1、2020-2021 学年湖北省孝感市八校联谊九年级 （上） 月考数学试卷 （学年湖北省孝感市八校联谊九年级 （上） 月考数学试卷 （12 月份）月份） 一、选择题（单选题，共一、选择题（单选题，共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1一元二次方程 x（x2）2x 的根是（ ） A1 B1 和 2 C1 和 2 D2 2某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增 长率为 x，根据题意可得方程（ ） A180（1x）2461 B180（1+x）2461 C368（1x）2442 D368（1+x）244
2、2 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4在平面直角坐标系中，抛物线 y（x+5） （x3）经变换后得到抛物线 y（x+3） （x5） ，则这个变换 可以是（ ） A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位 C向左平移 8 个单位 D向右平移 8 个单位 5如图，O 是ABC 的外接圆，O 的半径为 3，A45，则弧 BC 的长是（ ） A B C D 6 如图， 圆锥底面半径为 rcm， 母线长为 5cm， 其侧面展开图是圆心角为 216的扇形， 则 r 的值为 （ ） A3 B4 C5 D6 7下列各说法中： 圆的每一条直径都是它的对称轴； 长度相等
3、的两条弧是等弧； 相等的弦所对的弧也相等； 同弧所对的圆周角相等； 90的圆周角所对的弦是直径； 任何一个三角形都有唯一的外接圆； 其中正确的有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 8如图，将半径为 4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A2 B4 C4 D2 9若函数 y（a1）x24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 2 D1 或 2 或 1 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，结合图象分析 下列结论： abc0； 3a+c0； 当 x0 时，y 随
4、x 的增大而增大； 0； 若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11已知点 A（a，2019）与点 A（2020，b）是关于原点 O 的对称点，则 a+b 的值为 12已知一元二次方程 x24x+30 的两根 x1、x2，则 2x128x1+x1x2 13若关于 x 的一元二次方程（a+3）x2+2x+a290 有一个根为 0，则 a 的值为 14若二次函数 yx26x+c 的图象过 A（1
5、，y1） ，B（2，y2） ，C（3+，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关 系 15 如图， PA、 PB 是O 的切线， A、 B 为切点， 点 C、 D 在O 上 若P108， 则B+D 16我们定义一种新函数：形如 y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画 出了“鹊桥”函数 y|x22x3|的图象（如图所示） ，并写出下列五个结论： 图象与坐标轴的交点为（1，0） ， （3，0）和（0，3） ； 图象具有对称性，对称轴是直线 x1； 当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大； 当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0； 当 x1
6、时，函数的最大值是 4 其中正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17解下列方程： （1）3x（x1）22x； （2） （20 x） （4x+20）600 18如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，点 E 在对角线 BD 上，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 120， 得到 CF，连接 DF （1）求证：BCEDFC （2）若 BC2求四边形 ECFD 的面积， 19如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（0，1） ，B（3，3） ，C（1，3） （1）画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）画出ABC 绕点 A 逆时针旋转
7、 90的AB2C2；直接写出点 C2的坐标； （3）求在ABC 旋转到AB2C2的过程中，线段 AC 所扫过形成的图形的面积 20如图，矩形 ABCD 在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0） 、B（6，0） 、D（0，4） （1）根据图形直接写出点 C 的坐标： ； （2）已知直线 m 经过点 P（0，6）且把矩形 ABCD 分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直 线 m，并求该直线 m 的解析式 21已知关于 x 的方程 x2+（2m1）x+m20 有实数根 （1）若方程的一个根为 1，求 m 的值； （2）设 、 是方程的两个实数根，是否存在实数 m 使得 2+26 成立？如果存在
8、，请求出来， 若不存在，请说明理由 22某茶叶经销商以每千克 18 元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，已知加工过程中质量损耗了 40%，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的 60%， 经试销发现，每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）符合一次函数 ykx+b，且 x35 时，y 45；x42 时，y38 （1）求一次函数 ykx+b 的表达式； （2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销 售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商户每
9、天获得利润不低于 225 元，试确定销售单价 x 的范围 23如图，在 RtABC 中，ACB90，点 F 在 AB 上，以 AF 为直径的O 与边 BC 相切于点 D，与边 AC 相交于点点 E，且，连接 EO 并延长交O 于点 G，连接 BG （1）求证： AOAE BG 是O 的切线 （2）若 BF4，求图形中阴影部分的面积 24如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 N，过 A 点的直线 l：ykx+n 与 y 轴交于点 C，与抛物线 yx2+bx+c 的另一个交点为 D， 已知 A （1，0） ， D（5，6） ， P
10、点为抛物线 yx2+bx+c 上一动点（不与 A、D 重合） （1）求抛物线和直线 l 的解析式； （2）当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PEx 轴交直线 l 于点 E，作 PFy 轴交直线 l 于点 F，求 PE+PF 的最大值； （3）设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年湖北省孝感市八校联谊九年级 （上） 月考数学试卷 （学年湖北省孝感市八校联谊九年级 （上） 月考数学试卷 （12 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题
11、解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1一元二次方程 x（x2）2x 的根是（ ） A1 B1 和 2 C1 和 2 D2 【分析】先移项得到 x（x2）+（x2）0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：x（x2）+（x2）0， （x2） （x+1）0， x20 或 x+10， 所以 x12，x21 故选：B 2某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增 长率为 x，根据题意可得方程（ ） A180（1x）2461 B180（1+x）2461 C368（1x）2442 D368（1+x）2442 【分析】本题为增长
12、率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，如果设这个增长率为 x， 根据“2 月份的 180 万只，4 月份的产量将达到 461 万只” ，即可得出方程 【解答】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程：180（1+x） 2461， 故选：B 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D
13、、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 4在平面直角坐标系中，抛物线 y（x+5） （x3）经变换后得到抛物线 y（x+3） （x5） ，则这个变换 可以是（ ） A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位 C向左平移 8 个单位 D向右平移 8 个单位 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律 【解答】解：y（x+5） （x3）（x+1）216，顶点坐标是（1，16） y（x+3） （x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16） 所以将抛物线 y（x+5） （x3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y（x+3） （x5） ， 故选：B 5如图，O 是AB
14、C 的外接圆，O 的半径为 3，A45，则弧 BC 的长是（ ） A B C D 【分析】连接 OB、OC，根据圆周角定理求出BOC，利用弧长公式计算即可 【解答】解：连接 OB、OC， 由圆周角定理得，BOC2A90， 弧 BC 的长是， 故选：B 6 如图， 圆锥底面半径为 rcm， 母线长为 5cm， 其侧面展开图是圆心角为 216的扇形， 则 r 的值为 （ ） A3 B4 C5 D6 【分析】直接根据弧长公式即可得出结论 【解答】解：圆锥底面半径为 rcm，母线长为 5cm，其侧面展开图是圆心角为 216的扇形， 2r25， 解得 r3 故选：A 7下列各说法中： 圆的每一条直径都是
15、它的对称轴； 长度相等的两条弧是等弧； 相等的弦所对的弧也相等； 同弧所对的圆周角相等； 90的圆周角所对的弦是直径； 任何一个三角形都有唯一的外接圆； 其中正确的有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】根据对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义和弦、弧、圆周角的相互关系来判断 【解答】解：对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，所以此项错 误； 在同一圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同一圆中不一定是等弧，所以此项错误； 在同一圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同一圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，所以此项错 误； 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧
16、或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一 半，故此项正确； 根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径，故此项 正确； 根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，故此项正确 故选：A 8如图，将半径为 4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A2 B4 C4 D2 【分析】作O 的半径 OCAB 于 D，连接 OA、AC，如图，利用折叠的性质得 AB 垂直平分 OC，则 ACAO，于是可判断AOC 为等边三角形，所以AOC60，利用含 30 度的直角三角形三边的关系 求出 AD，然后利用垂径定理得到 ADBD
17、，从而得到 AB 的长 【解答】解：作O 的半径 OCAB 于 D，连接 OA、AC，如图， 圆折叠后，圆弧恰好经过圆心， AB 垂直平分 OC， ACAO， 而 OAOC， OAACOC， AOC 为等边三角形， AOC60， ODOA2， ADOD2， ODAB， ADBD， AB2AD4（cm） 故选：C 9若函数 y（a1）x24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为（ ） A1 B2 C1 或 2 D1 或 2 或 1 【分析】讨论：当 a10，即 a1，函数为一次函数，与 x 轴有一个交点；当 a10 时，利用判别 式的意义得到（4）24（a1）2a0，然后解两
18、个关于 a 的方程即可 【解答】解：当 a10，即 a1，函数为一次函数 y4x+2，它与 x 轴有一个交点； 当 a10 时，根据题意得（4）24（a1）2a0，解得 a1 或 a2， 综上所述，a 的值为1 或 2 或 1 故选：D 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，结合图象分析 下列结论： abc0； 3a+c0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 0； 若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】根据抛物线
19、的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应 a、b、c 之间的关系， 进行综合判断即可 【解答】解：由抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x可得， 9a3b+c0，即 ab，与 x 轴的另一个交点为（2，0） ，4a+2b+c0， 抛物线开口向下，a0，b0， 抛物线与 y 轴交于正半轴，因此 c0， 所以，abc0，因此正确； 由 9a3b+c0，而 ab， 所以 6a+c0，又 a0， 因此 3a+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为 x，a0，因此当 x时，y 随 x 的增大而增大，所以不正确； 由于抛物线的顶点在第二象限，所以0，因
20、此0，故正确； 抛物线与 x 轴的交点为（3，0） （2，0） ， 因此当 y3 时，相应的 x 的值应在（3，0）的左侧和（2，0）的右侧， 因此 m3，n2，所以正确； 综上所述，正确的结论有：， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11已知点 A（a，2019）与点 A（2020，b）是关于原点 O 的对称点，则 a+b 的值为 1 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值进而得出答案 【解答】解：点 A（a，2019）与点 A（2020，b）是关于原点 O 的对称点， a2020，b2019， a+b1 故答案为：1 12已知一元二次方程 x24x+30
21、 的两根 x1、x2，则 2x128x1+x1x2 3 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 x124x13，则原式2（3）+x1x2，再利用根与系数 的关系得到 x1x23，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：x1为方程 x24x+30 的根， x124x1+30， x124x13， 原式2（3）+x1x2x1x26， 方程 x24x+30 的两根 x1、x2， x1x23， 原式363 故答案为3 13若关于 x 的一元二次方程（a+3）x2+2x+a290 有一个根为 0，则 a 的值为 3 【分析】将 x0 代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得 a 的值 【解答】解：根据题
22、意，将 x0 代入方程可得 a290， 解得：a3 或 a3， a+30，即 a3， a3 故答案为：3 14若二次函数 yx26x+c 的图象过 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3+，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关 系 y2y3y1 【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为 x3根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵 坐标的大小 【解答】解：二次函数 yx26x+c， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x3 点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3+，y3）都在二次函数 yx26x+c 的图象上， 而三点横坐标离对称轴 x3 的距离按由远到近为：A、C、B，
23、 y2y3y1， 故答案为 y2y3y1 15 如图， PA、 PB 是O 的切线， A、 B 为切点， 点 C、 D 在O 上 若P108， 则B+D 216 【分析】连接 AB，根据切线得出 PAPB，求出PBAPAB36，根据圆内接四边形的对角互补得 出D+CBA180，再求出答案即可 【解答】解：连接 AB， PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点， PAPB， PABPBA， APB108， PBAPAB（180APB）36， A、D、C、B 四点共圆， D+CBA180， PBC+DPBA+CBA+D36+180216， 故答案为：216 16我们定义一种新函数：形如 y|ax2
24、+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画 出了“鹊桥”函数 y|x22x3|的图象（如图所示） ，并写出下列五个结论： 图象与坐标轴的交点为（1，0） ， （3，0）和（0，3） ； 图象具有对称性，对称轴是直线 x1； 当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大； 当 x1 或 x3 时，函数最小值是 0； 当 x1 时，函数的最大值是 4 其中正确结论的序号是 【分析】由（1，0） ， （3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y|x22x3|知是正确的；从图象可以看 出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x1，也是正确的；根据函数的图象和
25、性质， 发现当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就 是与 x 轴的两个交点，根据 y0，求出相应的 x 的值为 x1 或 x3，因此也是正确的；从图象上 看，当 x1 或 x3，函数值要大于当 x1 时的 y|x22x3|4，因此时不正确的；逐个判断之 后，可得出答案 【解答】解：（1，0） ， （3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y|x22x3|，是正确的； 从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x1，因此也是正确的； 根据函数的图象和性质，发现当1x1 或 x3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此也是正
26、 确的； 函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 y0，求出相应的 x 的值为 x1 或 x3，因此 也是正确的； 从图象上看，当 x1 或 x3，函数值要大于当 x1 时的 y|x22x3|4，因此是不正确的； 故答案为： 三解答题三解答题 17解下列方程： （1）3x（x1）22x； （2） （20 x） （4x+20）600 【分析】 （1）先利用十字相乘法进行因式分解，再将原方程转化为两个一元一次方程并求解即可； （2）将原方程整理成一般式，再利用公式法进行求解即可 【解答】解： （1）3x（x1）22x， 3x（x1）+2（x1）0， （x1） （3x+2）0， x10 或
27、3x+20， x11，x2； （2）（20 x） （4x+20）600， 80 x+4004x220 x6000， 4x2+60 x2000， x215x+500， a1，b15，c50， b24ac （15）24150 225200 250， x， x15，x210 18如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，点 E 在对角线 BD 上，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 120， 得到 CF，连接 DF （1）求证：BCEDFC （2）若 BC2求四边形 ECFD 的面积， 【分析】 （1）由菱形的性质可得 BCCD，ABCD120，由旋转的性质可得 CFCE，ECF 120BCD，由“
28、SAS”可证BCEDFC； （2）如图，连接 AC 交 BD 于 O，由菱形的性质可得 ACBD，AOCO，BODO，BCA60，由 直角三角形的性质可求 CO，BOCO3，即可求 SBCD63，由全等三角形的 性质可求解 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， BCCD，ABCD120 将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 120，得到 CF， CFCE，ECF120BCD， BCEDCF，且 BCCD，ECCF， BCEDFC（SAS） （2）如图，连接 AC 交 BD 于 O， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCO，BODO，BCA60， BC2， CO，BOCO3， B
29、D6， SBCD63， BCEDFC SBECSCDF， SBCDS四边形ECFD3 19如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（0，1） ，B（3，3） ，C（1，3） （1）画出ABC 关于点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）画出ABC 绕点 A 逆时针旋转 90的AB2C2；直接写出点 C2的坐标； （3）求在ABC 旋转到AB2C2的过程中，线段 AC 所扫过形成的图形的面积 【分析】 （1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 B、C 的对应点 B2、C2即可，从而得到 C2点的坐标； （3）先计算出 AC
30、 的长，然后利用扇形的面积公式计算 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，AB2C2为所作，点 C2的坐标为（2，1） ； （3）AC， 所以线段 AC 所扫过形成的图形的面积 20如图，矩形 ABCD 在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0） 、B（6，0） 、D（0，4） （1）根据图形直接写出点 C 的坐标： （6，4） ； （2）已知直线 m 经过点 P（0，6）且把矩形 ABCD 分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直 线 m，并求该直线 m 的解析式 【分析】 （1）根据点 B、D 的坐标求出点 C 的横坐标与纵坐标，然后写出即可； （2）连接 OC、B
31、D 得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线必过中心作出直线 m 即可，再利用 待定系数法求一次函数解析式解答 【解答】解： （1）B（6，0） 、D（0，4） ， 点 C 的横坐标是 6，纵坐标是 4， 点 C 的坐标为（6，4） ； 故答案为： （6，4） ； （2）直线 m 如图所示， 对角线 OC、BD 的交点坐标为（3，2） ， 设直线 m 的解析式为 ykx+b（k0） ， 则， 解得， 所以，直线 m 的解析式为 yx+6 21已知关于 x 的方程 x2+（2m1）x+m20 有实数根 （1）若方程的一个根为 1，求 m 的值； （2）设 、 是方程的两个实数根，是否存在实数
32、m 使得 2+26 成立？如果存在，请求出来， 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据判别式的意义得到（2m1）24m20，然后解不等式即可； （2）把 x1 代入原方程可得到关于 m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系得到 +（2m1） ，m2，利用 2+26 得到（+）23 6，则（2m1）23m26，然后解方程后利用（1）中 m 的范围确定 m 的值 【解答】解： （1）把 x1 代入方程得 1+2m1+m20， 解得 m10，m22， 即 m 的值为 0 或2； （3）存在 、 是方程的两个实数根， （2m1）24m20，+（2m1） ，m2， m
33、； 2+26， （+）236， 即（2m1）23m26， 整理得 m24m50，解得 m15，m21， m； m 的值为1 22某茶叶经销商以每千克 18 元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，已知加工过程中质量损耗了 40%，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的 60%， 经试销发现，每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）符合一次函数 ykx+b，且 x35 时，y 45；x42 时，y38 （1）求一次函数 ykx+b 的表达式； （2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销
34、 售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商户每天获得利润不低于 225 元，试确定销售单价 x 的范围 【分析】 （1）待定系数法求解可得； （2）先根据加工过程中质量损耗了 40%求出宁波白茶的实际成本，再根据“总利润每千克的利润销 售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的 60%”得出 x 的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值； （3）根据“每天获得利润不低于 225 元”列出不等式，解不等式后结合 30 x48 可得答案 【解答】解： （1）将 x35、y45 和 x42、y38 代入 ykx+b，
35、得： ， 解得：， yx+80； （2）根据题意得：W（x30） （x+80）（x55）2+625， 解得 30 x48，所以 x55 不在此范围内 当 x48 时，最大利润为 576 元； （3）当 W225 时 W（x55）2+625225， 解得 x35 或 x75， 由 30 x48 得， 35x48 23如图，在 RtABC 中，ACB90，点 F 在 AB 上，以 AF 为直径的O 与边 BC 相切于点 D，与边 AC 相交于点点 E，且，连接 EO 并延长交O 于点 G，连接 BG （1）求证： AOAE BG 是O 的切线 （2）若 BF4，求图形中阴影部分的面积 【分析】 （
36、1）连接 OD，根据切线的性质得到ODB90，得到 ACOD，根据平行线的性质得到 EODAEO，得到AOEAEO，根据等腰三角形的判定定理证明； 利用 SAS 定理证明ODBOGB， 根据全等三角形的性质得到OGBODB90， 根据切线的 判定定理证明结论； （2）连接 DE，根据含 30的直角三角形的性质求出圆的半径，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计 算，得到答案 【解答】 （1）证明：连接 OD， O 与 BC 相切于点 D， ODB90， ACB90， ACBODB， ACOD， EODAEO， ， EODAOE， AOEAEO， AOAE； 证明：由知，AOAEOE， AOE 是等
37、边三角形， AEOAOEA60， BOGAOE60， DOB180DOEAOE60， DOBGOB， ODOG，OBOB， ODBOGB（SAS） ， OGBODB90， OGBG， OG 是O 的半径， GB 是O 的切线； （2）连接 DE， A60， ABC90A30， OB2OD， 设O 的半径为 r， OBOF+FB，即 4+r2r， 解得，r4， AEOA4，AB2r+BF12， ACAB6， CEACAE2， 由（1）知，DOB60， ODOE， ODE 是等边三角形， DEOE4， 根据勾股定理得，CD2， S阴影S梯形CEODS扇形ODE（2+4）26 24如图，抛物线 yx
38、2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 N，过 A 点的直线 l：ykx+n 与 y 轴交于点 C，与抛物线 yx2+bx+c 的另一个交点为 D， 已知 A （1，0） ， D（5，6） ， P 点为抛物线 yx2+bx+c 上一动点（不与 A、D 重合） （1）求抛物线和直线 l 的解析式； （2）当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PEx 轴交直线 l 于点 E，作 PFy 轴交直线 l 于点 F，求 PE+PF 的最大值； （3）设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行
39、四边形？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解； （2）PE+PF2PF2（x2+3x+4+x+1）2（x2）2+18，即可求解； （3）分 NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可 【解答】解： （1）将点 A、D 的坐标代入直线表达式得：，解得：， 故直线 l 的表达式为：yx1， 将点 A、D 的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：yx2+3x+4； （2）直线 l 的表达式为：yx1，则直线 l 与 x 轴的夹角为 45， 即：则 PEPF，
40、设点 P 坐标为（x，x2+3x+4） 、则点 F（x，x1） ， PE+PF2PF2（x2+3x+4+x+1）2（x2）2+18， 20，故 PE+PF 有最大值， 当 x2 时，其最大值为 18； （3）NC5， 当 NC 是平行四边形的一条边时， 设点 P 坐标为（x，x2+3x+4） 、则点 M（x，x1） ， 由题意得：|yMyP|5，即：|x2+3x+4+x+1|5， 解得：x2或 0 或 4（舍去 0） ， 则点 M 坐标为（2+，3）或（2，3+）或（4，5） ； 当 NC 是平行四边形的对角线时， 则 NC 的中点坐标为（0，） ， 设点 P 坐标为（m，m2+3m+4） 、则点 M（n，n1） ， N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形，则 NC 的中点即为 PM 中点， 即：，解得：， 故点 M（4，3） ； 故点 M 的坐标为： （2+，3）或（2，3+）或（4，5）或（4，3）