1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试卷试卷 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 设复数z满足1zii R，则z的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. i D. i 【答案】B 2. 已知 ,m n是平面内的两条相交直线，且直线l n，则“lm”是“l”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案
2、】A 3. 根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O型 49%，A型 19%，B型 25%，AB型 7%.已知 同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种 血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为B型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则 能为该病人输血的概率为（ ） A. 25% B. 32% C. 74% D. 81% 【答案】C 4. 已知正数, a b是关于x的方程 22 40 xmxm 的两根，则 11 ab 的最小值为（ ） A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 【答案】C 5. 已知 3 log 15
3、a ， 4 log 20b ，2 1.9 c ，则（ ） A. acb B. cab C. bac D. abc 【答案】D 6. 当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严 峻、 复杂.某地区安排, ,A B C D E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动， 每个地区至少安排一人， 且,A B 两人安排在同一个地区，,C D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ） A. 86 种 B. 64 种 C. 42 种 D. 30 种 【答案】D 7. 庄严美丽国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄
4、金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以, ,A B C D E为顶点的多边形为正五边形，且 51 2 PT AP ，则（ ） A. 3535 22 CTCACE B. 5151 22 CTCACE C. 5151 22 CTCACE D. 3551 42 CTCACE 【答案】A 8. 已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当 0,1x时， sinf xx，且满足当1x 时， 22f xf x，若对任意,xm m ， 2 3f x 成立，则m的最大值为（ ） A. 23 6 B. 10 3 C. 25 6 D. 13 3 【答案】B 二二 多选题：本大题共多选题：本大题共 4 小题，
5、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分. 9. 已知集合 2 |log1Axx，|4 30Bxx，则（ ） A. 4 |0 3 ABxx B. |2ABx x C. AB D. 4 | 3 RA Bx x或2x 【答案】AB 10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识 测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ） A. 甲、
6、乙两组成绩的平均分相等 B. 甲、乙两组成绩的中位数相等 C. 甲、乙两组成绩的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】BCD 11. 已知函数 sin2 xx f xeex ，若 12 f xf x，则（ ） A. 22 12 xx B. 12 1 xx e C. 12 lnlnxx D. 1122 x xx x 【答案】BD 12. 已知 12 ,F F分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点，P为椭圆上任意一点(不在x轴上)， 12 PFF外接圆的圆心为H， 12 PFF内切圆的圆心为I， 直线PI交x轴于点,M O为坐标原点.则 （ ） A. P
7、H PO最小值为 2 2 a B. PH PO的最小值为 2 4 a C. 椭圆C的离心率等于 PI IM D. 椭圆C的离心率等于 IM PI 【答案】AD 三三 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题纸上将答案填在答题纸上 13. 已知等比数列 n a的前n项积为 n T，若 465 2a aa，则 9 T _. 【答案】512 14. 已知 12 ,F F分别是双曲线C的左右焦点，若双曲线C上存在一点M满足 1212 :12:13:5MFMFFF ，则该双曲线的离心率为_. 【答案】5 15. 我国古代数学名著九章算术
8、中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖 也.”现有一个刍甍如图所示，底面ABCD是边长为 4 的正方形，上棱 2 2EF ，四边形,ABFE CDEF为 两个全等的等腰梯形，EF到平面ABCD的距离为 2，则该刍甍外接球的表面积为_. 【答案】33 16. 若函数 yf x定义域存在 1212 ,x xxx， 使 12 1 2 f xf x 成立， 则称该函数为“互补函数”. 若函数 312 cossin0 2323 f xxx 在,2上为“互补函数”，则的取值范围 为_. 【答案】 9 513 , 4 24 四四 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共
9、 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 在 2 2 n nn S ； 11 2 nnn aaa ， 77 428Sa； 1 1 n n an an ， 3 6S 这三个条件中任选一 个补充在下面的问题中，并加解答. 问题：设数列 n a的前n项和为 n S，_，若 2 n n n a a b ，求数列 n b的前n项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分. 【答案】条件选择见解析；前n项和为 1 22 2 n n 18. 全球变暖已经是近在眼前的国际性问题， 冰川融化极端气候的出现生物多样性减少等等都会给人类的 生存环境带
10、来巨大灾难.某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷， 并邀请 40 名同学 (男女各占一半)参与问卷的答题比赛，将同学随机分成 20 组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样 的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分 5分为满分.最后 20组同学得分如下表： 组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男同学 得分 4 5 6 4 5 5 4 4 5 5 女同学 得分 3 4 5 5 5 4 5 5 5 3 组别号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 男同学 得分 4 4 4 4 4 4 5 5 4 3 女同学 得分 5 5 4 5
11、4 3 5 3 4 5 （1）完成下列22列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关： 男同学 女同学 总计 该次比赛得满分 该次比赛未得满分 总计 （2）随机变量X表示每组男生分数与女生分数的差，求X的分布列与数学期望. 参考公式和数据： 2 2 n adbc K abcdacbd ，na b cd . 2 P Kk 0.10 0.05 0.010 k 2.706 3.841 6 635 【答案】 （1）列联表答案见解析，没有 90%的把握认为“该次大赛是否得满分”与“性别”有关； （2）分布列答 案见解析，数学期望：0. 19. 在ABC中，设 , ,A B
12、 C所对的边分别为, ,a b c， 4 A ， 1 cos 3 B ， 7 2ab . （1）求, a b的值； （2）已知,D E分别在边,BA BC上，且 4 2AD CE ，求BDE面积的最大值. 【答案】 （1） 3 2a ， 4 2b ； （2）最大值 4 2 3 . 20. 如图， 在五面体ABCDEF中， 四边形ABCD为矩形，ADE为等边三角形， 且平面ADE 平面ABCD， BF和平面ABCD所成角为 45 ，且点F在平面ABCD上的射影落在四边形ABCD的中心，且 2 2 ADAB . （1）证明：/ /EF平面ABCD； （2）求平面AED与平面BCF所成角(锐角)的余
13、弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 5 . 21. 已知抛物线 2 :20C ypx p，F为其焦点，1,0Pyy ，,A B三点都在抛物线C上，且 2FP，设直线,AB PA PB的斜率分别为 12 ,k k k. （1）求抛物线C的方程，并证明 12 111 1 kkk ； （2）已知 11 , 22 M ，且,A B M三点共线，若PAPB且 12 kk，求直线PA的方程. 【答案】 （1） 2 4yx，证明见解析； （2）3 10 xy . 22. 已知函数 lnf xaxx a R. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 1 1 x f xea x 在1,上恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）答案见解析； （2）1,.