1、角平分线与线段的垂直平分线角平分线与线段的垂直平分线 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、角平分线：一、角平分线： 1.1.角的平分线定义：角的平分线定义： （1）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线；如图， 因为 AD 是BAC 的平分线，所以1=2=BAC； （2）类似地，还有角的三等分线等。 2.角平分线的作法(尺规作图)： （1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点； （2）分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； （3）过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求。 3.角
2、平分线的性质： （1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：OP 平分AOB，APOA，BPOB，AP=BP （2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： APOA，BPOB，AP=BP，点 P 在AOB 的平分线上。 （3）三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之 1 2 间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线是线段； 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心内心； 可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。 4.角平分线的综合应用： （1）为推
3、导线段相等、角相等提供依据和思路； （2）在解决综合问题中的应用。 【例题【例题 1 1】 (2020乐山)如图， E 是直线 CA 上一点， FEA40， 射线 EB 平分CEF， GEEF 则 GEB( ) A10 B20 C30 D40 【答案】B 【解析】根据平角的定义得到CEF180FEA18040140，由角平分线的定 义可得CEB = 1 2 CEF = 1 2 140 = 70， 由 GEEF 可得GEF90， 可得CEG180 AEFGEF180409050，由GEBCEBCEG 可得结果 解：FEA40，GEEF， CEF180FEA18040140， CEG180AEFG
4、EF18040 9050， 射线 EB 平分CEF， CEB = 1 2 CEF = 1 2 140 = 70， GEBCEBCEG705020。 【变式练习【变式练习 1 1】 如图， 在ABC 中， C=90， AD 平分BAC， 过点 D 作 DEAB 于点 E， 测得 BC=9， BE=3，则BDE 的周长是( ) A.15 B.12 C.9 D.6 【答案】B 【解析】在ABC 中，C=90，ACCD AD 平分BAC，DEAB，DE=CD BC=9，BE=3， BDE 的周长为 BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12。 二、线段的垂直平分线：二、线段的垂直平分
5、线： 1.线段的垂直平分线定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线， 也叫线段的中垂线； 2.线段垂直平分线的做法：求作线段 AB 的垂直平分线； （1）分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB/2 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； 说明：作弧时的半径必须大于 AB/2 的长，否则就不能得到两弧的交点了； （2）作直线 CD，CD 即为所求直线； 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线。 3.线段垂直平分线的性质： （1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点
6、在这条线段的垂直平分线 上； （3）说明： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质， 是证明两条线段相等的常用方法 之一； 同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段 的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构 造全等三角形创造条件； 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看 作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合。 4.三角形的外心： （1）概念：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角 形外接圆的圆心外心. （2）说明： 三角形三条边的垂直平
7、分线必交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心； 锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部； 直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 外心到三顶点的距离相等。 【例题【例题 2 2】(2020枣庄)如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC6，AC5，则ACE 的周长为( ) A8 B11 C16 D17 【答案】B 【解析】在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC6，AC5， 则ACE 的周长为 DE 垂直平分 AB， AEBE， ACE 的周长AC+CE+AE AC+C
8、E+BE AC+BC 5+6 11。 【变式练习【变式练习 2 2】(2019广西梧州)如图，DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 AC 于点 E，且 AC8，BC5，则BEC 的周长是( ) A12 B13 C14 D15 【答案】B 【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 AEBE，进而得出答案 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线， AEBE， AC8，BC5， BEC 的周长是：BE+EC+BCAE+EC+BCAC+BC13。 【例题【例题3 3】 (2020长春模拟)如图， 在ABC中， B=30， ED垂直平分BC， ED=3 则CE长为 【答案】6
9、 【解析】由 ED 垂直平分 BC，即可得 BE=CE，EDB=90，又由直角三角形中 30角所对的直 角边是其斜边的一半，即可求得 BE 的长，则问题得解 ED 垂直平分 BC， BE=CE，EDB=90， B=30，ED=3， BE=2DE=6， CE=6。 【变式练习【变式练习 3 3】如图，ABC 中，BC=7，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直 平分线分别交 AC、BC 于点 F、G求AEG 的周长 【答案】7 【解析】DE 为 AB 的中垂线，AE=BE， FG 是 AC 的中垂线，AG=GC， AEG的周长等于AE+EG+GA， 分别将AE和AG用BE和GC代替得： AEG的周长等于BE+EG+GC=BC， 所以AEG 的周长为 BC 的长度即 7。