1、2020-2021 学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 2抛物线 y2x24x+1 的对称轴是（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 3下列描述的事件为必然事件的是（ ） A汽车累积行驶 10000km，从未出现故障 B购买 1 张彩票，中奖 C任意画一个三角形，其内角和是 180 D明天一定会下雪 4下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
2、 Ax2x+0 Bx2+2x+40 Cx2x+20 Dx22x0 5已知O 的半径是 6cm，则O 中最长的弦长是（ ） A6cm B12cm C16cm D20cm 6如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，若CDA118，则C 的 度数为（ ） A32 B33 C34 D44 7往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB48cm，则水的最大深度 为（ ） A8cm B10cm C16cm D20cm 8将抛物线 yx2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得到的拋物线为（ ） Ay（x+3）2+
3、5 By（x3）2+5 Cy（x+5）2+3 Dy（x5）2+3 9一个不透明的袋子中装有 9 个小球，其中 6 个红球、3 个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子 中随机摸出一个小球则摸出的小球是红球的概率是（ ） A B C D 10半径为 3 的正六边形的周长为（ ） A18 B C D 11国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿元增加到7500亿元 设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x， 则可列方程为 （ ） A5000（1+2x）7500 B50002（1+x）7500 C5000（1+x
4、）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 12如图，抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴于 C，D 两点（点 C 在点 D 右边） ，对称轴为直线 x，连接 AC，AD，BC若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好 落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A点 B 坐标为（5，4） BABAD Ca DOCOD16 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一元二次方程 x22x0 的两根分别为 14掷两枚质地均匀的硬币
5、，两枚硬币全部反面朝上的概率是 15如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3若以 AC 所在直线为轴，把ABC 旋转一周，得 到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 16若抛物线 y3x24xk 与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为 17如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落 在 BC 边上，且 ABCB，则C的度数为 18如图所示的扇形 AOB 中，OAOB2，AOB90，C 为上一点，AOC30，连接 BC，过 C 作 OA 的垂线交 AO 于点 D，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，
6、共小题，共 66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解方程：10 x25xx25x+ 20 （8 分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字 4、5、6，随机摸取 1 个小 球然后放回，再随机摸取一个小球 （1）用面树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果； （2）求两次抽出数字之和为奇数的概率 21 （10 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 顺时针旋转ABF 的位置 （）旋转中心是点 ，旋转角度是 度； （）若连结 EF，则AEF 是 三角形，并证明你的结论 22
7、（10 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上不同于 A，B 的两点，AC 与 BD 相交于点 F， BE 是半圆 O 所在圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E （）若 ADBC，证：CBADAB； （）若 BEBF，DAC32，求：EAB 的度数 23 （10 分）某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的每天销售量 y（千克） 与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价 x（元/千 克） 55 60 65 70 销售量 y（千克） 70 60 50 40 （1）求 y（千克）与 x（元
8、/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24 （10 分）已知，点 O 是等边ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC （）如图 1 所示，已知AOB150，BOC120，将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC 求DAO 的度数； 用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明 （）设AOB，BOC 当 ， 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？并说明理由； 若等边ABC 的边长为 1，请你直接写出 OA+OB+OC 的最小值 2
9、5 （10 分）如图，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OAOB，点 G 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标； （2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单 位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 2020-2021 学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷学年天津市东丽区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题
10、小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图 形的定义即可判断出 【解答】 解： A、 此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形， 是轴对称图形， 故此选项错误； B、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错 误； D、 此图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心
11、对称图形， 不是轴对称图形， 故此选项错误 故选：B 2抛物线 y2x24x+1 的对称轴是（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 【分析】将题目中的抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y2x24x+12（x1）21， 该抛物线的对称轴是直线 x1， 故选：B 3下列描述的事件为必然事件的是（ ） A汽车累积行驶 10000km，从未出现故障 B购买 1 张彩票，中奖 C任意画一个三角形，其内角和是 180 D明天一定会下雪 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此进行判断即可 【解答】解：A汽车累积行驶 1000
12、0km，从未出现故障，是随机事件，不合题意； B购买 1 张彩票，中奖，是随机事件，不合题意； C任意画一个三角形，其内角和是 180，是必然事件，符合题意； D明天一定会下雪，是随机事件，不合题意； 故选：C 4下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） Ax2x+0 Bx2+2x+40 Cx2x+20 Dx22x0 【分析】分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案 【解答】解：A此方程判别式（1）2410，方程有两个相等的实数根，不符合题意； B此方程判别式22414120，方程没有实数根，不符合题意； C此方程判别式（1）241270，方程没有实数
13、根，不符合题意； D此方程判别式（2）241040，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D 5已知O 的半径是 6cm，则O 中最长的弦长是（ ） A6cm B12cm C16cm D20cm 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解 【解答】解：圆的直径为圆中最长的弦， O 中最长的弦长为 12cm 故选：B 6如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，若CDA118，则C 的 度数为（ ） A32 B33 C34 D44 【分析】连接 OD，根据切线的性质可得ODC90，再根据圆周角定理即可求出C 的度数 【解答】解：如图，连接 OD， CD
14、与O 相切于点 D， ODC90， CDA118， ODACDAODC1189028， ODOA， OADODA28， DOC2ODA56， C90DOC34， 故选：C 7往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB48cm，则水的最大深度 为（ ） A8cm B10cm C16cm D20cm 【分析】连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，先由垂径定理求出 BD 的长，再根据勾股 定理求出 OD 的长，进而可得出 CD 的长 【解答】解：连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，如图所示： AB48cm， BDA
15、B4824（cm） ， O 的直径为 52cm， OBOC26cm， 在 RtOBD 中，OD10（cm） ， CDOCOD261016（cm） ， 故选：C 8将抛物线 yx2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得到的拋物线为（ ） Ay（x+3）2+5 By（x3）2+5 Cy（x+5）2+3 Dy（x5）2+3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 yx2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y x2+3； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2+3 向右平移 5 个单位所得抛物线的解析式为：y（
16、x5） 2+3； 故选：D 9一个不透明的袋子中装有 9 个小球，其中 6 个红球、3 个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子 中随机摸出一个小球则摸出的小球是红球的概率是（ ） A B C D 【分析】利用概率公式可求解 【解答】解：从袋子中随机摸出一个小球有 9 种等可能的结果，其中摸出的小球是红球有 6 种， 摸出的小球是红球的概率是， 故选：A 10半径为 3 的正六边形的周长为（ ） A18 B C D 【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可 【解答】解：正六边形的半径等于边长， 正六边形的边长 a3， 正六边形的周长 l6a18， 故选：A 11国家统计局统计数据显示，
17、我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿元增加到7500亿元 设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x， 则可列方程为 （ ） A5000（1+2x）7500 B50002（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 【分析】根据题意可得等量关系：2017 年的快递业务量（1+增长率）22019 年的快递业务量，根据 等量关系列出方程即可 【解答】解：设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：5000（1+x）27500， 故
18、选：C 12如图，抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴于 C，D 两点（点 C 在点 D 右边） ，对称轴为直线 x，连接 AC，AD，BC若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好 落在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A点 B 坐标为（5，4） BABAD Ca DOCOD16 【分析】由抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A，可得点 A 的坐标，然后由抛物线的对称性可得点 B 的坐 标，由点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，可知ACOACB，再结合平行线的性质可 判断BACACB，从而可
19、知 ABAD；过点 B 作 BEx 轴于点 E，由勾股定理可得 EC 的长，则点 C 坐标可得，然后由对称性可得点 D 的坐标，则 OCOD 的值可计算；由勾股定理可得 AD 的长，由双根 式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可 【解答】解：抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A， A（0，4） ， 对称轴为直线 x，ABx 轴， B（5，4） 故 A 无误； 如图，过点 B 作 BEx 轴于点 E， 则 BE4，AB5， ABx 轴， BACACO， 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上， ACOACB， BACACB， BCAB5， 在
20、RtBCE 中，由勾股定理得：EC3， C（8，0） ， 对称轴为直线 x， D（3，0） 在 RtADO 中，OA4，OD3， AD5， ABAD， 故 B 无误； 设 yax2+bx+4a（x+3） （x8） ， 将 A（0，4）代入得：4a（0+3） （08） ， a， 故 C 无误； OC8，OD3， OCOD24， 故 D 错误 综上，错误的只有 D 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一元二次方程 x22x0 的两根分别为 x10，x22 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解：x22x0， x
21、（x2）0， x0 或 x20， 解得 x10，x22 14掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是 【分析】根据概率公式知，掷两枚质地均匀的硬币，有 4 种情况，两枚硬币全部反面朝上的概率是 【解答】 解： 根据题意可得： 掷两枚质地均匀的硬币， 有 4 种情况， 则两枚硬币全部反面朝上的概率是 故本题答案为： 15如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3若以 AC 所在直线为轴，把ABC 旋转一周，得 到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15 【分析】运用公式 slr（其中勾股定理求解得到的母线长 l 为 5）求解 【解答】解：由已知得，母线长 l5，底面圆的半径 r 为
22、 3， 圆锥的侧面积是 slr5315 故答案为：15 16若抛物线 y3x24xk 与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为 k 【分析】 由抛物线与 x 轴没有交点， 可得出一元二次方程 3x24xk0 没有实数根， 进而可得出0， 解之即可得出 k 的取值范围 【解答】解：抛物线 y3x24xk 与 x 轴没有交点， 一元二次方程 3x24xk0 没有实数根， （4）243（k）0， k 故答案为：k 17如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落 在 BC 边上，且 ABCB，则C的度数为 24 【分析】 由旋转的性质可得CC， AB
23、AB， 由等腰三角形的性质可得CCAB， BABB， 由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解 【解答】解：ABCB， CCAB， ABBC+CAB2C， 将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC， CC，ABAB， BABB2C， B+C+CAB180， 3C180108， C24， CC24， 故答案为：24 18如图所示的扇形 AOB 中，OAOB2，AOB90，C 为上一点，AOC30，连接 BC，过 C 作 OA 的垂线交 AO 于点 D，则图中阴影部分的面积为 【分析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积S扇形BOCSOBC+SCOD进行计算 【解答】解：AOB90，
24、AOC30， BOC60， 扇形 AOB 中，OAOB2， OBOC2， BOC 是等边三角形， 过 C 作 OA 的垂线交 AO 于点 D， ODC90， AOC30， ODOC，CDOC1， 图中阴影部分的面积S扇形BOCSOBC+SCOD + 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解方程：10 x25xx25x+ 【分析】整理后利用因式分解法求解即可 【解答】解：整理得 9x210， （3x+1） （3x1）0， 3x+10 或 3x10，
25、x1，x2 20 （8 分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字 4、5、6，随机摸取 1 个小 球然后放回，再随机摸取一个小球 （1）用面树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果； （2）求两次抽出数字之和为奇数的概率 【分析】 （1）列表可得所有等可能结果； （2）从所列的等可能结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）列表如下： 4 5 6 4 （4，4） （5，4） （6，4） 5 （4，5） （5，5） （6，5） 6 （4，6） （5，6） （6，6） （2）所有等可能的结果有 9 种，其中之和为奇数的情况有 4 种， 两次抽出
26、数字之和为奇数的概率为 21 （10 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 顺时针旋转ABF 的位置 （）旋转中心是点 A ，旋转角度是 90 度； （）若连结 EF，则AEF 是 等腰直角 三角形，并证明你的结论 【分析】 （）根据旋转变换的性质解决问题即可 （）利用旋转变换的性质解决问题即可 【解答】解： （）旋转中心是点 A，旋转角度是 90 度 故答案为：A，90 （）由旋转的性质可知，DAEBAF，AEAF， 四边形 ABCD 是正方形， BAD90， EAFBAD90， AEF 是等腰直角三角形 故答案为：等腰直角 22 （10 分）如图，AB 是半圆
27、 O 的直径，C，D 是半圆 O 上不同于 A，B 的两点，AC 与 BD 相交于点 F， BE 是半圆 O 所在圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E （）若 ADBC，证：CBADAB； （）若 BEBF，DAC32，求：EAB 的度数 【分析】 （1）根据圆周角定理得到ACBADB90，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到EBFE，根据切线的性质得到ABE90，根据三角形的内角 和即可得到结论 【解答】 （1）证明：AB 是半圆 O 的直径， ACBADB90， 在 RtCBA 与 RtDAB 中， ， RtCBARtDAB（HL） ； （2）解：BE
28、BF， 由（1）知 BCEF， EBFE， BE 是半圆 O 所在圆的切线， ABE90， E+BAE90， 由（1）知D90， DAF+AFD90， AFDBFE， AFDE， DAF90AFD，BAF90E， EABDAC32 23 （10 分）某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的每天销售量 y（千克） 与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价 x（元/千 克） 55 60 65 70 销售量 y（千克） 70 60 50 40 （1）求 y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某
29、天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价 x 的方程，然后解一元二次方程组即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 ykx+b（k0） ，将表中数据（55，70） 、 （60，60）代 入得： ， 解得： y 与 x 之间的函数表达式为 y2x+180 （2）由题意得： （x50） （2x+180）600， 整理得：
30、x2140 x+48000， 解得 x160，x280 答：为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为 60 元/千克或 80 元/千克 （3）设当天的销售利润为 w 元，则： w（x50） （2x+180） 2（x70）2+800， 20， 当 x70 时，w最大值800 答：当销售单价定为 70 元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是 800 元 24 （10 分）已知，点 O 是等边ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC （）如图 1 所示，已知AOB150，BOC120，将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC 求DAO 的度数； 用等式表示
31、线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明 （）设AOB，BOC 当 ， 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？并说明理由； 若等边ABC 的边长为 1，请你直接写出 OA+OB+OC 的最小值 【分析】 （）根据旋转变换的性质、四边形内角和为 360计算即可； 连接 OD，根据勾股定理解答； （）将AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得AOC，连接 OO，根据等边三角形的性质解 答； 根据等边三角形的性质计算 【解答】解： （）AOB150，BOC120， AOC90， 由旋转的性质可知，OCD60，ADCBOC120， DAO360609012090， 故答案为：90； 线段
32、 OA，OB，OC 之间的数量关系是 OA2+OB2OC2 如图 1，连接 OD BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， ADCBOC，OCD60 CDOC，ADCBOC120，ADOB， OCD 是等边三角形， OCODCD，CODCDO60， AOB150，BOC120， AOC90， AOD30，ADO60 DAO90 在 RtADO 中，DAO90， OA2+AD2OD2 OA2+OB2OC2 （）如图 2，当 120时，OA+OB+OC 有最小值 作图如图 2， 如图 2，将AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得AOC，连接 OO AOCAOC，OCOACA60 OC
33、OC，OAOA，ACBC， AOCAOC OCO是等边三角形 OCOCOO，COOCOO60 AOBBOC120， AOCAOC120 BOOOOA180 四点 B，O，O，A共线 OA+OB+OCOA+OB+OOBA时值最小； 当等边ABC 的边长为 1 时， OBOC， OBC30 ，在 RtBDC 中，BDBCcos30， BA2BD， OA+OB+OC 的最小值 AB 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OAOB，点 G 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标； （2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M
34、 在点 N 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单 位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 【分析】 （1）先求出点 B，点 A 坐标，代入解析式可求 c 的值，即可求解； （2）先求出点 M，点 N 坐标，即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yx2+2x+c 与 y 轴正半轴交于点 B， 点 B（0，c） ， OAOBc， 点 A（c，0） ， 0c2+2c+c， c3 或 0（舍去） ， 抛物线解析式为：yx2+2x+3， yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 G 的坐标为（1，4） ； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， 对称轴为直线 x1， 点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位 长度， 点 M 的横坐标为2 或 4，点 N 的横坐标为 6， 点 M 坐标为（2，5）或（4，5） ，点 N 坐标为（6，21） ， 点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点， 21yQ4 或21yQ5