1、2020-2021 学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1一元二次方程 x2+2x0 的解是（ ） Ax1x22 Bx12，x20 Cx12，x20 Dx12，x22 2下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D正四棱锥 3在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块” ，3 张“梅花” ，1 张“红桃” ，将这
2、6 张牌背面朝上，从中任意抽取 1 张，是“梅花”的概率为（ ） A B C D 4若反比例函数 y的图象分布在第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 5国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区 2017 年底有贫困人口 10 万 人，通过社会各界的努力2019 年底贫困人口减少至 1 万人设 2017 年底至 2019 年底该地区贫困人口 的年平均下降率为 x根据题意列方程得（ ） A10（12x）1 B10（1x）21 C10（1+2x）1 D10（1+x）21 6下列命题中，正确的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互
3、相垂直的四边形是菱形 C平行四边形的对角线平分且相等 D顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 7 如图， 已知AOB 与A1OB1是以点 O 为位似中心的位似图形 且相似比为 1： 2， 点 B 的坐标为 （2， 4） ，则点 B1的坐标为（ ） A （4，8） B （2，4） C （1，8） D （8，4） 8若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck且 k1 Dk且 k1 9如图，菱形 ABCD菱形 AEFG，菱形 AEFG 的顶点 G 在菱形 ABCD 的 BC 边上运动，GF 与 AB 相交于 点 H，E60，若 CG
4、3，AH7，则菱形 ABCD 的边长为（ ） A8 B9 C D 10二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中正确的有 abc0；b24ac0；2ab；（a+c）2b2；a2b+4c0 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 如图所示， 某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度， 已知标杆 BE 高为 1.5m， 测得 AB3m， AC10m，则建筑物 CD 的高是 m 12将抛物线 y2x2+5 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，
5、所得到的抛物线为 13已知 a，b 为有理数，如果规定一种新的运算“” ，规定：ab3b5a，例如：123251 651，计算： （23）5 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，OA5，tanCOA若反比例函数 y （k0，x0）经过点 C，则 k 的值等于 15如图，矩形 ABCD 中，AEAD，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF FD3，则 BC 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分
6、，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16计算： （） 12tan45+4sin602 17化简分式（+），并在 2，3，4，5 这四个数中取一个合适的数作为 a 的值代入 求值 18在刚刚结束的“东门 68 小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则如下：在 不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球， 则获得 1 份奖品，若摸到黑球，则没有奖品 （1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得奖品的概率为 ； （2）
7、如果小明有两次摸球机会 （摸出后不放回） ，求小明获得 2 份奖品的概率 （请用 “画树状图”或 “列 表”等方法写出分析过程） 19如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图象交于 A（1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）求的值 20如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 2 米的测角仪测得古树顶 端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上，再向前走 6 米到达 B 处，又测得教 学楼顶端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点在同一水平线
8、上 （1）计算古树 BH 的高； （2）计算教学楼 CG 的高 （结果保留根号） 21如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，OA8，OC6，点 D 是对角线 AC 的中点，过点 D 的直线分别交 OA、BC 边于点 E、F （1）求证：四边形 EAFC 是平行四边形； （2）当 CECF 时，求 EF 的长； （3）在条件（2）的情况下，P 为 x 轴上一点，当以 E，F，P 为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出 点 P 的坐标 22在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（1，0） ，B（6，0） ，C（0， 6） （1）求此抛物线的函数表达式；
9、 （2）若点 D 为第四象限内抛物线上一动点，当BCD 面积最大时，求BCD 面积的最大面积； （3）在 x 轴上是否存在点 M，使OCM+ACO45，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由 2020-2021 学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1一元二次方程 x2+2x0 的解是（ ） Ax1x22 Bx12，x20 Cx12，x20 Dx12，x22 【分析】先将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：
10、x2+2x0， x（x+2）0， x+20 或 x0， 解得：x12，x20， 故选：C 2下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D正四棱锥 【分析】根据各个几何体从正面、侧面、上面看到的形状进行判断即可 【解答】解：圆锥从正面看所得到的图形是等腰三角形，从侧面看所得到的图形是等腰三角形、从上面 看所得到的图形是圆， 因此圆锥符合题意， 故选：C 3在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块” ，3 张“梅花” ，1 张“红桃” ，将这 6 张牌背面朝上，从中任意抽取 1 张，是“梅花”的概率为（ ） A B C D 【分析】直接利用概率公式计算可
11、得 【解答】解：从中任意抽取 1 张，是“梅花”的概率为， 故选：C 4若反比例函数 y的图象分布在第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由 2k0 即可解得答案 【解答】解：反比例函数 y的图象分布在第二、四象限， 2k0， 解得 k2， 故选：D 5国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路，某地区 2017 年底有贫困人口 10 万 人，通过社会各界的努力2019 年底贫困人口减少至 1 万人设 2017 年底至 2019 年底该地区贫困人口 的年平均下降率为 x根据题意列方程得（ ） A10（12x
12、）1 B10（1x）21 C10（1+2x）1 D10（1+x）21 【分析】 等量关系为： 2017 年贫困人口 （1下降率） 22019 年贫困人口， 把相关数值代入计算即可 【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意得： 10（1x）21， 故选：B 6下列命题中，正确的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C平行四边形的对角线平分且相等 D顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四
13、边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意； D、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意； 故选：D 7 如图， 已知AOB 与A1OB1是以点 O 为位似中心的位似图形 且相似比为 1： 2， 点 B 的坐标为 （2， 4） ，则点 B1的坐标为（ ） A （4，8） B （2，4） C （1，8） D （8，4） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对 应点的坐标的比等于 k 或k，即可求得答案 【解答】解：AOB 与A1OB1是以点 O 为位似中心的位似图形且相
14、似比为 1：2，点 B 的坐标为 （2，4） ， 点 B1的坐标为： （2（2） ，4（2） ）即（4，8） 故选：A 8若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck且 k1 Dk且 k1 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x2+x+10 有两个实数根， ， 解得：k且 k1 故选：D 9如图，菱形 ABCD菱形 AEFG，菱形 AEFG 的顶点 G 在菱形 ABCD 的 BC 边上运动，GF 与 AB 相交于
15、点 H，E60，若 CG3，AH7，则菱形 ABCD 的边长为（ ） A8 B9 C D 【分析】连接 AC，首先证明ABC 是等边三角形，再证明BGHCAG，推出，由此构建 方程即可解决问题 【解答】解：连接 AC 菱形 ABCD菱形 AEFG， BEAGF60，ABBC， ABC 是等边三角形，设 ABBCACa，则 BHa7，BGa3， ACB60， AGBAGH+BGHACG+CAG， AGHACG60， BGHCAG， BACG， BGHCAG， ， ， a210a+90， a9 或 1（舍弃） ， AB9， 故选：B 10二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中正确
16、的有 abc0；b24ac0；2ab；（a+c）2b2；a2b+4c0 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由函数图象可知 a0，对称轴1x0，图象与 y 轴的交点 c0，函数与 x 轴有两个不同的 交点；即可得出 b2a0，b0；b24ac0；再由图象可知当 x1 时，y0，即 a+b+c0；当 x 1 时，y0，即 ab+c0；当 x时，y0，即ab+c0，即可求解 【解答】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴1x0，图象与 y 轴的交点 c0， a0，0，c0， b0， abc0，故正确； 函数与 x 轴有两个不同的交点， b24ac0，故错误； 1， 2ab，故错误
17、； 当 x1 时，y0，即 a+b+c0； 当 x1 时，y0，即 ab+c0； （a+b+c） （ab+c）0，即（a+c）2b2；故正确； x时，y0， ab+c0，即 a2b+4c0，故正确； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11 如图所示， 某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度， 已知标杆 BE 高为 1.5m， 测得 AB3m， AC10m，则建筑物 CD 的高是 5 m 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出 CD 的长，从而可以解答本题 【解答】解：EBAC，DCAC， EBDC， ABEACD， ， BE1.5m，AB3m，A
18、C10m， ， 解得，DC5， 即建筑物 CD 的高是 5m， 故答案为：5 12将抛物线 y2x2+5 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 y2 （x+1）2+3 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可 【解答】解：抛物线 y2x2+5 向左平移 1 个单位长度得到抛物线 y2（x+1）2+5， 再向下平移 2 个单位得到抛物线 y2（x+1）2+52，即 y2（x+1）2+3 故答案为：y2（x+1）2+3 13已知 a，b 为有理数，如果规定一种新的运算“” ，规定：ab3b5a，例如：123251 651，计算： （23）5 20 【分
19、析】原式利用新定义计算即可得到结果 【解答】解： （23）5 （3352）5 （910）5 （1）5 355（1） 15+5 20 故答案为：20 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，OA5，tanCOA若反比例函数 y （k0，x0）经过点 C，则 k 的值等于 12 【分析】作 CDOA 于 D，如图，利用菱形的性质得 OCOA5，在 RtOCD 中利用正弦的定义以及 勾股定理计算出 CD3，OD4，从而得到 C（4，3） ，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定 k 的值 【解答】解：如图，作 CDOA 于 D， OA5， 四边形 OABC 为菱形，
20、 OCOA5， 在 RtOCD 中，tanCOA 设 CD3x，OD4x， OC2OD2+CD2， 52（4x）2+（3x）2，解得 x1， CD3，OD4， C（4，3） ， 把 C（4，3）代入 y得 k3412 故答案为 12 15如图，矩形 ABCD 中，AEAD，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF FD3，则 BC 的长为 6 【分析】延长 BF 交 AD 的延长线于点 H，证明BCFHDF（AAS） ，由全等三角形的性质得出 BC DH，由折叠的性质得出ABGE90，AEEG，设 AEEGx，则 ADBCDH3x，得出 EH 5x，由锐
21、角三角函数的定义及勾股定理可得出答案 【解答】解：延长 BF 交 AD 的延长线于点 H， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC，ABCF90， HCBF， 在BCF 和HDF 中， ， BCFHDF（AAS） ， BCDH， 将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE， ABGE90，AEEG， EGH90， AEAD， 设 AEEGx，则 ADBCDH3x， ED2x， EHED+DH5x， 在 RtEGH 中，sinH， sinCBF， ， BF15， BC6， 故答案为：6 三解答题三解答题 16计算： （） 12tan45+4sin602 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指
22、数幂的性质、二次根式的性质化简得出答案 【解答】解：原式221+422 22+24 2 17化简分式（+），并在 2，3，4，5 这四个数中取一个合适的数作为 a 的值代入 求值 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 （） a+3， a3、2、3， a4 或 a5， 则 a4 时，原式7 18在刚刚结束的“东门 68 小时不打烊”活动中，某商场为了扩大销售额，举办抽奖活动，规则如下：在 不透明的袋子中有 2 个红球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球， 则获得 1 份奖品，若摸到黑球，则没
23、有奖品 （1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得奖品的概率为 ； （2）如果小明有两次摸球机会 （摸出后不放回） ，求小明获得 2 份奖品的概率 （请用 “画树状图”或 “列 表”等方法写出分析过程） 【分析】 （1）直接根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出小明获得 2 份奖品的情况数，然后根据概率公式即 可得出答案 【解答】解： （1）袋子中有 2 个黑球和 2 个红球， 小明获得奖品的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画图如下： 共有 12 种等情况数，其中小明获得 2 份奖品的有 2 种， 则小明获得 2 份奖品的概率是 19如图，一次函数
24、 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图象交于 A（1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）求的值 【分析】 （1）将点 A 坐标代入两个解析式可求 a 的值，k 的值，即可求解； （2）先求得 B、C 的坐标，然后求得 SAOC3，SBOC，SAOB，根 据同高三角形面积的比等于底边的比即可求得结论 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入 yx+3，得 a2， A（1，2） ， 把 A（1，2）代入反比例函数 y， k122； 反比例函数的表达式为 y； （2）由一次函数 yx+3 可知 C 的坐标为（3，0） ， 解得或， B（2
25、，1） ， SAOC3，SBOC， SAOB， 1， 1 20如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 2 米的测角仪测得古树顶 端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上，再向前走 6 米到达 B 处，又测得教 学楼顶端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高； （2）计算教学楼 CG 的高 （结果保留根号） 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）作 HJCG 于 G则HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形，设 HJGJBCx构建方程 即可
26、解决问题 【解答】解： （1）由题意：四边形 ABED 是矩形，可得 DEAB6（米） ，ADBE2（米） ， 在 RtDEH 中，EDH45， HEDE6（米） BHEH+BE6+28（米） 答：古树 BH 的高为 8 米； （2）作 HJCG 于 G则HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形， 设 HJGJBCx 在 RtEFG 中，tan60， ， x3（+1） ， GFGJ+JFx+6（3+9）米， CGCF+FG2+3+9（11+3）米 答：教学楼 CG 的高为（11+3）米 21如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，OA8，OC6，点 D 是对角线 AC 的中点，过
27、点 D 的直线分别交 OA、BC 边于点 E、F （1）求证：四边形 EAFC 是平行四边形； （2）当 CECF 时，求 EF 的长； （3）在条件（2）的情况下，P 为 x 轴上一点，当以 E，F，P 为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出 点 P 的坐标 【分析】 （1）证明CDFADE（AAS） ，由全等三角形的性质得出 DFDE，由平行四边形的判定可 得出答案； （2）设 CEAEx，由勾股定理得出 62+（8x）2x2，求出 x，由勾股定理可得出答案； （3）分三种情况：若 PEPF，若 EFEP，若 EFFP，由等腰三角形的性质可得出答案 【解答】 （1）证明：四边形 OABC 是
28、矩形， BCOA， FCDDAE，CFDAED， D 是 AC 的中点， CDAD， CDFADE（AAS） ， DFDE， 四边形 EAFC 是平行四边形； （2）解：四边形 EAFC 是平行四边形，CECF， 四边形 EAFC 是菱形， CEEA， 设 CEAEx， OC2+OE2CE2， 62+（8x）2x2， x， CE， OA8，OC6， AC10， CDAC5， ED， EF2ED； （3）分三种情况： 若 PEPF，点 P 与点 A 重合， P（8，0） ， 若 EFEP， 当点 P 在 x 轴的正半轴上，OPOE+PE， P（，0） ， 当点 P 在 x 轴的负半轴上，OPPE
29、OE， P（，0） ， 若 EFFP，过点 F 作 FGAE 于点 G，则 EGCFOE， EP9， OPOE+EP+9， P（，0） 综上可得，点 P 的坐标为（8，0）或（，0）或（，0）或（，0） 22在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（1，0） ，B（6，0） ，C（0， 6） （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点 D 为第四象限内抛物线上一动点，当BCD 面积最大时，求BCD 面积的最大面积； （3）在 x 轴上是否存在点 M，使OCM+ACO45，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由 【分析】 （1）利用待定系数法可求解
30、析式； （2）如图 1，过点 D 作 DFAB 于 F，交 BC 于 E，先求出直线 BC 解析式，设点 D 坐标为（x，x25x 6） ，则点 E（x，x6） ，可求 DE 的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，通过证明AOCMNC，可得，即可求解 ， 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（6，0） ，C（0，6） ， ， 解得：， 抛物线解析式为 yx25x6； （2）如图 1，过点 D 作 DFAB 于 F，交 BC 于 E， 、 B（6，0） ，C（0，6） ， 直线 BC 解析式为 yx6， 设点 D 坐标为（x
31、，x25x6） ，则点 E（x，x6） ， DEx6（x25x6）x2+6x， BCD 面积DEOB（x2+6x）63（x3）2+27， 当 x3 时，BCD 面积的最大值为 27； （3）当点 M 在原点右侧时， B（6，0） ，C（0，6） ，A（1，0） ， OBOC6，OA1， OCB45OBC，BC6， ACO+OCM45， ACOBCM， MNBC， MNC90AOC， AOCMNC， ， MNBC，OBC45， NMBMBN45， MNBNBM（6OM）3OM， CN6BN3+OM， ， OM3， 点 M（，0） ； 当点 M在原点左侧时，点 M 与点 M关于原点对称， 点 M（，0） ； 综上所述：点 M 坐标为（，0）或（，0）