1、 2019-2020 学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合 题目要求，答案涂在答题卡上）题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D正五边形 2 （3 分）已知ab，下列不等关系式中正确的是( ) A33ab B33ab Cab D 22 ab 3 （3 分）多项式
2、24m 与多项式 2 44mm的公因式是( ) A2m B2m C4m D4m 4 （3 分）将直线4yx 向下平移 2 个单位长度，得到的直线的函数表达式为( ) A42yx B42yx C48yx D48yx 5 （3 分）在ABCD中，已知60A，则C的度数是( ) A30 B60 C120 D60或120 6 （3 分）如图，将等边ABC向右平移得到DEF，其中点E与点C重合，连接BD，若2AB ， 则线段BD的长为( ) A2 B4 C3 D2 3 7 （3 分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A对角相等 B对边相等 C对角线相等 D对角线互相垂直 8 （3 分）若分式 2
3、1 1 x x 的值为 0，则x的值为( ) A0 B1 C1 D1 9 （3 分）如图，直线 1 2ykx与直线 2 ymx相交于点(1,)Pm，则不等式2mxkx的解集是( ) A0 x B1x C01x D1x 10 （3 分）如图，在44的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点 M，N，P，Q中找一点作为旋转中心将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中 心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张44的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有( ) A点M，点N B点M，点Q C点N，点P D点P，点Q 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4
4、 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 11 （4 分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，那么这个多边形是 边形 12 （4 分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为BC边的中点，连 接OE，若4 5AB ，则线段OE的长为 13 （4 分）如图，在Rt ACB中，90C，2 3AB ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别 交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 1 2 EF的长为半径画弧，两弧相交于点P， 作射线BP交AC于点D，若1CD ，则ABD的面积为 14 （4 分
5、）已知Rt ABC的面积为3，斜边长为7，两直角边长分别为a，b则代数式 33 a bab 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 15 （12 分） （1）因式分解： 32 816xxx （2）解方程： 2 2 22 xx xx 16 （6 分）解不等式组 2(3) 5 35 1 46 xx xx ，并把解集表示在下面的数轴上 17 （8 分）先化简，再求值： 24 () 221 aa a aa ，其中32a 18 （8 分） 如图， 方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度， 建立平面直角
6、坐标系xOy，ABC 的三个顶点的坐标分别为(2,4)A，(1,1)B，(4,2)C （1）平移ABC，使得点A的对应点为 1(2, 1) A，点B，C的对应点分别为 1 B， 1 C，画出平移后的 111 A BC； （2）在（1）的基础上，画出 111 A BC绕原点O顺时针旋转90得到的 222 A B C，其中点 1 A， 1 B， 1 C 的对应点分别为 2 A， 2 B， 2 C，并直接写出点 2 C的坐标 19 （10 分） 如图 1， 在ABC中，ABAC， 点D，E分别在边AB，AC上， 且ADAE， 连接DE， 现将ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2)，连接BD，CE
7、（1）求证：ABDACE ； （2）延长BD交CE于点F，若ADBD，6BD ，4CF ，求线段DF的长 20 （10 分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且 BAFADE （1）如图 1，求证：AFDE； （2）如图 2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线 GH与AB的位置关系，并说明理由； （3）在（1） （2）的基础上，若AF平分BAC，且BDE的面积为42 2，求正方形ABCD的面 积 四四.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题、每小题个小题、每小题 4 分姜分姜 20 分，答案写在答题卡
8、上）分，答案写在答题卡上） 21 （4 分）已知2 3ab，则代数式 22 2aabb的值为 22 （4 分）若关于x的不等式组 2()10 2153 xm x 的解集为 17 6 2 x ，则m的值是 23 （4 分）若关于x的分式方程 33 2 22 ax xx 有正整数解，则符合条件的非负整数a的值为 24（4 分） 如图， 已知四边形ABCD是平行四边形， 将边AD绕点D逆时针旋转60得到DE， 线段DE 交边BC于点F，连接BE若150CE ，2BE ，2 3CD ，则线段BC的长为 25 （4 分）如图，在矩形ABCD中，30ACB，2 3BC ，点E是边BC上一动点（点E不与B，
9、 C重合） ，连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE设AGa， 则点G到BC边的距离为 （用含a的代数式表示） ，ADG的面积的最小值为 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 26 （8 分）全国在抗击“新冠肺炎”疫情期间，甲，乙两家公司共同参与一项改建有 1800 个床位的 方舱医院的工程已知甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3:2且甲公司单独完成此项工程比 乙公司单独完成此项工程要少用 20 小时， （1）分别求甲，乙两家公司每小时改建床位的数量； （2）甲，乙
10、两家公司完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的 1 2 ，求 乙公司至少工作多少小时？ 27 （10 分）如图，在菱形ABCD中，120ABC，4 3AB ，E为对角线AC上的动点（点E不 与A，C重合） ，连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120后交射线AD于点F （1）如图 1，当AEAF时，求AEB的度数； （2）如图 2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G ) i试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值； )ii连接AG，设CEx，AGy，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过 程 28 （12 分）如图，在
11、平面直角坐标系xOy中，直线26yx 交x轴于点A，交y轴于点B，过点B 的直线交x轴负半轴于点C，且ABBC （1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式； （2）点( ,2)D a在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE （）若45BDE，求BDE的面积； （）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的 点E的坐标 2019-2020 学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，
12、共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合 题目要求，答案涂在答题卡上）题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D正五边形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
13、形两 部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2 （3 分）已知ab，下列不等关系式中正确的是( ) A33ab B33ab Cab D 22 ab 【分析】根据不等式的性质，可得答案 【解答】解：A、不等式两边都加 3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意； B、不等式两边都乘以 3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不等式两边都乘1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意； D、不等式两边都除以2，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质解题的关键是掌握不等式
14、的性质：不等式的两边都乘或都除以同 一个负数，不等号的方向改变 3 （3 分）多项式24m 与多项式 2 44mm的公因式是( ) A2m B2m C4m D4m 【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项 【解答】解：242(2)mm， 22 44(2)mmm， 多项式24m 与多项式 2 44mm的公因式是(2)m， 故选：A 【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是： （1）公因式的系数是多项式各项系数的最 大公约数； （2）字母取各项都含有的相同字母； （3）相同字母的指数取次数最低的 4 （3 分）将直线4yx 向下平移 2 个单位长度，得到的直线的函
15、数表达式为( ) A42yx B42yx C48yx D48yx 【分析】上下平移时k值不变，b值是上加下减，依此求解即可 【解答】解：将直线4yx 向下平移 2 个单位长度，得到直线42yx ； 故选：A 【点评】 此题考查了一次函数图象与几何变换 要注意求直线平移后的解析式时k的值不变， 只有b发 生变化 5 （3 分）在ABCD中，已知60A，则C的度数是( ) A30 B60 C120 D60或120 【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， 60CA ； 故选：B 【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键
16、 6 （3 分）如图，将等边ABC向右平移得到DEF，其中点E与点C重合，连接BD，若2AB ， 则线段BD的长为( ) A2 B4 C3 D2 3 【分析】过点D作DHCF于H，由平移的性质可得DEF是等边三角形，由等边三角形的性质可 求1CH ，3DH ，由勾股定理可求解 【解答】解：如图，过点D作DHCF于H， 将等边ABC向右平移得到DEF， DEF是等边三角形， 2DFCF，60DFC， DHCF， 30FDH，1CHHF， 33DHHF，3BHBCCH， 22 392 3BDBHDH， 故选：D 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理等知识，掌握平移的性质是本题的
17、关 键 7 （3 分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A对角相等 B对边相等 C对角线相等 D对角线互相垂直 【分析】根据菱形和矩形的性质即可判断 【解答】解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等； 菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质 8 （3 分）若分式 2 1 1 x x 的值为 0，则x的值为( ) A0 B1 C1 D1 【分析】根据分式为 0 的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可 【解答】解：分式 2 1 1 x
18、 x 的值为零， 2 10 10 x x ，解得1x 故选：B 【点评】本题考查的是分式的值为 0 的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是 解答此题的关键 9 （3 分）如图，直线 1 2ykx与直线 2 ymx相交于点(1,)Pm，则不等式2mxkx的解集是( ) A0 x B1x C01x D1x 【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案 【解答】解：直线 1 2ykx与直线 2 ymx相交于点(1,)Pm， 不等式2mxkx的解集是1x ， 故选：B 【点评】本题考查了对一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能 力，题目比较好，但
19、是一道比较容易出错的题目 10 （3 分）如图，在44的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点 M，N，P，Q中找一点作为旋转中心将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中 心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张44的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有( ) A点M，点N B点M，点Q C点N，点P D点P，点Q 【分析】画出中心对称图形即可判断 【解答】解：观察图象可知，点P点N满足条件 故选：C 【点评】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 解决问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个
20、小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 11 （4 分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，那么这个多边形是 六 边形 【分析】n边形的内角和可以表示成(2) 180n，外角和为360，根据题意列方程求解 【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得： (2) 1802 360n， 解得6n ， 故答案为：六 【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和关键是根据题意利用多边形的外角和 及内角和之间的关系列出方程求边数 12 （4 分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为BC边的中点，连
21、接OE，若4 5AB ，则线段OE的长为 2 5 【分析】证出OE是ABC的中位线，由三角形中位线定理即可求得答案 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， OAOC； 又点E是BC的中点， OE是ABC的中位线， 1 2 5 2 OEAB， 故答案为：2 5 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的定理；熟练掌握平行四边形的性质和三角 形中位线定理是解题的关键 13 （4 分）如图，在Rt ACB中，90C，2 3AB ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别 交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 1 2 EF的长为半径画弧，两弧相交于点P， 作射线BP交AC于点
22、D，若1CD ，则ABD的面积为 3 【分析】如图，过点D作DHAB于H利用角平分线的性质定理求出DH即可解决问题 【解答】解：如图，过点D作DHAB于H DCBC，DHAB，BD平分ABC， 1DHCD， 11 2 3 13 22 ABD SAB DH ， 故答案为3 【点评】本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 14 （4 分）已知Rt ABC的面积为3，斜边长为7，两直角边长分别为a，b则代数式 33 a bab 的值为 14 3 【分析】根据两直角边乘积的一半表示出Rt ABC的面积，把已知面积代入求出ab的值，
23、利用勾股定 理得到 222 ( 7)ab，将代数式 33 a bab变形，把 22 ab与ab的值代入计算即可求出值 【解答】解：Rt ABC的面积为3， 1 3 2 ab ， 解得2 3ab ， 根据勾股定理得： 222 ( 7)7ab， 则代数式 3322 ()2 3714 3a babab ab 故答案为：14 3 【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 15 （12 分） （1）因式分解： 32 816xxx （2）解方
24、程： 2 2 22 xx xx 【分析】 （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，可采用完 全平方公式继续分解 （2）观察可得最简公分母是(2)x，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 【解答】解： （1） 32 816xxx 2 (816)x xx 2 (4)x x （2） 2 2 22 xx xx ， 方程的两边同乘(2)x，得 2(2)2xxx ， 解得 4 3 x 检验：把 4 3 x 代入20 x 故原方程的解为： 4 3 x 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解， 一般来说，如
25、果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解同时考查了解分式方程， 解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论 16 （6 分）解不等式组 2(3) 5 35 1 46 xx xx ，并把解集表示在下面的数轴上 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小 小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式2(3) 5xx，得：1x， 解不等式 35 1 46 xx ，得：3x ， 则不等式组的解集为31x ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“
26、同大取大； 同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 17 （8 分）先化简，再求值： 24 () 221 aa a aa ，其中32a 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算 【解答】解：原式 2 24 () 2(1)11 aaaa aaa 2 24 2(1)1 aa aa 21 2(1) (2)(2) aa aaa 1 24a ， 当32a 时， 原式 1 2( 32)4 1 2 344 1 2 3 3 6 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 18 （8 分） 如图， 方格纸中每个小正方形
27、的边长都是 1 个单位长度， 建立平面直角坐标系xOy，ABC 的三个顶点的坐标分别为(2,4)A，(1,1)B，(4,2)C （1）平移ABC，使得点A的对应点为 1(2, 1) A，点B，C的对应点分别为 1 B， 1 C，画出平移后的 111 A BC； （2）在（1）的基础上，画出 111 A BC绕原点O顺时针旋转90得到的 222 A B C，其中点 1 A， 1 B， 1 C 的对应点分别为 2 A， 2 B， 2 C，并直接写出点 2 C的坐标 【分析】 （1）分别作出A，B，C的对应点 1 A， 1 B， 1 C即可 （2）分别作出点 1 A， 1 B， 1 C的对应点 2
28、A， 2 B， 2 C即可 【解答】解： （1）如图， 111 A BC即为所求 （2） 222 A B C即为所求 2( 1, 2) A ， 2( 4, 1) B ， 2( 3, 4) C 【点评】本题考查作图平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 19 （10 分） 如图 1， 在ABC中，ABAC， 点D，E分别在边AB，AC上， 且ADAE， 连接DE， 现将ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2)，连接BD，CE （1）求证：ABDACE ； （2）延长BD交CE于点F，若ADBD，6BD ，4CF ，求线段DF的长 【分析】 （1）由“SAS”可
29、证ABDACE ； （2） 由全等三角形的性质可得6BDCE，90AECADB ， 由 “HL” 可证Rt AEFRt ADF， 可得2DFEF 【解答】证明： （1）由图 1 可知：DAEBAC ， DAECADBACCAD ， BADCAE ， 又ABAC，ADAE， ()ABDACE SAS ； （2）如图 2，连接AF， ADBD， 90ADBADF ， ABDACE ， 6BDCE，90AECADB ， 2EFCECF， AFAF，ADAE， Rt AEFRt ADF(HL)， 2DFEF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 20 （1
30、0 分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且 BAFADE （1）如图 1，求证：AFDE； （2）如图 2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线 GH与AB的位置关系，并说明理由； （3）在（1） （2）的基础上，若AF平分BAC，且BDE的面积为42 2，求正方形ABCD的面 积 【分析】 （1）证明90BAFAED 即可解决问题 （2）证明()ADFBAF ASA ，推出AEBF，由/ /AECD，推出 AEEG CDDG ，由/ /BFAD，推出 BFBH ADDH ，由AEBF，CDAD，推出 EG
31、BH GDHD 可得结论 （3）如图2 1中，在AD上取一点J，使得AJAE，连接EJ设AEAJa利用三角形的面 积公式构建方程求出a即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形ABCD是正方形， 90DAEABF ， ADEBAF， 90ADEAEDBAFAED ， 90AME， AFDE （2）解：如图 2 中结论：/ /GHAB 理由：连接GH ADAB，90DAEABF ，ADEBAF， ()ADFBAF ASA ， AEBF， / /AECD， AEEG CDDG ， / /BFAD， BFBH ADDH ， AEBF，CDAD， EGBH GDHD ， / /GHAB
32、 （3）解：如图2 1中，在AD上取一点J，使得AJAE，连接EJ设AEAJa AF平分BAC，45BAC， 22.5BAFADE ， AEAJa，90EAJ， 45AJE， AJEJEDJDE ， 22.5JEDJDE ， 2EJDJa， 2ABADaa，AEAJ， 2BEDJa， 42 2 BDE S， 1 2(2 )42 2 2 aaa， 解得 2 4a ， 2a或2（舍弃） ， 22 2AD， 正方形ABCD的面积128 2 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成 比例定理，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建
33、方程解决问题，属于中 考压轴题 四四.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题、每小题个小题、每小题 4 分姜分姜 20 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 21 （4 分）已知2 3ab，则代数式 22 2aabb的值为 12 【分析】由已知等式得出2 3ab ，代入到原式 2 ()ab计算可得答案 【解答】解：2 3ab， 2 3ab ， 则原式 2 ()ab 2 ( 2 3) 12， 故答案为：12 【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握完全平方公式和整体代入思想的运用 22 （4 分）若关于x的不等式组 2()10 2153 xm x 的解集为 17 6 2 x
34、 ，则m的值是 9 【分析】先解不等式组得出其解集为 12 6 2 m x ，结合 17 6 2 x 可得关于m的方程，解之可得 答案 【解答】解：解不等式2()10 xm ，得： 12 2 m x ， 解不等式2153x ，得：6x ， 不等式组的解集为 17 6 2 x ， 1217 22 m ， 解得9m ， 故答案为：9 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大； 同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 23（4 分） 若关于x的分式方程 33 2 22 ax xx 有正整数解， 则符合条件的非负整数a的值为 2
35、【分析】由分式方程有正数解，确定出非负整数a的值即可 【解答】解：方程两边同时乘以2x ，得： 332(2)axx， 解得 4 2 x a ， 4 2a 是正整数，且 4 2 2a ， 4 2a 是正整数，且0a ， 非负整数a的值为：2， 故答案为：2 【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键 24（4 分） 如图， 已知四边形ABCD是平行四边形， 将边AD绕点D逆时针旋转60得到DE， 线段DE 交边BC于点F，连接BE若150CE ，2BE ，2 3CD ，则线段BC的长为 2 7 【分析】过C作CMDE于M，过E作ENBC于N，根据平行四边形的性质得到/ /
36、BCAD，根 据平行线的性质得到BFEDFCADE ，根据旋转的性质得到60BFEDFCADE ，推出 DCMEBN ， 根据相似三角形的性质得到3CMBN，3DMEN， 得到FMBN， 设F M B N x， ENy，则3DMy，3CMx，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：过C作CMDE于M，过E作ENBC于N， 四边形ABCD是平行四边形， / /BCAD， BFEDFCADE ， 将边AD绕点D逆时针旋转60得到DE， 60BFEDFCADE ， 30FCMFEN ， 150DCFBEF， 90DCMBEN， 90BENEBN， DCMEBN ， DCMEBN， 2 3 3 2 CM
37、DMCD BNENBE ， 3CMBN，3DMEN， 在Rt CMF中，3CMFM， FMBN， 设FMBNx，ENy，则3DMy，3CMx， 2CFx， 2 3 3 EFy， BCADDE， 2 33 32 33 yxyxyx， 2 3 3 xy， 22 4xy， 2 21 7 y， 4 7 7 x ， 2 7BC， 故答案为：2 7 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确的 作出辅助线是解题的关键 25 （4 分）如图，在矩形ABCD中，30ACB，2 3BC ，点E是边BC上一动点（点E不与B， C重合） ，连接AE，AE的中垂线FG分别交
38、AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE设AGa， 则点G到BC边的距离为 4 2 a （用含a的代数式表示） ，ADG的面积的最小值为 【分析】先根据直角三角形含 30 度角的性质和勾股定理得2AB ，4AC ，从而得CG的长，作辅 助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图 2，通过画图发现：当GEBC时，AG最小，即a最小，可计 算a的值，从而得结论 【解答】解：四边形ABCD是矩形， 90B， 30ACB，2 3BC ， 2AB，4AC ， AGa， 4CGa， 如图 1，过G作MHBC于H，交AD于M， Rt CGH中，30ACB， 14 22 a GHCG ， 则点G到BC边的距离为
39、4 2 a ， HMBC，/ /ADBC， HMAD， 90AMG， 90BBHM ， 四边形ABHM是矩形， 2HMAB， 41 22 22 a GMGHa ， 1113 2 3 2222 ADG a SAD MGa ， 当a最小时，ADG的面积最小， 如图 2，当GEBC时，AG最小，即a最小， FG是AE的垂直平分线， AGEG， 4 2 a a ， 4 3 a， ADG的面积的最小值为 342 3 233 ， 故答案为： 4 2 a ， 2 3 3 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理， 确定ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键
40、 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 26 （8 分）全国在抗击“新冠肺炎”疫情期间，甲，乙两家公司共同参与一项改建有 1800 个床位的 方舱医院的工程已知甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3:2且甲公司单独完成此项工程比 乙公司单独完成此项工程要少用 20 小时， （1）分别求甲，乙两家公司每小时改建床位的数量； （2）甲，乙两家公司完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的 1 2 ，求 乙公司至少工作多少小时？ 【分析】 （1）设甲公司每小时改建床位的数量是x个，则乙公
41、司公司每小时改建床位的数量是y个， 根据甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3:2；甲做的工作量乙做的工作量工作总量建立方 程组求出其解即可； （2）设乙公司工作z小时，根据乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的 1 2 ，建立不等式求 出其解即可 【解答】 解：（1） 设甲公司每小时改建床位的数量是x个， 则乙公司公司每小时改建床位的数量是y个， 依题意有 :3:2 18001800 20 x y yx ， 解得 45 30 x y ， 经检验， 45 30 x y 是方程组的解且符合题意， 故甲公司每小时改建床位的数量是 45 个，乙公司公司每小时改建床位的数量是 30 个； （2
42、）设乙公司工作z小时，依题意有 1180030 245 z z ， 解得15z 故乙公司至少工作 15 小时 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、列分式方程和二元一次方程组解实际问题的运用，是一 道工程问题的运用题，解答时根据甲的工作效率乙的工作效率合作一天的工作效率为等量关系建立方 程是关键，第二问列出不等式是解题的关键 27 （10 分）如图，在菱形ABCD中，120ABC，4 3AB ，E为对角线AC上的动点（点E不 与A，C重合） ，连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120后交射线AD于点F （1）如图 1，当AEAF时，求AEB的度数； （2）如图 2，分别过点B，F作EF，B
43、E的平行线，且两直线相交于点G ) i试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值； )ii连接AG，设CEx，AGy，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过 程 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质求出AEF即可解决问题 （2）) i证明四边形BEFG是菱形，根据垂线段最短，求出BE的最小值即可解决问题 )ii如图2 1中， 连接BD，DE， 过点E作EHCD于H 证明()ABGDBE SAS ， 推出AGDEy， 在Rt CEH中 ， 11 22 EHECx 3 2 CHx， 推 出 3 | 43| 2 D Hx， 在R tD E H中 ， 根 据 222 DE
44、EHDH，构建方程求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形ABCD是菱形， / /BCAD，BACDAC ， 180ABCBAD， 120ABC， 60BAD， 30EAF， AEAF， 75AEFAFE ， 120BEF， 1207545AEB （2）) i如图 2 中，连接DE ABAD，BAEDAE，AEAE， ()BAEDAE SAS ， BEDE，ABEADE， 60120180BAFBEF ， 180ABEAFE， 180AFEEFD， EFDABE， EFDADE， EFED， EFBE， / /BEFG，/ /BGEF， 四边形BEFG是平行四边形， EBEF， 四
45、边形BEFG是菱形， 当BEAC时，菱形BEFG的周长最小，此时sin302 3BEAB ， 四边形BGFE的周长的最小值为8 3 )ii如图2 1中，连接BD，DE，过点E作EHCD于H ABAD，60BAD， ABD是等边三角形， BDBA，60ABD， / /BGEF， 18012060EBG ， ABDGBE ， ABGDBE ， BGBE， ()ABGDBE SAS ， AGDEy， 在Rt CEH中， 11 22 EHECx 3 2 CHx， 3 |4 3| 2 DHx， 在Rt DEH中， 222 DEEHDH， 222 13 (4 3) 42 yxx， 22 1248yxx，
46、2 1248(012)yxxx 【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，平 行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线26yx 交x轴于点A，交y轴于点B，过点B 的直线交x轴负半轴于点C，且ABBC （1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式； （2）点( ,2)D a在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE （）若45BDE，求BDE的面积； （）在点E的运动过程中，以DE为
47、边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的 点E的坐标 【分析】 （1）利用等腰三角形的三线合一的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可 （2）如图，取点( 1,3)Q ，连接BQ，DQ，DQ交AB于E证明QDB是等腰直角三角形，求出 直线QD的解析式即可解决问题 （3）分两种情形：点F落在直线BC上，点F落在直线BC上，分别求解即可 【解答】解： （1）直线26yx 交x轴于点A，交y轴于点B， (3,0)A，(0,6)B， 3OA，6OB ， ABBC， OBAC， 3OCOA， ( 3,0)C， 设直线BC的解析式为ykxb，则有 6 30 b kb ， 解得 2 6 k b ， 直线BC的解析式为26yx （2）如图，取点( 1,3)Q ，连接BQ，DQ，DQ交AB于E ( ,2)D a在直线26yx 上， 226a ， 2a， (2,2)D， (0,6)B， 22 1310QB， 22 1310QD ， 22