出一个与ABC 全等且有一条公共边 BC 的格点三角形； 在图 3 中

7、画出一个与ABC 全等且有一个公共点 A 的格点三角形 23 （6 分）已知：如图，MON 为锐角，点 A 在射线 OM 上求作：射线 AC，使得 ACON 小静的作图思路如下： 以点 A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线 ON 于点 B，连接 AB； 作MAB 的角平分线 AC 射线 AC 即为所求的射线 （1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：OAAB， OABO（ ） MAB 是AOB 的一个外角， MAB + ABOMAB AC 平分MAB， BACMAB ABOBAC ACON（ ） 24 （6 分）列方程解应用题 为了提高学

8、生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于 1 小时”的文件精神，某 校开展了“阳光体育天天跑活动” ，初中男生、女生分别进行 1000 米和 800 米的计时跑步，在一次计时 跑步中， 某班一名女生和一名男生的平均速度相同， 且这名女生跑完 800米所用时间比这名男生跑完 1000 米所用时间少 56 秒，求这名女生跑完 800 米所用时间是多少秒 25 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC2，BAC120，ADBC 于点 D，延长 AD 至点 E，使 DE AD，连接 BE 和 CE （1）补全图形； （2）若点 F 是 AC 的中点，请在 BC 上找一点 P 使 AP+

9、FP 的值最小，并求出最小值 26 （6 分）阅读理解 材料 1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几 个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：1+1 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和 例如：1+ 1+ 材料 2：为了研究字母 x 和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0.25 0. 0.5 1 无意义 1 0.5 0. 0.25 请根据上述材料完成下列问题： （1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式： ； ； （2）当 x0 时，随着 x

10、的增大，分式的值 （增大或减小） ； （3）当 x1 时，随着 x 的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由 27 （7 分）在ABC 中，ABAC，BAC90 （1）如图 1，点 P，Q 在线段 BC 上，APAQ，BAP15，求AQB 的度数； （2） 点 P， Q 在线段 BC 上 （不与点 B， C 重合） ， APAQ， 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， 连接 AM， PM 依题意将图 2 补全； 用等式表示线段 BP，AP，PC 之间的数量关系，并证明 28 （7 分）定义：点 P 是ABC 内部的一点，若经过点 P 和ABC 中的一个顶点的直线把ABC 平

11、分成两 个面积相等的图形，则称点 P 是ABC 关于这个顶点的均分点，例如图 1 中，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点 （1）下列图形中，点 D 一定是ABC 关于顶点 B 的均分点的是 ； （填序号） （2）在ABC 中，BC2，ABAC 且 ABBC，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点，且BP2， 直接写出BPC 的范围； （3）如图 2，在ABC 中，BAC90，BC10，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点，直线 AP 与 BC 交于点 D，当 BPAD 时，BP4，求 CP 的长 2020-2021 学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷学年北京市昌平区八年级（上

12、）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意 的的. 116 的算术平方根是（ ） A4 B4 C D 【分析】根据乘方运算，可得一个正数的算术平方根 【解答】解：由 4216，得 4，故 B 符合题意， 故选：B 2如图，ABC 中，B55，D 是 BC 延长线上一点，且ACD130，则A 的度数是（ ） A50 B65 C75 D85 【分析】根据三角形的外角性质列式计算，得到答案 【解答】

13、解：ACD 是ABC 的一个外角， ACDA+B， AACDB1305575， 故选：C 3 （唐）元稹长庆集十五景中秋诗： “帘断萤火人，窗明蝙蝠飞”蝙蝠省称“蝠” ，因“蝠”与“福” 谐音，人们以蝠表示福气，福禄寿喜等祥瑞，民间绘画中画五只蝙蝠，意为五福临门 下列图案蝙 蝠纹样是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可 【解答】解：A、可以看作轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 4如果一个三角形的三边长分别为 5，8，a那么 a

14、的值可能是（ ） A2 B9 C13 D15 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 3a13 9 在第三边长的取值范围内 故选：B 5下列各式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可 【解答】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D 6下列事件中，属于必然事件的是（ ） A小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签 B掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零 C打开“学习强国 APP” ，

15、正在播放歌曲让爱暖人间 D用长度分别是 3cm，4cm，8cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 【分析】 必然事件就是一定发生的事件， 即发生的概率是 1 的事件； 公理， 定理以及推论都是必然事件 【解答】解：A、小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签是随机事件； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件； C、打开“学习强国 APP” ，正在播放歌曲让爱暖人间是随机事件； D、用长度分别是 3cm，4cm，8cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形是不可能事件 故选：B 7根据下列表格信息，y 可能为（ ） x 2 1 0 1 2 y 0 * * 无意义

16、 * A B C D 【分析】根据分式有意义的条件、分式为 0 是条件解答 【解答】解：当 x1 时，分式无意义， 分式的分母可能是 x1， 当 x2 时，分式为 0， 分式的分母可能是 x+2， 分式可能是， 故选：A 8如图，ABC 是等边三角形，D 是线段 BC 上一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AD，点 E，F 分别在线 段 AB， AC 的延长线上， 且 DEDFAD， 点 D 从 B 运动到 C 的过程中， BED 周长的变化规律是 （ ） A不变 B一直变小 C先变大后变小 D先变小后变大 【分析】由“AAS”可证BEDCDF，由全等三角形的性质可得 BDCF，BECD，可

17、得BED 周 长BD+BE+DEBD+CD+ADBC+AD，即可求解 【解答】解：ADDEDF， DAEDEA，DAFDFA， DAE+DAFBAC60， DEA+DFA60， ABCDEA+EDB60， EDBDFA， ACBCFD+CDF60， CDFBED，且EDBDFA，DEDF， BDECFD（AAS） ， BDCF，BECD， BED 周长BD+BE+DEBD+CD+ADBC+AD， 点 D 在 BC 边上从 B 至 C 的运动过程中， AD 的长先变小后变大， BED 周长先变小后变大， 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共

18、分，共 16 分）分） 9若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可求解 【解答】解：根据题意得 x30， 解得 x3 故答案为：x3 10计算： 【分析】根据分式的除法法则即可求出答案 【解答】解：原式 （a+3） ， 故答案为： 11如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合） 只需添加一个条件即可证明ABD ACD，这个条件可以是 BDCD （写出一个即可） 【分析】由题意可得ABCACD，ABAC，即添加一组边对应相等，可证ABD 与ACD 全等 【解答】解：ABAC， ABDACD， 添加 BDC

19、D， 在ABD 与ACD 中 ， ABDACD（SAS） ， 故答案为：BDCD 12请写出一个比小的正整数 答案不唯一；例如：3 【分析】直接利用估算无理数的方法得出一个符合题意的答案 【解答】解：写出一个比小的正整数：答案不唯一；例如 3 故答案为：答案不唯一；例如 3 13口袋里有 3 个红球、2 个白球、5 个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸出一个球，摸到白球的可能性 的大小是 【分析】直接利用白球个数除以总数得出答案 【解答】解：口袋里有 3 个红球、2 个白球、5 个黄球，共有 10 个球， 摸到白球的可能性的大小是 故答案为： 14如图，点 C 在AOB 的平分线上，CDOA 于

20、点 D，且 CD2，如果 E 是射线 OB 上一点，那么 CE 长度的最小值是 2 【分析】过点 C 作 CEOB 于点 E，根据角平分线的性质解答即可 【解答】解：过点 C 作 CEOB 于点 E， 点 C 在AOB 的平分线上，CDOA 于点 D，且 CD2， CECD2， 即 CE 长度的最小值是 2， 故答案为：2 15已知等腰三角形的一个内角为 40，则这个等腰三角形的顶角为 40或 100 【分析】首先知有两种情况（顶角是 40和底角是 40时） ，由等边对等角求出底角的度数，用三角形 的内角和定理即可求出顶角的度数 【解答】解：ABC，ABAC 有两种情况： （1）顶角A40，

21、（2）当底角是 40时， ABAC， BC40， A+B+C180， A1804040100， 这个等腰三角形的顶角为 40和 100 故答案为：40或 100 16如图，ABC 中，ABBC，点 D 在线段 BC 上（不与点 B，C 重合） 作法如下： 连接 AD，作 AD 的垂直平分线分别交直线 AB，AC 于点 P，Q，连接 DP，DQ，则APQDPQ； 过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 P，在线段 AC 上截取 AQ，使 AQDP，连接 PQ，DQ，则APQ DQP； 过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 P，过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，连接 PQ，

22、则APQ DQP； 过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，在直线 AB 上取一点 P，连接 DP，使 DPAQ，连接 PQ，则 APQDPQ 以上说法一定成立的是 （填写正确的序号） 【分析】利用全等三角形的判定方法一一判断即可 【解答】解：如图 1 中， PQ 垂直平分线段 AD， PAPD，QAQD， 在APQ 和DPQ 中， ， APQDPQ（SSS） ，故正确 如图 2 中， PDAC， AQPDPQ， 在APQ 和DPQ 中， ， APQDPQ（SAS） ，故正确 如图 3 中， PDAC， AQPDPQ， DQAP， APQDQP， 在APQ 和DPQ 中， APQDPQ

23、（ASA） ，故正确 如图 4 中，当四边形 AQDP 是等腰梯形时，APQ 与DPQ 不全等，当四边形 AQDP 是平行四边形 时，APQDPQ，故错误 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 12 道小题，第道小题，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题，每小 题题 5 分，共分，共 68 分） 。分） 。 17 （5 分）计算：+|1| 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简进而得出答案 【解答】解：原式 18 （5 分）计算： 【分析】先通分，再计算加减，最后约分即可 【解答】解：

24、原式 19 （5 分）解方程：+1 【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解 【解答】解：方程变形得：1， 去分母得：2x3x2， 解得：x1， 经检验：x1 是原方程的解 20 （5 分）已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，ADBE，ACEF，CF求证：BCDF 【分析】由已知得出 ABED，由平行线的性质得出AE，由 AAS 证明ABCEDF，即可得出 结论 【解答】证明：ADBE， ADBDBEBD， ABED， ACEF， AE， 在ABC 和EDF 中， ABCEDF（AAS） ， BCDF 21 （5 分）已知

25、：x2+x40，求代数式（）的值 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出 x2+x4，代入计算即可 【解答】解：原式 ， x2+x40， x2+x4， 把 x2+x4 代入，原式 22 （5 分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形 （1）在图 1 中计算格点三角形 ABC 的面积是 6 ； （每个小正方形的边长为 1） （2）ABC 是格点三角形 在图 2 中画出一个与ABC 全等且有一条公共边 BC 的格点三角形； 在图 3 中画出一个与ABC 全等且有一个公共点 A 的格点三角形 【分析】 （1）利用分割法求解即可

26、（2）根据三角形的判定，画出图形即可 （3）利用旋转法画出图形即可 【解答】解： （1）如图 1 中，SABC353315226， 故答案为：6 （2）如图 2 中，BCD 即为所求作（答案不唯一） 如图 3 中，AFE 即为所求作（答案不唯一） 23 （6 分）已知：如图，MON 为锐角，点 A 在射线 OM 上求作：射线 AC，使得 ACON 小静的作图思路如下： 以点 A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线 ON 于点 B，连接 AB； 作MAB 的角平分线 AC 射线 AC 即为所求的射线 （1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：

27、OAAB， OABO（ 等边对等角 ） MAB 是AOB 的一个外角， MAB O + ABO ABOMAB AC 平分MAB， BACMAB ABOBAC ACON（ 内错角相等，两直线平行 ） 【分析】 （1）根据小静的作图思路即可补全图形； （2）根据平行线的判定与性质即可完成证明 【解答】解： （1）补全的图形如下： （2）证明：OAAB， OABO （等边对等角） MAB 是AOB 的一个外角， MABO+ABO ABOMAB AC 平分MAB， BACMAB ABOBAC ACON （内错角相等，两直线平行） 故答案为：等边对等角；O，ABO；内错角相等，两直线平行 24 （6 分

28、）列方程解应用题 为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于 1 小时”的文件精神，某 校开展了“阳光体育天天跑活动” ，初中男生、女生分别进行 1000 米和 800 米的计时跑步，在一次计时 跑步中， 某班一名女生和一名男生的平均速度相同， 且这名女生跑完 800米所用时间比这名男生跑完 1000 米所用时间少 56 秒，求这名女生跑完 800 米所用时间是多少秒 【分析】设这名女生跑完 800 米所用时间为 x 秒，则这名男生跑完 1000 米所用时间（x+56）秒，根据平 均速度路程时间结合这名女生和男生的平均速度相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验

29、后 即可得出结论 【解答】解：设这名女生跑完 800 米所用时间为 x 秒，则这名男生跑完 1000 米所用时间（x+56）秒， 根据题意得：， 解得：x224， 经检验，x224 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义 答：这名女生跑完 800 米所用时间是 224 秒 25 （6 分）如图，在ABC 中，ABAC2，BAC120，ADBC 于点 D，延长 AD 至点 E，使 DE AD，连接 BE 和 CE （1）补全图形； （2）若点 F 是 AC 的中点，请在 BC 上找一点 P 使 AP+FP 的值最小，并求出最小值 【分析】 （1）根据要求画出图形即可 （2）连接 EF 交 BC

30、于点 P，此时 AP+FP 的值最小，求出 EF 的值即可 【解答】解： （1）补全图形如下： （2）连接 EF 交 BC 于点 P，此时 AP+FP 的值最小 DEAD，ADBC， BC 为 AE 的垂直平分线 CACE2，APEP， AP+FPEP+PF， ABAC，ADBC，BAC120， BADCAD60， ACE 为等边三角形， 点 F 是 AC 的中点， EFAC，AFCF1， 在 RtCEF 中，CFE90，CF1，EC2， EF AP+FP 的最小值为 26 （6 分）阅读理解 材料 1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几 个分母

31、求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：1+1 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和 例如：1+ 1+ 材料 2：为了研究字母 x 和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0.25 0. 0.5 1 无意义 1 0.5 0. 0.25 请根据上述材料完成下列问题： （1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式： 1+ ； 1+ ； （2）当 x0 时，随着 x 的增大，分式的值 减小 （增大或减小） ； （3）当 x1 时，随着 x 的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由 【分析】 （

32、1）先变形得出+，再求出答案即可； （2）分别求出 x2，x3，x4 时，的值，再比较大小即可； （3）得出原式2+，再求出答案即可 【解答】解： （1）1+，1+， 故答案为：1+，1+； （2）当 x2 时，2， 当 x3 时， 当 x4 时， ， 2， 当 x 增大时，的值越来越小， 故答案为：减小； （3）2， 理由如下： ， 随着 x 的值的增大，的值逐渐减小， 随着 x 的值的增大，的值无限趋近于 2 27 （7 分）在ABC 中，ABAC，BAC90 （1）如图 1，点 P，Q 在线段 BC 上，APAQ，BAP15，求AQB 的度数； （2） 点 P， Q 在线段 BC 上 （

33、不与点 B， C 重合） ， APAQ， 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， 连接 AM， PM 依题意将图 2 补全； 用等式表示线段 BP，AP，PC 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）先利用等腰直角三角形的性质求出B45，再利用三角形外角的性质求出APC，即可 得出结论； （2）利用对称性直接画出图形， 先判断出APBAQC，得出BAPCAQ，进而判断出BAPCAM，即可判断出PAM 90，再判断出 APAM，即可得出结论 【解答】解： （1）在ABC 中，ABAC，BAC90， BC45， APQ 是ABC 的一个外角， APQB+BAP， BAP15， APQ60， AP

34、AQ， APQAQB60 （2）图形如图 2 所示 解：结论：PC2+BP22AP2 理由：连接 MC ABAC，BAC90， BACB45， APAQ， APQAQP， BAPCAQ， ABPACQ（SAS） ， BPCQ， 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， AQAM，CQCM，CAMCAQ，ACMACQ45， APAM，BACM45，BAPCAM，BPCM， BACPAM90， 在 RtAPM 中，APAM，PAM90， PM， ACQACM45， PCM90， 在 RtPCM 中，PCM90， PC2+CM2PM2， PC2+BP22AP2 28 （7 分）定义：点 P 是ABC

35、 内部的一点，若经过点 P 和ABC 中的一个顶点的直线把ABC 平分成两 个面积相等的图形，则称点 P 是ABC 关于这个顶点的均分点，例如图 1 中，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点 （1）下列图形中，点 D 一定是ABC 关于顶点 B 的均分点的是 ； （填序号） （2）在ABC 中，BC2，ABAC 且 ABBC，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点，且BP2， 直接写出BPC 的范围； （3）如图 2，在ABC 中，BAC90，BC10，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点，直线 AP 与 BC 交于点 D，当 BPAD 时，BP4，求 CP 的长 【分析】 （1）根

36、据给出的新定义均分点直接判断即可； （2）由等腰直角三角形的性质及 30 度直角三角形的性质可得出答案； （3）过 C 点作 CEAP，交直线 AP 于点 E证明BPDCDE（AAS） 由全等三角形的性质得出 PD DE，PBCE4，由勾股定理可得出答案 【解答】解： （1）在图中， BAECAE， 点 D 不一定是ABC 关于顶点 B 的均分点； 在图中， BECE， 点 D 一定是ABC 关于顶点 A 的均分点，但点 D 不一定是ABC 关于顶点 B 的均分点 在中， ABECBE，ABBC， 点 D 不一定是ABC 关于顶点 B 的均分点； AECE， 点 D 一定是ABC 关于顶点 B

37、 的均分点 故答案为： （2）60BPC90 如图 1，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点， ABAC，点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点， BDCD， ADBC， BC2， BD1， 当BED45时，BE，当BFD30时，BF2BD2， 点 P 在 AD 上运动，且BP2， 60BPC90 （3）解：如图 2，过 C 点作 CEAP，交直线 AP 于点 E 点 P 是ABC 关于顶点 A 的均分点，BC10， BDCD5 在 RtBPD 中， BPD90， BP2+PD2BD2 BP4，BD5， PD3 BPAP，CEAP， BPDCED90 BDPCDE， BPDCDE（AAS） PDDE，PBCE4 PE2PD6 在 RtPEC 中， PEC90， PE2+CE2CP2 CP