1、二次根式的运算二次根式的运算 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、数的乘方与开方：一、数的乘方与开方： 1.1.数的乘方：数的乘方： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0 的任何正整数次幂都是 0； 2.2.数的开方：数的开方： （1）平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根）； 即：若 x 2=a，则 x 叫做 a 的平方根； 正数有两个平方根（互为相反数）；负数没有平方根；0 的平方根是 0； （2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a”。 （3）若ab 3 ，
2、则 b 叫做 a 的立方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0； 【例题【例题 1 1】(2020青海)(-3+8)的相反数是 ；16的平方根是 【答案】-5；2 【解析】解：-3+8=5，5 的相反数是-5；164，4 的平方根是2 【变式练习【变式练习 1 1】4 的算术平方根是 ，9 的平方根是 ， 27 的立方根是 。 【答案】2；3，3 【解析】解：4 的算术平方根是 2，9 的平方根是3，27 的立方根是3 【例题【例题 2 2】（2020黄冈）计算 3 8-= 。 【答案】-2 【解析】解： 3 8-=-2. 【变式练习【变式练习 2 2】若
3、 a 满足 3 aa，则 a 的值为( ) A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或1 【答案】C 【解析】 3 aa，a 为 0 或 1；故选 C。 二、二次根式：二、二次根式： 1.1.二次根式的定义：二次根式的定义：形如a（a0）的式子，叫做二次根式； （或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式） 2.2.二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件：被开方数0；（被开方数大于或等于 0 ） 3.3.二次根式的性质：二次根式的性质： （1）a（a0）是非负数； （2）（a） 2=a （a0）； （3） ），（ ），（ ），（ 0 00 0 2 aa a aa a
4、a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：baab（a0，b0）；反之：abba； （5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根； 即： b a b a （a0，b0）；反之： b a b a ； 【例题【例题 3 3】(2020广东)若式子24x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( ) Ax2 Bx2 Cx2 Dx-2 【答案】B 【解析】解：24x 在实数范围内有意义， 2x-40，解得：x2，x 的取值范围是：x2；故选：B。 【变式练习【变式练习 3 3】（2019甘肃）使得式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx
5、4 Cx4 Dx4 【答案】D 【解析】使得式子有意义，则：4x0，解得：x4， 即 x 的取值范围是：x4。 二、非负数：二、非负数： 1.1.概念：概念：正数和零叫做非负数；常见的非负数有|a|，a 2， a(a0)； 2.2.性质：性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零； 如：若 a 2+|b|+ c=0，则 a 2=0，|b|=0， c=0，可得 a=b=c=0 【例题【例题 4 4】(2020广东)若2|1| 0ab ，则(a+b) 2020= 【答案】1 【解析】解：2|1| 0ab ，a-2=0 且 b+1=0， 解得，a=2，b=-1，(a+b) 2020=(2-1)2
6、020=1；故答案为：1。 【变式练习【变式练习 4 4】单项式 x -|a-1|y 与1 2 b xy 是同类项，则 a b= 【答案】1 【解析】由题意知-|a-1|=1b， a=1，b=1，则 a b=11=1；故答案为：1 三、分母有理化：三、分母有理化： 1.1.最简二次根式：最简二次根式：必须同时满足以下两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含根式 （3）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 如：5， 2 1x 是最简二次根式； 而：8， 1 2 ， 2 2a都不是最简二次根式； 2.2.同类二次根式：同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几
7、个二次根式就是同 类二次根式。 如：5654-和，最简被开方数都是5，故他们是同类二次根式； 3.3.分母有理化：把分母中的根号化去分母有理化：把分母中的根号化去 分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混 合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。 4.4.分母有理化的方法：分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。 （1） a a aa a a 1 ； （2） ba ba baba ba ba )(- 1 ； 5.找有理化因式的方法： （1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分； 如：a的有理化因式为a；
8、 ba的有理化因式为b。 （2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分； 即：ba的有理化因式为ba-； ba 的有理化因式为ba -； ybxa的有理化因式为ybxa-； 【例题【例题 5 5】(2020上海)下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A6 B9 C12 D18 【答案】C 【解析】解：A、6与3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B、93，与3不是同类二次根式； C、122 3，与3被开方数相同，故是同类二次根式； D、183 2，与3被开方数不同，故不是同类二次根式；故选：C。 【变式练习【变式练习 5 5】下列二次根式中，与2是同类二次
9、根式的是( ) A12 B 2 3 C 3 2 D18 【答案】D 【解析】D 选项中18=32。 四、二次根式的运算：四、二次根式的运算： 1.1.二次根式的加减：二次根式的加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并； 一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行： （1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式； （2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组； （3）合并同类二次根式； 2.2.二次根式的乘除：二次根式的乘除： （1）乘法：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变； 即：abba（a0，b0）； （2）除法：两个二次根式相除，把被开方
10、数相除，根指数不变； 即： b a b a （a0，b0）； （3）混合运算：与实数的运算顺序相同；运算结果必须为最简二次根式。 【例题【例题 6 6】（2019山东威海）计算（3） 0+ （） 1的结果是（ ） A1+ B1+2 C D1+4 【答案】D 【解析】分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解。 原式1+1+。 【变式练习【变式练习 6 6】（2020遵义）计算：12-3的结果是 【答案】 3 【解析】首先化简12，然后根据实数的运算法则计算；12-3 =23-3 = 3。 【例题【例题 7 7】(2019安徽省)计算182的结果是 【答案】3 【解析】解：1823
11、223。 【变式练习【变式练习 7 7】 (2020兴安盟呼伦贝尔 7/26)已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示， 则 化简 2 |1|(2)aa的结果是( ) A3-2a B-1 C1 D2a-3 【答案】D 【解析】解：由图知：1a2， a-10，a-20，原式= a-1+(a-2)= 2a-3故选：D。 五、二次根式的估值：五、二次根式的估值： 一般步骤：一般步骤： 1.一般先对根式进行平方，如 2 ( 5)5； 2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如 459； 3.对以上两个整数开方，如42，93； 4.这个根式的值在这两个相邻整数之间，如25 3。 【例题【例题 8 8】(2020赤峰)估计 1 (2 33 2) 3 的值应在( ) A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间 【答案】A 【解析】解：原式26， 26 3， 4 2+ 6 5，故选：A。 【变式练习【变式练习 8 8】下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是( ) A10 B17 C3.1 D10 3 【答案】A 【解析】因为91016，所以3104，且10是无理数，故选项 A 正确。