1、一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 1一元二次方程的概念及一般式 一元二次方程：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_的整式方程 一般形式： _ 【知识拓展】 在一元二次方程的一般形式中要注意强调 a0. 2一元二次方程的解法 直接开平方法：它适合于(xa)2b(b0)或(axb)2(cxd)2形式的方程 配方法：化二次项系数为 1把常数项移到方程的另一边在方程两边同时加上一次项系数一半的平 方把方程整理成(xa)2b 的形式运用直接开平方法解方程 公式法：先把方程整理成一般形式 ax2bxc0，若 b24ac0，则 xb b 24ac 2a . 因式分解法： 将一个一元二次方程转化
2、为两个一元一次方程 最常用的方法是提公因式、 平方差公式、 完全平方公式 3一元二次方程根的判别式 根的判别式定义：关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判别式为 b24ac，也把它记做 b24ac. 根的判别式与根的关系： b24ac0方程有_的实数根； b24ac0方程有_的实数根； b24ac0方程有_的实数根； b24ac0方程有_的实数根； 4一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两个根为 x1，x2，则 x1x2b a，x1 x2 c a. 【知识拓展】 (1)一元二次方程的根与系数的关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数
3、，两根的 积等于常数项与二次项系数的比； (2)利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式 0. 5一元二次方程的应用 列一元二次方程的一般步骤与列一元一次方程的步骤相同 一元二次方程应用的常见类型： (1)增长率问题；(2)握手问题；(3)降价增量问题；(4)动点问题 【知识拓展】 增长率中的等量关系： (1)增长率增量 基础量； (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1m)nb，当 m 为平 均下降率时，a(1m)nb. 1已知方程一个根求另一个根 可以将已知根代入，先求未知系数，再解方程求另一个根，也可以利用根与系数的关系求解 2化
4、归思想 一元二次方程的解法，如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了转化思想，把待 解决问题(一元二次方程)通过转化归结为易解决问题(一元一次方程) 解一元二次方程是中考的热点 类型一 一元二次方程及其解的概念 典例 2020 中考预测若 1 3是方程 x22xc0 的一个根，则 c 的值为( ) A2 B4 32 C3 3 D1 3 思维升华 (1)只含一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，其一般 式为 ax2bxc0(a0)；(2)本题考查的是方程根的含义，若已知方程的根，求方程中的其他字母 的值，可以直接将这个根代入方程，或由根与系数的关系得出
5、 跟踪训练 1.2019 兰州x1 是关于 x 的一元二次方程 x2ax2b0 的解，则 2a4b( ) A2 B3 C1 D6 2 2019 遂宁已知关于 x 的一元二次方程(a1)x22xa210 有一个根为 x0， 则 a 的值为( ) A0 B 1 C1 D1 类型二 一元二次方程的解法 典例 2019 绍兴x 为何值时，两个代数式 x21，4x1 的值相等？ 跟踪训练 1.2018 绍兴解方程：x22x10. 2、 （1）解方程：(1)(x3)(x1)3； (2)2019 安徽(x1)24； (3)2019 无锡x22x5 0. 思维升华 解一元二次方程的方法有直接开平方法，因式分解
6、法，配方法，公式法等一般地，在不 能直接用因式分解法时，可选择配方法或公式法来解 类型三 一元二次方程根的判别式 典例 2020 中考预测已知关于 x 的方程(m2)x22(m1)xm10.当 m 为何非负整数时， (1)方程只有一个实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3)方程有两个不相等的实数根？ 跟踪训练 1.2019 郴州一元二次方程 2x23x50 的根的情况为( ) A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数 根 22019 咸宁若关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有实数根，则实数 m 的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1
7、32019 新疆若关于 x 的一元二次方程(k1)x2x10 有两个实数根，则 k 的取值范围是( ) Ak5 4 Bk 5 4 Ck 5 4且 k1 Dk 5 4且 k1 思维升华 对于 ax2bxc0(a0)，令 b24ac，则有：0 等价于方程有两个不等实数根； 0 等价于方程有两个相等实数根；0 等价于方程无实数根；0 等价于方程有实数根注意： 运用判别式，当 a 含有字母时，要把 a0 考虑进去 类型四 (选学)一元二次方程根与系数的关系 典例 2019 孝感已知关于 x 的一元二次方程 x22(a1)xa2a20 有两个不相等的实数根 x1， x2. (1)若 a 为正整数，求 a
8、 的值； (2)若 x1，x2满足 x21x22x1x216，求 a 的值 跟踪训练 1.2019 广东已知 x1， x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根， 下列结论错误的是( ) Ax1x2 Bx212x10 Cx1x22 Dx1 x22 22019 眉山设 a，b 是方程 x2x2 0190 的两个实数根，则(a1)(b1)的值为_ 32019 黄石已知关于 x 的一元二次方程 x26x(4m1)0 有实数根 (1)求 m 的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为 x1，x2，且|x1x2|4，求 m 的值 思维升华 (1)用根与系数的关系求字母的值时，要代入 检验；(2)一元二
9、次方程根与系数的关系常 用于求有关根的代数式的值，体现了整体思想 类型五 一元二次方程的应用 典例 2019 长沙近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批 公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次 (1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 跟踪训练 2019 东营为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电 子产品进行降价促销，使
10、生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个已知每个电子产品的固 定成本为 100 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 32 000 元？ 思维升华 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程 1解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同的式子，因为这个式子可能是 0. 2在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制 条件 3运用根与系数的关系时，只有在 0 时才能使用 【作业】 ： 1（2
11、019浙江宁波） 能说明命题“关于x的方程x24x+m0一定有实数根”是假命题的反例为 （ ） Am1 Bm0 Cm4 Dm5 2. （2019湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2016 年底有贫困人口 9 万人， 通过社会各界的努力， 2018 年底贫困人口减少至 1 万人 设 2016 年底至 2018 年底该地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得（ ） A9（12x）1 B9（1x）21 C9（1+2x）1 D9（1+x）21 二、填空题 3. （2019 湖北十堰）对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m
12、+2） （m3）24，则 m 4.（2019 吉林省）若关于 x 的一元二次方程（x+3)2=c 有实数根，则 c 的取值范围 5.（2019 年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增 长率为 （用百分数表示） 6.（2019 年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价 65 元，经市场预测，从现在 开始的第一季度销售价格将下降 10%，第二季度又将回升 5%若要使半年以后的销售利润不变，设 每个季度平均降低成本的百分率
13、为 x，根据题意可列方程是 7. （2019 年江苏省连云港市） 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根， 则 a 1 +c 的值等于 8.（2019 年浙江省嘉兴市）在 x2+ +40 的括号中添加一个关于 x 的一次项，使方程有两个 相等的实数根 三、解答题 9.（2019 年浙江省绍兴市）x 为何值时，两个代数式 x2+1，4x+1 的值相等？ 10.（2019湖南衡阳）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个
14、相同的根，求此时 m 的值 11. （2019广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内 由 5 万册增加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年新增加的图 书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名 著的册数占藏书总量的百分之几？ 13. （2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后 的矩形广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都 铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别 是多少米？