1、高三数学 第 1 页（共 5 页） 山东省威海市山东省威海市 2020 届高三第一次模拟数学试题届高三第一次模拟数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 |51Ax xnnN,，6 9 1118B , , ,，则集合AB中元素的个数为
2、 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.已知复数z满足(2)(1)2zii，则z A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高.统计改革开 放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误 的是 A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭 B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高 C.1996 年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50% D.随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小 4.以抛物线
3、 2 4yx的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 A. 22 (2)16xy B. 22 (2)16yx C. 22 (1)4xy D. 22 (1)4yx （1978-2018）历年中国城乡居民家庭恩格尔系数 % 75 50 25 0 1978年 1982年 1986年 城镇居民家庭恩格尔系数（%）农村居民家庭恩格尔系数（%） 1990年 1994年1998年 2002年2006年 2010年 2014年2018年 高三数学 第 2 页（共 5 页） 5.已知 3 sin()coscos()sin 5 ，为第三象限角，则cos() 4 A. 2 10 B. 7 2 10 C. 2
4、10 D. 7 2 10 6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E（单位： 焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg4.8 1.5EM.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏 9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为 A. 1.5 10 B.1.5 C.lg1.5 D. 1.5 10 7.已知函数( )sin()(0 |)f xx ,的最小正周期为，且其图像向右平移 6 个单位得到函数 ( )cosg xx的图像，则 A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 8.已知点 A B,分别在双曲线 22 22 :1(0
5、,0) xy Cab ab 的左右两支上，且关于原点O对 称，C的左焦点为 1 F，直线 1 AF与C的左支相交于另一点M，若 11 | |MFBF，且 1 0BF AM，则C 的离心率为 A.10 B. 2 C.5 D. 10 2 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分. 9.若a b,为正实数，则ab的充要条件为 A. a b B.lnlnab C.lnlnaabb D. ab abee 10.等差数列 n a的前n项和记为 n S，若 1 0a ， 1020 SS
6、，则 A.0d B. 16 0a C. 15n SS D.当且仅当0 n S 时32n 11.如图直角梯形ABCD，ABCD，ABBC， 1 2 2 BCCDAB，E为AB中 点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且2 3PC .则 A.平面PED 平面EBCD B.PCED C.二面角PDCB的大小为 4 D.PC与平面PED所成角的正切值为2 高三数学 第 3 页（共 5 页） 12.设函数 cos2cos2 ( )22 xx f x ，则 A.( )f x在(0) 2 ,单调递增 B.( )f x的值域为 3 3 2 2 , C.( )f x的一个周期为 D.() 4 f
7、x 的图像关于点(0) 4 ,对称 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知a，b为单位向量，2cab，且, a b 3 ，则, a c_. 14.若 24 (1 )(1)axx展开式中 3 x的系数为12，则a _. 15.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 3 的鳖臑 ABCD中，AB 平面BCD，且2AB ，1CD，则该鳖臑外接球的表面积为_ 16.为满足人民群众便利消费、 安全消费、 放心消费的需求， 某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 2 m的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间.每间蔬
8、菜水果类店面的建造面 积为28 2 m，月租费为x万元；每间肉食水产店面的建造面积为20 2 m，月租费为0.8万元.全部店面的 建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.两类店面间数的建造方案为_种. 市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店 面月租费的90%，则x的最大值为_万元.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别是, , ,a b c已知2cos34cos2AA ，
9、且A为锐角. （）求A； （）若6sin(sinsin)AaBC，且ABC的面积为3，求ABC的周长. 18.（本小题满分 12 分） 记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1a ， 1 41 nn Sa .设 1 2 nnn baa . （）证明：数列 n b为等比数列； 高三数学 第 4 页（共 5 页） （）设|100| nn cb， n T为数列 n c的前n项和，求 10 T. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， ADCD，ADBC，2PAADCD，3BC . 过点A做四棱锥PABCD的截面AEFG，分别交 ,PD PC PB于点
10、,E F G，已知:2:3PG PB， E为PD的中点. （）求证：AG平面PCD； （）求AF与平面PAB所成角的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点 3 ( 1, ) 2 P 是椭圆上一点， 12 FF是 1 PF 和 2 PF的等差中项. （）求椭圆的标准方程； （）若A为椭圆的右顶点，直线AP与y轴交于点H，过点H的另一直线与椭圆交于MN、两点， 且6 HMAPHN SS ，求直线MN的方程. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 (1)(1) ( )2ln xmx f xx x . （
11、）当1m时，试判断( )f x零点的个数； （）若1x时，( )0f x ，求m的取值范围. A D B C E F G P 高三数学 第 5 页（共 5 页） 22.（本小题满分 12 分） 新药在进入临床实验之前， 需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5000次动物 实验， 一次实验方案如下： 选取3只白鼠对药效进行检验， 当3只白鼠中有2只或2只以上使用 “效果明显” ， 即确定“实验成功” ；若有且只有1只“效果明显” ，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效 果明显” ，即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“
12、效 果明显”的概率均为p（01p）. （）若 1 2 p ,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为 0 p，求 0 p的值； （）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问 该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由. 高三数学参考答案 一、单项选择题： C B C C，A A D D 二、多项选择题： BD, ABC, AC, BC 三、填空题： 13. 6 ； 14.2； 15.9 16.16， 1； 三、解答题： 17.（本小题满分 10 分） 解：（）因为2cos34cos2AA ，所以 2 8cos2cos10AA ，-2 分 解
13、得 1 cos 2 A 或 1 cos 4 A （舍） ，所以 3 A. -4 分 （）因为ABC的面积为3，所以 1 sin2 3 2 bcA ，得4bc . -5 分 已知6sin(sinsin)AaBC，由正弦定理可得6()aabc ， 所以6bc . -7 分 由余弦定理 2222 2cos()324abcbcAbcbc -8 分 得2 6a ， -9 分 所以，ABC的周长为2 66abc. -10 分 18.（本小题满分 12 分） 高三数学 第 6 页（共 5 页） （）由 1 41 nn Sa 得 1 41(2,) nn SannN -1 分 两式相减得 1111 4(2),2
14、2(2) nnnnnnn aaanaaaa -3 分 11 111 22(2) 2(2) 22 nnnnn nnnnn baaaa n baaaa ， -5 分 数列 n b为公比为2的等比数列. -6 分 （）由 212121 41,4,2Saaaab ， 1 2 22 , nn n b -7 分 1002 ,6 |2100| 2100,6 n n n n n c n -8 分 12678910 10 600(22.2 )2222400T -10 分 6 78910 8910 2(1 2 ) 2002222 1 2 20022221994 -12 分 19.（本小题满分 12 分） （）证明
15、：在PC上取点H，且满足:2:3PH PC ， -1 分 连接,GH HD，则GHBC，且 2 2 3 GHBC， -2 分 因为ADBC，所以ADGH，且ADGH 所以ADHG是平行四边形， -3 分 所以AGHD， -4 分 又因为HD 平面PCD，AG 平面PCD，所以AG平面PCD； -5 分 （）过点A做与DC平行的射线l，易证两两垂直， 所以，以l为x轴，以AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，-6 分 则有 42 2 (0,0,2),(2,2,0),( , ),(0,1,1), 33 3 PCGE -7 分 设平面AEFG的法向量为( , , )x y zn，则
16、422 0 333 0 xyz yz ，令1z ，解得 1 1 1 x y z H A D B C E F G P 高三数学 第 7 页（共 5 页） 所以( 1, 1,1) n是平面AEFG的一个法向量 -8 分 因为点F在PC上，所以(1)(2 ,2 ,22 )AFACAP 因为AF 平面AEFG，所以222 20AF n， 解得 1 3 ，所以 2 2 4 ( , ) 3 3 3 AF 或如下证法或如下证法：因为AG平面PCD且平面AGFE平面PCDEF，所以AGEF， 所以EFHD，因为E为PD中点，所以F为PH中点，所以 1 3 PFPC， 所以 2 2 4 ( , ) 3 3 3
17、F， 2 2 4 ( , ) 3 3 3 AF -10 分 设平面PAB的法向量为 1111 ( ,)x y zn，则 1 11 0 20 z xy ，令 1 1x ，解得 1 1 1 1 2 0 x y z -11 分 所以 1 (1,2,0)n是平面PAB的一个法向量， 1 30 cos, 10 AFn， 所以AF与平面PAB所成角的正弦值为 30 10 . -12 分 20（本小题满分 12 分） 解： （）因为 12 FF是 1 PF和 2 PF的等差中项，所以2ac，得 22 4ac. -1 分 又 3 ( 1, ) 2 P 在椭圆上，所以 22 13 1 44cc ，所以1c ，
18、-2 分 2 4a ， 222 3bac， -3 分 可得椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . -4 分 （）因为 3 ( 1, ) 2 P ，由（）计算可知(2,0),(0,1)AH -5 分 当直线MN与x轴垂直时，不合题意. -6 分 当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为1ykx 联立直线与椭圆的方程 22 1 1 43 ykx xy ，可得 22 (43)880kxkx 高三数学 第 8 页（共 5 页） 设 1122 (,),(,)M x yN xy，由韦达定理可得 12 2 12 2 8 43 8 43 k xx k x x k -， -7 分 由6 HMAPHN S
19、S ，可得6AH MHNH PH，又2AHPH， 所以3MHNH，得 12 3xx ， -9 分 带入，可得 2 2 2 2 2 8 2 43 8 3 43 k x k x k 所以 2 222 168 3 (43)43 k kk ，解得 6 2 k -11 分 所以直线MN的方程为 6 1 2 yx -12 分 21.（本小题满分 12 分） 当1m时， (1)(1) ( )2ln xx f xx x ， 2 2 (1) ( ) x fx x . -2 分 所以( )0,( )fxf x在(0,)上单调递减， -3 分 又(1)0,( )ff x有且只有一个零点. -4 分 （）(1)0f，
20、 2 2 21 ( ) mxx fx x . -5 分 （1）当0m时，在1,)上( )0fx恒成立，( )f x在1,)上单调递增，( )(1)0f xf，不 符合题意. -6 分 （2）当0m时，设 2 ( )21g xmxx， 当4 40m 即1m时， 2 ( )210g xmxx 恒成立， 所以在1,)上( )0fx恒成立， ( )f x在1,)上单调递减，( )(1)0f xf，符合题意，1m. -8 分 当4 40m 即01m时，( )0g x 有两不等实根，设为 12 ,x x 因为(1)10gm ，可知 12 1xx ， 高三数学 第 9 页（共 5 页） 所以 2 (1,)x
21、x时( )0fx， 2 (,)xx时( )0fx 即( )f x在区间 2 (1,)x上单调递增， 2 (,)x 单调递减 -10 分 所以 2 ()(1)0f xf，不符合题意. -11 分 综上，m的取值范围为1,). -12 分 22.（本小题满分 12 分） 解： （）当 1 2 p 时，一次检验就取得“实验成功”的概率为 22333 33 1111 (1)3( ) 4222 C ppC p ； -2 分 经过两次检验才取得“实验成功”的概率为 122 3 1113 (1) (3) 24432 C ppp； -4 分 在一次实验方案中“实验成功”的概率为 0 1319 23232 p
22、. -5 分 （）设一次实验方案需要用到的经费为X元，则X的可能值为900,1500. -6 分 12 3 (900)1(1)P XC pp ； 12 3 (1500)(1)P XC pp. -7 分 所以 12122 33 ()900 1(1) 1500(1)900 1800 (1)E XC ppC pppp，-8 分 设 2 ( )(1)f ppp，则 2 ( )(1)2 (1)(31)(1)fppp ppp， 当 1 (0, ) 3 p时，( )0fp，所以( )f p在 1 (0, ) 3 上单增； 当 1 ( ,1) 3 p时，( )0fp，所以( )f p在 1 ( ,1) 3 上单减. 所以( )f p的最大值为 14 ( ) 327 f， -10 分 因此实施一次此方案最高费用为 43500 900 1800 273 元 -11 分 所以动物实验阶段估计最高试验费用为 4 350017502050 1005000 10100 333 万元，因为 2050 700 3 ，所以该阶段经费使用不会超出预算. -12 分