1、2020-2021 学年江苏省无锡市惠山区九校九年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市惠山区九校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程为一元二次方程的是（ ） Ax23x（x+4） Bx23 Cx210 x5 D4x+6xy33 2一元二次方程 x2x 的根是（ ） Ax10，x21 Bx10，x21 Cx1x20 Dx1x21 3若ABCABC，A30，C110，则B的度数为（ ） A30 B50 C40 D70 4如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板的一边长为 8cm则 投影三角板的对
2、应边长为（ ） A20cm B10cm C8cm D3.2cm 5已知 m，n 是方程 x22x50 的两个不同的实数根，则 m+n 的值为（ ） A2 B2 C5 D5 6如图，O 的弦 AB6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则O 的半径为（ ） A2 B3 C4 D5 7以下命题：经过三点一定可以作一个圆； 优弧一定大于劣弧；相等的弦所对的弧也相等； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中正确的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 8某款手机连续两次降价，售价由原来的 1185 元降到 580 元设平均每次降价的百分率为 x，则下面列出 的方程中正确的是（ ） A
3、1185x2580 B1185（1x）2580 C1185（1x2）580 D580（1+x）21185 9如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于 点 P，则 tanAPD 的值为（ ） A2 B C3 D 10如图，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC4，点 D 是 BC 上的一点，BD1，点 P 是 AC 上 的一个动点，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 BQ，连接 BQ，则线段 BQ 长的最 小值是（ ） A1 B2 C D 二、填空题（每空二、填空题（每空 2 分，共分，共 16 分）分
4、） 11 在比例尺为 1： 1000000 的地图上， 量得甲、 乙两地的距离是 2.6cm， 则甲、 乙两地的实际距离为 千 米 12 若圆 O 的半径是 5， 圆心的坐标是 （0， 0） ， 点 P 的坐标是 （4， 3） ， 则点 P 与O 的位置关系是 13已知，则 14 如图， 在ABC 中， 点 D 是边 AB 上的一点， ADCACB， AD2， BD6， 则边 AC 的长为 15在平行四边形 ABCD 中，E 为靠近点 D 的 AD 的三等分点，连结 BE，交 AC 于点 F，AC12，则 AF 为 16如图所示，在四边形 ABCD 中，B90，AB2，CD8连接 AC，ACC
5、D，若 sinACB， 则 AD 长度是 17如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD8，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 M 是 CE 的中点，将线段 EM 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EF，连接 DE、DF当 DFEF 时，AE 的长为 18如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD120，E 为 AB 中点，若 AB6，AD2，点 F 在射线 BC 上 且满足ADEBAF，则 CF 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分）分） 19解方程： （1）2x25x+10； （2） （x+2）23x+6 20计算： （1）2sin30+3co
6、s60+tan45； （2） 21如图，在ABC 中，BC6，sinA，B30，求 AC 和 AB 的长 22已知关于 x 的方程 x2+ax+a10 （1）若方程有一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有实数根 23如图，AB 是O 的直径，C、D 为O 上的点，且 AD 平分CAB，作 DEAB 于点 E （1）求证：ACOD； （2）若 OE4，求 AC 的长 24在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕 迹 （1）如图 1，在 BC 上找出一点 M，使点 M 是 BC 的中点
7、； （2）如图 2，在 BD 上找出一点 N，使点 N 是 BD 的一个三等分点 25某工厂设计了一款工艺品，每件成本 40 元，为了合理定价，现投放市场进行试销据市场调查，销售 单价是 80 元时，每天的销售量是 50 件，若销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单 价不得低于 65 元如果降价后销售这款工艺品每天能盈利 3000 元，那么此时销售单价为多少元？ 26鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方 河流
8、右岸 D 处的俯角为 30 线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度， 点 M、 C、 D 在同一条直线上 其 中 tan2，MC50米 （1）求无人机的飞行高度 AM； （结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD （结果精确到 1 米，参考数据：1.41，1.73） 27定义： 我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等） ，我 们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解： （1）如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找
9、出 3 个即可） ； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC 求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ； （3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFHHFG30，连接 EG，若EFG 的面积为 2，求 FH 的长 28如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点 M 出发沿折线 MBBN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC 边上 随 P 移动，且始终保持APQB （1）当点 P 在 BC
10、上时，求点 P 与点 A 的最短距离； （2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP 的长； （3）设点 P 移动的路程为 x，当 0 x3 及 3x9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离（用含 x 的式子 表示） ； （4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界） ，扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK，请直接写出点 K 被扫描到的总时长 2020-2021 学年江苏省无锡市惠山区九校九年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市惠山区九校九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参
11、考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列方程为一元二次方程的是（ ） Ax23x（x+4） Bx23 Cx210 x5 D4x+6xy33 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：A、方程化简得：4x+30，是一元一次方程，不符合题意； B、x23 为分式方程，不符合题意； C、x210 x5 是一元二次方程，符合题意； D、4x+6xy5 是二元二次方程，不符合题意 故选：C 2一元二次方程 x2x 的根是（ ） Ax10，x21 Bx10，x21 Cx1x20 Dx1x21 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答
12、】解：x2x， x2x0， x（x1）0， x0，x10， x10，x21， 故选：A 3若ABCABC，A30，C110，则B的度数为（ ） A30 B50 C40 D70 【分析】根据三角形内角和定理求出B40，根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解：A30，C110， B40， ABCABC， BB40， 故选：C 4如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板的一边长为 8cm则 投影三角板的对应边长为（ ） A20cm B10cm C8cm D3.2cm 【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解 【解答】解：设投影三角尺的对应边长为 xc
13、m， 三角尺与投影三角尺相似， 8：x2：5， 解得 x20 故选：A 5已知 m，n 是方程 x22x50 的两个不同的实数根，则 m+n 的值为（ ） A2 B2 C5 D5 【分析】直接利用根与系数的关系求解 【解答】解：根据题意得，m+n2 故选：B 6如图，O 的弦 AB6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则O 的半径为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】当 OMAB 时值最小根据垂径定理和勾股定理求解 【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当 OMAB 时，为最小值 4， 连接 OA， 根据垂径定理，得：BMAB3， 根据勾股定理，得：OA
14、5， 即O 的半径为 5 故选：D 7以下命题：经过三点一定可以作一个圆； 优弧一定大于劣弧；相等的弦所对的弧也相等； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中正确的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题错误； 不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题错误； 同圆或等圆中， 相等的弦所对的弧也相等， 但是如果不是同圆和等圆时， 相等的弦所对的弧不一定相等， 故命题错误； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故命题正确； 故选：D 8某款手机连续两次降价，售价由原来的
15、1185 元降到 580 元设平均每次降价的百分率为 x，则下面列出 的方程中正确的是（ ） A1185x2580 B1185（1x）2580 C1185（1x2）580 D580（1+x）21185 【分析】本题可先解出第一次降价的手机价格，再根据第一次的售价解出第二次的售价，令它等于 580 即可 【解答】解：依题意得：第一次降价的手机售价为：1185（1x）元， 则第二次降价的手机售价为：1185（1x） （1x）1185（1x）2580； 故选：B 9如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于 点 P，则 tanAPD 的值为
16、（ ） A2 B C3 D 【分析】首先连接 BE，由题意易得 BFCF，ACPBDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易 得 DP：CP1：3，即可得 PF：CFPF：BF1：2，在 RtPBF 中，即可求得 tanBPF 的值，继而 求得答案 【解答】解：如图：连接 BE， ， 四边形 BCED 是正方形， DFCFCD，BFBE，CDBE，BECD， BFCF， 根据题意得：ACBD， ACPBDP， DP：CPBD：AC1：3， DP：DF1：2， DPPFCFBF， 在 RtPBF 中，tanBPF2， APDBPF， tanAPD2 故选：A 10如图，在 RtABC 中，ABC9
17、0，AB2，BC4，点 D 是 BC 上的一点，BD1，点 P 是 AC 上 的一个动点，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 BQ，连接 BQ，则线段 BQ 长的最 小值是（ ） A1 B2 C D 【分析】过点 D 作 DTBC 交 AC 于点 T，在 DC 上取一点 G，使得 DGDT，连接 TG，GQ，过点 B 作 BRQG 于 R首先证明点 Q 在射线 GQ 上运动，DGQ 是定值，求出 BR，根据垂线段最短，即可 解决问题 【解答】解：过点 D 作 DTBC 交 AC 于点 T，在 DC 上取一点 G，使得 DGDT，连接 TG，GQ，过 点 B 作 BRQ
18、G 于 R TDCPDQ90， PDTGDQ， 在PDT 和QDG 中， ， PDTQDG（SAS） ， DTPDGQ， 点 Q 在射线 GQ 上运动，DGQ 是定值， TDCB90， DTAB， ，DTCA， ，DGQA， DTDG， ABC90，AB2，BC4， AC2， sinDGRsinA， ， ， BR， 根据垂线段最短可知，当 BQ 与 BR 重合时，BQ 的值最小，最小值为 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11在比例尺为 1：1000000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 2.6cm，则甲、乙两地的实际距离为 26 千米 【分析】根据比例尺图上距离：实际距
19、离根据比例尺关系即可直接得出实际的距离 【解答】解：根据比例尺图上距离：实际距离，得：甲、乙两地的实际距离为 2.610000002600000 （cm）26（千米） 故答案为：26 12若圆 O 的半径是 5，圆心的坐标是（0，0） ，点 P 的坐标是（4，3） ，则点 P 与O 的位置关系是 点 P 在圆 O 上 【分析】先利用两点间的距离公式计算出 OP 的长，然后根据点与圆的位置关系判断点 P 与O 的位置 关系 【解答】解：点 P 的坐标是（4，3） ， OP5， OP 等于圆 O 的半径， 点 P 在圆 O 上 故答案为点 P 在圆 O 上 13已知，则 【分析】根据合分比定理如果
20、 a：bc：d 那么（a+b） ： （ab）（c+d） ： （cd） ） （b、d、ab、c d0）来解答即可 【解答】解：由已知，得 ， 即 14 如图， 在ABC 中， 点 D 是边 AB 上的一点， ADCACB， AD2， BD6， 则边 AC 的长为 4 【分析】通过证明ADCACB，可得 AC2ABAD16，即可求 AC 的长 【解答】解：AD2，BD6， ABAD+DB8， AA，ADCACB， ADCACB， ， AC2ABAD16 AC4， 故答案为：4 15在平行四边形 ABCD 中，E 为靠近点 D 的 AD 的三等分点，连结 BE，交 AC 于点 F，AC12，则 AF
21、 为 【分析】根据平行四边形的对边相等可得 ADBC，然后求出 AEADBC，再根据平行线分线段 成比例定理求出 AF、FC 的比，然后求解即可 【解答】解：在ABCD 中，ADBC，ADBC， E 为 AD 的三等分点， AEADBC， ADBC， ， AC12， AF12 故答案为： 16如图所示，在四边形 ABCD 中，B90，AB2，CD8连接 AC，ACCD，若 sinACB， 则 AD 长度是 10 【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算 AC，再在直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出 AD 【解答】解：在 RtABC 中， AB2，sinACB， AC26 在 RtADC
22、 中， AD 10 故答案为：10 17如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD8，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 M 是 CE 的中点，将线段 EM 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EF，连接 DE、DF当 DFEF 时，AE 的长为 1 【分析】根据相似三角形的判定得出CDN 与CEB 相似，进而利用相似三角形的性质解答即可 【解答】解： 过点 D 作 EC 的垂线，交 EC 于点 N， DFEF，DNEC， FDNE90，FEC90， 四边形 FEND 是矩形， DNEFEMEC， BCE+NCD90，CDN+NCD90， BCECDN， CDNECB， ， ADBC8，ABC
23、D5， ， CE4， BE， AEABBE541 故答案为：1 18如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD120，E 为 AB 中点，若 AB6，AD2，点 F 在射线 BC 上 且满足ADEBAF，则 CF 的长为 【分析】过 D 点作 DHBA 的延长线于点 H，连接 AF，交 CD、DE 分别为 M，O 点，根据相似三角形 的判定和性质解答即可 【解答】解：过 D 点作 DHBA，交 BA 的延长线于点 H，连接 AF，交 CD、DE 分别为 M，O 点， E 为 AB 中点，AB6， BEAE3， BAD120， HAD60， ADH30， AHAD1，DH， AE+AHEH3+14
24、， DE， ADEBAF，AEDDEA， AEODEA， ， OE， ODDEOE， ， DM， MCDCDM6， ADCF， AMDFMC， ， ， CF， CF 故答案为： 三解答题三解答题 19解方程： （1）2x25x+10； （2） （x+2）23x+6 【分析】 （1）利用公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）2x25x+10， 这里 a2，b5，c1， b24ac（5）242117， x， ； （2） （x+2）23x+6， （x+2）23（x+2） ， （x+2）23（x+2）0， （x+2）（x+2）30， x+20， （x+2）30， x12，x2
25、1 20计算： （1）2sin30+3cos60+tan45； （2） 【分析】 （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解： （1）原式 ； （2） 8 21如图，在ABC 中，BC6，sinA，B30，求 AC 和 AB 的长 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，在 RtBCD 中利用锐角三角函数和勾股定理，先计算出 CD、BD， 在 RtACD 中利用锐角三角函数和勾股定理，计算出 AC、AD 【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D， 在 RtBCD 中，sinBsin30 CD
26、63， BDBC3 在 RtACD 中， sinA， AC5 AD4， ABAD+BD 4+3 22已知关于 x 的方程 x2+ax+a10 （1）若方程有一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有实数根 【分析】 （1）将 x1 代入方程 x2+ax+a10 得到 a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答 【解答】解： （1）x1 是方程 x2+ax+a10 的解， 把 x1 代入方程 x2+ax+a10 得：1+a+a10， 解得 a0， x1+x2a， 1+x20， x21， a0，方
27、程的另一个根为1 （2）a24（a1）a24a+4（a2）20， 无论 a 为何值，此方程都有实数根 23如图，AB 是O 的直径，C、D 为O 上的点，且 AD 平分CAB，作 DEAB 于点 E （1）求证：ACOD； （2）若 OE4，求 AC 的长 【分析】 （1）根据角平分线的性质可得出OAC2OAD，由圆周角定理可得出BOD2BAD，进 而可得出BODOAC，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出 ACOD； （2） 作 OFAC 于点 F， 由垂径定理可得出 AFAC， 由 ACOD 可得出DOEOAF， 结合DEO OFA、 DOOA 即可证出DOEOAF （AAS） ， 再根
28、据全等三角形的性质可得出 OEAFAC， 即可得出答案 【解答】 （1）证明：AD 平分CAB， OAC2OAD BOD2BAD， BODOAC， ACOD （2）解：作 OFAC 于点 F，如图所示： 则 AFAC， ACOD， DOEOAF 在DOE 和OAF 中， DOEOAF（AAS） ， OEAFAC， AC2OE8 24在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕 迹 （1）如图 1，在 BC 上找出一点 M，使点 M 是 BC 的中点； （2）如图 2，在 BD 上找出一点 N，使点 N 是 BD 的一个三等分点 【分析】
29、 （1）连接 AC 和 BD，它们的交点为 O，延长 EO 并延长交 AD 于 M，则 M 点为所作； （2）连接 CE 交 BD 于点 N，则 N 点为所作 【解答】解： （1）如图 1，M 点就是所求作的点： （2）如图 2，点 N 就是所求作的点： 25某工厂设计了一款工艺品，每件成本 40 元，为了合理定价，现投放市场进行试销据市场调查，销售 单价是 80 元时，每天的销售量是 50 件，若销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单 价不得低于 65 元如果降价后销售这款工艺品每天能盈利 3000 元，那么此时销售单价为多少元？ 【分析】设此时销售单价为（80 x）元
30、/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据单件利润销售量 每天利润， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之即可得出 x 的值， 再根据 80 x65 即可确定 x 的值， 此题得解 【解答】解：设此时销售单价为（80 x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件， 根据题意得： （80 x40） （50+5x）3000， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220， 80 x65， x15， x10， 80 x801070 答：此时销售单价为 70 元/件 26鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的
31、左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方 河流右岸 D 处的俯角为 30 线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度， 点 M、 C、 D 在同一条直线上 其 中 tan2，MC50米 （1）求无人机的飞行高度 AM； （结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD （结果精确到 1 米，参考数据：1.41，1.73） 【分析】 （1）在 RtACM 中，由 tan2，MC50，可求出 AM 即可； （2）在 RtBND 中，BDM30，BN100，可求出 DN，进而求出 DM 和 CD 即可 【解答】解：过点 B 作 BNMD，垂足为 N，由题意可
32、知， ACM，BDM30，ABMN50， （1）在 RtACM 中，tanACMtan2，MC50， AM2MC100BN， 答：无人机的飞行高度 AM 为 100米； （2）在 RtBND 中， tanBDN，即：tan30， DN300， DMDN+MN300+50350， CDDMMC35050264， 答：河流的宽度 CD 约为 264 米 27定义： 我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等） ，我 们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解： （1）如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一
33、点 D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3 个即可） ； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC 求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ； （3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFHHFG30，连接 EG，若EFG 的面积为 2，求 FH 的长 【分析】 （1）先求出 AB，BC，AC，再分情况求出 CD 或 AD，即可画出图形； （2）先判断出A+ADB140ADC，即可得出结论； （3）先判断出FEHFHG，得出 FH2FEFG，再判断出 EQFE，
34、继而求出 FGFE8，即 可得出结论 【解答】解： （1）由图 1 知，AB，BC2，ABC90，AC5， 四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形， 当ACD90时，ACDABC 或ACDCBA， 或2， CD10 或 CD2.5 同理：当CAD90时，AD2.5 或 AD10， （2）证明：ABC80，BD 平分ABC， ABDDBC40， A+ADB140 ADC140， BDC+ADB140， ABDC， ABDDBC， BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ； （3）如图 3， FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ， EFH 与HFG 相似， EFHHFG
35、， FEHFHG， ， FH2FEFG， 过点 E 作 EQFG 于 Q， EQFEsin60FE， FGEQ2， FGFE2， FGFE8， FH2FEFG8， FH2 28如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点 M 出发沿折线 MBBN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC 边上 随 P 移动，且始终保持APQB （1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离； （2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP
36、的长； （3）设点 P 移动的路程为 x，当 0 x3 及 3x9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离（用含 x 的式子 表示） ； （4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界） ，扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK，请直接写出点 K 被扫描到的总时长 【分析】 （1）在图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 H解直角三角形求出 AH 即可 （2）如图 1，证明APQABC，可得，根据可得， 可得，根据（1）中 AB5，即可解出 MP； （3）分两种情形：当 0 x3 时，当 3x9 时，分别画出图形求解即可 （4）求出 C
37、K 的长度，以及 CQ 的最大值，利用路程与速度的关系求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 H ABAC，AHBC， BHCH4，BC， tanBtanC， AH3，ABAC5 当点 P 在 BC 上时，PABC 时，点 P 到 A 的最短距离为 3 （2）如图 1 中，APQB， PQBC， APQABC， PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5， （）2， ， AP， PMAPAM2 （3）当 0 x3 时，如图 11 中，过点 P 作 PJCA 交 CA 的延长线于 J PQBC， ，AQPC， ， PQ（x+2） ， sinAQPsinC， PJPQsinAQP（x+2） 当 3x9 时，如图 2 中，过点 P 作 PJAC 于 J 同法可得 PJPCsinC（11x） 综上，PJ； （4）由题意点 P 的运动速度单位长度/秒 当 3x9 时，设点 P 移动的路程为 x，CQy APCB+BAPAPQ+CPQ，APQB， BAPCPQ， BC， ABPPCQ， ， ， y（x7）2+， 0， x7 时，y 有最大值，最大值， AK， CK5 当 y时，（x7）2+， 解得 x7， 点 K 被扫描到的总时长（+63）23（秒）