1、 深圳中考专项复习第 17 讲之几何证明计算题 【考点介绍】 在深圳中考卷第 20 题或 21 题位置， 有一道 8 分左右的计算题， 轮流出现的是三种计算解答题： 几何证明计算题、 三角函数应用题、反比例函数与一次函数交点问题，中等难度。 【最近五年深圳中考实题解题思路分析】 1.(2020 深圳)如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D.连接 BC 并延长， 交 AD 的延长线于点 E （1）求证：AE=AB （2）若 AB=10，BC=6，求 CD 的长 【解析】 （1）有切线必接 OC,则 OCCD,由 CDAE,可得 OC/AE,则OC
2、B=E,由 OC=OB 得ABE=OCB，E= OBC,AE=AB. （2） 圆常用添辅助线方法： 连接AC， 由AB是直径可得ACB=90,由AB=10、 BC=6及勾股定理可得AC=8， 由AB=AE=10， ACBE 可得 EC=BC=6，在 RtACE 中，利用数学典型模型“双垂模型”的等面积法可得 AC=24 5 . 2.(2018 深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上， 这个菱形称 为这个三角形的亲密菱形， 如图 1， 菱形 ADFE 为ABC 的亲密菱形。 如图书 2， 在CFE 中， CF=6， CE=12,FCE=45， 以点C为圆
3、心， 以任意长为半径作 AD， 再分别以点 A 和点 D 为圆心， 大于1 2AD长为半径做弧， 交 EF 于点 B， AB/CD. (1)求证：四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形； (2)求四边形 ACDB 的面积. 解析：中等难度题型，以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。 (1)证明：由尺规作图痕迹可得：AC=CD，AB=DB，BC 是FCE 的角平分线，则：ACB=DCB， 又AB/CD，ABC=DCB，ACB=ABC，AC=AB， 又AC=CD，AB=DB，AC=CD=DB=BA， 四边形 ACDB 是菱形.ACD 与FCE 重合，它的对角ABD 的顶点在 EF 上，四边
4、形 ACDB 为CFE 的亲密菱形. (2)解：设菱形 ACDB 的边长为x，AB/CE，FA FC = AB CE ，即6x 6 = x 12 ,解得： 4x, 过 A 点作 AHCD 于点 H，在直角CAH 中，FCE=45，AH=AC sin45 = 4 2 2 = 22, 菱形 ACDB 的面积为：4 22 = 82. 【针对练习巩固】 1.如图，在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F （1）求证：四边形 ADCF 是菱形； （2）若 AC12，AB16，求菱形 ADCF 的面积 2如图，E，F 分
5、别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BECF，过点 E 作 EGBF，交正方形外角的平分 线 CG 于点 G，连接 GF （1）求AEG 的度数； （2）求证：四边形 BEGF 是平行四边形 3如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，点 M 是 AB 上的一点，连接 DM 交 AC 于点 N，连接 BN （1）求证：ABNADN； （2）若ABC60，AM4，ABNa，求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 4如图，在ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，BEAC，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：OEOF （2）若 BE5，OF2，求 tan
6、OBE 的值 5如图，四边形 ABCD 是菱形，点 H 为对角线 AC 的中点，点 E 在 AB 的延长线上，CEAB，垂足为 E，点 F 在 AD 的延长线上，CFAD，垂足为 F， （1）若BAD60，求证：四边形 CEHF 是菱形； （2）若 CE4，ACE 的面积为 16，求菱形 ABCD 的面积 6如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 ACBD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的 延长线于点 E连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB5OE2，求线段 CE 的长 7等腰ABC 中，ABBC8，ABC120，
7、BE 是ABC 的平分线，交 AC 于 E，点 D 是 AB 的中点，连接 DE，作 EFAB 于点 F （1）求证四边形 BDEF 是菱形； （2）如图以 DF 为一边作矩形 DFHG，且点 E 是此矩形的对称中心，求矩形另一边的长 8如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径两弧交 AD 于点 F，再分别以点 B，F 为圆心，大于1 2BF 为半径画弧，两弧交于一点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF （1）AB AF（选填“” ， “” ， “” ， “” ） ：AE BAD 的平分线 （选填“是”或“不是” ） （2）在（1）的条件下，求证：四
8、边形 ABEF 是菱形 （3）AE，BF 相交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40，BF10，则 AE 的长为 ，ABC 9.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE=BC，DFAE 于点 F，连接 DE. （1）求证：ABEDFA （2）如果 AD=10,AB=6,求 sinEDF 的值. E F C D A B 10如图，AB 是O 的直径，点 C 是 的中点，连接 AC 并延长至点 D，使 CDAC，点 E 是 OB 上一点，且 = 2 3， CE 的延长线交 DB 的延长线于点 F，AF 交O 于点 H，连接 BH （1）求证：BD 是O 的切线； （2）当 O
9、B2 时，求 BH 的长 11四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，ADCD （1）如图 1，求证ABC2ACD； （2）过点 D 作O 的切线，交 BC 延长线于点 P（如图 2） 若 tanCAB 5 12，BC1，求 PD 的长 12.如图，AB 是O 的直径，AB6，OCAB，OC5，BC 与O 交于点 D，点 E 是 的中点，EFBC，交 OC 的延长 线于点 F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）CGOD，交 AB 于点 G，求 CG 的长 13如图，ABCD 中，ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O，OD4，以点 O 为圆心，OD 长为半径作O，分别交边
10、DA、 DC 于点 M、N点 E 在边 BC 上，OE 交O 于点 G，G 为 的中点 （1）求证：四边形 ABEO 为菱形； （2）已知 cosABC1 3，连接 AE，当 AE 与O 相切时，求 AB 的长 14如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ADCE，垂足为 D，AC 平分DAB （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若 AD4，cosCAB4 5，求 AB 的长 15.如图，在ABCD 中，D60，对角线 ACBC，O 经过点 A，B，与 AC 交于点 M，连接 AO 并延长与O 交于 点 F，与 CB 的延长线交于点 E，ABEB （1）求证：EC 是O 的切线； （2
11、）若 AD23，求 的长（结果保留 ） 16.如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，DAB90，AB 是O 的直径，CO 平分BCD （1）求证：直线 CD 与O 相切； （2）如图 2，记（1）中的切点为 E，P 为优弧 上一点，AD1，BC2求 tanAPE 的值 17如图，在O 中，弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD 的延长线上有一点 P，满足PBDDAB过点 P 作 PN CD，交 OA 的延长线于点 N，连接 DN 交 AP 于点 H （1）求证：BP 是O 的切线； （2）如果 OA5，AM4，求 PN 的值； 【答案详解】 1.【解析】 (1)先证明AEFDEB
12、（AAS） ，得 AFDB，再依 AF/BC 可得四边形 ADCF 是平行四边形，BAC90，D 是 BC 的中点，依直角三角形斜边中线的性质得 ADCD1 2BC，四边形 ADCF 是菱形； （2）解：设 AF 到 CD 的距离为 h，AFBC，AFBDCD，BAC90， S 菱形 ADCFCDh 1 2BChSABC 1 2ABAC 1 2121696 2 【解析】 （1）由 SAS 证明ABEBCF 得出 AEBF，BAECBF，由平行线的性质得出CBFCEG，证出 AEEG，即 可得出结论； 证明： （1）四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABCBCD90，ABEBCF90， AB
13、EBCF（SAS） ，AEBF，BAECBF，EGBF，CBFCEG，BAE+BEA90， CEG+BEA90，AEEG，AEG 的度数为 90； （2）延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，则 APCE，EBP90，证明APEECG 得出 AEEG，证出 EG BF，即可得出结论 证明：延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，如图所示：则 APCE，EBP90，P45， CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，ECG45，PECG，由（1）得BAECEG， APEECG（ASA） ，AEEG，AEBF，EGBF，EGBF， 四边形 BEGF 是平行四边形 3如图，在边长为
14、6 的菱形 ABCD 中，点 M 是 AB 上的一点，连接 DM 交 AC 于点 N，连接 BN （1）求证：ABNADN； （2）若ABC60，AM4，ABNa，求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 【解析】 （1）ABN 和ADN 中，不难得出 ABAD，DACCAB，AN 是公共边，根据 SAS 即可判定两三角形全 等 证明： （1）四边形 ABCD 是菱形，ABAD，12又ANAN，ABNADN（SAS） （2）通过构建直角三角形来求解作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由可得MDAABN，那么 M 到 AD 的距离 和 就转化到直角三角形 MDH 和 MAH 中，然后根据
15、已知条件进行求解即可 解：作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由 ADBC，得MAHABC60 在 RtAMH 中，MHAMsin604sin6023点 M 到 AD 的距离为 23 AH2DH6+28在 RtDMH 中，tanMDH ， 由（1）知，MDHABN，tan 3 4 4 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OBOD，BEAC，DFAC， OEBOFD90，OEBOFD（AAS） ，OEOF； （2）解：由（1）得：OEOF，OF2，OE2，BEAC，OEB90， 在 RtOEB 中，tanOBE 2 5 5 【解析】 （1）四边形 ABCD 是菱形，BAD6
16、0，EACFAC30，又CEAB，CFAD， CECF1 2AC，点 H 为对角线 AC 的中点，EHFH 1 2AC，CECFEHFH， 四边形 CEHF 是菱形； （2）CEAB，CE4，ACE 的面积为 16，AE8，AC2+ 245， 连接 BD，则 BDAC，AH1 2AC25，点 H 为对角线 AC 的中点，D、H、B 在同一直线上， AHBAEC90，BAHEAC，ABHACE， = ， 4 = 25 8 ， BH5，BD2BH25，菱形 ABCD 的面积1 2ACBD 1 2 25 4520 6【解析】 （1）先判断出OABDCA，进而判断出DACDAC，得出 CDADAB，即
17、可得出结论； 证明：（1）ABCD，OABDCA，AC 为DAB 的平分线，OABDAC，DCADAC， CDADAB，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，ADAB，ABCD 是菱形； （2）先判断出 OEOAOC，再求出 OB1，根据相似三角形的性质即可得出结论 解：四边形 ABCD 是菱形，OAOC，BDAC，CEAB，OEOAOC2，OB2 21，AOB AEC90，OABEAC，AOBAEC， = ， 5 4 = 1 ，CE 45 5 7【解析】 （1）先证明四边形 BDEF 是平行四边形，再根据 DE1 2ABBD，即可得到四边形 BDEF 是菱形； 证明：（1）ABBC，BE
18、 是ABC 的平分线，E 是 AC 的中点，且 BEAC， 又点 D 是 AB 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBF，又EFBD， 四边形 BDEF 是平行四边形，又RtABE 中，点 D 是 AB 的中点，DE1 2ABBD， 四边形 BDEF 是菱形； （2）先证明四边形 BEFH 是平行四边形，得到 BEFH，再根据 BE1 2BC4，即可得到 FH4 解：连接 EH，点 E 是此矩形的对称中心，D，E，H 在同一直线上，DEBF，EHBF， BEDF，FHDF，BEFH，四边形 BEFH 是平行四边形，BEFH， ABC120，BE 平分ABC，EBF60，又BEC90，C30，
19、 BE1 2BC4，FH4 8 【解析】 （1）利用基本作法得到 ABAF，AE 平分BAD 的平分线； （2）先证明 BABE，从而得到 AFBE，所以四边形 ABEF 为平行四边形，然后判断四边形 ABEF 是菱形； 证明：AE 平分BAF，BAEFAE，AFBE，BAEBEA，ABEB， 而 AFAB，AFBE，AFBE，四边形 ABEF 为平行四边形，而 ABAF，四边形 ABEF 是菱形； （3）利用菱形的性质得到 AB10，OAOE，OBOF5，AEBF，则可判断ABF 为等边三角形，从而得到BAF 60，所以ABC120，然后通过计算 OA 的长得到 AE 的长 解：四边形 AB
20、EF 是菱形；而四边形 ABEF 的周长为 40，AB10，OAOE，OBOF5，AEBF， ABF 为等边三角形，BAF60，ABC120，OA3OB53，AE2OA103 9.【解析】 （1） 证明： 在矩形 ABCD 中， BC=AD， AD/BC， B=90,DAF=AEB,DFAE,AE=BC,AFD=90=B,AE=AD, ABEDFA； （2）由ABEDFA 可知 AB=DF=6，在 RtADF 中，AF=AD2 DF2= 102 62=8，EF=AE-AF=AD-AF=2, 在 RtDFE 中，DE=DF2+ EF2= 62+ 22=210，sinEDF=EF DE = 2 2
21、10 = 10 10 10 【解析】 （1）先判断出AOC90，再判断出 OCBD，即可得出结论； 证明：连接 OC，AB 是O 的直径，点 C 是的中点，AOC90，OAOB，CDAC， OC 是ABD 是中位线，OCBD，ABDAOC90，ABBD， 点 B 在O 上，BD 是O 的切线； （2）先利用相似三角形求出 BF，进而利用勾股定理求出 AF，最后利用面积即可得出结论 解：由（1）知，OCBD，OCEBFE， = ，OB2，OCOB2，AB4， = 2 3， 2 = 2 3，BF3，在 RtABF 中，ABF90，根据勾股定理得，AF5， SABF1 2ABBF 1 2AFBH，A
22、BBFAFBH，435BH，BH 12 5 11 【解析】 （1）证明：ADCD，DACACD，ADC+2ACD180， 又四边形 ABCD 内接于O，ABC+ADC180，ABC2ACD； （2）解：连接 OD 交 AC 于点 E，PD 是O 的切线，ODDP，ODP90，又 = ， ODAC，AEEC，DEC90，AB 是O 的直径，ACB90，ECP90， 四边形 DECP 为矩形，DPEC，tanCAB 5 12，BC1， = 1 = 5 12， AC 5 12，EC 1 2AC 6 5，DP 6 5 12.【解析】 证明： （1）连接 OE，交 BD 于 H，点 E 是 的中点，OE
23、 是半径，OEBD，BHDH，EFBC，OEEF， 又OE 是半径，EF 是O 的切线； （2）AB 是O 的直径，AB6，OCAB，OB3，BC02+ 234，SOBC1 2OBOC 1 2BCOH， OH35 34 = 1534 34 ，cosOBC = ， 3 34 = 3 ，BH934 34 ，BD2BH934 17 ，CGOD， = ， 3 = 934 17 34 ，CG17 3 13 【解析】 （1）证明：G 为的中点，MOGMDN四边形 ABCD 是平行四边形 AOBE，MDN+A180，MOG+A180，ABOE，四边形 ABEO 是平行四边形 BO 平分ABE，ABOOBE，
24、又OBEAOB，ABOAOB，ABAO， 四边形 ABEO 为菱形； （2）如图，过点 O 作 OPBA，交 BA 的延长线于点 P，过点 O 作 OQBC 于点 Q，设 AE 交 OB 于点 F， 则PAOABC，设 ABAOOEx，则cosABC1 3，cosPAO 1 3， = 1 3， PA1 3x，OPOQ 22 3 当 AE 与O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知 F 为切点， 在 RtOBQ 中，由勾股定理得：(4 3) 2 + (22 3 )2= 82，解得：x26（舍负） AB 的长为 26 14如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ADCE，垂足为 D，AC 平分
25、DAB （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若 AD4，cosCAB4 5，求 AB 的长 【解析】 （1）证明：连接 OCOAOC，OACOCA，AC 平分DAB， CADCAB，DACACO，ADOC，ADDE，OCDE，直线 CE 是O 的切线； （2）连接 BC，AB 为O 的直径，ACB90，ADCACB，AC 平分DAB， DACCAB，DACCAB， = ，cosCAB = 4 5， 设 AC4x，AB5x， 4 4 = 4 5，x 5 4，AB 25 4 15.如图，在ABCD 中，D60，对角线 ACBC，O 经过点 A，B，与 AC 交于点 M，连接 AO 并延长与O
26、交于 点 F，与 CB 的延长线交于点 E，ABEB （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 AD2，求 的长（结果保留 ） 【解析】 （1）证明：连接 OB，连接 OM，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD60，ACBC， ACB90， BAC30， BEAB， EBAE， ABCE+BAE60， EBAE30， OAOB，ABOOAB30，OBC30+6090，OBCE，EC 是O 的切线； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，BCAD2，过 O 作 OHAM 于 H，则四边形 OBCH 是矩形， OHBC23，OA 604，AOM2AOH60， 的长度604 180 = 4
27、 3 16.【解析】 （1）证明：作 OECD 于 E，如图 1 所示：则OEC90，ADBC，DAB90， OBC180DAB90，OECOBC，CO 平分BCD，OCEOCB， OCEOCB（AAS） ，OEOB，又OECD，直线 CD 与O 相切； （2）解：作 DFBC 于 F，连接 BE，如图 2 所示：则四边形 ABFD 是矩形，ABDF，BFAD1， CFBCBF211，ADBC，DAB90，ADAB，BCAB， AD、BC 是O 的切线，由（1）得：CD 是O 的切线，EDAD1，ECBC2，CDED+EC3， DFCD2 CF232 1222，ABDF22，OB2，CO 平分
28、BCD，COBE， BCH+CBHCBH+ABE90，ABEBCH，APEABE， APEBCH，tanAPEtanBCH = 2 2 17 【解析】 （1）证明：如图，连接 BC，OBCD 是直径，CBD90，OCOB，CCBO， CBAD，PBDDAB，CBOPBD，OBPCBD90，PBOB，PB 是O 的切线 （2）解：CDAB，PAPB，OAOB，OPOP，PAOPBO（SSS） ，OAPOBP90， AMO90，OMOM2 AM252 423，AOMAOP，OAPAMO， AOMPOA， = ， 5 = 3 5，OP 25 3 ，PNPC，NPCAMO90， = ， 4 = 3 25 3 ，PN100 9