1、 2019-2020 学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合 题目要求，答案涂在答题卡上）题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A B C D 2 （3 分）如图，五边形ABCDE中，/ /AEBC，则CDE的度数为( ) A180 B270 C360 D450 3 （3 分）如果ab，那么下列
2、不等式中错误的是( ) A0ab B11ab C22ab D33ab 4 （3 分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式axbxc的解集为( ) A2x B1x C2x D1x 5 （3 分）若分式 2 1 1 x x 的值为 0，则x的值为( ) A0 B1 C1 D1 6 （3 分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( ) A4434()3abab B 22 ()()ab abab C 2 1022(51)a babab a D 222 ()2ababab 7 （3 分）如图，在ABC中，31C，ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC， 那么A的度数为( ) A31
3、B62 C87 D93 8 （3 分）如图，在平行四边形ABCD中，4AB ，6BC ，对角线AC、BD相交于点O，则OA的 取值范围是( ) A210OA B15OA C46OA D28OA 9 （3 分）若关于x的方程 4 2 33 xm xx 有增根，则m的值是( ) A7 B3 C4 D0 10 （3 分）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是( ) A锐角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 11
4、 （4 分）若 7 8 a b ，则分式 a ab 的值为 12 （4 分）因式分解： 2 1025axaxa 13 （4 分） 如图， 将AOB绕点O按逆时针方向旋转50后得到COD， 如果15AOB， 那么AOD 的度数为 14 （4 分）如图，在ABCD中，ABAD，以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD 于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点 H若2AD ，则DH 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 15 （12 分） （1）
5、解不等式组： 23 5 321 2 x xx ； （2）解方程： 2 342 5525xxx 16（6 分） 如图， 已知ABC中，90ABC， 边12BCcm， 把ABC向下平移至DEF后，5ADcm， 4GCcm，请求出图中阴影部分的面积 17 （8 分）先化简再求值： 22 2 436 (1) 442 xxx xxx ，其中32x 18 （8 分）如图，在ABC和DCB中，BACA于A，CDBD于D，ACBD，AC与BD相交 于点O （1）求证：ABCDCB ； （2）若30OBC，求AOB的大小 19 （10 分）某口罩加工厂有A、B两组工人共 150 人，A组工人每人每小时可加工口罩
6、 70 只，B组 工人每人每小时可加工口罩 50 只，A、B两组工人每小时一共可加工口罩 9300 只 （1）求A、B两组工人各多少人； （2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共同可 生产口罩 200 只，若A、B两组工人每小时至少加工 15000 只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多 少只口罩？ 20 （10 分） 如图， 点E为ABCD的边AD上的一点， 连接EB并延长， 使BFBE， 连接EC并延长， 使CGCE，连接FGH为FG的中点，连接DH，AF （1）若70BAE，20DCE，求DEC的度数； （2）求证：四边形AFHD为平行四边
7、形； （3）连接EH，交BC于点O，若OCOH，求证：EFEG 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 21 （4 分）若关于x的不等式23xa 的解集如图所示，则常数a 22 （4 分）若ABC的三边a，b，c满足 222 506810abcabc，则三角形的面积为 23 （4 分）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点， “九曲桥”的每一段与AC平行 或BD平行，若100ABm，60AB ，则此“九曲桥”的总长度为 24 （4 分）若关于x的分式方程 32 3xxk 的根为负数
8、，则k的取值范围为 25 （4 分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，ABD是等边三角形，30DCB，设CDa， BCb，4AC ，则ab的最大值为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 26 （8 分）某商店五月份销售A型电脑的总利润为 4320 元，销售B型电脑的总利润为 3060 元，且 销售A型电脑数量是销售B型电脑的 2 倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利 50 元 （1）求每台A型电脑和B型电脑的利润； （2） 该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台且全部售出， 其
9、中B型电脑的进货量不超过A型 电脑的 2 倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知OABC的顶点(10,0)A、(2,4)C，点D是OA的中点， 点P在BC上由点B向点C运动 （1）求点B的坐标； （2） 若点P运动速度为每秒 2 个单位长度， 点P运动的时间为t秒， 当四边形PCDA是平行四边形时， 求t的值； （3）当ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标 28 （12 分）分层探究 （1）问题提出：如图 1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，45EAF，连接EF求 证：EFBEDF，解题思
10、路：把ABE绕点A逆时针旋转 度至ADG，可使AB与AD重合由 180FDGADGADC，则知F、D、G三点共线，从而可证AFG ( )，从而得 EFBEDF，阅读以上内容并填空 （2）类比引申：如图 2，四边形ABCD中，ABAD，90BAD，点E、F分别在边BC、CD上， 45EAF探究：若B、D都不是直角，当B、D满足什么数量关系时，仍有EFBEDF？ （3）联想拓展：如图 3，在ABC中，90BAC，ABAC，点D、E均在边BC上，并且 45DAE猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由 2019-2020 学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷学年四川省成都市郫都区八年级（
11、下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合 题目要求，答案涂在答题卡上）题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D
12、、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意 故选：D 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两 部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2 （3 分）如图，五边形ABCDE中，/ /AEBC，则CDE的度数为( ) A180 B270 C360 D450 【分析】首先过点D作/ /DFAE，交AB于点F，由/ /AEBC，可证得/ / /AEDFBC，然后由两 直线平行，同旁内角互补，证得180AB ，180EEDF，180CDFC，继而证得 结论 【解答】解：过点D作/ /DFAE，交AB于点F， / /AEB
13、C， / / /AEDFBC， 180AB ，180EEDF，180CDFC， 360CCDEE， 故选：C 【点评】此题考查了平行线的性质此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的 应用 3 （3 分）如果ab，那么下列不等式中错误的是( ) A0ab B11ab C22ab D33ab 【分析】根据不等式的性质解答即可 【解答】解：A、由ab移项得到：0ab，故本选项不符合题意 B、由ab的两边同时减去 1 得到：11ab ，故本选项不符合题意 C、由ab的两边同时乘以 2 得到：22ab，故本选项不符合题意 D、由ab的两边同时乘以3得到：33ab ，故本选项符合题意 故选：
14、D 【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这 个数不等于 0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变 4 （3 分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式axbxc的解集为( ) A2x B1x C2x D1x 【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是(1,2)和当1x 时，axbxc，推出1x 时，axbxc， 即可得到答案 【解答】解：由图象可知，两图象的交点坐标是(1,2)， 当1x 时，axbxc， 关于x的不等式axbxc的解集为1x 故选：D 【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，
15、能根据图象得出正确结论 是解此题的关键 5 （3 分）若分式 2 1 1 x x 的值为 0，则x的值为( ) A0 B1 C1 D1 【分析】根据分式为 0 的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可 【解答】解：分式 2 1 1 x x 的值为零， 2 10 10 x x ，解得1x 故选：B 【点评】本题考查的是分式的值为 0 的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是 解答此题的关键 6 （3 分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( ) A4434()3abab B 22 ()()ab abab C 2 1022(51)a babab a D 222 ()2ab
16、abab 【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整 式的积，左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可 【解答】解：.4434()3A abab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题 意； B 22 ()()ab abab，为乘法运算，故本选项不合题意； 2 .1022(51)Ca babab a，属于因式分解，故本选项符合题意； D 222 ()2ababab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了因式分解的意义，把多项式转化成几个整式积的形式是解题关键 7 （3 分）如图，在ABC中，3
17、1C，ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC， 那么A的度数为( ) A31 B62 C87 D93 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DBDC，根据等腰三角形的性质得到31DBCC ， 根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可 【解答】解：DE垂直平分BC， DBDC， 31DBCC ， BD平分ABC， 31ABDCBD ， 18031387A， 故选：C 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的 距离相等 8 （3 分）如图，在平行四边形ABCD中，4AB ，6BC ，对角线AC、BD相交于点O，则OA的 取值范围是(
18、) A210OA B15OA C46OA D28OA 【分析】由4AB ，6BC ，利用三角形的三边关系，即可求得210AC，然后由四边形ABCD是 平行四边形，求得OA的取值范围 【解答】解：4AB ，6BC ， 210AC， 四边形ABCD是平行四边形， 1 2 AOAC， 15OA ， 故选：B 【点评】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到AO是 AC的一半是解此题的关键 9 （3 分）若关于x的方程 4 2 33 xm xx 有增根，则m的值是( ) A7 B3 C4 D0 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到30 x ，
19、求出x的值，代入整 式方程求出m的值即可 【解答】解：分式方程去分母得：426xmx， 由分式方程有增根，得到30 x ，即3x ， 把3x 代入整式方程得：7m ， 故选：A 【点评】 此题考查了分式方程的增根， 增根问题可按如下步骤进行： 让最简公分母为 0 确定增根； 化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 10 （3 分）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是( ) A锐角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【分析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得BA ，进而可得其为等腰三角形 【解答】解：如图， DC平分AC
20、E，且/ /ABCD， ACDDCE ，AACD ，BDCE BA ， ABC为等腰三角形 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；进行角的等量代换是正确解答本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 11 （4 分）若 7 8 a b ，则分式 a ab 的值为 7 15 【分析】可根据 7 8 a b 设7ak，8 (0)bk k，然后代入分式 a ab 计算即可 【解答】解： 7 8 a b ， 设7ak，8 (0)bk k，则有： 77 7815 ak abkk 故答
21、案为： 7 15 【点评】本题考查了分式的值，属于基础知识的考查，比较简单 12 （4 分）因式分解： 2 1025axaxa 2 (5)a x 【分析】 先提取公因式a， 再根据完全平方公式进行二次分解 完全平方公式： 222 2()aabbab 【解答】解： 2 1025axaxa 2 (1025)a xx（提取公因式） 2 (5)a x （完全平方公式） 故答案为： 2 (5)a x 【点评】 本题考查了提公因式法， 公式法分解因式， 提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解， 注意分解要彻底 13 （4 分） 如图， 将AOB绕点O按逆时针方向旋转50后得到COD， 如果15AOB，
22、那么AOD 的度数为 65 【分析】首先根据旋转变换的性质求出AOC的度数，结合15AOB，即可解决问题 【解答】解：由题意及旋转变换的性质得： 50AOCBOD ， 15AOB， 501565AOD ， 故答案为：65 【点评】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 14 （4 分）如图，在ABCD中，ABAD，以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD 于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点 H若2AD ，则DH 2 【分析】 依据角平分线的定义以及平行四边形的性质， 即可得到DAHDHA，
23、 进而得到DADH 【解答】解：由作图可得，AH平分BAD， BAHDAH， 平行四边形ABCD中，/ /CDAB， BAHDHA， DAHDHA， DADH， 又2AD ， 2DH， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形 的对边平行 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 15 （12 分） （1）解不等式组： 23 5 321 2 x xx ； （2）解方程： 2 342 5525xxx 【分析】 （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，
24、找出两解集的公共部分即可； （2） 分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到x的值， 经检验即可得到分式方程的解 【解答】解： （1）由得：1x， 由得：5x， 则不等式组的解集为15x剟； （2）去分母得：3(5)4(5)2xx， 去括号得：3154202xx， 移项得：3421520 xx， 合并得：77x ， 解得：1x ， 经检验1x 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键 16（6 分） 如图， 已知ABC中，90ABC， 边12BCcm， 把ABC向下平移至DEF后，5ADcm， 4GCcm，请求出图中阴影
25、部分的面积 【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得ABDE，ABCDEF ，然后求出 BG，再求出梯形BGFE的面积即为阴影部分的面积 【解答】解：把ABC向下平移至DEF， 12BCEFcm，ABCDEF ， 阴影部分面积梯形BGFE的面积， 4GCcm， 1248BGcm， 阴影部分面积 2 1 (812)550 2 cm 【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质并判断出阴影部分面积梯形BGFE的面积是解题的关键 17 （8 分）先化简再求值： 22 2 436 (1) 442 xxx xxx ，其中32x 【分析】先对分子分母进行因式分解，然后化简求值即可 【解答】解：原
26、式 2 2 (2)(2)362 (2)2 xxxxx xx 2 22 2(2) xx xx 1 2x ， 当32x 时，原式 13 3322 【点评】本题考查分式的化简求值，关键是对多项式进行因式分解，然后化简求值 18 （8 分）如图，在ABC和DCB中，BACA于A，CDBD于D，ACBD，AC与BD相交 于点O （1）求证：ABCDCB ； （2）若30OBC，求AOB的大小 【分析】 （1）由“HL”可证Rt ABCRt DCB； （2）由全等三角形的性质可得30ACBDBC ，即可求解 【解答】证明： （1）BACA，CDBD， 90AD ， 在Rt ABC与Rt DCB中， ACD
27、B BCCB ， Rt ABCRt DCB(HL) （2）ABCDCB ， 30ACBDBC ， 60AOBDBCACB 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键 19 （10 分）某口罩加工厂有A、B两组工人共 150 人，A组工人每人每小时可加工口罩 70 只，B组 工人每人每小时可加工口罩 50 只，A、B两组工人每小时一共可加工口罩 9300 只 （1）求A、B两组工人各多少人； （2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共同可 生产口罩 200 只，若A、B两组工人每小时至少加工 15000 只口罩
28、，那么A组工人每人每小时至少加工多 少只口罩？ 【分析】 （1）设A组工人有x人、B组工人有(150)x人，根据题意列方程健康得到结论； （2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工(200)a只口罩；根据题意列 不等式健康得到结论 【解答】解： （1）设A组工人有x人、B组工人有(150)x人， 根据题意得，7050(150)9300 xx， 解得：90 x ，15060 x， 答：A组工人有 90 人、B组工人有 60 人； （2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工(200)a只口罩； 根据题意得，9060(200) 15000aa， 解得：10
29、0a， 答：A组工人每人每小时至少加工 100 只口罩 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键 20 （10 分） 如图， 点E为ABCD的边AD上的一点， 连接EB并延长， 使BFBE， 连接EC并延长， 使CGCE，连接FGH为FG的中点，连接DH，AF （1）若70BAE，20DCE，求DEC的度数； （2）求证：四边形AFHD为平行四边形； （3）连接EH，交BC于点O，若OCOH，求证：EFEG 【分析】 （1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可； （2）由平行四边形的性质得出ADBC，/ /ADBC；证明BC是EFG的
30、中位线，得出/ /BCFG， 1 2 BC FG，证出/ /ADFH，/ /ADFH，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论 【解答】 （1）解：四边形ABCD是平行四边形， 70BAEBCD ，/ /ADBC， 20DCE，/ /ABCD， 180110CDEBAE， 18050DECDCECDE； （2）证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，/ /ADBC，BAEBCD ， BFBE，CGCE， BC是EFG的中位线， / /BCFG， 1 2 BCFG， H为FG的中点， 1 2 FHFG， / /
31、BCFH，BCFH， / /ADFH，ADFH， 四边形AFHD是平行四边形； （3）证明：连接EH，CH， CECG，FHHG， 1 2 CHEF，/ /CHEF， 1 2 EBBFEF， BECH， 四边形EBHC是平行四边形， OBOC，OEOH， OCOH， 1 2 OEOBOCBC， BCE是直角三角形， 90FEG， EFEG 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内 角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分
32、，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 21 （4 分）若关于x的不等式23xa 的解集如图所示，则常数a 5 【分析】先根据数轴上不等式解集的表示方法求出此不等式的解集，再求出所给不等式的解集与已知 解集相比较即可求出a的值 【解答】解：由数轴上关于x的不等式的解集可知1x， 解不等式23xa 得 3 2 a x ， 故 3 1 2 a ， 解得5a 故答案为：5 【点评】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答 此题的关键 22 （4 分）若ABC的三边a，b，c满足 222 506810abcabc，则三角形的面积为 6 【分析】利用配方法得到
33、 222 (3)(4)(5)0abc，根据非负数的性质解得3a ，4b ，5c ， 再利用勾股定理的逆定理证明ABC为直角三角形，c为斜边，然后计算ABC的面积 【解答】解： 222 506810abcabc， 222 6981610250aabbcc， 即 222 (3)(4)(5)0abc， 30a，40b，50c ， 即3a ，4b ，5c ， 222 345， 222 abc， ABC为直角三角形，c为斜边， ABC的面积 11 346 22 ab 故答案为 6 【点评】本题考查了因式分解：利用因式分解解决求值问题利用因式分解解决证明问题利用因式 分解简化计算问题也考查了勾股定理的逆定
34、理 23 （4 分）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点， “九曲桥”的每一段与AC平行 或BD平行，若100ABm，60AB ，则此“九曲桥”的总长度为 200m 【分析】 如图， 延长AC、BD交于点E， 延长HK交AE于F， 延长NJ交FH于M， 则四边形EDHF， 四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，ABC是等边三角形，由此即可解决问题 【解答】解：如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M 由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形， 60AB ， ABE是等边三角形， EDFMMKKHCNJGHK，ECEF
35、FCJNKGDH， “九曲桥”的总长度是2200AEEBABm 故答案为：200m 【点评】本题考查平移、等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考基础题 24 （4 分）若关于x的分式方程 32 3xxk 的根为负数，则k的取值范围为 2k 且3k 【分析】解分式方程得出63xk，根据解为负数且分式方程有意义得出630k且633k ， 63kk ，解之可得答案 【解答】解：解分式方程得63xk， 方程的解为负数， 630k 且633k ，63kk ， 解得2k 且3k ， 故答案为：2k 且3k 【点评】本题考查了
36、分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数 的值，这个值叫方程的解；在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的 取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解 25 （4 分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，ABD是等边三角形，30DCB，设CDa， BCb，4AC ，则ab的最大值为 4 2 【分析】如图，过点C作ECDC于点C，使ECBC，连接DE，BE，首先证明 22 16ab，再 证明ab时，ab的值最大即可 【解答】解：如图，过点C作ECDC于点C，使ECBC，连接DE，BE， 30DCB， 3
37、60 ， BCEC， BCE是等边三角形， BCBEEC，260 ， 121ABD ， 即DBEABC ， 在ABC和DBE中， BDAB DBEABC BEBC ， ()ABCDBE SAS ， ACED， 在Rt DCE中， 222 DCCEDE， 222 DCBCAC， 22 16ab， 222 ()2162abababab， 以a，b，4 为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边， 1 2 Sab， 易知当ab时，三角形的面积最大，此时2 2ab， 8ab ， 2 ()ab的最大值为 32， ab的最大值为4 2 【点评】本题考查相似变换，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和
38、性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 26 （8 分）某商店五月份销售A型电脑的总利润为 4320 元，销售B型电脑的总利润为 3060 元，且 销售A型电脑数量是销售B型电脑的 2 倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利 50 元 （1）求每台A型电脑和B型电脑的利润； （2） 该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台且全部售出， 其中B型电脑的进货量不超过A型 电脑的 2 倍，该商店购进A型
39、、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为(50)x元，然后根据销售A 型电脑数量是销售B型电脑的 2 倍列出方程，然后求解即可； （2）设购进A型电脑a台，这 100 台电脑的销售总利润为y元根据总利润等于两种电脑的利润之 和列式整理即可得解；根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的 2 倍列不等式求出a的取值范围，然后 根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可 【解答】解： （1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为(50)x元， 根据题意得 43203060 2 50 xx ， 解得120 x
40、经检验，120 x 是原方程的解， 则50170 x 答：每台A型电脑的利润为 120 元，每台B型电脑的利润为 170 元； （2）设购进A型电脑a台，这 100 台电脑的销售总利润为y元， 据题意得，120170(100)yaa， 即5017000ya ， 1002aa ， 解得 1 33 3 a， 5017000ya ， y随a的增大而减小， a为正整数， 当34a 时，y取最大值，此时50 34 1700015300y 即商店购进 34 台A型电脑和 66 台B型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是 15300 元 【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应
41、用，读懂题目信息， 准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知OABC的顶点(10,0)A、(2,4)C，点D是OA的中点， 点P在BC上由点B向点C运动 （1）求点B的坐标； （2） 若点P运动速度为每秒 2 个单位长度， 点P运动的时间为t秒， 当四边形PCDA是平行四边形时， 求t的值； （3）当ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标 【分析】（1） 由四边形OABC是平行四边形， 得到OABC，/ /OABC， 于是得到10OA，2OEAF， 可求出点B的坐标； （2）根据四边形PCDA是
42、平行四边形，得到PCAD，即1025t，解方程即可得到结论； （3）如图 2，可分三种情况：当5PDOD时，过P作PEOA于E，则4PE ，得到3DE ， 求出 1(8,4) P， 点P与点C重合时，5PDOD， 当PDOP时， 过P作PFOA于F， 则4PF ， 5 2 OF ， 得到 3 5 ( 2 P，4)；当5POOD时，过P作PGOA于G，则4PG ，得到 2(3,4) P 【解答】解：如图 1，过C作CEOA于E，过B作BFOA于F， 四边形OABC是平行四边形， OABC，/ /OABC， A，C的坐标分别为(10,0)，(2,4)， 10OA，2OEAF， 10BC， (12,
43、4)B； （2）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形， 由题意得：102PCt， 点D是OA的中点， 1 5 2 ODBCADOA， 四边形PCDA是平行四边形， PCAD，即1025t， 5 2 t ， 当 5 2 t 秒时，四边形PCDA是平行四边形； （3）如图 2，当5PDOD时，过P作PEOA于E， 则4PE ， 3DE， 1(8,4) P， 当点P与点C重合时，5PDOD； 当PDOP时，过P作PFOA于F， 则4PF ， 5 2 OF ， 3 5 ( 2 P，4)； 当5POOD时，过P作PGOA于G， 则4PG ， 3OG， 2(3,4) P， 综上所述：当ODP是等腰
44、三角形时，点P的坐标为(8,4)， 5 ( 2 ，4)，(3,4)，(2,4) 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握 平行四边形的性质是解题的关键 28 （12 分）分层探究 （1）问题提出：如图 1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，45EAF，连接EF求 证：EFBEDF，解题思路：把ABE绕点A逆时针旋转 90 度至ADG，可使AB与AD重合由 180FDGADGADC，则知F、D、G三点共线，从而可证AFG ( )，从而得 EFBEDF，阅读以上内容并填空 （2）类比引申：如图 2，四边形ABCD中，ABAD，90BAD，
45、点E、F分别在边BC、CD上， 45EAF探究：若B、D都不是直角，当B、D满足什么数量关系时，仍有EFBEDF？ （3）联想拓展：如图 3，在ABC中，90BAC，ABAC，点D、E均在边BC上，并且 45DAE猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由 【分析】 （1）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，再证明AFGAFE 进 而得到EFFG，即可得EFBEDF； （2）180BD时，EFBEDF，与（1）的证法类同； （3）把AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，连接DE，由“SAS”可证ADEADE ，可得 BEDE， 进而可证 222 DEBDCE 【解答】解：
46、 （1）ABAD， 把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合 BAEDAG ， 90BAD，45EAF， 45BAEDAF ， EAFFAG ， 90ADCB ， 180FDG， 点F、D、G共线， 在AFE和AFG中， AEAG EAFGAF AFAF ， ()AFGAFE SAS ， EFFG， 即EFBEDF， 故答案为：90，AFE，SAS； （2）当180BD时，EFBEDF，如图 2 ABAD， 把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合， BAEDAG ， 90BAD，45EAF， 45BAEDAF ， EAFFAG ， 180ADCB， 180FD
47、G， 点F、D、G共线， 在AFE和AFG中， AEAG EAFGAF AFAF ， ()AFEAFG SAS ， EFFG， 即EFBEDF， 故答案为：180BD； （3）猜想： 222 DEBDEC， 证明：把AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，连接DE，如图 3， ACEABE ， BECE ，AEAE，CABE ，CAEE AB ， ABAC， 45ABCACB ， 90ABCABE ，即90E BD ， 222 E BBDE D ， 又45DAE， 45BADEAC ， 45E ABBAD ，即45E ADEAD ， 在ADE和ADE中， AEAE DAEDAE ADAD ， ()ADEADE SAS ， BEDE， 222 DEBDCE 【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质以及勾股定理及 其逆定理的应用等知识掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三 角形是解题的关键