1、因式分解因式分解 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、因式分解：一、因式分解： 1.1.因式分解的定义：因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的 积积 的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解； 【例题【例题 1 1】(2020河北)对于x-3xy = x(1-3y)，(x+3)(x-1) = x 2+2x-3，从左到右的变形， 表述正确的是( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.是因式分解，是乘法运算 D.是乘法运算，是因式分解 【答案】C 【解析】解：x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解； (x+3)(x-1) = x 2+2x-3，从
2、左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以是因式分解，是乘法运算；故选：C。 【变式练习【变式练习 1 1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ) Ax(ab)axbx Bx 21+y2(x1)(x+1)+y2 Cx 21(x+1)(x1) Dax+bx+cx(a+b+c) 【答案】C 【解析】A.等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解； B.等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解； C.等号右边是几个整式乘积的形式，且变形正确，左右两边相等，故是因式分解； D.左右两边不相等，故不是因式分解。 二、因式分解的方法与步骤：二、因式分解的方法与步骤： 1.因式分解的一
3、般方法： （1）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法； 用字母表示：mamambmbmcmcm(am(ab bc)c)；或：am+an=a(m+n)am+an=a(m+n) 公因式的确定：取各项系数的最大公约数最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂最低次幂。 （2）运用公式法：果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做运用公式法； 平方差公式：)( 22 bababa； 完全平方公式： 222 )(2bababa； 立方和公式：)( 2233 babababa
4、； 立方差公式：)(-(- 2233 babababa； （3）十字相乘法：x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)； （4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式； 如：amanbm+bn=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)=(mn)(ab) 2.因式分解的一般步骤：一提一提(提公因式)；二套二套(套公式)；三验三验(检验是否分解彻底)。 （1）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解； （2）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止在有理数范围内不能再分解为止； 3.因式分解要注意的几个问题： （1）每个因式分解到不能再分为止； （
5、2）相同因式写成乘方的形式； （3）因式分解的结果不要中括号； （4）如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数； （5）因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面。 【例题讲解】【例题讲解】 1.1.利用提公因式法因式分解：利用提公因式法因式分解： 【例题【例题 2 2】(2020海南)因式分解：x 2-2x = 【答案】x(x-2) 【解析】解：原式= x(x-2)；故答案为：x(x-2) 【变式练习【变式练习 2 2】把6x 3y23x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是( ) A3x 2y2 B2x 2y2 C6x 2y2
6、 Dx 2y2 【答案】D 【解析】6x 3y23x2y2+8x2y3x2y2(6x+38y)； 故把6x 3y23x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：x2y2；故选 D。 2.2.利用平方差公式因式分解：利用平方差公式因式分解： 【例题【例题 3 3】分解因式：(2x+y) 2(x+2y)2 【答案】3(x+y)(xy) 【解析】解：原式(2x+y+x+2y)(2x+yx2y)(3x+3y)(xy)3(x+y)(xy)。 【变式练习【变式练习 3 3】(2019江苏无锡)分解因式 4x 2y2的结果是( ) A(4x+y)(4xy) B4(x+y)(xy) C(2x+y)(2xy
7、) D2(x+y)(xy) 【答案】C 【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键；直接利用平方差公式分 解因式得出答案； 4x 2y2(2x)2y2=(2x+y)(2xy)。 3.3.利用完全平方公式因式分解：利用完全平方公式因式分解： 【例题【例题 4 4】(2020 齐齐哈尔模拟)把多项式 x 2-6x+9 分解因式，结果正确的是( ) A.(x-3) 2 B.(x-9) 2 C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9) 【答案】A 【解析】原式利用完全平方公式分解即可；x 2-6x+9=(x-3)2。 【变式练习【变式练习 4 4】(2020哈尔滨)把多项式 m
8、 2n+6mn+9n 分解因式的结果是 【答案】n(m+3) 2 【解析】直接提取公因式 n，再利用完全平方公式分解因式得出答案； 原式n(m 2+6m+9)n(m+3)2 4 4. .利用利用立方和及立方差立方和及立方差公式因式分解：公式因式分解： 【例题【例题 5 5】因式分解：(x1) 3(y1)3。 【答案】(xy)(x 2xyy23x3y3) 【解析】(x1) 3(y1)3(利用立方和公式) 原式 (x1)(y1)(x+1) 2(x+1)(y1)(y1)2 (xy)(x 22x1)(xyxy1)(y22y1) (xy)x 22x1xyxy1y22y1 (xy)(x 2xyy23x3y
9、3)。 【变式练习【变式练习 5 5】因式分解：(xy) 3-(xy)3。 【答案】2y(3x 2+y2) 【解析】(xy) 3-(xy)3（利用立方差公式） 原式(x+y)-(x-y)(x+y) 2+(x+y)(x-y)+(x-y)2 2y(x 2+2xy+y2+x2-y2+x2-2xy+y2) 2y(3x 2+y2) 5.5.利用十字相乘法因式分解：利用十字相乘法因式分解： 【例题【例题 6 6】分解因式：x 22x24= 【答案】(x-6)(x+4) 【解析】x 2-2x-24(x-6)(x+4)。 【变式练习【变式练习 6 6】已知二次三项式 x 2+bx+c 分解因式为(x-3)(x
10、+1)，则 b+c 的值为( ) A1 B-1 C-5 D5 【答案】C 【解析】二次三项式 x 2+bx+c 分解因式为(x-3)(x+1)， x 2+bx+c(x-3)(x+1)x2-2x-3，b-2，c-3，故 b+c5；故选 C。 6 6. .利用利用分组法分组法因式分解：因式分解： 【例题【例题 7 7】因式分解：x 2-y2-2x+2y。 【答案】(x-y)(x+y-2) 【解析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式 xy 即可； x 2-y2-2x+2y = (x2-y2)-(2x-2y) =(x+y)(x-y)-2(x-y) =(x-y)(x+y-2)。
11、【变式练习【变式练习 7 7】(2020株洲模拟)分解因式：x 2+3x(x3)9= 【答案】(x3)(4x+3) 【解析】x 2+3x(x3)9 =x 29+3x(x3) =(x3)(x+3)+3x(x3) =(x3)(x+3+3x) =(x3)(4x+3)。 6.6.几种方法综合运用因式分解：几种方法综合运用因式分解： 【例题【例题 8 8】(2020宁夏)分解因式：3a 2-6a+3= 【答案】3(a-1) 2 【解析】首先提取公因式 3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案； 解：原式=3(a 2-2a+1)=3(a-1)2。 【变式练习【变式练习 8 8】(2020新疆兵团)分解因式：am 2-an2 = 【答案】a(m+n)(m-n) 【解析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可； 解：原式= a(m 2-n2 )= a(m+n)(m-n)， 故答案为：a(m+n)(m-n)。