1、2020-2021 学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（ ） A任意两个平行四边形都相似 B任意两个菱形都相似 C任意两个矩形都相似 D任意两个正方形都相似 2在 RtABC 中，C90，各边都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 C不变 D无法确定 3已知 2x5y
2、（y0） ，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 4已知抛物线的解析式为 y（x2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （1，2） 5如图，AOB 与COD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，若 A（2，1） ，则点 C 的坐 标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （2，4） D （4，2） 6在 RtABC 中，C90，sinA，则 cosB 的值等于（ ） A B C D 7用配方法将二次函数 yx28x9 化为 ya（xh）2+k 的形式为（ ） Ay（x4）2+7 By（x4）225 Cy（x+4
3、）2+7 Dy（x+4）225 8若将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） Ay2x2+3 By2x23 Cy2（x3）2 Dy2（x+3）2 9如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为边 AC 的中点，DEBC 于点 E，连接 BD，则 tan DBC 的值为（ ） A B1 C2 D 10函数 yax2+ax+a（a0）的图象可能是下列图象中的（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11在ABC 中，AB13，AC12，BC5，则 tanA 的值是 12抛物线 y2
4、x25x+6 与 y 轴的交点坐标是 13若 3a2b，则的值为 14比例尺为 1：1000 的图纸上某区域面积 400cm2，则实际面积为 m2 15平放在地面上的三角形铁板 ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得A 为 54，B 为 36，边 AB 的长为 2.1m，BC 边上露出部分 BD 的长为 0.9m，则铁板 BC 边被掩埋部分 CD 的长是 m （结果精确到 0.1m参考数据：sin540.81，cos540.59，tan541.38） 16 在广安市中考体考前， 某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析， 发现实心球飞行高度 y （米） 与水平距离 x （米）
5、之间的关系为 yx2+x+， 由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题小题，其中，其中 17、18、20 题各题各 10 分，分，19 题题 9 分，共分，共 39 分）分） 17计算：|2|cos60sin45 18如图，已知一次函数 ykx+b 的图象经过 A（2，1） ，B（1，3）两点，并且交 x 轴于点 C，交 y 轴 于点 D，求 tanOCD 的值 19如图，在PAB 中，点 C、D 在 AB 上，PCPDCD，APB120，APC 与BPD 相似吗？为 什么？ 20已知二次函数 yax2+bx+c 中，其函数 y 与自变量 x 之间
6、的部分对应值如下表所示： x 0 1 2 3 4 y 4 1 0 1 4 （1）根据表格，画出此函数图象草图； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当 y3 时，求 x 的取值范围 四、解答题（本题共 3 小题，其中 21 题 9 分，22、23 题各 10 分，共 29 分） 21如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，设ADE，且 sin，AB4，求 AD 的长 22如图，已知二次函数 yx24x+3 图象与 x 轴分别交于点 B、D，与 y 轴交于点 C，顶点为 A，分别连 接 AB，BC，CD，DA求：四边形 ABCD 的面积 23 如图， 矩形 ABCD 且 BC2， AC
7、B30， 动点 E 在对角线 AC 上， 连结 ED， 过点 E 作 EFDE， 交 BC 于点 F （1）如图 1，当 AC 平分角DEF 时，求 AE 的长度； （2）若 AE：CE1：2，求 BF：FC 五、解答题（本题共 3 小题，其中 24、25 小题各 11 分，26 小题 12 分，共 34 分） 24如图，在锐角ABC 中，ABAC5，BDAC 于点 D，BD3，P 在 AB 上，过点 P 作 PEAC 交边 BC 于点 E，以 PE 为边作 RtPEF，使EPF90，点 F 在点 P 的下方，且 EFAB设PEF 与 ABC 重叠部分图形的面积为 S，AP 的长度为 x （1
8、）填空：BP PE（填写或或） ； （2）当 F 在边 AC 上时，求线段 AP 的长； （3）求 S 与 x 之间的函数关系式 25RtABC 中，ABC90，D 是 BC 上一点，连接 AD （1）如图 1，ABCB，E 是 AB 延长线上一点，CE 与 AD 垂直求证：BDBE； （2）如图 2，ABCB，过点 B 作 BFAD，F 为垂足，连接 CF 并延长交 AB 于点 G求证：； （3）如图 3，若 ABkBC 且 D 是 BC 的中点，过点 B 作 BFAD，F 为垂足，连接 CF 并延长交 AB 于 点 G，直接写出 tanBFG 的值（用含 k 的式子表示） 26在平面直角坐
9、标系中，已知抛物线 yx22mx3m （1）抛物线的顶点坐标 ； （含 m 的式子表示） （2）当 m1 时， 抛物线上一点 P 到 x 轴的距离为 5，求点 P 的坐标； 当 nx时，函数值 y 的取值范围是y2n，求 n 的值； （3）当 2m1x2m+1 时，抛物线 yx22mx3m 上最低点的纵坐标为5，求：m 2020-2021 学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷学年辽宁省大连市金普新区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题是（ ） A任意两个平行四边形都相
10、似 B任意两个菱形都相似 C任意两个矩形都相似 D任意两个正方形都相似 【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、任意的平行四边形不一定相似，故错误，是假命题，不符合题意； B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意； C、任意两个矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意； D、任意两个正方形都相似，正确，是真命题，符合题意， 故选：D 2在 RtABC 中，C90，各边都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 C不变 D无法确定 【分析】根据锐角 A 的对边 a 与斜
11、边 c 的比叫做A 的正弦解答即可 【解答】解：设 RtABC 的三边长为 a，b，c，则 sinA， 如果各边长都扩大 5 倍， sinA， 故A 的正弦值大小不变 故选：C 3已知 2x5y（y0） ，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论 【解答】解：2x5y， 故选：B 4已知抛物线的解析式为 y（x2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （1，2） 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标 【解答】解：因为 y（x2）2+1 为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐
12、标特点可知，顶点坐标为（2，1） 故选：B 5如图，AOB 与COD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，若 A（2，1） ，则点 C 的坐 标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （2，4） D （4，2） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案 【解答】解：AOB 与COD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，点 A 的坐标为（2， 1） ， 点 C 的坐标为（22，12） ，即（4，2） ， 故选：D 6在 RtABC 中，C90，sinA，则 cosB 的值等于（ ） A B C D 【分析】在 RtABC 中，C90，则A+B90，根据互余两
13、角的三角函数的关系就可以求解 【解答】解：在 RtABC 中，C90，A+B90， 则 cosBsinA 故选：B 7用配方法将二次函数 yx28x9 化为 ya（xh）2+k 的形式为（ ） Ay（x4）2+7 By（x4）225 Cy（x+4）2+7 Dy（x+4）225 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案 【解答】解：yx28x9 x28x+1625 （x4）225 故选：B 8若将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） Ay2x2+3 By2x23 Cy2（x3）2 Dy2（x+3）2 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可 【解答
14、】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y2x2向上平移 3 个单位可得到函数 y2x2+3， 故选：A 9如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为边 AC 的中点，DEBC 于点 E，连接 BD，则 tan DBC 的值为（ ） A B1 C2 D 【分析】 利用等腰直角三角形的判定与性质推知 BCAC， DEECDC， 然后通过解直角DBE 来求 tanDBC 的值 【解答】解：在ABC 中，BAC90，ABAC， ABCC45，BCAC 又点 D 为边 AC 的中点， ADDCAC DEBC 于点 E， CDEC45， DEECDCAC tanDBC 故选：A 10函数
15、yax2+ax+a（a0）的图象可能是下列图象中的（ ） A B C D 【分析】根据函数 yax2+ax+a（a0） ，对 a 的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确 选项 【解答】解：在函数 yax2+ax+a（a0）中， 当 a0 时，则该函数开口向下，顶点在 y 轴左侧，抛物线与 y 轴的负半轴相交，故选项 D 错误； 当 a0 时，则该函数开口向上，顶点在 y 轴左侧，抛物线与 y 轴的正半轴相交，故选项 A、B 错误；故 选项 C 正确； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11在ABC 中，AB13，AC12，BC5，则 tanA 的值是 【分析】根
16、据勾股定理的逆定理即可判断ABC 是直角三角形，再根据正切的定义即可求解 【解答】解：在ABC 中，AB13，AC12，BC5， 122+52169，132169， 122+52132， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，ACB90， tanA 故答案为： 12抛物线 y2x25x+6 与 y 轴的交点坐标是 （0，6） 【分析】根据题意得出 x0，然后求出 y 的值，即可以得到与 y 轴的交点坐标 【解答】解：令 x0， 得 y6， 故与 y 轴的交点坐标是： （0，6） 故答案为： （0，6） 13若 3a2b，则的值为 【分析】直接利用已知得出 ab，进而代入原式求出答案 【
17、解答】解：3a2b， ab， 故答案为： 14比例尺为 1：1000 的图纸上某区域面积 400cm2，则实际面积为 4104 m2 【分析】根据面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积 【解答】解：设实际面积为 xcm2， 则 400：x（1：1000）2， 解得 x4108， 4108cm24104m2 故实际面积为 4104m2 故答案为：4104 15平放在地面上的三角形铁板 ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得A 为 54，B 为 36，边 AB 的长为 2.1m，BC 边上露出部分 BD 的长为 0.9m，则铁板 BC 边被掩埋部分 CD 的长是 0.8
18、m （结果精确到 0.1m参考数据：sin540.81，cos540.59，tan541.38） 【分析】首先根据三角函数求得 BC 的长，然后根据 CDBCBD 即可求解 【解答】解：在直角三角形中，sinA， 则 BCABsinA2.1sin542.10.811.701， 则 CDBCBD1.7010.9， 0.8010.8（m） ， 故答案为：0.8 16 在广安市中考体考前， 某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析， 发现实心球飞行高度 y （米） 与水平距离 x （米） 之间的关系为 yx2+x+， 由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米 【分析】根据铅球落地时，高度 y
19、0，把实际问题可理解为当 y0 时，求 x 的值即可 【解答】解：当 y0 时，yx2+x+0， 解得，x2（舍去） ，x10 故答案为：10 三解答题三解答题 17计算：|2|cos60sin45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解：原式 1 18如图，已知一次函数 ykx+b 的图象经过 A（2，1） ，B（1，3）两点，并且交 x 轴于点 C，交 y 轴 于点 D，求 tanOCD 的值 【分析】将 A（2，1） ，B（1，3）代入一次函数 ykx+b，组成方程组，即可求出 k、b 的值，从而 得到一次函数解析式，求出直线与 x 轴、y 轴的交点坐标，即可求出 t
20、anOCD 的值 【解答】解：将 A（2，1） ，B（1，3）分别代入 ykx+b 得， 解得， yx+， 当 x0 时，y；当 y0 时，x； C（，0） ，D（0，） ， 故 OD，OC 在 RtOCD 中， tanOCD 19如图，在PAB 中，点 C、D 在 AB 上，PCPDCD，APB120，APC 与BPD 相似吗？为 什么？ 【分析】由 PCPDCD 可判断PCD 为等边三角形，则PCDPDCCPD60，利用邻补 角得到34120，又由于APB120，可计算出1+260，加上A+260，所以 1A，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到PACBPD 【解答】解：APC
21、与BPD 相似理由如下： 如图， PCPDCD， PCD 为等边三角形， PCDPDCCPD60， 34120， APB120， 1+21206060， PCDA+260， 1A， PACBPD 20已知二次函数 yax2+bx+c 中，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示： x 0 1 2 3 4 y 4 1 0 1 4 （1）根据表格，画出此函数图象草图； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当 y3 时，求 x 的取值范围 【分析】 （1）描点、连线画出函数图象即可； （2）可将该二次函数解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式； （3）把 y3
22、代入 y（x2）2得到关于 x 的方程，求得方程的解，然后根据图象即可求得结果 【解答】解： （1）描点、连线画出函数图象如图： （2）由图象知，二次函数顶点坐标为（2，0） ，设 ya（x2）2， 又二次函数过点（0，4） ， 代入得，44a， 解得 a1， 二次函数的解析式为 y（x2）2，即 yx24x+4； （3）把 y3 代入 y（x2）2得 3（x2）2； 解得 x2+或 x2， 图象开口向上， 当 y3 时，求 x 的取值范围是 x2或 x2+ 21如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，设ADE，且 sin，AB4，求 AD 的长 【分析】根据矩形的性质得 ADBC，BA
23、D90，再利用等角的余角相等得BACADE，然 后在 RtABC 中利用正弦的定义得到， 设 BC4x， 则 AC5x， AB3x， 则 3x4， 解得 x， 于是得到 ADBC 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ADBC，BAD90， DEAC， ADE+DAE90， 而BAC+DAE90， BACADE， 在 RtABC 中，sinBAC， ， 设 BC4x，则 AC5x， AB3x， 3x4，解得 x， BC AD 22如图，已知二次函数 yx24x+3 图象与 x 轴分别交于点 B、D，与 y 轴交于点 C，顶点为 A，分别连 接 AB，BC，CD，DA求：四边形 ABCD 的面
24、积 【分析】四边形 ABCD 的面积BD（xCxA）2（3+1）4； 【解答】解：由 yx24x+3（x2）21 得到顶点 A（2，1） 由 yx24x+3（x3） （x1）得到 B（3，0） ，D（1，0） 令 x0，则 y3，故 C（0，3） 综上所述，点 B、D、C、A 的坐标分别为： （3，0） 、 （1，0） 、 （0，3） 、 （2，1） ； 所以，四边形 ABCD 的面积BD（xCxA）2（3+1）4 23 如图， 矩形 ABCD 且 BC2， ACB30， 动点 E 在对角线 AC 上， 连结 ED， 过点 E 作 EFDE， 交 BC 于点 F （1）如图 1，当 AC 平分
25、角DEF 时，求 AE 的长度； （2）若 AE：CE1：2，求 BF：FC 【分析】 （1）作 DMAC 于 M，利用矩形的性质结合解直角三角形可求解 AB2，AC4，再由 30角 的直角三角形的性质，角平分线的定义可求解 CM，EM 的长，进而可求解； （2） 作 EMBC 于 M， ENCD 于 N 结合已知条件易求 AE， EC， 通过证明ENDEMF， 列比例式可求解 【解答】解： （1）如图 1 中，作 DMAC 于 M， 四边形 ABCD 是矩形， BBCDADC90，ABCD，ADBC2， ACB30， ABCDBCtan302，AC2AB2CD4， 在 RtCDM 中，CMD
26、90，DCM60，CD2， CDM30， CMCD1，DMCM， DEF90，EM 平分DEF， DEMDEF45， EMDM， AEACEMCM3 （2）作 EMBC 于 M，ENCD 于 N ABCD2，AC4，AE：EC1：2， AE，EC， 在 RtCEN 中，ECN30 CNEC，ENCN， DN2， 在 RtCEM 中，ECM30， EMEC，CMEM， DEEF， DEFNEM90， DENMEF， ENDEMF90， ENDEMF， ，可得 MF， CFCMMF，BFCF， BF：CF4：5 24如图，在锐角ABC 中，ABAC5，BDAC 于点 D，BD3，P 在 AB 上，
27、过点 P 作 PEAC 交边 BC 于点 E，以 PE 为边作 RtPEF，使EPF90，点 F 在点 P 的下方，且 EFAB设PEF 与 ABC 重叠部分图形的面积为 S，AP 的长度为 x （1）填空：BP PE（填写或或） ； （2）当 F 在边 AC 上时，求线段 AP 的长； （3）求 S 与 x 之间的函数关系式 【分析】 （1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得ACBPEBABC，可得 BPPE； （2）由勾股定理可求 AD4，通过证明 RtAPFRtABD，可得 AFAPx，由平行 四边形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质分别求出 AM，PM，PF 的
28、长，即可求解 【解答】解： （1）ABAC5， ABCACB， PEAC， ACBPEBABC， BPPE， 故答案为：； （2）如图 1， ABAC5，BDAC，BD3， AD4， 当 F 在边 AC 上时， PEAC，EFAB， 四边形 AFEP 是平行四边形，AFPEPF90ADB， 又AA， RtAPFRtABD， ， AFAPx， 四边形 AFEP 是平行四边形， AFPEPB， x5x， x， AP 的长度为； （3）如图 2 中，当 0 x时，重叠部分是四边形 PMNE AMPADB90， 又AA， RtAPMRtABD， ， AMAP，PMAP， PAx， ， Sx（5x+5x
29、）x2+3x； 如图 3 中，当时，重叠部分是PEF EFAB，PEAC， ABPEPEF， 又EPFADB90， ABDEFP， ， PBPE5x， PF（5x） ， SPEPF（5x）（5x）x2x+， 综上所述：S 25RtABC 中，ABC90，D 是 BC 上一点，连接 AD （1）如图 1，ABCB，E 是 AB 延长线上一点，CE 与 AD 垂直求证：BDBE； （2）如图 2，ABCB，过点 B 作 BFAD，F 为垂足，连接 CF 并延长交 AB 于点 G求证：； （3）如图 3，若 ABkBC 且 D 是 BC 的中点，过点 B 作 BFAD，F 为垂足，连接 CF 并延长
30、交 AB 于 点 G，直接写出 tanBFG 的值（用含 k 的式子表示） 【分析】 （1）如图 1 中，延长 AD 交 CE 于点 H证明ABDCBE（ASA） ，可得结论 （2）如图 2 中，作 CEBF 交 AB 的延长线于 E利用平行线分线段成比例定理以及（1）中结论，即可 解决问题 （3）作 CHAB 交 BF 的延长线于 N，过点 C 作 CNBH 于 N设 BC2m，则 AB2mk，BDCD m，由 tanBADtanCBH，推出，推出，推出 CH，由 tanCBH， 推出，再证明 BFFN，根据 tanBFGtanCFN，可得结论 【解答】 （1）证明：如图 1 中，延长 AD
31、 交 CE 于点 H AHCE， AHEABCCBE90， BAD+E90，E+ECB90， BADBCE， BABC，ABDCBE90， ABDCBE（ASA） ， BDBE （2）证明：如图 2 中，作 CEBF 交 AB 的延长线于 E CEBF， ， BFAD，CEBF， ADCE， BDBE， （3）解：作 CHAB 交 BF 的延长线于 N，过点 C 作 CNBH 于 N设 BC2m，则 AB2mk，BD CDm， ABCH， ABCBCH90， CNBH， BADCBH， tanBADtanCBH， ， ， CH， tanCBH， ， ADBH，CNBH， DFCN， BDDC，
32、 BFFN， tanBFGtanCFN 26在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22mx3m （1）抛物线的顶点坐标 （m，m23m） ； （含 m 的式子表示） （2）当 m1 时， 抛物线上一点 P 到 x 轴的距离为 5，求点 P 的坐标； 当 nx时，函数值 y 的取值范围是y2n，求 n 的值； （3）当 2m1x2m+1 时，抛物线 yx22mx3m 上最低点的纵坐标为5，求：m 【分析】 （1）化成顶点式即可求得； （2）由点 P 到 x 轴的距离可得出点 P 的纵坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的坐标； 利用二次函数的性质找出关于 n 的一元二次方程，解之
33、取其负值即可得出结论； （3） 分 m2m1，2m1m2m+1 及 m2m+1 三种情况考虑， 利用二次函数的性质结合函数图象， 即可得到关于 m 的方程，解方程即可 【解答】解： （1）yx22mx3m（xm）2m23m， 抛物线的顶点坐标为（m，m23m） ， 故答案为（m，m23m） ； （2）当 m1 时，抛物线的解析式为 yx22x3 当 y5 时，x22x35，解得：x12，x24， 当 y5 时，x22x35，无解， 综上所述：点 P 的坐标为（2，5） ， （4，5） ； 当时，y 值随 x 值的增大而减小，且函数值 y 的取值范围是， n22n32n， 解得：，（舍去） ， n 的值为； （3）抛物线的开口向上，对称轴为直线， 设抛物线 yx22mx3m 上最低点的纵坐标为 y0， 分三种情况考虑： 当 m2m1，即 m1 时，如图 1，在 2m1x2m+1 上，y 值随 x 值的增大而增大， ； 当 2m1m2m+1，即1m1 时，如图 2， y0m22mm3mm23m，即m23m5， 解得 m（不合题意，舍去） ； 当 m2m+1，即 m1 时，如图 3，在 2m1x2m+1 上，y 值随 x 值的增大而减小， y0（2m+1）22m（2m+1）3mm+1，即m+15， 解得 m6（舍去） ， 综上所述：