1、 1 第第 5 讲讲 立体几何立体几何 兴趣篇兴趣篇 1.1. 一个长方体的长、宽、高分别为一个长方体的长、宽、高分别为 3 3 厘米、厘米、2 2 厘米、厘米、1 1 厘米。若它的棱长总和等于另一个厘米。若它的棱长总和等于另一个 正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体体积比正方体体 积少多少立方厘米？积少多少立方厘米？ 2.2. 如图所示，将长为如图所示，将长为 1313 厘米，宽为厘米，宽为 9 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为 2 2 厘米的正厘米的正
2、方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去 掉边长为掉边长为 3 3 厘米的正方形呢？厘米的正方形呢？ 3.3. 用棱长是用棱长是 1 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方的表面积是多少平方 厘米？厘米？ 2 4.4. （1 1）如图所）如图所示，将一个棱示，将一个棱长为长为 6 6 的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为 4 4、3 3、 5 5 的长方体，剩余部分的表
3、面积是多少？的长方体，剩余部分的表面积是多少？ （2 2）如图所示，将一个棱长为）如图所示，将一个棱长为 5 5 的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为 5 5、4 4、 3 3 的长方体，它的表面积减少了百分之几？的长方体，它的表面积减少了百分之几？ 5 5、如图所示，有一个棱长为、如图所示，有一个棱长为 2 厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为 1 1 厘厘 米的米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 1 2 厘米的小洞
4、；厘米的小洞；第三个小第三个小 洞的挖法与前两个相同，棱长为洞的挖法与前两个相同，棱长为 1 4 厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 米？米？ 3 6 6、 （、 （1 1）如图所示，将如图所示，将 4 4 块棱长为块棱长为 1 1 的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后 这个长方体的表面积，比原来这个长方体的表面积，比原来 4 4 个正方体的表面积之和少了多少？个正方体的表面积之和少了多少？ （2 2）一个正方体形状的木块，棱长为）一个正方体形状的木块，棱长为 1 1，如图，如图
5、1 1 所示，将其切成两个长方体。这两部分所示，将其切成两个长方体。这两部分 的表面积总和是多少？如果在此基础上再切的表面积总和是多少？如果在此基础上再切 4 4 刀（如图刀（如图 2 2 所示） ，将其切成大大小所示） ，将其切成大大小 小共小共 1818 块长方体。这块长方体。这 1818 块长方体块长方体表面积总和又是多少？表面积总和又是多少？ （第四届华杯赛初赛第四届华杯赛初赛第第 3 3 题）题） 7 7、如图所示，有、如图所示，有一个圆柱和一个圆一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问： 圆锥体积与圆柱体积的
6、比是多少？圆锥体积与圆柱体积的比是多少？ 8 8、如图所示，一块三层蛋、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为糕，由三个高都为 1 1 分米，底面直径分别为分米，底面直径分别为 1.51.5 分米、分米、1 1 分米分米 4 和和 0.50.5 分米的圆柱体组成。请问：分米的圆柱体组成。请问： （1 1）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（取取 3.143.14） （2 2）如果沿经过中轴线）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积 之和又是多少？之和又是多少？ 9 9、有大、中
7、、有大、中、小三个立方小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是体水池，它们的内部棱长分别是 6 6 米、米、3 3 米、米、2 2 米。三个池子米。三个池子 都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升 高了高了 6 6 厘米和厘米和 4 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升 高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）高多少厘米？（结果精确到小数点后两位） 1010、有一个高、有一个高 2424 厘米，底面半径
8、为厘米，底面半径为 1010 厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长 3030 厘米，底面半径为厘米，底面半径为 2 2 厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容容 器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？ 5 拓展篇拓展篇 1 1、如图所示，将三个、如图所示，将三个表面积分别为表面积分别为 5454 平方平方厘米、厘米、9696 平方厘米和平方厘米和 150150 平方厘米的铁质正方平方厘米的铁质正方 体熔铸成一个大正方体（不计损耗） 。体熔
9、铸成一个大正方体（不计损耗） 。求这个大正方体的体积。求这个大正方体的体积。 2 2、一个长方体，如果长增加、一个长方体，如果长增加 2 2 厘米，则体积增加厘米，则体积增加 4040 立方厘米；如果宽增加立方厘米；如果宽增加 3 3 厘米，则体厘米，则体 积增加积增加 9090 厘米；如果高增加厘米；如果高增加 4 4 厘米，则体积增加厘米，则体积增加 9696 厘米。求这个长方体的表面积。厘米。求这个长方体的表面积。 【分析】【分析】根据题意，宽高=20；长高=30；长宽=24； 则长方体的表面积为：2宽高+2长高+2长宽=148 平方厘米 3 3、如图所示，有、如图所示，有 3030 个
10、棱长为个棱长为 1 1 米的正方体堆成一个四层米的正方体堆成一个四层的立体图形。请问：这个立体的立体图形。请问：这个立体图图 形的表面积等于多少？形的表面积等于多少？ 4 4、如图如图 1 1 所示，将一个棱长为所示，将一个棱长为 1010 的正方体从顶点的正方体从顶点A切掉一个棱长为切掉一个棱长为 4 4 的正方体，得到如的正方体，得到如 图图 2 2 所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为切掉一个棱长为 6 6 的正方体，那么剩下的立的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？体图形的表面积又是多少
11、？ 6 5 5、一个正方体被切成、一个正方体被切成 2424 个大小形状一模一样的小长方体（如图所示） ，这些小长方体的表个大小形状一模一样的小长方体（如图所示） ，这些小长方体的表 面积之和为面积之和为 162162 平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？ 6 6、图中是一个棱长为、图中是一个棱长为 4 4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖 去一个棱长去一个棱长 1 1 厘米的小正方体厘米的小正方体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果，做成一个玩具。该玩具的
12、表面积是多少平方厘米？如果 把这些洞都打穿把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？，表面积又变成了多少？ 7 7 7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为 1010 厘米、厘米、8 8 厘米、厘米、5 5 厘米。已知木板厚厘米。已知木板厚 1 1 厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？ 8 8、有一根长为、有一根长为 2020 厘米，直径为厘米，直径为 6 6 厘米的圆钢，在它的两端各钻一个厘米的圆钢，在它的两端各钻一个 4 4 厘米深，底
13、面直径厘米深，底面直径 也为也为 6 6 厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示） 。这个零件的体积为多少立方厘图所示） 。这个零件的体积为多少立方厘 米？（米？（取取 3.143.14） 9 9、现有现有一块长、宽、高分别为一块长、宽、高分别为 1010 厘米、厘米、8 8 厘米、厘米、6 6 厘米的长方体木块，把它切成体积尽可厘米的长方体木块，把它切成体积尽可 能大且底面能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（取取 3 3） 1010、张大爷去年用长、张大爷去年用长 2
14、 2 米、宽米、宽 1 1 米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年 他改用长他改用长 3 3 米、宽米、宽 2 2 米的长方形芦苇米的长方形芦苇来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问：来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问： 今年粮囤今年粮囤的容积的容积是是去年粮囤容积的多少倍？去年粮囤容积的多少倍？ 1111、左边正方形的边长为、左边正方形的边长为 4 4，右边正方形对角线长度为，右边正方形对角线长度为 6 6。如果按照图中所示的方式旋转，。如果按照图中所示的方式旋转， 那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？那么得到的两个
15、旋转体的体积之比是多少？ 8 1212、如图，一个底面长、如图，一个底面长 3030 分米，宽分米，宽 1010 分米，高分米，高 1212 分米的长方体水池，存有四分之三水池，分米的长方体水池，存有四分之三水池， 请问：请问： （1 1） 将一个高） 将一个高 1111 分米， 体积分米， 体积 330330 立方分米的圆柱放入水池， 水面的高度为多少分米？立方分米的圆柱放入水池， 水面的高度为多少分米？ （2 2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？ （3 3）如果再放入一个同样的圆柱，水）如果再放入一个同样的圆柱，水面
16、高度又变成了多少分米？面高度又变成了多少分米？ 超越篇超越篇 1 1、有一个棱长为、有一个棱长为 2020 的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体，的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体， 于是得到于是得到 8 8 个小立方体。在这些立方体中，上面个小立方体。在这些立方体中，上面 4 4 个的棱长为个的棱长为 1212，下面，下面 4 4 个的棱长为个的棱长为 1313。请问：所有这。请问：所有这 8 8 个小立方体公共部分的体积是多少？个小立方体公共部分的体积是多少？ 9 2 2、地上有一堆小立方体、地上有一堆小立方体，从上面看时如，从上面看时如图图
17、1 1 所示，从前面看时如图所示，从前面看时如图 2 2 所示，从左边看时如所示，从左边看时如 图图 3 3 所示。这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为所示。这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为 1 1 厘米，那么这堆立厘米，那么这堆立 方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？ 3 3、 （、 （1 1）已知一个圆锥的底面直径为）已知一个圆锥的底面直径为 6 6 厘米，高为厘米，高为 4 4 厘米。求厘米。求它的体积和表面积； （用它的体积和表面积； （用 表表 示）示） （2 2）用一个半径为）用一个半径为 2525 厘米，
18、圆心角为厘米，圆心角为 345.6345.6的扇形围成一个圆锥。这个圆锥的体积是的扇形围成一个圆锥。这个圆锥的体积是 多少？如果圆心角是多少？如果圆心角是 216216呢？（呢？（ 【分析】【分析】用用表示）表示） 4 4、将图将图 1 1、图、图 2 2 中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分 别是多少？（图别是多少？（图 1 1 正中央是一个面积为正中央是一个面积为 1818 平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长 为为 5 5 厘米的等腰三角形；图厘米的等腰三角
19、形；图 2 2 中的图形由三个中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成。长方形和两个直角三角形组成。 ） 10 5 5、一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图圆柱、一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图圆柱体的底面直径和体的底面直径和 高都是高都是 1212 厘米。其中有一些水，正放时水面离容器顶厘米。其中有一些水，正放时水面离容器顶 1111 厘米，倒放时，水面离顶部厘米，倒放时，水面离顶部 5 5 厘米。厘米。请问：这个容器的容积是请问：这个容器的容积是多少立方厘米？多少立方厘米？( (取取 3.14)3.14) 6 6、有一个长方体水池，底面为边长
20、、有一个长方体水池，底面为边长 6060 厘米的正方形。立面插着一根长厘米的正方形。立面插着一根长 1 1 米的木桩，木桩米的木桩，木桩 的底面是一个边长的底面是一个边长 1515 厘米的正方形。木桩有一部分浸在水中，一部分露在水面。现在厘米的正方形。木桩有一部分浸在水中，一部分露在水面。现在 将木桩提起来将木桩提起来 2424 厘米（仍有部厘米（仍有部分浸在水里） ，分浸在水里） ，那么那么露露出水面的木桩浸湿部分面积为多少出水面的木桩浸湿部分面积为多少 平方厘米？平方厘米？ （20092009 年“数学解题能力展示”高年级复试第年“数学解题能力展示”高年级复试第 1414 题改编题）题改编
21、题） （20082008 年数学解题能力展示六年数学解题能力展示六 年级初赛试题）年级初赛试题） 7 7、如图是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为、如图是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为 1818 厘米的正方形，厘米的正方形， 是同样大的等腰直角三角形，是同样大是同样大的等腰直角三角形，是同样大的等边三角形。那么，这个容器的容的等边三角形。那么，这个容器的容 积积是是多少毫升？多少毫升？ 11 拓展：拓展： （20092009 年迎春杯高年级复赛试题第年迎春杯高年级复赛试题第 1414 题）题）右图中的右图中的是同样的小等边三角形，是同样的小等边三角形， 也是等边三角形且
22、边长为的也是等边三角形且边长为的 2 2 倍，是同样的等腰直角三角形，是正方倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形。那形。那 么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体 图形体积的图形体积的 倍。倍。 (10)(9) (11) (6)(8) (7)(5) (4) (3) (1) (2) 8 8、有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的、有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的 面对角线长度，三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为面对角线
23、长度，三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为 6 6， 那么三棱柱的体积为多少？那么三棱柱的体积为多少？ 12 第第 5 讲讲 立体几何立体几何 兴趣篇兴趣篇 5.5. 一个长方体的长、宽、高分别为一个长方体的长、宽、高分别为 3 3 厘米、厘米、2 2 厘米、厘米、1 1 厘米。若它的棱长总和等于另一个厘米。若它的棱长总和等于另一个 正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体体积比正方体体 积少多积少多少立方厘米？少立方厘米？ 【分析】【分析】该长方体的棱长总和为：32 1424；
24、则正方体的边长为24 122； 长方体的表面积为：3 23 12 1222 ，体积为：32 16 ； 正方体的表面积为：62224 ；体积为：2228 所以长方体与正方体的表面积之比为：11:12， 长方体的体积比正方体的体积少 2 立方厘米。 6.6. 如图所示，将长为如图所示，将长为 1313 厘米，宽为厘米，宽为 9 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为 2 2 厘米的正厘米的正 方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去 掉边长为掉边长为 3 3
25、 厘米的正方形呢？厘米的正方形呢？ 【分析】【分析】 四个角都截去边长为 2 的正方形之后， 长方体容器的长为1349； 宽为945， 其体积为95290 （立方厘米） 。 如果四个角去的都是边长为 3 的正方形， 则新形成的长方体的长为1367， 宽为963， 高为 3， 则新长方体的体积为73 363 （立方厘米） 。 7.7. 用棱长是用棱长是 1 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少平方的表面积是多少平方 厘米？厘米？ 【分析】【分析】 13 三视图法： 从前往后看：7214； 从左往右看：7214； 从上往下看
26、：9218； 则这个图形的表面积为：14141846（平方厘米） 。 8.8. （1 1）如图所示，将一个棱长为）如图所示，将一个棱长为 6 6 的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为 4 4、3 3、 5 5 的长方体，剩余部分的表面积是多少？的长方体，剩余部分的表面积是多少？ （2 2）如图所示，将一个棱长为）如图所示，将一个棱长为 5 5 的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为 5 5、4 4、 3 3 的长方体，它的表面积减少了百分之几？的长方体，它的表面积减少了百分之几？ 【分析】【分析】 （1）
27、切去该长方体之后，整个表面积没有发生变化，则其表面积总和还为原表面积，为 666216平方厘米。 （2）原正方体的表面积为65 5150 ；现在表面积减少了24324 ；相当于减少了 16%。 5 5、如图所示，有一个棱长为、如图所示，有一个棱长为 2 厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体。从正方体的上面正中向下挖一个棱长为 1 1 厘厘 米的米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 1 2 厘米的小洞；厘米的小洞；第三个小第三个小 洞的挖法与前两个相同，棱长为洞的挖法与前两个相同，棱长为 1 4 厘米。最
28、后得到的立体图形的表面积是多少平方厘厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘 米？米？ 14 【分析】【分析】 原正方体的表面积为原正方体的表面积为62224 ,向下不断的挖正方体之后， 会增加四个面， 则增加的表面 积之和为 22 2 111 4 1445 244 。 所以最后得到的立体图形的表面积为 1 29 4 平方 厘米。 6 6、 （、 （1 1）如图所示，将如图所示，将 4 4 块棱长为块棱长为 1 1 的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后 这个长方体的表面积，比原来这个长方体的表面积，比原来 4 4 个正方体的表面积
29、之和少个正方体的表面积之和少了多少？了多少？ （2 2）一个正方体形状的木块，棱长为）一个正方体形状的木块，棱长为 1 1，如图，如图 1 1 所示，将其切成两个长方体。这两部分所示，将其切成两个长方体。这两部分 的表面积总和是多少？如果在此基础上再切的表面积总和是多少？如果在此基础上再切 4 4 刀（如图刀（如图 2 2 所示） ，将其切成大大小所示） ，将其切成大大小 小共小共 1818 块长方体。这块长方体。这 1818 块长方体块长方体表面积总和又是多少？表面积总和又是多少？ 【分析】【分析】 （1）每一次拼合会少两个面，拼了 3 次，表面积之和少了32 16 平方厘米； （2）原正方
30、体的表面积为6 16 ，且一刀会增加两个面，增加的面积为 2，则两部分的表 面积之和为 8；根据图 2，总共切了 5 刀，表面积增加了 10，则这 18 块长方体的表面积 总和为 16。 （第四届华杯赛初赛第四届华杯赛初赛第第 3 3 题）题） 7 7、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问：、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径标在图上，单位是厘米。请问： 圆锥体积与圆柱体积的比是多少？圆锥体积与圆柱体积的比是多少？ 15 【分析】【分析】 2 2 1 24 1 3 4824 圆锥体积 圆柱体积 。 （第三届华杯赛初赛第三届华杯赛初赛第第
31、5 5 题）题） 8 8、如图所示，一块三层蛋、如图所示，一块三层蛋糕，由三个高都为糕，由三个高都为 1 1 分米，底面直径分别为分米，底面直径分别为 1.51.5 分米、分米、1 1 分米分米 和和 0.50.5 分米的圆柱体组成。请问：分米的圆柱体组成。请问： （1 1）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（）这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（取取 3.143.14） （2 2）如果沿经过中轴线）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积 之和又是多少？之和又是多少？ 【分析】【分析】 （1） 蛋糕的表面积为：
32、2 133 2121 121210.532.97 222 （平方分米） （2） 新切一刀，表面积增加了 13 222 1212 22 ，则现在的表面积变为 44.97 平方分米 9 9、有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是 6 6 米、米、3 3 米、米、2 2 米。三个池子米。三个池子 都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升都装了半池水。现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升 高了高了 6 6 厘米和厘米和 4 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升
33、厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升 高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）高多少厘米？（结果精确到小数点后两位） 【分析】这两堆碎石的体积之和为： 22 006 30.0420.7.,如果均投入大水池的话，大水 池的池面会升 2 0.760.0194，即增加 1.97 厘米。 1010、有一个高、有一个高 2424 厘米，底面半径为厘米，底面半径为 1010 厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长厘米的圆柱形容器，里面装了一半水。现有一根长 16 3030 厘米，底面半径为厘米，底面半径为 2 2 厘米的圆厘米的圆柱体木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与柱体
34、木棒。将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容容 器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？器的底面接触。这时水面升高了多少厘米？ 【分析】【分析】令水面升高了 x 厘米，则 22 10212xx，解之得 x=0.5 厘米. 拓展篇拓展篇 1 1、如图所示，将三个表面积分别为、如图所示，将三个表面积分别为 5454 平方厘米、平方厘米、9696 平方厘米和平方厘米和 150150 平方厘米的铁质正方平方厘米的铁质正方 体熔铸成一个大正方体（不计损耗） 。体熔铸成一个大正方体（不计损耗） 。求这个大正方体的体积。求这个大正方体的体积。 【分析】【分析】根据题意，最小正方体的边长为 3，次小的正方体边长为
35、 6，大正方体的边长为 5， 则他们的体积为：27+64+125=216 立方厘米。 2 2、一个长方体，如果长增加、一个长方体，如果长增加 2 2 厘米厘米，则体积增加，则体积增加 4040 立方厘米；如果宽增加立方厘米；如果宽增加 3 3 厘米，则体厘米，则体 积增加积增加 9090 厘米；如果高增加厘米；如果高增加 4 4 厘米，则体积增加厘米，则体积增加 9696 厘米。求这个长方体的表面积。厘米。求这个长方体的表面积。 【分析】【分析】根据题意，宽高=20；长高=30；长宽=24； 则长方体的表面积为：2宽高+2长高+2长宽=148 平方厘米 3 3、如图所示，有、如图所示，有 30
36、30 个棱长为个棱长为 1 1 米的正方体堆成一个四层米的正方体堆成一个四层的立体图形。请问：这个立体图的立体图形。请问：这个立体图 形的表面积等于多少？形的表面积等于多少？ 【分析】【分析】三视图法： 从上往下看：其面积为：442=32； 从左往右看：其面积为：102=20； 从前往后看：其面积为：102=20。 则其表面积和为 72 平方米。 4 4、如图如图 1 1 所示，将一个棱长为所示，将一个棱长为 1010 的正方体从顶点的正方体从顶点A切掉一个棱长为切掉一个棱长为 4 4 的正方体，得到如的正方体，得到如 图图 2 2 所示的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点所示
37、的立体图形。这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为切掉一个棱长为 17 6 6 的正方体，那么剩下的立的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？体图形的表面积又是多少？ 【分析】【分析】题中表面积没有发生变化，仍为6 10 10600； 观察上图，再从上图切去一个边长为 6 的正方体后，其少了 2 个4416的正方形，此时 剩下的立体图形的表面积为 568。 5 5、一个正方体被切成、一个正方体被切成 2424 个大小形状一模一样的小长方体（如图所示） ，这些小长方体的表个大小形状一模一样的小长方体（如图所示） ，这些小长方体的表 面积之和为面积之和为 162162 平方
38、厘米。请问：原正方体的体积是多少？平方厘米。请问：原正方体的体积是多少？ 【分析】【分析】 每切一刀， 即增加两个面， 途中共增加 12 个面。 则 18 个面的面积为 162 平方厘米。 所以正方体的边长为 3 厘米，则原正方体的体积为 27 立方厘米。 6 6、图中是一个棱长为、图中是一个棱长为 4 4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖 去一个棱长去一个棱长 1 1 厘米的小正方厘米的小正方体体，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果，做成一个玩具。该玩具的表面积是多少平方厘米？如果 把这些洞都打
39、穿把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？，表面积又变成了多少？ 【分析】【分析】各挖去一个正方体，挖一个正方体，其表面积多了 4 个平面。则该玩具的表面积为 644+641=120 平方厘米。 如 若 挖 空， 则 可先 求最 外 面 的面 积 为644690 ， 而内 部 的 表面 积 之和 为 32232232236 ，所以把这些洞打穿后，整个表面积变为 126 平方厘米。 7 7、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为 1010 厘米、厘米、8 8 厘米、厘米、5 5 厘米。已知木厘米。已知木板厚板厚 1 1 厘米，那么做一个木盒，需要这样的
40、木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？ 【分析】【分析】由于此无盖木盒的外部体积为8 105400立方厘米，而木盒的容积为192立方 厘米。则根据题意，可知需要这样的木板400 1921208 立方厘米。 18 这个木盒的容积为： 102825 1192立方厘米 8 8、有一根长为、有一根长为 2020 厘米，直径为厘米，直径为 6 6 厘米的圆钢，在它的两端各钻一个厘米的圆钢，在它的两端各钻一个 4 4 厘米深，底厘米深，底面直径面直径 也为也为 6 6 厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示） 。这个零件的体积
41、为多少立方厘厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示） 。这个零件的体积为多少立方厘 米？（米？（取取 3.143.14） 【分析】【分析】这个零件的体积为： 22 1 320234156489.84 3 立方厘米。 9 9、现有现有一块长、宽、高分别为一块长、宽、高分别为 1010 厘米、厘米、8 8 厘米、厘米、6 6 厘米的长方体木块，把它切成体积尽可厘米的长方体木块，把它切成体积尽可 能大且底面能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（取取 3 3） 【分析】【分析】根据题意，所切成的圆柱体木块的体积为
42、 2 rh，则要让半径尽可能的大，最 大让4r ，此时6h ，此时圆柱体的体积为 288 立方厘米。 1010、张大爷去年用长、张大爷去年用长 2 2 米、宽米、宽 1 1 米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年米的长方形芦苇围成了一个容积最大的圆柱体粮囤。今年 他改用长他改用长 3 3 米、宽米、宽 2 2 米的长方形芦苇米的长方形芦苇来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问：来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤。请问： 今年粮囤的容积今年粮囤的容积是是去年粮囤容积的多少倍？去年粮囤容积的多少倍？ 【分析】【分析】长 2 米、宽 1 米所能围成的容积最大的圆柱体粮囤的体积为：
43、2 21 1 2 ； 长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇围成的容积最大的圆柱体粮囤，其体积应为 2 39 2 22 ，则今年的粮囤的体积为去年粮囤体积的 4.5 倍。 1111、左边正方形的边长为、左边正方形的边长为 4 4，右边正方形对角线长度为，右边正方形对角线长度为 6 6。如果按照图中所示的方式旋转，。如果按照图中所示的方式旋转， 那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？ 【分析】【分析】 左边正方形旋转所围成的体积为： 2 2416； 右边正方形旋转所围成的体积为： 2 16 618 34 19 所以两者所围成的体积只比为：8:9。 1212、如图
44、，一个底面长、如图，一个底面长 3030 分米，宽分米，宽 1010 分米，高分米，高 1212 分米的长方体水池，存有四分之三水池，分米的长方体水池，存有四分之三水池， 请问：请问： （1 1） 将一个高） 将一个高 1111 分米， 体积分米， 体积 330330 立方分米的圆柱放入水池， 水面的高度为多少分米？立方分米的圆柱放入水池， 水面的高度为多少分米？ （2 2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？ （3 3）如果再放入一个同样的圆柱，水）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？面高度又变成了多少分米
45、？ 【分析】【分析】 （1） 若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为：30 10 92700 立方分米，而现在放 入的圆柱的底面积为：330 1130平方分米。将圆柱放入后，除去现在的圆柱即 为有水部分，则水面高度为：2700300 3010分米。 （2）若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱为有水部分，有水部分的底 面积为：300 30 2240 平方分米，则水面高度为：2700 24011.25平方分米。 由 于 在 此 种 情 况 下 ， 已 超 过 ， 则 圆 柱 被 完 全 覆 盖 ， 所 以 现 在 的 新 体 积 为 2700 330 23360 立方分米。则高应为3360 30011.2分米； （3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过 12，有水溢出，此时水面高度应为 12 分米。 超越篇超越篇 1 1、有一个棱长为、有一个棱长为 2020 的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体，的大立方体，在它的每个角上按如图所示的方式各做一个小立方体， 于是得到于是得到 8 8 个小立方体。在这些立方体中，上面个小