1、平面直角坐标系平面直角坐标系 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、平面直角坐标系：一、平面直角坐标系： 1.1.平面直角坐标系：平面直角坐标系： （1）定义：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系； （2）x 轴：水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向； （3）y 轴：铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向； （4）原点：两轴的交点 O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点； （5）坐标平面：建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 （6）四象限：坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分； 第一象限、第二象限、第三象限、第四象限； 注
2、意：x x 轴和轴和 y y 轴上的点，不属于任何象限轴上的点，不属于任何象限。 2.2.关键点：关键点：坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对应的。 【例题【例题 1 1】如图的坐标平面上有原点 O 与 A、B、C、D 四点，若有一直线 l 通过点(3，4)且 与 y 轴垂直，则 l 也会通过下列哪一点？( ) AA BB CC DD 【答案】D 【解析】如图所示：有一直线 L 通过点(3，4)且与 y 轴垂直，则 L 也会通过 D 点 【变式练习【变式练习 1 1】(2019白银)中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱如 图，若在象棋棋盘上建立平面直角
3、坐标系，使“帅”位于点(0，2)，“马”位于点(4，2)， 则“兵”位于点_ 【答案】(1，1) 【解析】如图所示，根据“帅”和“马”的位置，可得原点位置，则“兵”位于(1，1)故 答案为(1，1)。 二、点的坐标及不同位置的特征：二、点的坐标及不同位置的特征： 1.1.点的坐标的概念：点的坐标的概念： （1）点的坐标用(a，b)表示；其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开； （2）横、纵坐标的位置不能颠倒，平面内点的坐标是有序实数对； 即：当 ab 时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标； 2.2.各象限内点的坐标的特征：各象限内点的坐标的特征： （1）点 P(x，y)在第一
4、象限 x0，y0； （2）点 P(x，y)在第二象限 x0，y0； （3）点 P(x，y)在第三象限 x0，y0； （4）点 P(x，y)在第四象限 x0，y0； 3.3.坐标轴上的点的特征：坐标轴上的点的特征： （1）点 P(x，y)在 x 轴上 y=0，x 为任意实数； （2）点 P(x，y)在 y 轴上 x=0，y 为任意实数； （3）点 P(x，y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为(0，0)； 4.4.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征： （1）点 P(x，y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等； （2
5、）点 P(x，y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数； 5.5.与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征： （1）平行于 x 轴的直线上的各点：纵坐标相同； （2）平行于 y 轴的直线上的各点：横坐标相同； 6.6.关于关于 x x 轴、轴、y y 轴或原点对称的点的坐标的特征：轴或原点对称的点的坐标的特征： （1）点 P 与点 P关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）点 P 与点 P关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数； （3）点 P 与点 P关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数； 7.7.点到坐标轴及原点的距离：点到
6、坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x，y)到 x 轴的距离等于|y|； （2）点 P(x，y)到 y 轴的距离等于|x|； （3）点 P(x，y)到原点的距离等于 22 xy； 8.8.点与点之间的距离：点与点之间的距离：点 M（x1，y1）与点 N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 2 12 2 12 )()yyxxMN （ 9.9.点平移后的坐标特征：点平移后的坐标特征： （1）点 P(x，y)向右平移 a 个单位长度 P(x+a，y)； （2）点 P(x，y)向左平移 a 个单位长度 P(xa，y)； （3）点 P(x，y)向上平移 b 个单位长度 P(x，y+b)； （4）点
7、 P(x，y)向下平移 b 个单位长度 P(x，yb)； 【例题【例题 2 2】已知点 P（3m，m）在第二象限，则 m 的取值范围是 【答案】m3 【解析】解：点 P（3m，m）在第二象限， 3 m0 m0 ；解得：m3； 故答案为：m3。 【变式练习【变式练习 2 2】点 P（x2，x+3）在第一象限，则 x 的取值范围是 【答案】m2 【解析】解：点 P（x2，x+3）在第一象限， x 20 x + 30，解得：x2 故答案为：x2。 【例题【例题 3 3】(2020广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于 x 轴对称的点的坐标为( ) A(-3，2) B(-2，3) C(2，-3)
8、D(3，-2) 【答案】D 【解析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可 解：点(3，2)关于 x 轴对称的点的坐标为(3，-2)故选：D。 【变式练习【变式练习 3 3】（2020兰州）若点 A（4，m3），B（2n，1）关于 x 轴对称，则（） Am2，n0 Bm2，n2 Cm4，n2 Dm4，n2 【答案】B 【解析】解：根据题意： m31，2n4， 所以 m2，n2故选：B。 【例题【例题 4 4】（2018扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M，点 M 到 x 轴的距离为 3， 到 y 轴的距离为 4，则点 M 的坐标是（ ） A（3，4） B（4
9、，3） C（4，3） D（3，4） 【答案】C 【解析】解：由题意，得 x4，y3， 即 M 点的坐标是（4，3），故选：C。 【变式练习【变式练习 4 4】（2019 秋张店区期末）在平面直角坐标系中，若点 M（2，3）与点 N（2， y）之间的距离是 5，那么 y 的值是（ ） A2 B8 C2 或 8 D2 或 8 【答案】D 【解析】解：点 M（2，3）与点 N（2，y）之间的距离是 5， |y3|5， 解得：y8 或 y2故选：D。 【例题【例题 5 5】(2019河南省)如图，在OAB 中，顶点 O(0，0)，A(3，4)，B(3，4)，将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点
10、 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为( ) A(10，3) B(3，10) C(10，3) D(3，10) 【答案】D 【解析】先求出 AB6，再利用正方形的性质确定 D(3，10)，由于 70417+2，所以第 70 次旋转结束时， 相当于OAB 与正方形 ABCD组成的图形绕点 O顺时针旋转2 次， 每次旋转90， 此时旋转前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标 解：A(3，4)，B(3，4)， AB3+36， 四边形 ABCD 为正方形， ADAB6， D(3，10)， 70417+2， 每 4 次
11、一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时 针旋转 2 次，每次旋转 90， 点 D 的坐标为(3，10)故选：D。 【变式练习【变式练习 5 5】(2018鄂尔多斯)在平面直角坐标系中，对于点 P(a，b)，我们把 Q(b+1， a+1)叫做点 P 的伴随点，已知 A1的伴随点为 A2，A2的伴随点为 A3，这样依次下去得到 A1， A2，A3，An，若 A1的坐标为(3，1)，则 A2018的坐标为 【答案】(0，4) 【解析】根据题意可以分别写出 A1的坐标为(3，1)时对应的点 A2，A3，A4，A5，从而可以发现 其中的规律，进而得到 A2018的坐标，本题得以解决 解：点 A1的坐标为(3，1)， A2的坐标为(0，4)， A3的坐标为(3，1)， A4的坐标为(0，2)， A5的坐标为(3，1)， 每连续的四个点一个循环， 201845042， A2018的坐标为(0，4)， 故答案为：(0，4)。