1、 第 1 页（共 23 页） 2020-2021 学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1 （3 分）抛物线 2 (2)3yx的顶点坐标是( ) A( 2, 3) B( 2,3) C(2, 3) D(2,3) 2 （3 分）用配方法解方程 2 210 xx ，配方后所得方程为( ) A 2 (1)0 x B 2 (1)0 x C 2 (1)2x D 2 (1)2
2、x 3 （3 分）班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形 状大小完全相同的白球，想请大家估计出袋中白球的个数数学科代表小明是这样来估计的：他先往袋中 放入 10 个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出 20 个球，发现其中有 4 个红球根据 小明的方法估计袋中白球有( ) A200 个 B100 个 C50 个 D40 个 4 （3 分）如图，已知12 ，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC与ADE相似的是( ) ACAED BBD C ABBC ADDE D ABAC ADAE 5 （3 分）如图所示几何体的左视图正确的是( ) A
3、 B C D 6 （3 分）点 1 ( 3,)Ay、 2 ( 1,)By、 3 (2,)Cy都在反比例函数 6 y x 的图象上，则 1 y、 2 y、 3 y的大小关系是 ( ) A 123 yyy B 321 yyy C 312 yyy D 213 yyy 7 （3 分）已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OAOBOCOD，则下列关于四边 形ABCD的结论一定成立的是( ) 第 2 页（共 23 页） A四边形ABCD是正方形 B四边形ABCD是菱形 C四边形ABCD是矩形 D 1 2 ABCD SAC BD 四边形 8 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，CD是
4、斜边AB上的高，7BC ，3AC ，则sin(ACD ) A 7 4 B 7 3 C 3 4 D 4 3 9 （3 分）二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，反比例函数 a y x 与正比例函数ycx在同一坐标系 内的大致图象是( ) A B C D 10（3 分） 如图， 在ABC 中， 中线 AE、 BD 相交于点 F， 连接 DE， 则下列结论： ； ； ；其中正确结论的个数是（ ） 第 3 页（共 23 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）一元二次方程
5、 2 3xx的解是： 12 （4 分）已知2 a b ，则 ab ab 13 （4 分）直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 cm 14 （4 分）某市推出名师网络课堂，据统计，第一批受益学生 8000 人次，第三批受益学生 18000 人次如 果第二批、第三批受益学生人次的平均增长率相同，则这个增长率为 15 （4 分）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 50若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m （结果精确到个位，参考数据： sin500.77 ，cos500.64 ，tan501.19) 16 （
6、4 分）在研究： “任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周 长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为 6 和 1 时，存在一个矩形B的周长和面积 分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B的长为 17 （4 分） 如图， 在菱形ABCD中，1AB ，120ADC， 以AC为边作菱形 11 ACC D， 且 11 120ADC； 再以 1 AC为边作菱形 122 AC C D，且 22 120AD C；按此规律，菱形 202020212021 ACCD的面积为 第 4 页（共 23 页） 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小
7、题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： 42 6sin30cos302tan45 3tan60 19 （6 分） “一方有难，八方支援”2020 年初武汉受到新型冠状肺炎影响，南海区某医院准备从甲、乙、 丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉 （1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果； （2）求恰好选中医生丙和护士B的概率 20 （6 分）如图，已知 ABCD，AD，BC 交于点 E，F 为 BC 上一点，且EAFC，若 AF6，FB8， 求 EF 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本
8、大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）已知关于x的方程 2 20 xaxa （1）若该方程的一个根为 1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 22 （8 分）如图，已知一次函数yaxb与反比例函数(0)yx x k 的图象相交于点(1,3)A和( ,1)B m （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）以点O为位似中心画三角形，使它与OAB位似，且相似比为 2，请在图中画出所有符合条件的三角 形 第 5 页（共 23 页） 2
9、3 （8 分）如图，BD是ABC的角平分线，过点作/ /DEBC交AB于点E，/ /DFAB交BC于点F （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若60ABC，45ACB，6CD ，求菱形BEDF的边长 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，在ABC中，90A，6AB ，8AC ，点D，F分别是边AB，BC上的动点， 点D不与点A，B重合，过点D作/ /DEBC，交AC于点E，连接DF，EF （1）当DFBC时，求证：FBDABC； （2）在（1）的条件下，当四边形BDEF是平行四边
10、形时，求BF的长； 第 6 页（共 23 页） （3）是否存在点F，使得FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长 25 （10 分）如图，已知二次函数 2 52yaxax的图象交x轴于点(1,0)A和点B，交y轴于点C （1）求该二次函数的解析式； （2）过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为 3，求CBD的正切值； （3）在（2）的条件下，点E在直线1x 上，如果45CBE，求点E的坐标 2020-2021 学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大
11、题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1 （3 分）抛物线 2 (2)3yx的顶点坐标是( ) A( 2, 3) B( 2,3) C(2, 3) D(2,3) 【解答】解：二次函数 2 (2)3yx的图象的顶点坐标为( 2,3) 故选：B 2 （3 分）用配方法解方程 2 210 xx ，配方后所得方程为( ) A 2 (1)0 x B 2 (1)0 x C 2 (1)2x D 2 (1)2x 【解答】解： 2 21xx， 2 212xx ， 2 (1)2x 故选：D
12、第 7 页（共 23 页） 3 （3 分）班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形 状大小完全相同的白球，想请大家估计出袋中白球的个数数学科代表小明是这样来估计的：他先往袋中 放入 10 个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出 20 个球，发现其中有 4 个红球根据 小明的方法估计袋中白球有( ) A200 个 B100 个 C50 个 D40 个 【解答】解：设估计袋中白球有x个，根据题意得： 104 1020 x ， 解得：40 x 经检验40 x 是原方程的解， 答：估计袋中白球有 40 个 故选：D 4 （3 分）如图，已知12
13、 ，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC与ADE相似的是( ) ACAED BBD C ABBC ADDE D ABAC ADAE 【解答】解：12 DAEBAC A，B，D都可判定ABCADE 选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C 5 （3 分）如图所示几何体的左视图正确的是( ) A B C D 【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是： 第 8 页（共 23 页） 故选：A 6 （3 分）点 1 ( 3,)Ay、 2 ( 1,)By、 3 (2,)Cy都在反比例函数 6 y x 的图象上，则 1 y、 2 y、 3 y的大小关系是 ( ) A 123 yyy B 321
14、yyy C 312 yyy D 213 yyy 【解答】解：点 1 ( 3,)Ay， 2 ( 1,)By， 3 (2,)Cy都在反比例函数 6 y x 的图象上， 1 6 2 3 y ， 2 6 6 1 y ， 3 6 3 2 y ， 326 ， 312 yyy， 故选：C 7 （3 分）已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OAOBOCOD，则下列关于四边 形ABCD的结论一定成立的是( ) A四边形ABCD是正方形 B四边形ABCD是菱形 C四边形ABCD是矩形 D 1 2 ABCD SAC BD 四边形 【解答】解： 四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OAOB
15、OCOD， ACBD， 四边形ABCD是矩形， 故选：C 8 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，CD是斜边AB上的高，7BC ，3AC ，则sin(ACD ) 第 9 页（共 23 页） A 7 4 B 7 3 C 3 4 D 4 3 【解答】解：在Rt ABC中，90ACB， 2222 3( 7)4ABACBC，90ACDBCD， CD是斜边AB上的高， CDAB， 90BBCD， ACDB ， 3 sinsin 4 AC ACDB AB ， 故选：C 9 （3 分）二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，反比例函数 a y x 与正比例函数ycx在同一坐标系 内的大致图象是(
16、 ) A B C D 【解答】解：由二次函数的图象得0a ，0c ， 第 10 页（共 23 页） 所以反比例函数 a y x 分布在第二、四象限，正比例函数ycx经过第一、三象限， 所以C选项正确 故选：C 10（3 分） 如图， 在ABC 中， 中线 AE、 BD 相交于点 F， 连接 DE， 则下列结论： ； ； ；其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：在ABC 中，中线 AE、BD 相交于点 F， DE 是ABC 的中位线， DEAB，故正确； CDECAB， ，故错误； DEAB， DEFBAF， ， ，故正确； CDDA， SCDESADE
17、， ，故正确； 故选：C 第 11 页（共 23 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）一元二次方程 2 3xx的解是： 1 0 x ， 2 3x 【解答】解： （1） 2 3xx， 2 30 xx， (3)0 x x， 解得： 1 0 x ， 2 3x 故答案为： 1 0 x ， 2 3x 12 （4 分）已知2 a b ，则 ab ab 3 【解答】解：2 a b ， 设2a k，b k， 2 3 2 ab ab kk kk 故答案为：3 13 （4 分）直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则
18、斜边上的中线长为 13 2 cm 【解答】解：直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm， 斜边长为： 22 51213()cm， 斜边上的中线长为13 2 cm， 故答案为： 13 2 14 （4 分）某市推出名师网络课堂，据统计，第一批受益学生 8000 人次，第三批受益学生 18000 人次如 果第二批、第三批受益学生人次的平均增长率相同，则这个增长率为 50% 【解答】解：设增长率为x， 根据题意，得 2 8000(1)18000 x， 解得 1 2.5x （舍去） ， 2 0.550%x 答：增长率为50% 故答案为：50% 15 （4 分）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8
19、m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为 50若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 11 m （结果精确到个位，参考数据： 第 12 页（共 23 页） sin500.77 ，cos500.64 ，tan501.19) 【解答】解：作DEAB于点E， 由题意可得，8DECDm， 50ADE， tan508 1.199.52( )AEDEm ， 1.5BECDm， 9.521.5211.211( )ABAEBEm， 故答案为：11 16 （4 分）在研究： “任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周 长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和
20、宽分别为 6 和 1 时，存在一个矩形B的周长和面积 分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B的长为 2 【解答】解：由已知可得， 矩形A的周长是(61)214，面积是6 16 ， 则矩形B的周长是 7，面积是 3， 设矩形B的长为x，则宽为3.5x， 则(3.5)3xx， 解得， 1 2x ， 2 1.5x ， 当2x 时，3.51.5x，此时长大于宽，符合实际； 当1.5x 时，3.52x，此时长小于宽，不符合实际； 第 13 页（共 23 页） 由上可得，矩形B的长为 2， 故答案为：2 17 （4 分） 如图， 在菱形ABCD中，1AB ，120ADC， 以AC为边作菱形 11 ACC
21、 D， 且 11 120ADC； 再以 1 AC为边作菱形 122 AC C D， 且 22 120AD C； 按此规律， 菱形 202020212021 ACCD的面积为 4041 ( 3) 2 【解答】解：作CEAB交AB的延长线于点E，如右图所示， 由已知可得， 120ABC，1BC ，30CAB， 60CBE， 30BCE， 3 2 CE， 3AC， 菱形ABCD的面积是 33 1 22 ， 3 1 AC AB ，图中的菱形都是相似的， 菱形 202020212021 ACCD的面积为： 4041 2 20204040 333( 3) () ( 3) 2122 ， 故答案为： 4041
22、 ( 3) 2 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 第 14 页（共 23 页） 18 （6 分）计算： 42 6sin30cos302tan45 3tan60 【解答】解：原式 1432 62 1 2323 2 32 3 32 33 1 19 （6 分） “一方有难，八方支援”2020 年初武汉受到新型冠状肺炎影响，南海区某医院准备从甲、乙、 丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉 （1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果； （2）求恰好选中医生丙和护士B
23、的概率 【解答】解： （1）画树状图如图： 所有可能出现的结果由 6 个； （2）由树状图得：所有可能出现的结果由 6 个，恰好选中医生丙和护士B的结果有 1 个， 恰好选中医生丙和护士B的概率为 1 6 20 （6 分）如图，已知 ABCD，AD，BC 交于点 E，F 为 BC 上一点，且EAFC，若 AF6，FB8， 求 EF 【解答】解：ABCD， BC， EAFC， BEAF， AFEBFA， AFEBFA， 第 15 页（共 23 页） ， AF6，FB8， ， EF 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分）
24、 21 （8 分）已知关于x的方程 2 20 xaxa （1）若该方程的一个根为 1，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【解答】解： （1）将1x 代入方程 2 20 xaxa得，120aa，解得， 1 2 a ； 方程为 2 13 0 22 xx，即 2 230 xx，设另一根为 1 x，则 1 3 1 2 x ， 1 3 2 x a的值为 1 2 ，该方程的另一个根是 3 2 （2） 2222 4(2)48444(2)40aaaaaaa ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 22 （8 分）如图，已知一次函数yaxb与反比例函
25、数(0)yx x k 的图象相交于点(1,3)A和( ,1)B m （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）以点O为位似中心画三角形，使它与OAB位似，且相似比为 2，请在图中画出所有符合条件的三角 形 第 16 页（共 23 页） 【解答】解： （1）反比例函数(0)y x k k图象经过(1,3)A， 1 33 k， 反比例函数的表达式是 3 y x ， 反比例函数 3 y x 的图象过点( ,1)B m，3m， (3,1)B 一次函数yaxb图象相交于(1,3)A，(3,1)B 3 31 ab ab ， 解得 1
26、4 a b ， 一次函数的表达式是4yx ； （2）由图象知，当1x 或3x 时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）如图所示OA B 和OA B 即为所求 第 17 页（共 23 页） 23 （8 分）如图，BD是ABC的角平分线，过点作/ /DEBC交AB于点E，/ /DFAB交BC于点F （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若60ABC，45ACB，6CD ，求菱形BEDF的边长 【解答】证明： （1）/ /DEBC，/ /DFAB， 四边形DEBF是平行四边形， / /DEBC， EDBDBF， BD平分ABC， 1 2 ABDDBFABC ， ABDEDB， DEBE， 又
27、四边形BEDF为平行四边形， 四边形BEDF是菱形； （2）如图，过点D作DHBC于H， 第 18 页（共 23 页） / /DFAB， 60ABCDFC ， DHBC， 30FDH， 1 2 FHDF， 3 3 2 DHFHDF， 45C，DHBC， 45CHDC ， 6 26 2 DCDHDF， 2 6DF， 菱形BEDF的边长为2 6 五、解答五、解答题（三） （本大题题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，在ABC中，90A，6AB ，8AC ，点D，F分别是边AB，BC上的动点， 点D不与点A，B重合，过点D作
28、/ /DEBC，交AC于点E，连接DF，EF （1）当DFBC时，求证：FBDABC； （2）在（1）的条件下，当四边形BDEF是平行四边形时，求BF的长； （3）是否存在点F，使得FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长 【解答】证明： （1）DFBC， 90BFDA ， 第 19 页（共 23 页） 又BB ， DBFCBA； （2）90A，6AB ，8AC ， 22 366410BCABAC， DBFCBA， BFBD BABC ， 63 105 BF BD ， 3 5 BFBD， 四边形BDEF是平行四边形， BFDE， / /DEBC， ADEB， 又90
29、ADFB ， ADEFBD， ADBF DEBD ， 22 9 (6) 25 BDBDBFBD， 0BD（舍去） ， 75 17 BD ， 37545 51717 BF； （3）如图 2，当90EDF，DEDF时， / /DEBC， 90EDFDFB ， DBFCBA， 第 20 页（共 23 页） DFBFBD ACABBC ， 8610 DFBFBD ， 设3BFx，4DF k，5BD k， 4DE k，65AD k， coscos ADAB ADEB DEBC ， 656 410 k k ， 30 37 k， 120 37 DE； 当90DEF，DE EF 时， 又90EDFDFF ，
30、四边形DEFF 是矩形， 120 37 DF EF ， 120 37 DE； 当90DF E，DFEF时，过点A作AHBC于H，过点 F 作F NDE于N， 11 22 ABC SABACBCAH ， 6810AH ， 4.8AH， 90DF E，DFEF，F NDE， 1 2 DNNENFDE， ADEABC， 第 21 页（共 23 页） DEAHNF BCAH ， 1 4.8 2 104.8 DE DE ， 240 49 DE， 综上所述：DE的长为 120 37 或 240 49 25 （10 分）如图，已知二次函数 2 52yaxax的图象交x轴于点(1,0)A和点B，交y轴于点C
31、（1）求该二次函数的解析式； （2）过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为 3，求CBD的正切值； （3）在（2）的条件下，点E在直线1x 上，如果45CBE，求点E的坐标 【解答】解： （1）二次函数 2 52yaxax的图象交x轴于点(1,0)A， 052aa， 1 2 a， 二次函数的解析式 2 15 2 22 yxx； （2）二次函数 2 15 2 22 yxx的图象交x轴于点(1,0)A和点B，交y轴于点C 点(0,2)C，点(4,0)B， 点(1,3)D， 22 (1 0)(32)2CD， 22 (4 1)(30)3 2DB ，1642 5BC ， 22 20CDDB，
32、2 20BC ， 222 CDDBBC， 90CDB， 第 22 页（共 23 页） 21 tan 33 2 CD CBD DB ； （3）如图，当点E在x轴上方时， 点(0,2)C，点(4,0)B， 直线BC解析式为 1 2 2 yx ， 当1x 时， 3 2 y ， 点 3 (1, ) 2 H， 3 2 AH， 3 2 AHHF， 3 2 2 HF ， 45AFH， 3 2 BF ， 135BFH， 点(1,0)A，点(4,0)B，点(1,3)D， 3ADAB，3 2DB ， 45ADBABDCBE ， ABCEBD ，135BDEHFB ， BFHBDE， BDDE BFHF ， 3 2 33 2 22 DE ， 6DE，点(1,9)E； 第 23 页（共 23 页） 当点 E 在x轴下方时， 45E BCEBC ，90EBE， 90BEEEE BBEEABEBE EABE ， BEEABE，EBA AEB ， ABE AE B ， ABAE AEAB ， 99 AE ，1 AE ， 点(1, 1) E ， 综上所述：点(1,9)E或(1, 1)