1、2020-2021 学年吉林省长春市经开区九年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市经开区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1一元二次方程 3x224x 可化成一般形式为（ ） A3x24x+20 B3x24x20 C3x2+4x+20 D3x2+4x20 2下列事件是随机事件的是（ ） A只买一张彩票，就中了大奖 B长春市某天的最低气温为150 C口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球 D抛掷 8 枚硬币，结果是 3 个正面朝上与 6 个反面朝上 3抛物线 y2x24x+1 的对称轴是直线（ ）
2、 Ax2 Bx1 C Dx1 4式子 2cos30tan45的值是（ ） A1 B0 C1 D 5ABC 中，AB7，BC6，AC5，点 D、E、F 分别是三边的中点，则DEF 的周长为（ ） A4.5 B9 C10 D12 6根据下列表格中的对应值，判断方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）的根的个数是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 yax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04 A1 或 2 B1 C2 D0 7在三角形纸片 ABC 中，AB8，BC4，AC6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与 ABC 相似的是（ ） A B C D
3、 8在平面直角坐标系中，若函数 y（k2）x22kx+k 的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能 的 k 值为（ ） A1 B0 C1 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9若关于 x 的方程 2x2+4x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 10已知ABC 与DEF 相似且面积比为 4：25，则ABC 与DEF 的周长比为 11一个不透明布袋里装有 1 个白球、2 个黑球、3 个红球，它们除颜色外均相同从中任意摸出一个球， 摸出的球是红球的概率为 12如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边
4、减少了 2m，另一边减少了 3m，剩余一 块面积为 20m2的矩形空地设原正方形空地的边长为 xm，则根据题意所列方程是 13如图，在正方形网格中，ABC 的顶点都在格点上，则 cosABC 的值为 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3） ，D 是抛 物线 yx2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则BCD 面积的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15解方程：x28x10 16小华有 3 张卡片，小明有 2 张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取
5、 一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为 6 的概率 17如图为抛物线 yax2+bx+c 在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题： （1）关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解是 ； （2）关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ； （3）若关于 x 的方程 ax2+bx+ck 有实数根，则 k 的取值范围是 18某市为打造“绿色城市” ，积极投入资金进行园林绿化工程2016 年投资 2000 万元，之后投资逐年增 加，预计 2018 年投资 2420 万元求这两年投资的年平均增长率 19如图，小明为了测量学校旗杆 CD 的高度，在地面离旗杆底部 C
6、处 22 米的 A 处放置高度为 1.5 米的测 角仪 AB，测得旗杆顶端 D 的仰角为 32求旗杆的高度 CD （结果精确到 0.1 米） 【参考数据：sin32 0.53，cos320.85，tan320.62】 20如图，图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A、B 均在格点上，在图、图中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕 迹 （1）在图中以线段 AB 为腰画一个等腰直角三角形 ABC，并写出ABC 的面积 （2）在图中以线段 AB 为边画一个ABE，使BAE90，ABE 面积为 21如图，在ABC 中，ABAC5，
7、BC8若BPCBAC，求 sinBPC 22在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx 经过点 A（2，4）和点 B（6，0） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 （2）直接写出它的开口方向、顶点坐标 （3）点（x1，y1） 、 （x2，y2）均在此抛物线上，若 x1x24，则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 23如图，在等边ABC 中，AB6，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以每秒 1 个单位的速度向终点 B 运 动，同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿着 BCA 方向运动，连结 PQ，设点 P 运动的 时间为 t 秒 （1）用含 t 的代数式表示线
8、段 QC 的长 （2）当 PQAC 时，求 t 的值 （3）若BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 （4）如图，当点 Q 在 C、A 之间时，连结 PC，ABC 被分割成APQ、PCQ、PBC，当其中的 某两个三角形面积相等时，直接写出 t 的值 24已知函数 y（k 为常数） （1）当 k2 时， 写出此函数的表达式 求此函数图象与 x 轴的交点的坐标 当函数 y 的值随 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围为 （2）若已知函数经过点（1，2） ，求 k 的值 （3）在平面直角坐标系中，设函数与 y 轴的交点为点 C，当点 C 与原点的距离不大于 5 时，直接写出 k
9、 的取值范围 2020-2021 学年吉林省长春市经开区九年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市经开区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1一元二次方程 3x224x 可化成一般形式为（ ） A3x24x+20 B3x24x20 C3x2+4x+20 D3x2+4x20 【分析】方程整理为一般形式即可 【解答】解：方程整理得：3x24x20 故选：B 2下列事件是随机事件的是（ ） A只买一张彩票，就中了大奖 B长春市某天的最低气温为150 C口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球 D抛掷 8 枚硬币，结果是 3 个正面
10、朝上与 6 个反面朝上 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、只买一张彩票，就中了大奖，是随机事件； B、长春市某天的最低气温为150，是不可能事件； C、口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球，是必然事件； D、抛掷 8 枚硬币，结果是 3 个正面朝上与 6 个反面朝上，是不可能事件； 故选：A 3抛物线 y2x24x+1 的对称轴是直线（ ） Ax2 Bx1 C Dx1 【分析】利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴 【解答】解：y2x24x+12（x22x+1）2+12（x1）21， 抛物线 y2x24x+1 的对称轴是直线 x1 故选：B 4式
11、子 2cos30tan45的值是（ ） A1 B0 C1 D 【分析】把 30的余弦值、45的正切值代入，计算即可 【解答】解：2cos30tan45 21 1， 故选：C 5ABC 中，AB7，BC6，AC5，点 D、E、F 分别是三边的中点，则DEF 的周长为（ ） A4.5 B9 C10 D12 【分析】根据三角形中位线定理分别求出 DE、DF、EF，根据三角形的周长公式计算，得到答案 【解答】解：点 D、E、F 分别是三边的中点， DE、EF、DF 为ABC 的中位线， DEAB7，DFAC5，EFBC63， DEF 的周长+39， 故选：B 6根据下列表格中的对应值，判断方程 ax2
12、+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）的根的个数是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 yax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04 A1 或 2 B1 C2 D0 【分析】由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为 0.01，故方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常 数）没有实数根 【解答】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为 0.01， 抛物线与 x 轴没有交点， 方程 ax2+bx+c0（a0，a、b、c 为常数）没有实数根， 故选：D 7在三角形纸片 ABC 中，AB8，BC4，AC6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与 ABC
13、相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案 【解答】解：三角形纸片 ABC 中，AB8，BC4，AC6 A、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 不相似，故此选 项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 不相似，故此选项错 误； C、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 不相似，故此选 项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与ABC 相似，故此选项 正确； 故选：D 8在平面直角坐标系中，若函数 y（k2）x22kx+k 的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能 的 k 值为（ ） A1
14、 B0 C1 D2 【分析】根据函数 y（k2）x22kx+k 的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于 k 的不等式组， 从而可以求得 k 的取值范围，然后即可解答本题 【解答】解：函数 y（k2）x22kx+k 的图象与坐标轴共有三个交点， ， 解得 k0 且 k2， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9若关于 x 的方程 2x2+4x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 2 【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于 x 的方程 2x2+4x+k0 有两个相等的实数根，所以b2 4ac0，列出关于 k 的不等式求解即可 【解答】解：因为关于 x 的方程 2x2+4
15、x+k0 有两个相等的实数根， 所以b24ac0，即 4242k0， 解这个方程得 k2 10已知ABC 与DEF 相似且面积比为 4：25，则ABC 与DEF 的周长比为 2：5 【分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”进行解答 【解答】解：ABC 与DEF 相似且面积比为 4：25， ABC 与DEF 的相似比为， ABC 与DEF 的周长比为，即 2：5 故答案是：2：5 11一个不透明布袋里装有 1 个白球、2 个黑球、3 个红球，它们除颜色外均相同从中任意摸出一个球， 摸出的球是红球的概率为 【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率 【解答】解：
16、1 个白球、2 个黑球、3 个红球一共是 1+2+36（个） ， 从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是 36 故答案为 12如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2m，另一边减少了 3m，剩余一 块面积为 20m2的矩形空地设原正方形空地的边长为 xm，则根据题意所列方程是 （x3） （x2） 20 【分析】本题可设原正方形的边长为 xm，则剩余的空地长为（x2）m，宽为（x3）m根据长方形 的面积公式方程可列出 【解答】解：设原正方形的边长为 xm，依题意有 （x3） （x2）20， 故答案为： （x3） （x2）20 13如图，在正方形网格中，ABC 的顶点
17、都在格点上，则 cosABC 的值为 【分析】找到ABC 所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得ABC 的邻边与斜边之比 即可 【解答】解：如图所示，作 ADBC，垂足为 D， AD3，BD4， AB5， cosABC， 故答案为： 14如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3） ，D 是抛 物线 yx2+6x 上一点，且在 x 轴上方，则BCD 面积的最大值为 15 【分析】设 D（x，x2+6x） ，根据勾股定理求得 OC，根据菱形的性质得出 BC，然后根据三角形面积公 式得出SBCD5（x2+6x3）（x3）2+15
18、，根据二次函数的性质即可求得最大值 【解答】解：D 是抛物线 yx2+6x上一点， 设 D（x，x2+6x） ， 顶点 C 的坐标为（4，3） ， OC5， 四边形 OABC 是菱形， BCOC5，BCx 轴， SBCD5（x2+6x3）（x3）2+15， 0， SBCD有最大值，最大值为 15， 故答案为 15 三解答题三解答题 15解方程：x28x10 【分析】移项，方程两边都加上 16，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x28x10， x28x1， x28x+161+16， （x4）217， x4 ， 16小华有 3 张卡片，小明有 2 张卡片，卡片上数字如
19、图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取 一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为 6 的概率 【分析】利用小华有 3 张卡片，小明有 2 张卡片，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，根据 题意画出树状图，再利用概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有 6 种等可能结果，其中数字之和为 6 的有 2 种， 则抽取的两张卡片上的数字和为 6 的概率为 17如图为抛物线 yax2+bx+c 在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题： （1）关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解是 x0 或 x2 ； （2）关于 x 的不等式 ax2+bx+
20、c0 的解集是 0 x2 ； （3）若关于 x 的方程 ax2+bx+ck 有实数根，则 k 的取值范围是 k1 【分析】 （1）根据图象与 x 轴的两个交点坐标，可得出方程的根； （2）由图象可知当图象下方时的对应的 x 的范围，可得出不等式的解集； （3）相当于二次函数图象与 yk 有交点时的 k 的范围 【解答】解： （1）抛物线与 x 轴的两个交点坐标为（0，0）和（2，0） ， 方程 ax2+bx+c0 的解为 x0 或 x2， 故答案为 x0 或 x2； （2）由图象可知，不等式 ax2+bx+c0 解集为 0 x2， 故答案为 0 x2； （3）关于 x 的方程 ax2+bx+c
21、k 有实数根，相当于抛物线与 yk 有一个或两个不同的交点， k1， 故答案为 k1 18某市为打造“绿色城市” ，积极投入资金进行园林绿化工程2016 年投资 2000 万元，之后投资逐年增 加，预计 2018 年投资 2420 万元求这两年投资的年平均增长率 【分析】 设这两年投资的年平均增长率为 x， 根据 2016 年投资 2000 万元， 得出 2017 年投资 2000 （1+x） 万元，2018 年投资 2000（1+x）2万元，而 2018 年投资 2420 万元据此列方程求解即可 【解答】解：设这两年投资的年平均增长率为 x，根据题意得： 2000（1+x）22420， 解得
22、：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） ， 答：这两年投资的平均年增长率为 10% 19如图，小明为了测量学校旗杆 CD 的高度，在地面离旗杆底部 C 处 22 米的 A 处放置高度为 1.5 米的测 角仪 AB，测得旗杆顶端 D 的仰角为 32求旗杆的高度 CD （结果精确到 0.1 米） 【参考数据：sin32 0.53，cos320.85，tan320.62】 【分析】根据 BECD 于 E，利用正切的概念求出 ED 的长，结合图形计算即可 【解答】解：由题意得，BECD 于 E， BEAC22 米，DBE32， 在 RtDBE 中，DEBEtanDBE220.6213.64（
23、米） ， CDCE+DE1.5+13.6415.1（米） ， 答：旗杆的高 CD 约为 15.1 米 20如图，图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A、B 均在格点上，在图、图中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕 迹 （1）在图中以线段 AB 为腰画一个等腰直角三角形 ABC，并写出ABC 的面积 （2）在图中以线段 AB 为边画一个ABE，使BAE90，ABE 面积为 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的定义作出图形即可 （2）取格点 M，N，连接 MN 交 AD 于点 E，连接 BE，ABE 即为所求作 【解答】解：
24、 （1）如图中，ABC 即为所求作SABC （2）如图中，ABE 即为所求作 21如图，在ABC 中，ABAC5，BC8若BPCBAC，求 sinBPC 【分析】作 ADBC，然后根据等腰三角形的性质，可以得到 BDCD4，BADBAC，然后根 据锐角三角三角函数可以得到 sinBAD 的值，再根据BPCBAC，可以得到BPCBAD，从 而可以得到 sinBPC 的值 【解答】解：作 ADBC 于点 D，如右图所示， ABAC5，BC8， BDCD4，BADBAC， ADB90， sinBAD， 又BPCBAC， BPCBAD， sinBPC 22在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx 经
25、过点 A（2，4）和点 B（6，0） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 （2）直接写出它的开口方向、顶点坐标 （3）点（x1，y1） 、 （x2，y2）均在此抛物线上，若 x1x24，则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 【分析】 （1）把 A 点和 B 点坐标代入 yax2+bx 中得到关于 a、b 的方程组，然后解方程组求出 a、b 即 可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解 （3）根据二次函数的性质求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx 经过点 A（2，4）和点 B（6，0） ， 解得 这条抛物线所对应的二次函数的表达式为 （2
26、）因为，该抛物线开口向下 顶点坐标为（3，） （3）x1x24，对称轴为 x3，a y1y2 故答案为： 23如图，在等边ABC 中，AB6，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以每秒 1 个单位的速度向终点 B 运 动，同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿着 BCA 方向运动，连结 PQ，设点 P 运动的 时间为 t 秒 （1）用含 t 的代数式表示线段 QC 的长 （2）当 PQAC 时，求 t 的值 （3）若BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 （4）如图，当点 Q 在 C、A 之间时，连结 PC，ABC 被分割成APQ、PCQ、PBC，当其中的
27、某两个三角形面积相等时，直接写出 t 的值 【分析】 （1）分 0t3、3t6 两种情况，根据题意、结合图形解答； （2）根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案； （3）作 QHAB 于 H，根据直角三角形的性质用 t 表示出 QH，根据三角形的面积公式解答； （4）分APQ 的面积PCQ 的面积、APQ 的面积PCB 的面积、APQ 的面积PCB 的面积 三种情况计算 【解答】解： （1）由题意得，点 Q 的运动路程为 2t， 当 0t3 时，QC62t， 当 3t6 时，QC2t6； （2）ABC 为等边三角形， A60， 当 PQAC 时，QPA30， AQAP，即 t2（122t
28、） ， 解得，t； （3）作 QHAB 于 H， 如图，在 RtQBH 中，QHBQsinBt， 则 SPBQH（6t）tt2+3t； 如图，在 RtQAH 中，QHAQsinA（122t）6t， 则 SPBQH（6t）（6t）（6t）2； （4）当点 Q 为 AC 的中点时，APQ 的面积PCQ 的面积，即 122t3， 解得，t， 如图，作 CEAB 于 E， 则 CEACsinA63， ABC 的面积639， ， BPC 的面积9t， APC 的面积t， ， APQ 的面积3tt2， PCQ 的面积t2t， 当APQ 的面积PCB 的面积时，9t3tt2， 整理得，t2t+40， 116
29、150，方程无解， 当CPQ 的面积PCB 的面积时，t2t9t， 解得，t13，t23（舍去） ， 综上所述，在APQ、PCQ、PBC 中，其中的某两个三角形面积相等时，t或 t3 24已知函数 y（k 为常数） （1）当 k2 时， 写出此函数的表达式 求此函数图象与 x 轴的交点的坐标 当函数 y 的值随 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围为 2x2 （2）若已知函数经过点（1，2） ，求 k 的值 （3）在平面直角坐标系中，设函数与 y 轴的交点为点 C，当点 C 与原点的距离不大于 5 时，直接写出 k 的取值范围 【分析】 （1）把 k2 代入解析式即可 当 k2 时，函数
30、图像如图 1 所示：利用图像法解决问题即可 利用图像法解决问题即可 （2）利用待定系数法解决问题即可 （3）分 k0 和 k0 两种情形，分别求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中，当 k2 时，函数图像如图所示： y 观察图像可知，函数与 x 轴的交点为（2，0）或（2，0） 观察图像可知，函数 y 的值随 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围为2x2 故答案为：2x2 （2）函数经过点（1，2） ， 1+2kk22 或 12k+k22， 解得，k1 （3）当 k0 时，k25，解得 k或（舍弃） ， 由题意，当k0 时，点 C 与原点的距离不大于 5 当 k0 时，k25，解得 k或（舍弃） ， 由题意，当 0k时，点 C 与原点的距离不大于 5 综上所述，满足条件的 k 的值为k