1、反比例函数及其应用反比例函数及其应用 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、反比例函数、图像、性质：一、反比例函数、图像、性质： 1.1.反比例函数的概念：反比例函数的概念： （1）定义：一般地，函数 k y x (k 是常数，k0)叫做反比例函数； （2）变形：反比例函数的解析式也可以写成 y=kx -1或 xy=k(k0)的形式； （3）自变量 x 的取值范围：x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 【例题【例题 1 1】下列函数是 y 关于 x 的反比例函数的是（ ） Ay= 1 x1 By= 1 x3 Cy= 3 x Dy= x 4 【答案】C 【解析】利
2、用反比例函数定义进行分析即可 解：A、不是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项不合题意； B、不是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项不合题意； C、是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项符合题意； D、不是 y 关于 x 的反比例函数，是正比例函数，故此选项不合题意；故选：C 【变式练习【变式练习 1 1】若y = (a + 1)xa 22是反比例函数，则 a 的取值为（ ） A1 B1 C1 D任意实数 【答案】A 【解析】先根据反比例函数的定义列出关于 a 的方程组，求出 a 的值即可 解：此函数是反比例函数，a + 1 0 a2 2 = 1，解得 a1故选：A 2.2.反比例函数
3、的图象：反比例函数的图象： （1）反比例函数的图像是双曲线； 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限； 它们关于原点对称； （2）反比例函数关于直线 y=x 和 y=-x 成轴对称；（对称中心：原点） （3）由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 【例题【例题 2 2】(2020德州)函数 y= k x和 ykx+2(k0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可 能是( ) 【答案】D 【解析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题 解：在函数
4、y= k x和 ykx+2(k0)中， 当 k0 时，函数 y= k x的图象在第一、三象限，函数 ykx+2 的图象在第一、二、四象限， 故选项 A、B 错误，选项 D 正确； 当 k0 时，函数 y= k x的图象在第二、四象限，函数 ykx+2 的图象在第一、二、三象限， 故选项 C 错误。 【变式练习【变式练习 2 2】(2020青海)若 ab0，则正比例函数 y=ax 与反比例函数 b y x 在同一平面直角 坐标系中的大致图象可能是( ) 【答案】B 【解析】根据 ab0 及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从 a0，b0 和 a0，b 0 两方面分类讨论得出答案 解：ab0，
5、分两种情况： (1)当 a0，b0 时，正比例函数 y=ax 的图象过原点、第一、三象限， 反比例函数 b y x 图象在第二、四象限，无选项符合 (2)当 a0，b0 时，正比例函数 y=ax 的图象过原点、第二、四象限， 反比例函数 b y x 图象在第一、三象限，故 B 选项正确；故选：B。 3.3.反比例函数的性质：反比例函数的性质： k 值 k0 k0 图像 象限 两个分支分别在第一、三象限 两个分支分别在第二、四象限 性质 每个象限内，y 随 x 的增大而减小 每个象限内，随 x 的增大而增大 （1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数 k 决定； （2）反比例函数图
6、象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注 意象限问题。 4.4.反比例函数中反比例系数的几何意义：反比例函数中反比例系数的几何意义： （1）如下图，过反比例函数 k y x (k0)图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN， 则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=|y|x|=|xy|； k y x ，xy=k，SPMON=|k| （2 2） |k|k|的几何意义：的几何意义： 表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的 矩形的面积。 5.5.常见的与反比例函数有关的图形面积：常见的与反比例函数有关的图形面积： 【例题【例题 3
7、3】点 A（3，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数 y= 6 x 的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【答案】C 【解析】分别把 A、B、C 各点坐标代入反比例函数 y= 6 x 求出 y1、y2、y3的值，再比较大小即 可 解：点 A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数 y= 6 x 的图象上， y1= 6 3 =2，y2= 6 1 =6，y3= 6 2 = 3， 326，y3y1y2，故选：C 【变式练习【变式练习 3 3】(2020天津)若点 A(x1，5)，B(x2，2
8、)，C(x3，5)都在反比例函数 y= 10 x 的图 象上，则 x1，x2，x3的大小关系是( ) Ax1x2x3 Bx2x3x1 Cx1x3x2 Dx3x1x2 【答案】C 【解析】将点 A(x1，5)，B(x2，2)，C(x3，5)分别代入反比例函数 y= 10 x ，求得 x1，x2，x3的 值后，再来比较一下它们的大小 解：点 A(x1，5)，B(x2，2)，C(x3，5)都在反比例函数 y= 10 x 的图象上， 5= 10 x ，即 x12，2= 10 x ，即 x25；5= 10 x ，即 x32， 225，x1x3x2。 【例题【例题 4 4】如图，过双曲线 y= 2 在第一
9、象限上的一支上的点 A 作 ABx 轴于点 B，连接 AO，则OAB 的 面积为（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】D 【解析】利用反比例函数系数 k 的几何意义即可得出OAB 的面积，即可得出答案 解：过双曲线 y= 2 x在第一象限上的一支上的点 A 作 ABx 轴于点 B， SAOB= 1 2|k|= 1 2 21，故选：D 【变式练习【变式练习 4 4】(2020湖北荆门模拟)如图，点 A 是反比例函数 2 y= x (x0)的图象上任意一点， ABx 轴交反比例函数 3 y= x 的图象于点 B，以 AB 为边作 ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 SABCD 为( ) A
10、 2 B 3 C 4 D 5 【答案】D 【解析】解：设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a 把 y=a 代入 2 y= x 得， 2 a= x ，则 2 x= a ，即 A 的横坐标是 2 a ； 同理可得：B 的横坐标是： 3 a 。 AB= 235 = aaa 。SABCD= 5 a a=5。故选 D。 二、反比例函数的解析式的确定：二、反比例函数的解析式的确定： 1.1.反比例函数解析式的确定：反比例函数解析式的确定：待定系数法待定系数法 由于在反比例函数 k y x 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点 的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式 2
11、.2.求反比例函数表达式的一般步骤：求反比例函数表达式的一般步骤： （1）设出函数的一般形式； （2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于 k 的方程； （3）解方程，求得 k 的值； （4）将所求得的 k 的值代入到函数表达式中。 【例题【例题 5 5】（2020孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电 阻 R （单位： ） 是反比例函数关系， 它的图象如图所示， 则这个反比例函数的解析式为 （ ） AI= 24 R BI= 36 R CI= 48 R DI= 64 R 【答案】C 【解析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可 解：设 I=
12、 K R，把（8，6）代入得：K8648， 故这个反比例函数的解析式为：I= 48 R 故选：C 【变式练习【变式练习 5 5】如图，一次函数 yx+1 的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比例函 数的图象交于点 C（2，m） （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴正半轴上，且与点 B，C 构成以 BC 为腰的等腰三角形，请直接写出所有 符合条件的 P 点坐标 【答案】（1）y = 6 x；（2）点 P 的坐标为（0，5）或（0，22 + 1）. 【解析】（1）先确定出点 C 坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论； （2）分两种情况，利用等腰三角形的性质，即可
13、得出结论 解：（1）点 C（2，m）在一次函数 yx+1 的图象上， 把 C 点坐标代入 yx+1，得 m（2）+13， 点 C 的坐标是（2，3）， 设反比例函数的解析式为y = k x (k 0)，把点 C 的坐标（2，3）代入y = k x；得： 3 = k 2，解得 k6，反比例函数的解析式为y = 6 x； （2）在直线 yx+1 中，令 x0，则 y1，B（0，1）， 由（1）知，C（2，3），BC= (3 1)2+ (2)2=22， 当 BCBP 时，BP22，OP22 +1，P（0，22 +1）， 当 BCPC 时，点 C 在 BP 的垂直平分线，P（0，5）， 即满足条件的点
14、 P 的坐标为（0，5）或（0，22 + 1）. 三、反比例函数的实际应用：三、反比例函数的实际应用： 1.1.反比例函数应用问题的求解思路：反比例函数应用问题的求解思路： 建立反比例函数模型模型求出反比例函数解析式解析式结合函数解析式、性质做出解答。 2.2.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型： 建立函数模型的思路主要有两种： （1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得 k 的值； （2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求 解析式。 【例题【例题 6 6】（2020玉林
15、）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设玉林良睦隧道是全线控制 性工程，首期打通共有土石方总量为 600 千立方米，设计划平均每天挖掘土石方 x 千立方米， 总需用时间 y 天，且完成首期工程限定时间不超过 600 天 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多 0.2 千立方米，工期比原 计划提前了 100 天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 【答案】（1）x1；（2）实际挖掘了 500 天才能完成首期工程. 【解析】（1）利用 xy600，进而得出 y 与 x 的函数关系，根据完成首期工程限定时间不超
16、过 600 天，求出 x 的取值范围； （2）利用实际平均每天挖掘土石方比原计划多 0.2 千立方米，工期比原计划提前了 100 天完 成，得出分式方程，进而求出即可（也可以设原计划每天挖掘土石方 m 千立方米，列分式方 程，计算量比较小） 解：（1）根据题意可得：y= 600 x ，y600，x1； （2）设实际挖掘了 m 天才能完成首期工程，根据题意可得： 600 m 600 m+100 =0.2，解得：m600（舍）或 500，检验得：m500 是原方程的根， 答：实际挖掘了 500 天才能完成首期工程 【变式练习【变式练习 6 6】（2019鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程
17、序，开机加热时每 分钟上升 10，加热到 100停止加热，水温开始下降，此时水温 y（）与开机后用时 x （min）成反比例关系，直至水温降至 30，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重 复上述自动程序若在水温为 30时接通电源，水温 y（）与时间 x（min）的关系如图 所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于 50的水，请问她最多需要等待多长时间？ 【答案】（1）见解析；（2）她最多需要等待34 3 min. 【解析】（1）根据题意和函数图象可以求得 a 的值；根据函数图象和题意可以求得 y 关于 x 的函数关系式，注意函数图象是
18、循环出现的； （2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题； 解：（1）观察图象，可知：当 x7（min）时，水温 y100（） 当 0 x7 时，设 y 关于 x 的函数关系式为：ykx+b， b = 30 7k + b = 100，得 k = 10 b = 30， 即当 0 x7 时，y 关于 x 的函数关系式为 y10 x+30， 当 x7 时，设 y= a x， 100= a 7，得 a700， 即当 x7 时，y 关于 x 的函数关系式为 y= 700 x ， 当 y30 时，x= 70 3 ， y 与 x 的函数关系式为：y= 10 x + 30(0 x 7) 700 x (7x 70 3 ) ，y 与 x 的函数关系式每70 3 分钟重复出 现一次； （2）将 y50 代入 y10 x+30，得 x2， 将 y50 代入 y= 700 x ，得 x14， 14212，70 3 12= 34 3 怡萱同学想喝高于 50的水，她最多需要等待34 3 min；