1、 北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明培优过关训练试卷北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明培优过关训练试卷 一、单选题 1等腰三角形的一个内角为 120，则底角的度数为（ ） A30 B40 C60 D120 2 在下列四个条件： 222 ABBCAC， 90AB ， 1 2 ABC ， 5:3:2ABC 中，能确定ABC是直角三角形的条件有（ ） A B C D 3如图，DE是AC的垂直平分线，CE=5，BDC的周长为 15，则ABC的周长是（ ） A15 B20 C25 D30 4 如图所示， 已知 ABCD，BAC与ACD的平分线交于点O，OEAC于点E， 且3O Ec m， 则
2、点O到AB， CD的距离之和是（ ） A3cm B6cm C9cm D12cm 5如图，在ABC中，C84，分别以点A，B为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N， 作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心， 大于 1 2 EF的长为半径画弧，两弧交于点P若此时射线BP恰好经过点D，则A的大小是（ ） A30 B32 C36 D42 6如图，OP平分AOB，PCOA于点C，PDOB于点D，延长CP，DP交OB， OA于点E，F， 下列结论错误的是（ ） APCPD BOCOD CCPODPO DPCPE
3、7如图，ABC 是等边三角形，AQ = PQ，PRAB 于点 R，PSAC 于点 S，PR =PS，则四个结论：点 P 在A 的 平分线上；AS=AR；QPAR；BRPQSP，正确的结论是（ ） A B C D 8若ab c、 、是ABC的边，且 222 ()()()0,abacbc则ABC是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 9如图，OB 平分MON，A 为 OB 的中点，AEON，EA=3，D 为 OM 上的一个动点，C 是 DA 延长线与 BC 的交点，BC/ OM，则 CD 的最小值是（ ） A6 B8 C10 D12 10如图，ABD 与ACE 都是等边三
4、角形，ABAC，下列四个结论，BE=CD；BOD=60；BDO=CEO； 若BAC=90，且 DABC，则 BCCE其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 11如图，在ABC中，AD平分BAC，交BC于点D，BEAD于E，AB=6，AC=14，ABC=3C，则BE=_ 12如图，已知ABC中，90 ,50ACBBD ，为AB上一点，将BCD沿CD折叠后，点B落在点 E处，且/CE AB，则ACD的度数是_ 13如图，在ABC中，ABAC，120A ，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，3BE ，则 EC的长为_ 14如图，已知ABC的周长是 8，OB，
5、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且3OD，ABC 的面积是_ 15如图，点P是等边ABC内的一点，6PA，8PB，10PC .若点 P 是ABC外的一点，且 PABPAC，则APB的度数为_ 16如图，在ABC中，ABAC，40B ，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合） ，连接AD，作 40ADE，DE交线段AC于点E，在点D从B向C运动过程中，如果ADE是等腰三角形，则BDA的度 数是_ 17若ABC的三边长是a、b、c，且 222 abcabbcac，则这个三角形形状是_角形 三、解答题 18如图，在ABC中，ABAC，点 D 是 BC 的中点，连接 AD，CBE45，BE
6、分别交 AC，AD 于点 E、F， 若AB13,BC10，求 AF 的长度 19如图，点A、B、C的坐标分别是1,3A 、5,1B 、0,1C （1）判断ABC的形状，并说明理由； （2）点P是x轴上的一动点，求出使得PAPB的值最小时点P的坐标 20如图，AD 是ABC的高，AD 垂直平分线分别交 AB，AC 于点 E，F 1求证： 1 BAED 2 2若DE1，求 AB 的长 21如图，BD/GE，150AFG ，AQ平分FAC，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，15Q， 求CAQ的度数 22在ABC中，ABAC，在ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC 于
7、点F，连接BD （1）如图 1，若100BAC，求ABD和BDF的度数； （2）如图 2，ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN 补全图 2； 若BNDN，求证：MBMN 23 已知： 如图，BD为ABC的角平分线， 且BDBC，E为BD延长线上的一点，BEBA， 过E作EFAB， F为垂足 求证： （1）ADAEEC （2）2BABCBF 24如图，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使AOC=12 0，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处， 一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方 （1）将图中的三角板 OMN 摆放成如图所示的位置，
8、使一边 OM 在BOC 的内部，当 OM 平分BOC 时，BO N= ； （直接写出结果） （2）在（1）的条件下，作线段 NO 的延长线 OP（如图所示） ，试说明射线 OP 是AOC 的平分线； （3）将图中的三角板 OMN 摆放成如图所示的位置，请探究NOC 与AOM 之间的数量关系 （直接写出结果， 不须说明理由） 参考答案 1A 解：等腰三角形中，一个内角为 120，而三内角的和为 180， 该内角为顶角， 设顶角为A，底角为B、C，则有B=C， A=120，B=C= 1 180 -120 2 =30， 故选：A 2D 222 ABBCAC，由勾股定理逆定理可知ABC是直角三角形，故
9、能确定 90AB ，即90AB ， 180()90CAB ABC是直角三角形，故能确定 1 2 ABC ，180ABC ， 2180C，即90C ABC是直角三角形，故能确定 5:3:2ABC，设5Ax ，则3Bx，2Cx， 180ABC ，即532180 xxx， 解得18x ， 5 1890A ， ABC是直角三角形，故能确定 故选：D 3C 解： DE是AC的垂直平分线，5CE ， ,5DADC AECE ， 10AC， 15 BDC CBDBCDC， 15BDADBCABBC， 15 1025. ABC CABBCAC 4B 如图，过点 O 作 MN，MNAB 于 M，交 CD 于 N
10、， ABCD， MNCD， AO 是BAC 的平分线，OMAB，OEAC，OE3cm， OMOE3cm， CO 是ACD 的平分线，OEAC，ONCD， ONOE3cm， MNOMON6cm， 即 AB 与 CD 之间的距离是 6cm， 5B 由题意得：DM 垂直平分 AB，BD 平分ABC， DM 垂直平分 AB， AD=BD， A=ABD， BD 平分ABC， ABD=CBD， A+ABD+CBD+C=180，C84， A=32， 6D OP平分AOB，PCOA于点C，PDOB于点D， PC=PD，故 A 选项正确； ODP=OCP=90， 又OP=OP，PC=PD， RtOPCRtOPD
11、， OC=OD，故 B 选项正确； OPCOPD， CPODPO ，故 C 选项正确； PDE=PCF=90，PD=PC，DPE=CPF， DPECPF， PE=PF， PFPC， PEPC，故 D 选项错误； 故选：D 7A 解：ABC 是等边三角形，PRAB，PSAC，且 PR=PS， P 在A 的平分线上，正确； 由可知，PB=PC，B=C，PS=PR， BPRCPS， CS=BR AS=AR，正确； AQ=PQ， PQC=2PAC=60=BAC， PQAR，正确； 由得，PQC 是等边三角形， PQSPCS，又由可知，BRPQSP，也正确 都正确， 8D 解： 222 ()()()0,
12、abacbc， a-b=0，a-c=0，b-c=0， a=b，a=c，b=c， a=b=c， 这个三角形是等边三角形； 故选：D 9A 解：由题意得， 当CDOM时，CD取最小值， OB平分MON，AEON于点E，CDOM， AD=AE=3， BCOM， DOA=B， A为OB中点， AB=AO， 在ADO与ABC中 BDOA ABAO BACDAO ， ADOABC(SAS), AC=AD=3， 3 36CDACAD ， 10C 解：设 CD 与 AB 交于点 F ABD与AEC都是等边三角形 AD=AB,AC=AE,DAB=EAC=60 DAB+BAC=EAC +BAC 即DAC=EAB
13、DACBAE BECD，正确； DACBAE ADO=ABO AFD=BFO BOD=DAB=60，正确； BDA=CEA=60，ADCAEB BDA-ADCCEA-AEB BDOCEO，错误； /DA BC DAC+BCA=180 DAB=60，90BAC BCA=180-DAB-BAC=30 ACE=60 BCE=ACE+BCA=60+30=90 BCCE，正确 114. 解：如图，延长BE， 交AC于G， AD平分BAC， ,GAEBAE ,BEAD 90AEGAEB， ,AGBABG 6AGAB ， ,GEBE 14AC ， 8CG ， ,AGBCCBG 2,ABCABGCBGAGBC
14、BGCCBG 3,ABCC 32,CCCBG ,CCBG 8BGCG ， 1 4. 2 BEBG 1225 90 ,50ACBB ， A=40， BCD沿CD折叠后，点B落在点E处， E=B=50， /CE AB， ADE=E=50， BDC=EDC=（180-50）2=65， ACD=BDC-A=65-40=25， 136 解：连接 AE， AB=AC，A=120 ， B=C= 1 18012030 2 ， ED 垂直平分 AB， AE=BE ，EAD=30 ， BE=3， DE= 13 22 BE 22 3 3 2 BDBEDE， AB=AC=2BD=3 3， A=120 ， EAC=90
15、 ， 22 366CEACAE ， 故答案为：6 1412 解：连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OFAC 于 F， OB， OC 分别平分ABC 和ACB，ODBC，OD=3， OE=OD=3，OF=OD=3， ABC 的周长是 8， AB+BC+AC=8， ABC 的面积 S=SABO+SBCO+SACO = 1 2 ABOE+ 1 2 BCOD+ 1 2 ACOF = 1 2 AB3+ 1 2 BC3+ 1 2 AC3 = 1 2 3（AB+BC+AC） = 1 2 38 =12， 15150 连接 PP， PABPAC， PAPA=6，PABPAC，BP=CP=10， PAPB
16、AC60， APP为等边三角形， PPAPAP6， 又8PB， PP 2BP2BP2， BPP为直角三角形，且BPP90 APB9060150， 16110或 80 在ABC 中，ABAC，B40， BC=40 BAC100， ADAE 时，AEDADE40， DAE100，此时，点 D 与点 B 重合，不符合题意舍去， ADED 时，DAEDEA， DAE 1 2 （18040）70， BADBACDAE1007030， BDA180BBAD110， 当 AEDE 时，DAEADE40， BAD1004060， BDA180406080， 综上所述：BDA 的度数为 110或 80时，ADE
17、 的形状是等腰三角形， 17等边 222 abcabbcac， 222 222222abcabbcac， 222 2222220abcabbcac， 222 ()()()0abacbc， 222 ()0,()0,()0abacbc， 222 ()0,()0,()0abacbc， a=b=c， 这个三角形是等边三角形， 187AF 解：ABACADBC， BDCD， 10BC ， 5BD， Rt ABD中，13AB， 2222 13512ADABBD ， Rt BDF中，45CBE， BDF是等腰直角三角形， 5DFBD， 12 57AFADDF 19 解： （1）直角三角形，理由如下 如下图所
18、示，用长方形 DEOF 将ABC 框住， 1,3A 、5,1B 、0,1C AF=1，DE=OF=3，DF=OE=BC=5，BE=1，OC=1 AD=DFAF=4，DB=DEBE=2，FC=OFOC=2 AB 2= AD2DB2=20，AC2= AF2FC2=5，BC2=25 AB 2AC2= BC2 ABC 为直角三角形； （2）作点 B 关于 x 轴的对称点 B ，连接 AB 交 x 轴于点 P，如下图所示 由轴对称性质可得，BP=B P，点 B 的坐标为（-5，-1） 此时PAPB=PAB P= AB ，根据两点之间线段最短，此时PAPB最小 设直线 AB 的解析式为 y=kxb 将点
19、A 和点 B 的坐标分别代入，得 15 3 kb kb 解得： 1 4 k b 直线 AB 的解析式为 y=x4 将 y=0 代入 y=x4 中，得 x4=0 解得：x=-4 点 P 的坐标为（-4，0） 20 解： （1） EF是 AD 的中垂线， 90AHDHAHEDHE， 在AEH和DEH中， AHDH AHEDHE EHEH AHEHD E SAS， AEHDEHAEDE， AD是ABC的高， /EFBC， AEHB， 1 2 BAED； （2）由（1）得：/EFBCAEDE， HEDEDB， 又 1 2 AEHHEDBAED， BEDB ， BEDE， 222 12ABBEDE 【点
20、睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质和判定等知识 21 解：EHQ 是DHQ 的外角， EHQ1+Q65， BDGE， E150， AFG150， EAFG， DEAF， FAQEHQ65 ， AQ 平分FAC， CAQFAQ65 22 （1）ABAC，ACD为等边三角形， ABAD，ABDADB ，60ADCDAC， 100BAC， 160DABDACBAC， 180160210ABDADB ， 又E为AC的中点， 由“三线合一”知， 1 30 2 ADEADC， 301020BDFADEADB ； （2）如图所示：利用尺规作图的方法得到 CP，交AB于点M，交EF于点N；
21、如图所示，连接AN， CM平分ACB， 设ACMBCM， ABAC， 2ABCACB， 在等边三角形ACD中， E为AC的中点， DNAC， NANC， NACNCA， 60DAN， 在ABN和ADN中， ABAD BNDN ANAN ABNADN SSS， 30ABNADN，60BANDAN， 602BAC， 在ABC中，180BACACBABC， 60222180， 20， 10NBCABCABN， 30MNBNBCNCB， MNBMBN， MBMN 23 解：证明： （1）BD为ABC的角平分线， ABDCBD， 在ABD和EBC中， BDBC ABDCBD BEBA ， ABDEBC
22、SAS， BCEBDA， BCEBCDDCE， BDADAEBEA ， BCDBEA， DCEDAE， ACE为等腰三角形， AEEC， ABDEBC， ADEC， ADECAE （2）过点E作EGBC于点G， E是BD上的点，EFAB，EGBC， EFEG， 在Rt BEG和Rt BEF中， BEBE EFEG ， Rt BEGRt BEF HL， BGBF， 在Rt CEG和Rt AFE中， EFEG AECE ， Rt CEGRt AFE， AFCG， BA BCBFFA BG CG， BFBGBF， 2BABCBF 24 (1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算； (2)计算出AOP 的度数， 再根据角平分线的定义判断； (3)根据AOC， AON，NOC，MON，AOM 的和差关系即可得到NOC 与AOM 之间的数量关系 解：(1)如图，AOC=120， BOC=180120=60， 又OM 平分BOC， BOM=30， 又NOM=90， BOM=9030=60， 故答案为 60； (2)如图，AOP=BOM=60，AOC=120， AOP= 1 2 AOC， 射线 OP 是AOC 的平分线； (3)如图，AOC=120， AON=120NOC， MON=90， AON=90AOM， 120NOC=90AOM， 即NOCAOM=30