1、第三章第三章图形的平移与旋转图形的平移与旋转特色难点突破特色难点突破 1 1正方形 ABCD 中对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，F 是 OB 上一点，且 OE=OF，回答下列问题： （1）在图中 1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使OAF 变到OBE 的位置请说出其变化过 程 （2）指出图（1）中 AF 和 BE 之间的关系，并证明你的结论 （3）若点 E、F 分别运动到 OB、OC 的延长线上，且 OE=OF（如图 2） ，则（2）中的结论仍然成立吗？若成 立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由 2如图 1，已知 Rt ABC 中，ABBC，AC2，把
2、一块含 30 角的三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的 中点上(直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF)，点 C 在 DE 上，点 B 在 DF 上 (1)求重叠部分 BCD 的面积； (2)如图 2，将直角三角板 DEF 绕 D 点按顺时针方向旋转 30 度，DE 交 BC 于点 M，DF 交 AB 于点 N. 求证：DMDN； 在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说 明理由； (3)如图 3，将直角三角板 DEF 绕 D 点按顺时针方向旋转 度(090)，DE 交 BC 于点 M，DF 交 AB 于 点 N，则 DMDN
3、 的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论，不需要说明理由) 3 ABC 中，ACBC，ACB，点 D 是平面内不与点 A 和点 B 重合的一点，连接 DB，将线段 DB 绕 点 D 顺时针旋转 得到线段 DE，连接 AE、BE、CD （1）如图，点 D 与点 A 在直线 BC 的两侧，60 时， AE CD 的值是 ；直线 AE 与直线 CD 相交所成 的锐角的度数是 度； （2）如图，点 D 与点 A 在直线 BC 两侧，90 时，求 AE CD 的值及直线 AE 与直线 CD 相交所成的锐角 AMC 的度数； （3） 当 90 ， 点 D 在直线 AB 的上方， S ABD
4、 1 2 S ABC， 请直接写出当点 C、 D、 E 在同一直线上时，BE CD 的值 4如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ； 设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1） 中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和 AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证
5、明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长 5如图，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵 坐标都乘以同一种实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0，n0） 得到正 方形 ABCD及其内部的点，其中点 A、B 的对应点分别为 A，B已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标 6
6、 6如图，P 是等边三角形 ABC 中的一个点，PA=2，PB=2 ， PC=4，则三角形 ABC 的边长为_ 7 如图， 在等边ABC中取点P使得PA，PB，PC的长分别为 3， 4， 5， 则 A P CA P B SS _ 8 如图， P 是等边三角形 ABC 内的一点， 且 PA=3， PB=4， PC=5， 以 BC 为边在 ABC 外作 BQCBPA， 连接 PQ，则以下结论中正确有_ (填序号) BPQ 是等边三角形 PCQ 是直角三角形 APB=150 APC=135 答案答案 1解：（1）旋转，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 90 度 （2）图（1）中 AF 和 BE 之间
7、的关系：AF=BE；AFBE 证明：延长 AF 交 BE 于 M， 正方形 ABCD， ACBD，OA=OB， AOB=BOC=90， 在AOF 和BOE 中 AOFBOE（SAS）， AF=BE，FAO=EBO， EBO+OEB=90， FAO+OEB=90， AME=90， AFBE， 即 AF=BE，AFBE （3）成立； 证明：延长 EB 交 AF 于 N， 正方形 ABCD， ABD=ACB=45，AB=BC， ABF+ABD=180，BCE+ACB=180， ABF=BCE， AB=BC，BF=CE， ABFBCE， AF=BE，F=E，FAB=EBC， F+FAB=ABD=45，
8、 E+FAB=45， E+FAB+BAO=45+45=90， ANE=180-90=90， AFBE， 即 AF=BE，AFBE 226(1) 1 2 (2)见解析 不变 (3) 仍成立，不变 328 （1）1，60； （2）AMC45 ； （3） BE CD 的值为 2 2或 2+2 4解： （1）DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，AC=CD， BAC=90B=9030=60，ACD 是等边三角形，ACD=60， 又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC； B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC， 根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的
9、高相等， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2； （2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，BC=CE，AC=CD， ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM， 在ACN 和DCM 中，ACNDCM（AAS） ，AN=DM， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等， 此时 SDCF1=SBDE；过点 D 作 DF2B
10、D， ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60， BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形， DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点 D 是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30， CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2， 在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS） ，点 F2也是所求的点， ABC=60，点 D 是角平分线上一点，DEAB， DBC=BDE=ABD=60=30， 又BD=4，BE=4cos30=2=， BF1=，BF2=BF1
11、+F1F2=+=， 故 BF 的长为或 5解：由点 A 到 A，可得方程组； 由 B 到 B，可得方程组，解得， 设 F 点的坐标为（x，y） ，点 F点 F 重合得到方程组， 解得， 即 F（1，4） 62 7 9 3 6 4 8 【详解】 解：ABC 是等边三角形， 60ABC， BQCBPA， BPA=BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，ABP=QBC， 60PBQPBCCBQPBCABPABC， BPQ 是等边三角形，正确. PQ=BP=4， 222222 4325,525PQQCPC， 222 PQQCPC， 90PQC，即 PQC 是直角三角形，正确. BPQ 是等边三角形， 60PBQBQP， BQCBPA， APB=BQC， 6090150BPABQC，正确. 36015060150APCQPCQPC， 90PQCPQQC， 45QPC， 即135APC，错误. 故答案为.