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2021年广东省深圳市中考数学考点题型专项复习训练:第17讲 几何证明题

1、 深圳中考专项复习第 17 讲之几何证明计算题 【考点介绍】 在深圳中考卷第 20 题或 21 题位置, 有一道 8 分左右的计算题, 轮流出现的是三种计算解答题: 几何证明计算题、 三角函数应用题、反比例函数与一次函数交点问题,中等难度。 【最近五年深圳中考实题解题思路分析】 1.(2020 深圳)如图,AB 为O 的直径,点 C 在O 上,AD 与过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D.连接 BC 并延长, 交 AD 的延长线于点 E (1)求证:AE=AB (2)若 AB=10,BC=6,求 CD 的长 【解析】 (1)有切线必接 OC,则 OCCD,由 CDAE,可得 OC/AE,则OC

2、B=E,由 OC=OB 得ABE=OCB,E= OBC,AE=AB. (2) 圆常用添辅助线方法: 连接AC, 由AB是直径可得ACB=90,由AB=10、 BC=6及勾股定理可得AC=8, 由AB=AE=10, ACBE 可得 EC=BC=6,在 RtACE 中,利用数学典型模型“双垂模型”的等面积法可得 AC=24 5 . 2.(2018 深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上, 这个菱形称 为这个三角形的亲密菱形, 如图 1, 菱形 ADFE 为ABC 的亲密菱形。 如图书 2, 在CFE 中, CF=6, CE=12,FCE=45, 以点C为圆

3、心, 以任意长为半径作 AD, 再分别以点 A 和点 D 为圆心, 大于1 2AD长为半径做弧, 交 EF 于点 B, AB/CD. (1)求证:四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形; (2)求四边形 ACDB 的面积. 解析:中等难度题型,以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。 (1)证明:由尺规作图痕迹可得:AC=CD,AB=DB,BC 是FCE 的角平分线,则:ACB=DCB, 又AB/CD,ABC=DCB,ACB=ABC,AC=AB, 又AC=CD,AB=DB,AC=CD=DB=BA, 四边形 ACDB 是菱形.ACD 与FCE 重合,它的对角ABD 的顶点在 EF 上,四边

4、形 ACDB 为CFE 的亲密菱形. (2)解:设菱形 ACDB 的边长为x,AB/CE,FA FC = AB CE ,即6x 6 = x 12 ,解得: 4x, 过 A 点作 AHCD 于点 H,在直角CAH 中,FCE=45,AH=AC sin45 = 4 2 2 = 22, 菱形 ACDB 的面积为:4 22 = 82. 【针对练习巩固】 1.如图,在 RtABC 中,BAC90,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F (1)求证:四边形 ADCF 是菱形; (2)若 AC12,AB16,求菱形 ADCF 的面积 2如图,E,F 分

5、别是正方形 ABCD 的边 CB,DC 延长线上的点,且 BECF,过点 E 作 EGBF,交正方形外角的平分 线 CG 于点 G,连接 GF (1)求AEG 的度数; (2)求证:四边形 BEGF 是平行四边形 3如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,点 M 是 AB 上的一点,连接 DM 交 AC 于点 N,连接 BN (1)求证:ABNADN; (2)若ABC60,AM4,ABNa,求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 4如图,在ABCD 中,O 是对角线 AC、BD 的交点,BEAC,DFAC,垂足分别为点 E、F (1)求证:OEOF (2)若 BE5,OF2,求 tan

6、OBE 的值 5如图,四边形 ABCD 是菱形,点 H 为对角线 AC 的中点,点 E 在 AB 的延长线上,CEAB,垂足为 E,点 F 在 AD 的延长线上,CFAD,垂足为 F, (1)若BAD60,求证:四边形 CEHF 是菱形; (2)若 CE4,ACE 的面积为 16,求菱形 ABCD 的面积 6如图,在四边形 ABCD 中,ABDC,ABAD,对角线 ACBD 交于点 O,AC 平分BAD,过点 C 作 CEAB 交 AB 的 延长线于点 E连接 OE (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若 AB5OE2,求线段 CE 的长 7等腰ABC 中,ABBC8,ABC120,

7、BE 是ABC 的平分线,交 AC 于 E,点 D 是 AB 的中点,连接 DE,作 EFAB 于点 F (1)求证四边形 BDEF 是菱形; (2)如图以 DF 为一边作矩形 DFHG,且点 E 是此矩形的对称中心,求矩形另一边的长 8如图,在平行四边形 ABCD 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径两弧交 AD 于点 F,再分别以点 B,F 为圆心,大于1 2BF 为半径画弧,两弧交于一点 P,连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF (1)AB AF(选填“” , “” , “” , “” ) :AE BAD 的平分线 (选填“是”或“不是” ) (2)在(1)的条件下,求证:四

8、边形 ABEF 是菱形 (3)AE,BF 相交于点 O,若四边形 ABEF 的周长为 40,BF10,则 AE 的长为 ,ABC 9.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 边上的点,AE=BC,DFAE 于点 F,连接 DE. (1)求证:ABEDFA (2)如果 AD=10,AB=6,求 sinEDF 的值. E F C D A B 10如图,AB 是O 的直径,点 C 是 的中点,连接 AC 并延长至点 D,使 CDAC,点 E 是 OB 上一点,且 = 2 3, CE 的延长线交 DB 的延长线于点 F,AF 交O 于点 H,连接 BH (1)求证:BD 是O 的切线; (2)当 O

9、B2 时,求 BH 的长 11四边形 ABCD 内接于O,AB 是O 的直径,ADCD (1)如图 1,求证ABC2ACD; (2)过点 D 作O 的切线,交 BC 延长线于点 P(如图 2) 若 tanCAB 5 12,BC1,求 PD 的长 12.如图,AB 是O 的直径,AB6,OCAB,OC5,BC 与O 交于点 D,点 E 是 的中点,EFBC,交 OC 的延长 线于点 F (1)求证:EF 是O 的切线; (2)CGOD,交 AB 于点 G,求 CG 的长 13如图,ABCD 中,ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O,OD4,以点 O 为圆心,OD 长为半径作O,分别交边

10、DA、 DC 于点 M、N点 E 在边 BC 上,OE 交O 于点 G,G 为 的中点 (1)求证:四边形 ABEO 为菱形; (2)已知 cosABC1 3,连接 AE,当 AE 与O 相切时,求 AB 的长 14如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,ADCE,垂足为 D,AC 平分DAB (1)求证:CE 是O 的切线; (2)若 AD4,cosCAB4 5,求 AB 的长 15.如图,在ABCD 中,D60,对角线 ACBC,O 经过点 A,B,与 AC 交于点 M,连接 AO 并延长与O 交于 点 F,与 CB 的延长线交于点 E,ABEB (1)求证:EC 是O 的切线; (2

11、)若 AD23,求 的长(结果保留 ) 16.如图 1,在四边形 ABCD 中,ADBC,DAB90,AB 是O 的直径,CO 平分BCD (1)求证:直线 CD 与O 相切; (2)如图 2,记(1)中的切点为 E,P 为优弧 上一点,AD1,BC2求 tanAPE 的值 17如图,在O 中,弦 AB 与直径 CD 垂直,垂足为 M,CD 的延长线上有一点 P,满足PBDDAB过点 P 作 PN CD,交 OA 的延长线于点 N,连接 DN 交 AP 于点 H (1)求证:BP 是O 的切线; (2)如果 OA5,AM4,求 PN 的值; 【答案详解】 1.【解析】 (1)先证明AEFDEB

12、(AAS) ,得 AFDB,再依 AF/BC 可得四边形 ADCF 是平行四边形,BAC90,D 是 BC 的中点,依直角三角形斜边中线的性质得 ADCD1 2BC,四边形 ADCF 是菱形; (2)解:设 AF 到 CD 的距离为 h,AFBC,AFBDCD,BAC90, S 菱形 ADCFCDh 1 2BChSABC 1 2ABAC 1 2121696 2 【解析】 (1)由 SAS 证明ABEBCF 得出 AEBF,BAECBF,由平行线的性质得出CBFCEG,证出 AEEG,即 可得出结论; 证明: (1)四边形 ABCD 是正方形,ABBC,ABCBCD90,ABEBCF90, AB

13、EBCF(SAS) ,AEBF,BAECBF,EGBF,CBFCEG,BAE+BEA90, CEG+BEA90,AEEG,AEG 的度数为 90; (2)延长 AB 至点 P,使 BPBE,连接 EP,则 APCE,EBP90,证明APEECG 得出 AEEG,证出 EG BF,即可得出结论 证明:延长 AB 至点 P,使 BPBE,连接 EP,如图所示:则 APCE,EBP90,P45, CG 为正方形 ABCD 外角的平分线,ECG45,PECG,由(1)得BAECEG, APEECG(ASA) ,AEEG,AEBF,EGBF,EGBF, 四边形 BEGF 是平行四边形 3如图,在边长为

14、6 的菱形 ABCD 中,点 M 是 AB 上的一点,连接 DM 交 AC 于点 N,连接 BN (1)求证:ABNADN; (2)若ABC60,AM4,ABNa,求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 【解析】 (1)ABN 和ADN 中,不难得出 ABAD,DACCAB,AN 是公共边,根据 SAS 即可判定两三角形全 等 证明: (1)四边形 ABCD 是菱形,ABAD,12又ANAN,ABNADN(SAS) (2)通过构建直角三角形来求解作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由可得MDAABN,那么 M 到 AD 的距离 和 就转化到直角三角形 MDH 和 MAH 中,然后根据

15、已知条件进行求解即可 解:作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由 ADBC,得MAHABC60 在 RtAMH 中,MHAMsin604sin6023点 M 到 AD 的距离为 23 AH2DH6+28在 RtDMH 中,tanMDH , 由(1)知,MDHABN,tan 3 4 4 【解析】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形,OBOD,BEAC,DFAC, OEBOFD90,OEBOFD(AAS) ,OEOF; (2)解:由(1)得:OEOF,OF2,OE2,BEAC,OEB90, 在 RtOEB 中,tanOBE 2 5 5 【解析】 (1)四边形 ABCD 是菱形,BAD6

16、0,EACFAC30,又CEAB,CFAD, CECF1 2AC,点 H 为对角线 AC 的中点,EHFH 1 2AC,CECFEHFH, 四边形 CEHF 是菱形; (2)CEAB,CE4,ACE 的面积为 16,AE8,AC2+ 245, 连接 BD,则 BDAC,AH1 2AC25,点 H 为对角线 AC 的中点,D、H、B 在同一直线上, AHBAEC90,BAHEAC,ABHACE, = , 4 = 25 8 , BH5,BD2BH25,菱形 ABCD 的面积1 2ACBD 1 2 25 4520 6【解析】 (1)先判断出OABDCA,进而判断出DACDAC,得出 CDADAB,即

17、可得出结论; 证明:(1)ABCD,OABDCA,AC 为DAB 的平分线,OABDAC,DCADAC, CDADAB,ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形,ADAB,ABCD 是菱形; (2)先判断出 OEOAOC,再求出 OB1,根据相似三角形的性质即可得出结论 解:四边形 ABCD 是菱形,OAOC,BDAC,CEAB,OEOAOC2,OB2 21,AOB AEC90,OABEAC,AOBAEC, = , 5 4 = 1 ,CE 45 5 7【解析】 (1)先证明四边形 BDEF 是平行四边形,再根据 DE1 2ABBD,即可得到四边形 BDEF 是菱形; 证明:(1)ABBC,BE

18、 是ABC 的平分线,E 是 AC 的中点,且 BEAC, 又点 D 是 AB 的中点,DE 是ABC 的中位线,DEBF,又EFBD, 四边形 BDEF 是平行四边形,又RtABE 中,点 D 是 AB 的中点,DE1 2ABBD, 四边形 BDEF 是菱形; (2)先证明四边形 BEFH 是平行四边形,得到 BEFH,再根据 BE1 2BC4,即可得到 FH4 解:连接 EH,点 E 是此矩形的对称中心,D,E,H 在同一直线上,DEBF,EHBF, BEDF,FHDF,BEFH,四边形 BEFH 是平行四边形,BEFH, ABC120,BE 平分ABC,EBF60,又BEC90,C30,

19、 BE1 2BC4,FH4 8 【解析】 (1)利用基本作法得到 ABAF,AE 平分BAD 的平分线; (2)先证明 BABE,从而得到 AFBE,所以四边形 ABEF 为平行四边形,然后判断四边形 ABEF 是菱形; 证明:AE 平分BAF,BAEFAE,AFBE,BAEBEA,ABEB, 而 AFAB,AFBE,AFBE,四边形 ABEF 为平行四边形,而 ABAF,四边形 ABEF 是菱形; (3)利用菱形的性质得到 AB10,OAOE,OBOF5,AEBF,则可判断ABF 为等边三角形,从而得到BAF 60,所以ABC120,然后通过计算 OA 的长得到 AE 的长 解:四边形 AB

20、EF 是菱形;而四边形 ABEF 的周长为 40,AB10,OAOE,OBOF5,AEBF, ABF 为等边三角形,BAF60,ABC120,OA3OB53,AE2OA103 9.【解析】 (1) 证明: 在矩形 ABCD 中, BC=AD, AD/BC, B=90,DAF=AEB,DFAE,AE=BC,AFD=90=B,AE=AD, ABEDFA; (2)由ABEDFA 可知 AB=DF=6,在 RtADF 中,AF=AD2 DF2= 102 62=8,EF=AE-AF=AD-AF=2, 在 RtDFE 中,DE=DF2+ EF2= 62+ 22=210,sinEDF=EF DE = 2 2

21、10 = 10 10 10 【解析】 (1)先判断出AOC90,再判断出 OCBD,即可得出结论; 证明:连接 OC,AB 是O 的直径,点 C 是的中点,AOC90,OAOB,CDAC, OC 是ABD 是中位线,OCBD,ABDAOC90,ABBD, 点 B 在O 上,BD 是O 的切线; (2)先利用相似三角形求出 BF,进而利用勾股定理求出 AF,最后利用面积即可得出结论 解:由(1)知,OCBD,OCEBFE, = ,OB2,OCOB2,AB4, = 2 3, 2 = 2 3,BF3,在 RtABF 中,ABF90,根据勾股定理得,AF5, SABF1 2ABBF 1 2AFBH,A

22、BBFAFBH,435BH,BH 12 5 11 【解析】 (1)证明:ADCD,DACACD,ADC+2ACD180, 又四边形 ABCD 内接于O,ABC+ADC180,ABC2ACD; (2)解:连接 OD 交 AC 于点 E,PD 是O 的切线,ODDP,ODP90,又 = , ODAC,AEEC,DEC90,AB 是O 的直径,ACB90,ECP90, 四边形 DECP 为矩形,DPEC,tanCAB 5 12,BC1, = 1 = 5 12, AC 5 12,EC 1 2AC 6 5,DP 6 5 12.【解析】 证明: (1)连接 OE,交 BD 于 H,点 E 是 的中点,OE

23、 是半径,OEBD,BHDH,EFBC,OEEF, 又OE 是半径,EF 是O 的切线; (2)AB 是O 的直径,AB6,OCAB,OB3,BC02+ 234,SOBC1 2OBOC 1 2BCOH, OH35 34 = 1534 34 ,cosOBC = , 3 34 = 3 ,BH934 34 ,BD2BH934 17 ,CGOD, = , 3 = 934 17 34 ,CG17 3 13 【解析】 (1)证明:G 为的中点,MOGMDN四边形 ABCD 是平行四边形 AOBE,MDN+A180,MOG+A180,ABOE,四边形 ABEO 是平行四边形 BO 平分ABE,ABOOBE,

24、又OBEAOB,ABOAOB,ABAO, 四边形 ABEO 为菱形; (2)如图,过点 O 作 OPBA,交 BA 的延长线于点 P,过点 O 作 OQBC 于点 Q,设 AE 交 OB 于点 F, 则PAOABC,设 ABAOOEx,则cosABC1 3,cosPAO 1 3, = 1 3, PA1 3x,OPOQ 22 3 当 AE 与O 相切时,由菱形的对角线互相垂直,可知 F 为切点, 在 RtOBQ 中,由勾股定理得:(4 3) 2 + (22 3 )2= 82,解得:x26(舍负) AB 的长为 26 14如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,ADCE,垂足为 D,AC 平分

25、DAB (1)求证:CE 是O 的切线; (2)若 AD4,cosCAB4 5,求 AB 的长 【解析】 (1)证明:连接 OCOAOC,OACOCA,AC 平分DAB, CADCAB,DACACO,ADOC,ADDE,OCDE,直线 CE 是O 的切线; (2)连接 BC,AB 为O 的直径,ACB90,ADCACB,AC 平分DAB, DACCAB,DACCAB, = ,cosCAB = 4 5, 设 AC4x,AB5x, 4 4 = 4 5,x 5 4,AB 25 4 15.如图,在ABCD 中,D60,对角线 ACBC,O 经过点 A,B,与 AC 交于点 M,连接 AO 并延长与O

26、交于 点 F,与 CB 的延长线交于点 E,ABEB (1)求证:EC 是O 的切线; (2)若 AD2,求 的长(结果保留 ) 【解析】 (1)证明:连接 OB,连接 OM,四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD60,ACBC, ACB90, BAC30, BEAB, EBAE, ABCE+BAE60, EBAE30, OAOB,ABOOAB30,OBC30+6090,OBCE,EC 是O 的切线; (2)解:四边形 ABCD 是平行四边形,BCAD2,过 O 作 OHAM 于 H,则四边形 OBCH 是矩形, OHBC23,OA 604,AOM2AOH60, 的长度604 180 = 4

27、 3 16.【解析】 (1)证明:作 OECD 于 E,如图 1 所示:则OEC90,ADBC,DAB90, OBC180DAB90,OECOBC,CO 平分BCD,OCEOCB, OCEOCB(AAS) ,OEOB,又OECD,直线 CD 与O 相切; (2)解:作 DFBC 于 F,连接 BE,如图 2 所示:则四边形 ABFD 是矩形,ABDF,BFAD1, CFBCBF211,ADBC,DAB90,ADAB,BCAB, AD、BC 是O 的切线,由(1)得:CD 是O 的切线,EDAD1,ECBC2,CDED+EC3, DFCD2 CF232 1222,ABDF22,OB2,CO 平分

28、BCD,COBE, BCH+CBHCBH+ABE90,ABEBCH,APEABE, APEBCH,tanAPEtanBCH = 2 2 17 【解析】 (1)证明:如图,连接 BC,OBCD 是直径,CBD90,OCOB,CCBO, CBAD,PBDDAB,CBOPBD,OBPCBD90,PBOB,PB 是O 的切线 (2)解:CDAB,PAPB,OAOB,OPOP,PAOPBO(SSS) ,OAPOBP90, AMO90,OMOM2 AM252 423,AOMAOP,OAPAMO, AOMPOA, = , 5 = 3 5,OP 25 3 ,PNPC,NPCAMO90, = , 4 = 3 25 3 ,PN100 9