1、分式方程及其应用分式方程及其应用 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、分式方程及其解法：一、分式方程及其解法： 1.1.分式方程：分式方程： （1）定义：分母里含有未知数分母里含有未知数的方程叫做分式方程； （2）分式方程的重要特征： 含有分母； 分母中含有未知数； 是方程。 2.2.解分式方程的一般方法：解分式方程的一般方法： （1）解分式方程的基本思想：将“分式方程”转化为“整式方程”； （2）解分式方程的一般方法和步骤：一化，二解，三检验一化，二解，三检验 去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；（或交叉相乘） 解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
2、 检验：将整式方程的解代入最简公分母； A.如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解； B.若等于 0，就是增根，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 3.3.增根：增根：使分式方程的最简公分母为 0 的根； （1）产生增根的原因： 分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了； （2）分式方程的增根与无解的区别： 分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解； 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为 0 的根。 3.3.分式方程的特殊解法分式方程的特殊解法换元法：换元法： （1）概念：就是引进新的
3、变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系； （2）适用条件：有相同的部分； 例如：解方程06 1 5) 1 ( 2 x x x x ；可设 1 x x t 【例题【例题 1 1】下列各式中为分式方程的是( ) A. 1 x x B. C. D. 【答案】B 【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断 A. 1 x x 不是方程，故本选项错误； B.方程 11 123xx 的分母中含未知数 x，所以它是分式方程故本选项正确； C.方程 2 5 3 x 分母中不含未知数，所以它不是分式方程故本选项错误； D.方程 1 0 x 的分母中不含未知数，所以它不是分式方
4、程故本选项错误；故选 B。 【变式练习【变式练习 1 1】(2020呼和浩特)分式 2 2 x x 与 2 8 2xx 的最简公分母是 ， 方程 2 28 1 22 x xxx 的解是 【答案】最简公分母是 x(x-2)；方程的解为：x=-4。 【解析】解：x 2-2x=x(x-2)，分式2 2 x x 与 2 8 2xx 的最简公分母是 x(x-2)； 分式方程 2 28 1 22 x xxx ， 去分母得：2x 2-8= x(x-2)， 去括号得：2x 2-8= x2-2x， 移项合并得：x 2+2x-8=0，变形得：(x-2) (x+4)=0， 解得：x=2 或 x=-4， 当 x=2
5、时，x(x-2)=0，当 x=-4 时，x(x-2)0， x=2 是增根，方程的解为：x=-4。 【例题【例题 2 2】(2020哈尔滨)方程 2 x+5 = 1 x2的解为( ) Ax1 Bx5 Cx7 Dx9 【答案】D 【解析】方程的两边同乘(x+5)(x2)得：2(x2)x5， 11 123xx 2 5 3 x 1 0 x 解得 x9， 经检验，x9 是原方程的解。 【变式练习变式练习 2 2】若分式方程有增根，则这个增根是 【答案】x=1 【解析】根据分式方程有增根，让最简公分母为 0 确定增根，得到 x-1=0，求出 x 的值即 x=1。 【例题【例题 3 3】(2020齐齐哈尔)
6、若关于 x 的分式方程 3x x2 = m 2x +5 的解为正数，则 m 的取值范围为 ( ) Am10 Bm10 Cm10 且 m6 Dm10 且 m6 【答案】D 【解析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出 m 的范 围即可 解：去分母得：3xm+5(x2)， 解得：x= m+10 2 ， 由方程的解为正数，得到 m+100，且 m+104， 则 m 的范围为 m10 且 m6。 【变式练习【变式练习 3 3】(2019江苏宿迁)关于 x 的分式方程+1 的解为正数，则 a 的取值范 围是 【答案】a5 且 a3 【解析】去分母得：1a+2x2，解得：x
7、5a， 由方程的解为正数，得到 5a0，a5， 2 11 xm xx 当 x5a2 时，a3 不合题意；故 a5 且 a3。 二、分式方程的应用：二、分式方程的应用： 1.1.分式方程实际应用的基本思路：分式方程实际应用的基本思路： 2.2.步骤：步骤：审审找找设设列列解解验验答答 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）找：找出等量关系找出等量关系； （3）设：设未知数； （4）列：列出分式方程； （5）解：解这个方程； （6）验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符 合实际问题的要求(双检验)； （7）答：写出答案。 【例题【例题 4 4】(20
8、20兴安盟呼伦贝尔)甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做 240 个零件与乙做 280 个零件所用的时间相等，两人每天共做 130 个零件设甲每天做 x 个零件，下列方程正确 的是( ) A 240280 130 xx B 240280 130 xx C 240280 130 xx D 240280 130 xx 【答案】A 【解析】设甲每天做 x 个零件，根据甲做 240 个零件与乙做 280 个零件所用的时间相同，列出 方程即可 解：设甲每天做 x 个零件，根据题意得： 240280 130 xx ； 故选：A。 【变式练习【变式练习 4 4】(2020吉林)甲、乙二人做某种机械零件已知甲每
9、小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等求乙每小时做零件的个数 【答案】乙每小时做 12 个零件 【解析】设乙每小时做 x 个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量工作效率， 即可得出关于 x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论 解：设乙每小时做 x 个零件，甲每小时做(x+6)个零件， 根据题意得： 9060 6xx ， 解得：x=12， 经检验，x=12 是原方程的解，且符合题意， x+6=18 答：乙每小时做 12 个零件。 【例题【例题 5 5】(2020长沙)随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满足市 场
10、需求，某大型 5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前 多生产 30 万件产品，现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时 间相同设更新技术前每天生产 x 万件产品，依题意得( ) A 400 x30 = 500 x B400 x = 500 x+30 C400 x = 500 x30 D 400 x+30 = 500 x 【答案】B 【解析】设更新技术前每天生产 x 万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，根据工 作时间工作总量工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件 产品所需时间相同，即可
11、得出关于 x 的分式方程，此题得解 解：设更新技术前每天生产 x 万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品， 依题意，得：400 x = 500 x+30。故选 B。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020贵州黔西南)“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢 骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那 么今年的销售总额将比去年减少 10%，求： (1)A 型自行车去年每辆售价多少元； (2)该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60
12、 辆， 且 B 型车的进货数量不超过 A 型车 数量的两倍已知，A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车销售 价格为 2400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多 【答案】(1) 2000 元；(2) A 型车 20 辆，B 型车 40 辆 【解析】(1)设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为(x200)元，由卖出的数量相同 列出方程求解即可； (2)设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车(60a)辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系 式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值 解：(1)设去年 A 型
13、车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为(x200)元，由题意，得： 8000080000(1 10%) 200 xx ， 解得：x=2000经检验，x=2000 是原方程的根 答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元； (2)设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车(60a)辆，获利 y 元，由题意，得： y=300a+36000 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60a2a， a20 y=300a+36000 k=3000， y 随 a 的增大而减小 a=20 时，y最大=30000 元 B 型车的数量为：6020=40 辆 答：当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大。