1、相交线与平行线相交线与平行线 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、点、线、面、角：一、点、线、面、角： 1.1.点动成线、线动成面、面动成体点动成线、线动成面、面动成体； 【例题【例题 1 1】(2020重庆 B 卷)围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是( ) 【答案】A 【解析】解：A.六个面都是平面，故本选项正确；B.侧面不是平面，故本选项错误； C.球面不是平面，故本选项错误；D.侧面不是平面，故本选项错误；故选：A。 【变式练习【变式练习 1 1】下列几何体中，是圆柱的为( ) 【答案】A 【解析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可 解：A、此几何体
2、是圆柱体；B、此几何体是圆锥体； C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A 2.2.角：角：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角； 角也可以看作由一条 射线 绕着它的端点旋转而形成的图形。 3.3.度分秒的换算：度分秒的换算： （1）1 周角 2 平角 4 直角360； （2）1= 60 ；1= 60 。 4.4.量角器的使用：量角器的使用： （1）量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐； （2）做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数。 5.5.两角间的关系：两角间的关系： （1 1）余角：）余角：如果两个角的和等于 90，就说这两个角互为余角； 同角
3、 或 等角 的余角相等； （2 2）补角：）补角：如果两个角的和等于 180 ，就说这两个角互为补角； 同角 或 等角 的补角相等。 6.6.角平分线：角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角 的平分线。 【例题【例题 2 2】（2020金昌）若70，则的补角的度数是（ ） A130 B110 C30 D20 【答案】B 【解析】根据补角的定义，两个角的和是 180即可求解 解：的补角是：180A18070110故选：B 【变式练习【变式练习 2 2】（2020陕西）若A23，则A 余角的大小是（ ） A57 B67 C77 D157 【答案】B 【解析
4、】根据A 的余角是 90A，代入求出即可 解：A23，A 的余角是 902367故选：B 【例题【例题 3 3】 （2020陕西） 如图， ACBC， 直线 EF 经过点 C， 若135， 则2 的大小为 （ ） A65 B55 C45 D35 【答案】B 【解析】由垂线的性质可得ACB90，由平角的性质可求解 解：ACBC，ACB90， 1+ACB+2180，2180903555，故选：B 【变式练习【变式练习 3 3】（2020东营）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OM 平分BOD，若AOC 42，则AOM 等于（ ） A159 B161 C169 D138 【答案】A 【解析
5、】直接利用对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义得出BOMDOM，进而得出答 案 解：AOC 与BOD 是对顶角，AOCBOD42，AOD18042138， 射线 OM 平分BOD，BOMDOM21， AOM138+21159故选：A 二、直线、射线、线段：二、直线、射线、线段： 1.1.直线的概念：直线的概念： 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的； 2.2.射线的概念：射线的概念： 直线上一点和它一旁的部分叫做射线；这个点叫做射线的端点。 3.3.线段的概念：线段的概念： 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；这两个点叫做线段的端点。 4.4.线段的和
6、差：线段的和差：如图，在线段 AC 上取一点 B，则有： AB+ BC =AC； AB= AC -BC； BC=AC- AB 。 5.5.线段的中点：线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫做线段 AB 的中点； 几何语言：AM=MB= 1 2 AB； 6.6.直线的性质：直线的性质： （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线； 它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)； （2）过一点的直线有无数条； （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小； （4）直线上有无穷多个点；
7、 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 7.7.线段的性质：线段的性质： （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短；也可简单说成：两点之间线段最短两点之间线段最短； （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离； （3）线段的中点到两端点的距离相等； （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 【例题【例题 4 4】（2020 秋龙湖区期末）修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短 路程，其道理用数学知识解释正确的是（ ） A线段可以比较大小 B线段有两个端点 C两点之间，线段最短 D过两点有且只有一条直线 【答案】C 【解析】解：修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成
8、直道，从而缩短路程，其道理用数学知 识解释正确的是：两点之间，线段最短 故选：C。 【变式练习【变式练习 4 4】（2020凉山州）点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点若线段 AB12cm，则线段 BD 的长为（ ） A10cm B8cm C10cm 或 8cm D2cm 或 4cm 【答案】C 【解析】解：C 是线段 AB 的中点，AB12cm，ACBC= 1 2AB= 1 2 126（cm）， 点 D 是线段 AC 的三等分点， 当 AD= 1 3AC 时，如图， BDBC+CDBC+ 2 3AC6+410（cm）； 当 AD= 2 3AC 时，如图， BDBC+
9、CDBC+ 1 3AC6+28（cm） 所以线段 BD 的长为 10cm 或 8cm，故选：C。 三、相交线：三、相交线： 1.1.相交线中的角相交线中的角: : （1）两条直线相交，可以得到四个角； 对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫 做对顶角； 邻补角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角 叫做邻补角。 （2）邻补角互补邻补角互补，对顶角相等对顶角相等； （3）直线 AB，CD 与 EF 相交(或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截)，构成八个角(三 线八角)； 同位角同位角：其中1 与5 这两个角分别
10、在 AB，CD 的上方，并且在 EF 的同侧，像这样位 置相同的一对角叫做同位角； 内错角内错角：3 与5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个 角叫做内错角； 同旁内角同旁内角：3 与6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 EF 的同侧，像这样位置的两个角叫 做同旁内角 2.2.垂线：垂线： （1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直； 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足； 直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”(或“CDAB”)， 读作“AB 垂直于 CD”(或“CD 垂直于 AB”)。 （2）垂线的性
11、质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； 简称：垂线段最短。 3.3.点到直线的距离：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离； 如下图，点 P 与直线 l 上各点连接的所有线段中，PB 最短， 点 P 到直线 l 的距离是 PB 的长度。 4.4.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：线段垂直平分线的性质定理及逆定理： （1）概念：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 （2）线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和这条
12、线段两个端点的距离相等； 如下图，若 lAB，OA=OB，则 AP=BP （3）逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5.5.角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理及逆定理： （1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 几何语言：如下图， 1= 2 , PEPF PEOA PFOB （2）逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； 几何语言：如下图， , 1= 2 PEOA PFOB PEPF 【例题【例题 5 5】(2020南充)如图，两直线交于点 O，若1+276，则1 度 【答案】38 【解析】两直线交于点 O，
13、12，1+276，138。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020北京)如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确的是( ) A12 B23 C14+5 D25 【答案】A 【解析】A1 和2 是对顶角，12，故 A 正确； B2A+3，23，故 B 错误； C14+5，故错误； D24+5，25；故 D 错误。 【例题【例题 6 6】(2020河北)如图，在平面内作已知直线 m 的垂线，可作垂线的条数有( ) A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 【答案】D 【解析】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条， 所以作已知直线 m 的垂线，可作无数条故选：D。 【变式练习【变
14、式练习 6 6】(2020青海)如图，ABC 中，AB=AC=14 cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D， 且DBC 的周长是 24 cm，则 BC= cm 【答案】10 【解析】由边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，故 AD=BD，于是将DBC 的周长转化为 BC 与边 长 AC 的和来解答 解：CDBC=24 cm，BD+DC+BC=24 cm， 又MN 垂直平分 AB，AD=BD， 将代入得：AD+DC+BC=24 cm，即 AC+BC=24 cm， 又AC=14 cm，BC=24-14=10 cm故填 10。 四、平行线：四、平行线： 1.1.平行线的概念：平行线
15、的概念： （1）定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线； （2）表示：平行用符号“”表示，如“ABCD”，读作“AB 平行于 CD”。 （3）同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 2.2.平行线公理及其推论：平行线公理及其推论： （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； （2）推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3.3.平行线的判定：平行线的判定： （1）判定方法 1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行； （2）判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行内错角
16、相等，两直线平行； （3）判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行； （4）补充平行线的判定方法： 平行于同一条直线的两直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 4.4.平行线的性质：平行线的性质： （1）性质 1：两直线平行，同位角相等； （2）性质 2：两直线平行，内错角相等； （3）性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 5.5.两平行线间的距离：两平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ，叫做这两条平行线 之间的距离； （2）性质：两条平行线之间的距离处处 相等 。 【例题【例题7 7】 (20
17、20海南)如图， 已知ABCD， 直线AC和BD相交于点E， 若ABE=70， ACD=40， 则AEB 等于( ) A50 B60 C70 D80 【答案】C 【解析】利用平行线的性质，得到BAE 与C 的关系，再利用三角形的内角和，求出AEB 解：ABCD，BAE=C=40 AEB +EAB +EBA =180，AEB=70故选：C。 【变式练习【变式练习 7 7】(2020衡阳)一副三角板如图摆放，且 ABCD，则1 的度数为 【答案】105 【解析】利用平行线的性质得到2D45，然后结合三角形外角定理来求1 的度数 如图，ABCD，D45， 2D45 12+3，360， 12+345+
18、60105 五、命题、定理、证明：五、命题、定理、证明： 1.1.命题的概念：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。 2.2.命题的分类：命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题真命题和假命题假命题。 （1）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题； （2）所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。 3.3.互逆命题：互逆命题： 一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题； 如果我们把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题。 4.4.公理：公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
19、 5.5.定理：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 6.6.互逆定理：互逆定理： （1）概念：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的 逆定理； （2）一个定理和它的逆定理是互逆定理。 7.7.证明：证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 【例题【例题 8 8】(2019安徽省)命题“如果 a+b0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题 为 【答案】如果 a，b 互为相反数，那么 a+b0 【解析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可 解：命题“如果 a+b0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题为： 如果 a，b 互为相反数，那么 a+b0； 故答案为：如果 a，b 互为相反数，那么 a+b0。 【变式练习【变式练习 8 8】(2019泰州)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_(填“真 命题”或“假命题”) 【答案】真命题 【解析】一个三角形如果是锐角三角形，则三个角都是锐角，如果是直角或钝角三角形，则有 两个角是锐角，三角形的三个内角中至少有两个锐角是真命题。