1、等腰、等边三角形、直角三角形等腰、等边三角形、直角三角形 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、等腰三角形及其性质：一、等腰三角形及其性质： 1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰； 第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角。 2.2.等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角等边对等角)。 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边； 即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 (简称：三线合一三线合一) 推论
2、2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。 （2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45； 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，顶角可为钝角(或直角)； 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 2 b a； 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C， 则A=180-2B，B=C= 180 2 A 3.3.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边等角对等边)； 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 （1）推论 1
3、：三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形； （3）推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一 半。 【例题【例题 1 1】(2020青海)等腰三角形的一个内角为 70，则另外两个内角的度数分别是( ) A55，55 B70，40或 70，55 C70，40 D55，55或 70，40 【答案】D 【解析】已知给出了一个内角是 70，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论 解：分情况讨论： (1)若等腰三角形的顶角为 70时，底角=(180-70)2= 55； (2)若等腰三角形的底角为 70时，顶角
4、=180-702=40 故选：D。 【变式练习【变式练习 1 1】 (2020临沂)如图， 在ABC 中， ABAC， A40， CDAB， 则BCD( ) A40 B50 C60 D70 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求ACB，再根据平行线的性质可求BCD 在ABC 中，ABAC，A40；ACB70； CDAB ACD180A140 BCDACDACB70 【例题【例题 2 2】(2020台州)如图，已知 ABAC，ADAE，BD 和 CE 相交于点 O (1)求证：ABDACE； (2)判断BOC 的形状，并说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)由“SAS”可证ABDACE
5、； (2)由全等三角形的性质可得ABDACE，由等腰三角形的性质可得ABCACB，可求 OBCOCB，可得 BOCO，即可得结论 证明：(1)ABAC，BADCAE，ADAE， ABDACE(SAS)； (2)BOC 是等腰三角形，理由如下： ABDACE， ABDACE， ABAC， ABCACB， ABCABDACBACE， OBCOCB， BOCO， BOC 是等腰三角形。 【变式练习【变式练习 2 2】如图，ABC 中，AB=AC，A=36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足， 连接 EC (1)求ECD 的度数；(2)若 CE=5，求 BC 长 【答案】(1)ECD 的度
6、数是 36；(2)BC 长是 5 【解析】(1)DE 垂直平分 AC；CE=AE， ECD=A=36 (2)AB=AC，A=36， B=ACB=72， BEC=A+ECD=72， BEC=B， BC=EC=5。 二、等边三角形：二、等边三角形： 1.定义：三边都相等的三角形叫等边三角形。 2.性质： （1）性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 6060； （2）性质 2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 3.判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是 60的等腰三角形是等
7、边三角形； （3）有两个角是 60的三角形是等边三角形。 【例题【例题 3 3】 (2020台州)如图， 等边三角形纸片 ABC 的边长为 6， E， F 是边 BC 上的三等分点 分 别过点 E，F 沿着平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的DEF 的周长是 【答案】6 【解析】根据三等分点的定义可求 EF 的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解 等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点， EF2， DEAB，DFAC，DEF 是等边三角形， 剪下的DEF 的周长是 236。 【变式练习【变式练习 3 3】(2020宁波)BDE 和FGH 是两个全等的等
8、边三角形，将它们按如图的方式放 置在等边三角形 ABC 内若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道( ) AABC 的周长 BAFH 的周长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 【答案】A 【解析】证明AFHCHG(AAS)，得出 AFCH由题意可知 BEFH，则得出五边形 DECHF 的周长AB+BC，则可得出答案 GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60， AHF+GHC120， ABC 为等边三角形， ABBCAC，ACBA60， GHC+HGC120， AHFHGC， AFHCHG(AAS)， AFCH BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形， BEFH，
9、五边形 DECHF 的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF， (BD+DF+AF)+(CE+BE)， AB+BC 只需知道ABC 的周长即可 三、直角三角形：三、直角三角形： 1.1.直角三角形定义：直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 2.2.直角三角形的性质：直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 3.3.直角三角形的判定：直角三角形的判定： （1）两个内角互余的三
10、角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4.4.勾股定理及逆定理：勾股定理及逆定理： （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即：a a 2 2+b +b 2 2=c =c 2 2； （2）勾股定理的逆定理： 如果三角形的三条边 a、b、c 有关系：a 2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 【例题【例题 4 4】(2020陕西)如图，在 33 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都 在格点上，若 BD 是ABC 的高，则 BD 的长为( ) A 10 13 13 B 9 13 1
11、3 C 8 13 13 D 7 13 13 【答案】D 【解析】根据勾股定理计算 AC 的长，利用面积差可得三角形 ABC 的面积，由三角形的面积公 式即可得到结论 解：由勾股定理得： 22 2313AC ， 111 3 31 21 3233.5 222 ABC S ， 17 22 AC BD ， 137BD ， 7 13 13 BD ，故选：D 【变式练习【变式练习 4 4】(2020河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯” 图案现有五种正方形纸片，面积分别是 1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的 方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，
12、则选取的三块纸片的面积分别是 ( ) A1，4，5 B2，3，5 C3，4，5 D2，2，4 【答案】B 【解析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据 三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题 解：当选取的三块纸片的面积分别是 1，4，5 时，围成的直角三角形的面积是 144 22 ， 当选取的三块纸片的面积分别是 2，3，5 时，围成的直角三角形的面积是 236 22 ， 当选取的三块纸片的面积分别是 3，4，5 时，围成的三角形不是直角三角形， 当选取的三块纸片的面积分别是 2，2，4 时，围成的直角三角形的面积是 224 22 ， 64 22 ， 所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是 2，3，5， 故选：B。