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2021届中考数学一轮复习专题09:分式方程及其应用(知识点总结+例题讲解)

1、分式方程及其应用分式方程及其应用 (知识点总结(知识点总结+ +例题讲解)例题讲解) 一、分式方程及其解法:一、分式方程及其解法: 1.1.分式方程:分式方程: (1)定义:分母里含有未知数分母里含有未知数的方程叫做分式方程; (2)分式方程的重要特征: 含有分母; 分母中含有未知数; 是方程。 2.2.解分式方程的一般方法:解分式方程的一般方法: (1)解分式方程的基本思想:将“分式方程”转化为“整式方程”; (2)解分式方程的一般方法和步骤:一化,二解,三检验一化,二解,三检验 去分母:方程两边同乘最简公分母,把分式方程化为整式方程;(或交叉相乘) 解整式方程:去括号、移项、合并同类项等;

2、 检验:将整式方程的解代入最简公分母; A.如果最简公分母的值不为 0,则整式方程的解是原分式方程的解; B.若等于 0,就是增根,这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解。 3.3.增根:增根:使分式方程的最简公分母为 0 的根; (1)产生增根的原因: 分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了; (2)分式方程的增根与无解的区别: 分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解; 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为 0 的根。 3.3.分式方程的特殊解法分式方程的特殊解法换元法:换元法: (1)概念:就是引进新的

3、变量,把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系; (2)适用条件:有相同的部分; 例如:解方程06 1 5) 1 ( 2 x x x x ;可设 1 x x t 【例题【例题 1 1】下列各式中为分式方程的是( ) A. 1 x x B. C. D. 【答案】B 【解析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断 A. 1 x x 不是方程,故本选项错误; B.方程 11 123xx 的分母中含未知数 x,所以它是分式方程故本选项正确; C.方程 2 5 3 x 分母中不含未知数,所以它不是分式方程故本选项错误; D.方程 1 0 x 的分母中不含未知数,所以它不是分式方

4、程故本选项错误;故选 B。 【变式练习【变式练习 1 1】(2020呼和浩特)分式 2 2 x x 与 2 8 2xx 的最简公分母是 , 方程 2 28 1 22 x xxx 的解是 【答案】最简公分母是 x(x-2);方程的解为:x=-4。 【解析】解:x 2-2x=x(x-2),分式2 2 x x 与 2 8 2xx 的最简公分母是 x(x-2); 分式方程 2 28 1 22 x xxx , 去分母得:2x 2-8= x(x-2), 去括号得:2x 2-8= x2-2x, 移项合并得:x 2+2x-8=0,变形得:(x-2) (x+4)=0, 解得:x=2 或 x=-4, 当 x=2

5、时,x(x-2)=0,当 x=-4 时,x(x-2)0, x=2 是增根,方程的解为:x=-4。 【例题【例题 2 2】(2020哈尔滨)方程 2 x+5 = 1 x2的解为( ) Ax1 Bx5 Cx7 Dx9 【答案】D 【解析】方程的两边同乘(x+5)(x2)得:2(x2)x5, 11 123xx 2 5 3 x 1 0 x 解得 x9, 经检验,x9 是原方程的解。 【变式练习变式练习 2 2】若分式方程有增根,则这个增根是 【答案】x=1 【解析】根据分式方程有增根,让最简公分母为 0 确定增根,得到 x-1=0,求出 x 的值即 x=1。 【例题【例题 3 3】(2020齐齐哈尔)

6、若关于 x 的分式方程 3x x2 = m 2x +5 的解为正数,则 m 的取值范围为 ( ) Am10 Bm10 Cm10 且 m6 Dm10 且 m6 【答案】D 【解析】分式方程去分母化为整式方程,表示出方程的解,由分式方程的解为正数求出 m 的范 围即可 解:去分母得:3xm+5(x2), 解得:x= m+10 2 , 由方程的解为正数,得到 m+100,且 m+104, 则 m 的范围为 m10 且 m6。 【变式练习【变式练习 3 3】(2019江苏宿迁)关于 x 的分式方程+1 的解为正数,则 a 的取值范 围是 【答案】a5 且 a3 【解析】去分母得:1a+2x2,解得:x

7、5a, 由方程的解为正数,得到 5a0,a5, 2 11 xm xx 当 x5a2 时,a3 不合题意;故 a5 且 a3。 二、分式方程的应用:二、分式方程的应用: 1.1.分式方程实际应用的基本思路:分式方程实际应用的基本思路: 2.2.步骤:步骤:审审找找设设列列解解验验答答 (1)审:审清题意,弄清已知量和未知量; (2)找:找出等量关系找出等量关系; (3)设:设未知数; (4)列:列出分式方程; (5)解:解这个方程; (6)验:检验,既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解,又要检验所求得的解是否符 合实际问题的要求(双检验); (7)答:写出答案。 【例题【例题 4 4】(20

8、20兴安盟呼伦贝尔)甲、乙两人做某种机械零件,已知甲做 240 个零件与乙做 280 个零件所用的时间相等,两人每天共做 130 个零件设甲每天做 x 个零件,下列方程正确 的是( ) A 240280 130 xx B 240280 130 xx C 240280 130 xx D 240280 130 xx 【答案】A 【解析】设甲每天做 x 个零件,根据甲做 240 个零件与乙做 280 个零件所用的时间相同,列出 方程即可 解:设甲每天做 x 个零件,根据题意得: 240280 130 xx ; 故选:A。 【变式练习【变式练习 4 4】(2020吉林)甲、乙二人做某种机械零件已知甲每

9、小时比乙多做 6 个,甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等求乙每小时做零件的个数 【答案】乙每小时做 12 个零件 【解析】设乙每小时做 x 个零件,甲每小时做(x+6)个零件,根据时间=总工作量工作效率, 即可得出关于 x 的分式方程,解之并检验后即可得出结论 解:设乙每小时做 x 个零件,甲每小时做(x+6)个零件, 根据题意得: 9060 6xx , 解得:x=12, 经检验,x=12 是原方程的解,且符合题意, x+6=18 答:乙每小时做 12 个零件。 【例题【例题 5 5】(2020长沙)随着 5G 网络技术的发展,市场对 5G 产品的需求越来越大,为满足市 场

10、需求,某大型 5G 产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前 多生产 30 万件产品,现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时 间相同设更新技术前每天生产 x 万件产品,依题意得( ) A 400 x30 = 500 x B400 x = 500 x+30 C400 x = 500 x30 D 400 x+30 = 500 x 【答案】B 【解析】设更新技术前每天生产 x 万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品,根据工 作时间工作总量工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件 产品所需时间相同,即可

11、得出关于 x 的分式方程,此题得解 解:设更新技术前每天生产 x 万件产品,则更新技术后每天生产(x+30)万件产品, 依题意,得:400 x = 500 x+30。故选 B。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020贵州黔西南)“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢 骑自行车出行,也给自行车商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同,那 么今年的销售总额将比去年减少 10%,求: (1)A 型自行车去年每辆售价多少元; (2)该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60

12、 辆, 且 B 型车的进货数量不超过 A 型车 数量的两倍已知,A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元,计划 B 型车销售 价格为 2400 元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多 【答案】(1) 2000 元;(2) A 型车 20 辆,B 型车 40 辆 【解析】(1)设去年 A 型车每辆售价 x 元,则今年售价每辆为(x200)元,由卖出的数量相同 列出方程求解即可; (2)设今年新进 A 型车 a 辆,则 B 型车(60a)辆,获利 y 元,由条件表示出 y 与 a 之间的关系 式,由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值 解:(1)设去年 A 型

13、车每辆售价 x 元,则今年售价每辆为(x200)元,由题意,得: 8000080000(1 10%) 200 xx , 解得:x=2000经检验,x=2000 是原方程的根 答:去年 A 型车每辆售价为 2000 元; (2)设今年新进 A 型车 a 辆,则 B 型车(60a)辆,获利 y 元,由题意,得: y=300a+36000 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍, 60a2a, a20 y=300a+36000 k=3000, y 随 a 的增大而减小 a=20 时,y最大=30000 元 B 型车的数量为:6020=40 辆 答:当新进 A 型车 20 辆,B 型车 40 辆时,这批车获利最大。